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2011届江苏高考数学仿真模拟押题卷12


2011 届高考数学仿真押题卷——江苏卷(12)
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题卡相应的位置 上. 1.若集合 A={x|x>2},B={x|x≤3},则 A∩B= ▲ . 答案: (2,3] 解析:A∩B= (2,3] 讲评:主要考查集合运算,应强调考生回归课本、注重运算、留心 ∩ 及 集合描述的对象、 认真审题. 2.函数 y= 3 sin2x+cos2x 的最小正周期是 答案:π 解析:y= 3 sin2x+cos2x=2 sin(2 x+60?) ?T=2π /2= π 3.已知(a+i) =2i,其中 i 是虚数单位,那么实数 a= 答案:1 2 2 2 2 解析:(a+i) = a +2 ai+ i = a -1+2 ai=2i ? a=1
2









4.已知向量 a 与 b 的夹角为 60?,且|a|=1,|b|=2,那么 (a ? b)2 的值为 答案:7 解析: (a ? b)2 =a + b +2ab = a + b +2|a||b| cos60?=1 +2 +2x1x2=7
2 2 2 2 2 2





5.底面边长为 2m,高为 1m 的正三棱锥的全面积为 ▲ m. 摘自课本《必修 2》P49 练习 2 的原题,主要考查基本运算,应强调考生回归课本、注重运 算、留心单位、认真审题. 答案: 3 3 解析:如图所示,正三棱锥 S -ABC , O 为顶点 S 在底面 BCD 内的射影,则 O 为正 ?BCD 的 S 垂心,过 C 作 CH ? AB 于 H ,连接 SH 。 则 SO ? HC ,且 HO ? 1 CH ?
3 3 ,在 Rt ?SHO 3

2

中, SH ? SO 2 ? HO 2 ? 2 3 。
3

于是, S?SAB ? 1 ? AB ? SH ? 2
2

3 3

, S?ABC ? 3 ? AB 2 ? 3 。
4

A

C

所以 S全面积 =S?BCD +3S?SAB ? 3 3 。 6.若双曲线 x2 ? 答案:8 解析:法一:双曲线的渐近线方程为 y ? ? k x ;焦点坐标是 (? 1 ? k ,0) 。

H

O

y2 ? 1 的焦点到渐近线的距离为 2 2 ,则实数 k 的值是 k

▲ B .

? k ? 1? k ? ? ? k ? 2 2 。解得 k ? 8 。 由焦点到渐近线的距离为 2 2 ,不妨 ? 1? k
法二:可以将问题变为“若椭圆 x2 ?

1 y2 ? 1 的离心率为 ,则实数 k= 3 k

” ,这时需要增加分

类讨论的意思 2 法三:结论法: 在双曲线中,双曲线的焦点到渐近线的距离为 b 【在本题中,则 b =k= ( 2 2 ) =8】
? x ? y ? 1≥ 0, ? 7.若实数 x,y 满足 ? x ? y ≥ 0, 则 z=x+2y 的最大值是 ? x ≤ 0, ?
2





y
答案:2 解析:满足题中约束条件的可行域如图所示。 目标函数 z ? x ? 2 y 取得最大值,
P(0,1)

1 z 即使得函数 y ? ? x ? 在 y 轴上的截距最大。 2 2
结合可行域范围知,当其过点 P(0,1) 时, Zmax ? 0 ? 2 ?1 ? 2 。 8.对于定义在 R 上的函数 f(x),给出三个命题: ①若 f (?2) ? f (2) ,则 f(x)为偶函数; ②若 f (?2) ? f (2) ,则 f(x)不是偶函数; ③若 f (?2) ? f (2) ,则 f(x)一定不是奇函数. 其中正确命题的序号为 ▲ . 答案:② 解析:命题③学生很容易判为真命题. 反例:函数 f ( x) ? 0( x ? R) 是奇函数,且满足 f (?2) ? f (2) . 请注意以下问题:既是奇函数又是偶函数的函数是否唯一?

?1
O

x

答案是否定的,如函数 f ( x) ? 0( x ? {?1,1} , f ( x) ? 0( x ? {?1,0,1} , f ( x) ? 0( x ? R) 等. 9.图中是一个算法流程图,则输出的 n= ▲ . 答案:11 10.已知三数 x+log272,x+log92,x+log32 成等比数列,则公比为 ▲ 答案:3 开始



1 1 解析: log9 2 ? log3 2 , log27 2 ? log3 2 2 3 x ? log 9 2 x ? log3 2 log9 2 ? log3 2 q? ? ? ?3 x ? log 27 2 x ? log 9 2 log 27 2 ? log 9 2
本题首先应整体观察出三个对数值之间的关系,并由此选

n←1,S←0 S<2011 是 S←S+2n n←n+1
(第 9 题图)

否 输出 n 结束

1 1 定 log32,得出 log272= log32,log92= log32,最 2 3 后通过假设将 x 用 log32 表示.
? a11 ? ? a21 11.已知 5×5 数字方阵: ? a31 ? ? a41 ?a ? 51 a12 a22 a32 a42 a52 a13 a23 a33 a43 a53 a14 a24 a34 a44 a54

a15 ? ? a25 ? ?1 ( j 是 i 的整数倍), a35 ? 中, aij ? ? ? ??1( j 不是 i 的整数倍). a45 ? a55 ? ?

则 ? a3 j ? ? ai 4 =
j ?2 i?2

5

4





答案:-1 解析:假如题中出现 ? ai 5 ,应注意 a15 中 5 为 1 的倍数.
i ?1 5

题中方阵是一个迷惑,应排除这一干扰因素.本题的实质就是先定义 aij,后求和.应注意 两个求和符号∑中的上下标是不一致的,解题应把求和给展开.

π π ? 12. 已知函数 f(x)= x 2 ? cos x , x ∈ [? , ] ,则满足 f(x0)> f( )的 x0 的取值范围为 2 2 3 ▲ . ? ? ? ? 答案: [? , ? ) ∪ ( , ] 2 3 3 2 解析:
法1

? ? ? 注意到函数 f ( x) ? x 2 ? cos x, x ? [? , ] 是偶函数故只需考虑 [0, ] 区间上的情形. 2 2 2
?

由 f ?( x) ? 2 x ? sin x ? 0, x ? [0, 所以 f ( x 0 ) ? f ( ) 在 [0,

?

?

] 知函数在 [0, ] 单调递增, 2 2

?

3

] 上的解集为 ( , ] , 2 3 2

? ?

结合函数是偶函数得原问题中 x0 取值范围是 [? 法2

? ?

, )?( , ]. 2 3 3 2

? ?

2 ? ? 作出函数 y ? x 2 ? ? ? 1 , y ? cos x 在 [ ? , ] 上的图象 2 2 9 2

? ?2 1 2 f ( x0 ) ? f ( ) ? x0 ? ? ? cos x0 , 3 9 2

并注意到 x ? ? ? 两函数有交点可得 x0 取值范围是 [? ? , ? ) ? ( ? , ? ] .
3

2 3

3 2

这是一个常见考型,应引起足够重视.填写答案时,应注意区间的闭、开问题,注意规范答 题,否则将可能因为表述问题而失去已到手的分. 13.甲地与乙地相距 250 公里.某天小袁从上午 7∶50 由甲地出发开车前往乙地办事.在上 午 9∶00,10∶00,11∶00 三个时刻,车上的导航仪都提示“如果按出发到现在的平均 速度继续行驶,那么还有 1 小时到达乙地” .假设导航仪提示语都是正确的,那么在上 午 11∶00 时,小袁距乙地还有 ▲ 公里. 答案:60 解析:设从出发到上午 11 时行了 s 公里,则 s ? s ? 60 ? 250 ,解得 s ? 190 ,此时小袁距乙地还有
190

60 公里. 作为填空题倒 2 题, 应适当考虑试题的长度 (阅读量) 知识点 、 (综合度) 难度 、 (可区分性) 、 思维量等一些问题.问题只要求 11∶00 时的问题,故应绕开干扰因素,直奔主题:速 度为 7∶50 至 11∶00 的平均速度 v,时间为 7∶50 至 12∶00,总路程为 250km,求最 后 1 小时的路程. 14.定义在 [1, ??) 上的函数 f(x)满足:①f(2x)=cf(x)(c 为正常数);②当 2≤x≤4 时,

f(x)=1-|x-3|.若函数的所有极大值点均落在同一条直线上,则 c=





答案:1 或 2 解析:由已知可得:当 1 ? x ? 2 时, f ( x) ? 1 f (2 x) ? 1 (1 ? x ? 3 ) ;
c c

当 2 ? x ? 4 时, f ( x) ? 1 ? x ? 3 ;当 4 ? x ? 8 时, f ( x) ? cf ( ) ? c(1 ? x ? 3 ) ,
1? 1 c ? c ?1得 c 3 3 2

x 2

由题意点 ( 3 , 1 ), (3,1), (( 6, c) 共线,据
2 c

? 1 或 2.

作为填空题,可以猜测,并用特殊三点共线求得 c 的值.当然作为解答题,必须对其余点进 行验证. 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请把答案写在答题卡相应的位置上.解答时应 写出文字说明,证明过程或演算步骤. 主要考查应用问题, 考查统计与概率的基础知识, 以引导考生后期复习中仍要重视基础知识. 15. (本题满分 14 分)某高校从参加今年自主招生考试的学生中随机抽取容量为 50 的学生成 绩样本,得频率分布表如下: 组号 分组 频数 频率 230, 235 ? ? 第一组 8 0.16 第二组 第三组 第四组

? 235, 240 ? ? 240, 245? ? 245, 250 ?

① 15 10

0.24 ② 0.20

[250, 255] 第五组 5 0.10 合 计 50 1.00 (1)写出表中①②位置的数据; (2)为了选拔出更优秀的学生,高校决定在第三、四、五组中用分层抽样法抽取 6 名学 生进行第二轮考核,分别求第三、四、五各组参加考核人数; (3)在(2)的前提下, 高校决定在这 6 名学生中录取 2 名学生, 2 人中至少有 1 名是第 求 四组的概率. 解:(1) ①②位置的数据分别为 12、0.3; ??????????????????4 分 (2) 第三、四、五组参加考核人数分别为 3、2、1; ?????????????8 分 (3) 设上述 6 人为 abcdef(其中第四组的两人分别为 d,e),则从 6 人中任取 2 人的所 有情形为:{ab,ac,ad,ae,af,bc,bd,be,bf,cd,ce,cf,de,df,ef} 共有 15 种.????????????????????????????10 分 记“2 人中至少有一名是第四组”为事件 A,则事件 A 所含的基本事件的种数有 9 种. ???????????????????????????????12 分 9 3 3 所以 P( A) ? ? ,故 2 人中至少有一名是第四组的概率为 . ?????14 分 15 5 5 主要考查直线与平面的位置关系特别是平行与垂直的关系, 考查空间想象能力、 逻辑推理能 力,考查画图、读图、用图的能力. E A1 C1 16.(本题满分 14 分) 如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中. B1 (1)若 BB1=BC,B1C⊥A1B,证明:平面 AB1C ? 平面 A1BC1; (2)设 D 是 BC 的中点,E 是 A1C1 上的一点,且 A1B∥平面 A C

D
(第 16 题图)

B

B1DE,求

A1 E 的值. EC1

解:(1)因为 BB1=BC,所以侧面 BCC1B1 是菱形,所以 B1C⊥BC1. ???????3 分 又因为 B1C⊥A1B ,且 A1B∩BC1=B,所以 BC1⊥平面 A1BC1, ???????5 分 又 B1C ? 平面 AB1C ,所以平面 AB1C⊥平面 A1BC1 .???????????7 分 (2)设 B1D 交 BC1 于点 F,连结 EF,则平面 A1BC1∩平面 B1DE=EF. 因为 A1B//平面 B1DE, A1B ? 平面 A1BC1,所以 A1B//EF. ???????11 分 AE BF 所以 1 = . EC1 FC1 AE BF BD 1 1 ? ,所以 1 = . ???????????????14 分 又因为 = FC1 B1C1 2 EC1 2

17.主要考查解三角形的有关知识,考查三角函数及其变换以及基本不等式等基础知识,考 查考生的分析与转化能力. 讲评第(1)问题,如果是求 B 的最小值,那此时还要说明取“=”的条件.第(2)问处理 时,应强调减元意识及目标意识. 17.(本题满分 14 分) 2 2 2 在△ABC 中,a +c =2b ,其中 a,b,c 分别为角 A,B,C 所对的边长. (1)求证:B≤ (2)若 B ? 解: (1)由余弦定理,得 cos B ? 分 因 a2 ? c 2 ≥ 2ac ,?cos B ≥ 由 0<B<π ,得

? ; 3

? ,且 A 为钝角,求 A. 4

a2 ? c 2 ? b 2 a 2 ? c 2 . ??????????????3 ? 2ac 4ac
1 .?????????????????????6 分 2

? ,命题得证. ?????????????????7 分 3 (2)由正弦定理,得 sin 2 A + sin 2C = 2sin 2 B . ????????????????10 分 ? 因 B ? ,故 2sin 2 B =1,于是 sin 2 A = cos2C .??????????????12 分 4 3 ? 因为 A 为钝角,所以 sin A = cosC = cos( ? ? A) = sin( A ? ) . 4 4 ? ? 5? 所以 A ? ( A ? ) ? ? ( A = A ? ,不合,舍) .解得 A = . ???????14 分 4 4 8 (2)其它方法: B≤
法 1 同标准答案得到 sin 2 A = cos2C ,用降幂公式得到

1 ? cos 2 A 1 ? cos 2C ,或 ? 2 2

3 cos 2 A ? cos 2( ? ? A) ? 0 ,展开再处理,下略. 4
法 2 由余弦定理得 b ? a ? c ? 2ac ,结合 a ? c ? 2b 得 2ac ? b ,
2 2 2
2 2 2

2

2 sin A sin C ? sin 2

?
4
2

, sin A sin(

3 2 ,展开后用降幂公式再合,下略. ? ? A) ? 4 2
2 2 2

法 3 由余弦定理得 b ? a ? c ? 2ac ,结合 a ? c ? 2b 得 2ac ? a ? c ,
2 2 2 2

3 3 2 sin A sin C ? sin 2 A ? sin 2 C , 2 sin A sin( ? ? A) ? sin 2 A ? sin 2 ( ? ? A) ,下略 4 4

18.主要考查圆、椭圆及直线的基础知识,考查运算能力及探究能力.第(2)问中,可以证明 2 2 线段 AB 的中点恒在定椭圆 x +2y =1 上.后一问与前一问之间具有等价关系. 18.(本题满分 16 分) 2 x2 y 2 在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的离心率为 ,其焦点在 2 a b 2 2 圆 x +y =1 上. (1)求椭圆的方程; (2)设 A,B,M 是椭圆上的三点(异于椭圆顶点),且存在锐角 θ ,使 ???? ? ??? ? ??? ? OM ? cos? OA ? sin ? OB . (i)求证:直线 OA 与 OB 的斜率之积为定值; 2 2 (ii)求 OA +OB . 解: (1)依题意,得 c=1.于是,a= 2 ,b=1. ??????????????2 分 2 x 所以所求椭圆的方程为 ? y 2 ? 1 . ??????????????????4 分 2 x2 x2 2 (2) (i)设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 1 ? y12 ? 1 ①, 2 ? y2 ? 1 ②. 2 2 ???? ? ??? ? ??? ? ? x ? x1 cos ? ? x2 sin ? , 又设 M(x,y),因 OM ? cos ? OA ? sin ? OB ,故 ? ????7 分 ? y ? y1 cos? ? y2 sin ? . ( x cos ? ? x2 sin ? ) 2 ? ( y1 cos ? ? y2 sin ? ) 2 ? 1 . 因 M 在椭圆上,故 1 2 x2 x2 xx 2 整理得 ( 1 ? y12 ) cos 2 ? ? ( 2 ? y2 )sin 2 ? ? 2( 1 2 ? y1 y2 ) cos ? sin ? ? 1 . 2 2 2 x1 x2 将①②代入上式,并注意 cos ? sin ? ? 0 ,得 ? y1 y2 ? 0 . 2 yy 1 所以, kOA kOB ? 1 2 ? ? 为定值. ??????????????????10 分 x1 x2 2 (ii) ( y1 y2 )2 ? (?
2 x1 x2 2 x12 x2 2 2 2 2 ) ? ? ? (1 ? y12 )(1 ? y2 ) ? 1 ? ( y12 ? y2 ) ? y12 y2 ,故 y12 ? y2 ? 1 . 2 2 2 x2 x2 2 2 又 ( 1 ? y12 ) ? ( 2 ? y2 ) ? 2 ,故 x12 ? x2 ? 2 . 2 2 2 2 2 2 所以,OA +OB = x12 ? y12 ? x2 ? y2 =3. ????????????????16 分

19.综合考查解决基本数列的基本方法(定义法,分组裂项求和等),考查运算能力. 19.(本题满分 16 分) 已知数列{an}满足:a1=a2=a3=2,an+1=a1a2?an-1(n≥3),记 2 2 bn?2 ? a12 ? a2 ? ? ? an ? a1a2 ?an (n≥3). (1)求证数列{bn}为等差数列,并求其通项公式;

(2)设 cn ? 1 ?

1 1 ? 2 ,数列{ cn }的前 n 项和为 Sn,求证:n<Sn<n+1. 2 bn bn ?1

2 2 解:(1)方法一 当 n≥3 时,因 bn?2 ? a12 ? a2 ? ? ? an ? a1a2 ?an ①, 2 2 2 故 bn?1 ? a12 ? a2 ? ? ? an ? an?1 ? a1a2 ?an an?1 ②. ??????????????2 分 2 2 ②-①,得 bn-1-bn-2= an?1 ? a1a2 ?an (an?1 ? 1) = an?1 ? (an?1 ? 1)(an?1 ? 1) =1,为常数, 所以,数列{bn}为等差数列. ??????????????????????5 分 2 2 因 b1= a12 ? a2 ? a3 ? a1a2 a3 =4,故 bn=n+3. ??????????????8 分 方法二 当 n≥3 时,a1a2?an=1+an+1,a1a2?anan+1=1+an+2, 2 将上两式相除并变形,得 an?1 ? an? 2 ? an?1 ? 1 .??????????????2 分 于是,当 n∈N*时, 2 2 bn ? a12 ? a2 ? ? ? an? 2 ? a1a2 ?an? 2 2 2 ? a12 ? a2 ? a3 ? (a5 ? a4 ? 1) ? ? ? (an?3 ? an?2 ? 1) ? a1a2 ?an?2 2 2 ? a12 ? a2 ? a3 ? (an?3 ? a4 ? n ? 1) ? (1 ? an?3 ) ? 10 ? n ? a4 . 又 a4=a1a2a3-1=7,故 bn=n+3(n∈N*). 所以数列{bn}为等差数列,且 bn=n+3. ??????????????????8 分 1 1 ((n ? 3)(n ? 4) ? 1) 2 ? ? (2) 方法一 因 c n ? 1 ? ,???????12 ( n ? 3) 2 ( n ? 4) 2 (n ? 3) 2 (n ? 4) 2

分 故 所以

cn ?

(n ? 3)(n ? 4) ? 1 1 1 1 ?1? . ?1? ? (n ? 3)(n ? 4) (n ? 3)(n ? 4) n?3 n?4

1 1 1 1 1 1 1 1 , ???15 分 ? ) ? (1 ? ? ) ? ? ? (1 ? ? ) ?n? ? 4 5 5 6 n?3 n?4 4 n?4 即 n<Sn<n+1. ???????????????????????????16 分 1 1 ? ? 1 ,故 cn >1, Sn ? n .????????10 分 方法二 因 cn ? 1 ? 2 (n ? 3) ( n ? 4) 2 Sn ? (1 ?
cn ? 1 ? 1 1 1 1 ? ?1? ? (n ? 3) 2 (n ? 4) 2 (n ? 2)(n ? 3) (n ? 3)(n ? 4)

=1?

1 1 1 1 2 <1? < (1 ? ? ) , n?2 n?4 n?2 n?2

1 1 ,于是 Sn ? n(1 ? ) ? n ? 1 .??????????????16 分 n?2 n?2 第(2)问,为了结果的美观,将 Sn 放缩范围放得较宽,并且可以改为求不小于 Sn 的最小正整 数或求不大于 Sn 的最大正整数. 本题(2)的方法二是错误的,请不要采用。 1 1 1 1 ? ?1? ? 注意 cn ? 1 ? 2 2 (n ? 3) (n ? 4) (n ? 2)(n ? 3) (n ? 3)(n ? 4)
故 cn < 1 ? =1?

1 1 1 1 2 <1? < (1 ? ? ) , n?2 n?4 n?2 n?2

故 cn < 1 ?

1 1 ,于是 Sn ? n(1 ? ) ? n ?1. n?2 n?2

1 (这一步推理是错误的) ) ? n ?1。 n?2 20.(本题满分 16 分) 综合考查函数与导数的基础知识与基本内容, 考查分类讨论的意识以及独立分析问题与解决 问题的能力.
于是 Sn ? n(1 ?

设函数 f(x)=ax -(a+b)x +bx+c,其中 a>0,b,c∈R. 1 (1)若 f ?( ) =0,求函数 f(x)的单调增区间; 3 (2)求证:当 0≤x≤1 时,| f ?( x) |≤ max{ f ?(0), f ?(1)} .(注:max{a,b}表示 a,b 中 的最大值) 1 解:(1)由 f ?( ) =0,得 a=b. ??????????????????????1 分 3 3 2 故 f(x)= ax -2ax +ax+c. 1 2 由 f ?( x) =a(3x -4x+1)=0,得 x1= ,x2=1.????????????????2 分 3 列表: 1 1 1 (-∞, ) ( ,1) x 1 (1,+∞) 3 3 3 f ?( x) + 0 0 + f(x) 增 极大值 减 极小值 增 1 由表可得,函数 f(x)的单调增区间是(-∞, )及(1,+∞) .??????????4 3 分 a ? b 2 a2 ? b2 ? ab 2 (2) f ?( x) =3ax -2(a+b)x+b=3 a( x ? . ) ? 3a 3a a?b a?b ①当 ≥1, 或 ≤ 0 时,则 f ?( x) 在 [0,1] 上是单调函数, 3a 3a 所以 f ?(1) ≤ f ?( x) ≤ f ?(0) ,或 f ?(0) ≤ f ?( x) ≤ f ?(1) ,且 f ?(0) + f ?(1) =a>0. 所以| f ?( x) |≤ max{ f ?(0), f ?(1)} .?????????????????????8 分 ②当 0< a ? b < ,即-a<b<2a,则 ? 1
3a

3

2

a 2 ? b2 ? ab ≤ f ?( x) ≤ max{ f ?(0), f ?(1)} . 3a

(i) 当-a<b≤ 所以
f ?(1) ?

a 3a 时,则 0<a+b≤ . 2 2

a 2 ? b2 ? ab 2a2 ? b2 ? 2ab 3a 2 ? (a ? b)2 1 = = ≥ a 2 >0. 4 3a 3a 3a 所以 | f ?( x) |≤ max{ f ?(0), f ?(1)} . ????????????????????12
分 (ii) 当

a a 5 2 2 <b<2a 时,则 (b ? )(b ? 2a) <0,即 a +b - ab <0. 2 2 2

5 ab ? a 2 ? b 2 a2 ? b2 ? ab 4ab ? a2 ? b2 a2 ? b2 ? ab 2 所以 b ? = > >0,即 f ?(0) > . 3a 3a 3a 3a 所以 | f ?( x) |≤ max{ f ?(0), f ?(1)} . 综上所述:当 0≤x≤1 时,| f ?( x) |≤ max{ f ?(0), f ?(1)} .???????????16

分 数学Ⅱ(附加题) 21. 【选做题】本题包括 A,B,C,D 共 4 小题,请从这 4 题中选做 2 小题,每小题 10 分, 共 20 分.请在答题卡上准确填涂题目标记,解答时应写出文字说明、证明过程或演算 步骤. A.选修 4-1:几何证明选讲 E 如图,⊙O 的直径 AB 的延长线与弦 CD 的延长线相交于 A · O C
(第 21-A 题图)

B D

P

点 P,E 为⊙O 上一点,AE=AC,求证:∠PDE=∠POC. 证明:因 AE=AC,AB 为直径, 故∠OAC=∠OAE. ???????????????????????3 分 所以∠POC=∠OAC+∠OCA=∠OAC+∠OAC=∠EAC. 又∠EAC=∠PDE, 所以,∠PDE=∠POC.??????????????????????10 分 B.选修 4-2:矩阵与变换
?a 0? 已 知 圆 C : x2 ? y 2 ? 1 在 矩 阵 A = ? ? (a ? 0, b ? 0) 对 应 的 变 换 作 用 下 变 为 椭 圆 ?0 b?

x2 y 2 ? ? 1 ,求 a,b 的值. 9 4 解:设 P( x, y ) 为圆 C 上的任意一点,在矩阵 A 对应的变换下变为另一个点 P?( x?, y?) ,
? x? ? ? a 0 ? x ? ? ? x ? ? a x, 则 ? ??? ? ? y ? ,即 ? y ? ? b y. ? ? y ?? ?0 b ? ? ?

???????????????????4 分

又因为点 P?( x?, y?) 在椭圆

x2 y 2 a 2 x 2 b2 y 2 ? ? 1 上,所以 ? ? 1. 9 4 9 4
2 2

由已知条件可知, x2 ? y 2 ? 1 ,所以 a =9,b =4. 因为 a>0 ,b>0,所以 a=3,b=2. ???????????????????10 分 C.选修 4-4:坐标系与参数方程

? ? 在极坐标系中,求经过三点 O(0,0), (2, ),B( 2 2 , ) A 2 4 的圆的极坐标方程.
解 : 设
P( ? ,? )

A

B

O 是 所 求 圆 上 的 任 意 一
(第 21-C 题图)

x

点,??????????????????3 分

? 则 OP ? OB cos(? ? ) , 4 ? 故所求的圆的极坐标方程为 ? ? 2 2 cos(? ? ) . ?????????????10 分 4 P A B ? 注: ? ? 2 2 cos( ? ? ) 亦正确. 4
D.选修 4-5:不等式选讲 O x

(第 21-C 题答图) y 已知 x,y,z 均为正数.求证: x + + z ≥1 + 1 + 1 . yz zx xy x y z

证明:因为 x,y,z 都是为正数,所以 同理可得
y z 2 z x 2 ? ≥ , ? ≥ . zx xy x xy yz y

x y 1 x y 2 ? ? ( ? ) ≥ . ???????3 分 yz zx z y x z

将上述三个不等式两边分别相加,并除以 2,得

x y z 1 1 1 ? ? ≥ ? ? .???10 分 yz zx xy x y z

22.考查复合函数求导的基础知识以及导数知识的综合应用. 22. 【必做题】本题满分 10 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

1? x , x ≥ 0 ,其中 a>0. 1? x (1)若 f ( x) 在 x=1 处取得极值,求 a 的值; (2)若 f ( x) 的最小值为 1,求 a 的取值范围.
已知函数 f ( x) ? ln(ax ? 1) ? 解:(1) f ?( x) ?

a 2 ax 2 ? a ? 2 ? ? . ax ? 1 (1 ? x) 2 (ax ? 1)(1 ? x) 2

因 f ( x) 在 x ? 1 处取得极值,故 f ?(1) ? 0 ,解得 a=1 (经检验).????????4 分 (2) f ?( x) ?
ax 2 ? a ? 2 ,因 x ≥ 0, a ? 0 ,故 ax+1>0,1+x>0. (ax ? 1)(1 ? x) 2

当 a≥2 时,在区间 (0, ??) 上 f ?( x) ≥ 0 , f ( x) 递增, f ( x) 的最小值为 f(0)=1. 当 0<a<2 时,由 f ?( x) ? 0 ,解得 x ?

2?a 2?a ;由 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? . a a

∴f(x)的单调减区间为 (0, 于是,f(x)在 x ?

2?a 2?a ) ,单调增区间为 ( , ??) . a a

2?a 2?a ) ? f (0) ? 1 ,不合. 处取得最小值 f ( a a 综上可知,若 f(x)得最小值为 1,则 a 的取值范围是 [2, ??). ????????10 分

注:不检验不扣分. 23.考查曲线的轨迹方程的探求及综合应用能力. 23. 【必做题】本题满分 10 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 2 过抛物线 y =4x 上一点 A(1,2)作抛物线的切线,分别交 x 轴于点 B,交 y 轴于点 D,点 C(异于点 A)在抛物线上,点 E 在线段 AC 上,满足 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? AE =λ 1 EC ;点 F 在线段 BC 上,满足 BF =λ 2 FC ,且 λ 1+λ 2=1,线段

y A D B
O P

E x

CD 与 EF 交于点 P.
??? ? ??? ? (1)设 DP ? ? PC ,求 ? ;

F

(2)当点 C 在抛物线上移动时,求点 P 的轨迹方程. C 解 : (1) 过 点 A 的 切 线 方 程 为 (第 23 题图) y=x+1. ???????????????????1 分 切线交 x 轴于点 B(-1,0),交 y 轴交于点 D(0,1),则 D 是 AB 的中点. ??? 1 ??? ??? ? ? ? 所以 CD ? (CA ? CB) . (1) ?????????3 分 2 ??? ? ??? ? ??? ??? ? ? ??? ? ??? ? ??? ? 由 DP ? ? PC ? DP ? PC =(1+λ ) PC ? CD ? (1 ? ? )CP . (2)
??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 同理由 AE =λ 1 EC , 得 CA =(1+λ 1) CE ,

(3)

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? BF =λ 2 FC , 得 CB =(1+λ 2) CF .

(4)

将(2)、(3)、(4)式代入(1)得 CP ? 因为 E、P、F 三点共线,所以

??? ?

??? ? ??? ? 1 [(1 ? ?1 )CE ? (1 ? ?2 )CF ] . 2(1 ? ? )

1+λ 1 1+λ 2 + =1, 2(1+λ ) 2(1+λ )

1 再由 λ 1+λ 2=1,解之得 λ = .???????????????????????6 2 分 (2)由(1)得 CP=2PD,D 是 AB 的中点,所以点 P 为△ABC 的重心. 1-1+x0 2+0+y0 所以,x= ,y= . 3 3 解得 x0=3x,y0=3y-2,代入 y0 =4x0 得,(3y-2) =12x. 2 由于 x0≠1,故 x≠3.所求轨迹方程为(3y-2) =12x (x≠3). ?????????10 分 本题以抛物线为载体,巧妙整合平面几何中如下一个著名结论命制而成的。 如图, D 是 ?ABC 的中点, AE ? ?1 EC, BF ? ?2 FC, AE ? ?1 EC, DP ? ? PC , 则 ?1 ? ?2 ? 2? . 证明 1 设 EP ? ? PF ,则
CP ? 1 ? CE ? CF 1? ? 1? ? , 1 ? ? CA ? CB (1 ? ? )(1 ? ?1 ) (1 ? ? )(1 ? ?2 )
2 2

C E P A D F B

C M E P A D F N B

1 1 又 CP ? 1 CD ? CA ? CB , 1? ? 2(1 ? ? ) 2(1 ? ? )



1 1 ? 1 , ? , ? (1 ? ? )(1 ? ?1 ) 2(1 ? ? ) (1 ? ? )(1 ? ?2 ) 2(1 ? ? )

则 (1 ? ?1 ) ? (1 ? ?2 ) ? 1 ? ? ? 1 2(1 ? ? ) 1? ? 1? ? 证明 2 作如图所示的辅助线,其中 AM ∥ DP ∥ BN , 则 ?1 ? ?2 ? AM ? BN ? 2 DP ? 2?
PC PC PC

说明:根据上题结论不难得知,本题第 1 小问结果为

1 ; 2

(2)第 2 小问利用点转移法即可求得点 P 的轨迹方程.标答中用了三角形的重心公式,事 实上无此必要, P( x, y) , DP ? 1 PC 即可得点 C 坐标, C 在抛物线上运动, 设 由 而 下同标答.
2

把握了命题人的思维脉搏,我们知道了本题的由来,如果将抛物线换成其他曲线,也可得一 些类似的问题。


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