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2016年3月石景山高三数学(文)试题及答案


石景山区 2015—2016 学年第一次模拟考试试卷

高三数学(文)
本试卷共 5 页,150 分.考试时长 120 分钟.请务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试 结束后上交答题卡.

第一部分(选择题共 40 分)
一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1.设 i 是虚数单位,则复数 A.第一象限

2i 在复平面内所对应的点位于( 1? i
C.第三象限 )

)

B.第二象限

D.第四象限

2.下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( A. y ? x ? 1 B. y ? ? x
3

C. y ?

1 x

D. y ? x x

3.设数列 ?an ? 是首项大于零的等比数列,则“ a1 ? a2 ”是“数列 ?an ? 是递增数列”的( ) A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

4 .如图所示,已知正方形 ABCD 的边长为 1 ,点 E 从 D 点出发,按字母顺序

???? ??? ? D ? A ? B ? C 沿线段 DA , AB ,BC 运动到 C 点,在此过程中 DE ? CD 的
最大值是( A. 0 ) B.

1 2

C. 1

D. ?1 )

5.某四面体的三视图如图所示,该四面体四个面的面积中最大的是( A. 8 C. 10 B. 6 2 D. 8 2

6.函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) (? ? 0 , ? ? 的值分别是( )

? ) 的部分图象如图所示,则 ? , ? 2

? A. 2 ,

? 3

? B. 2 ,

? 6

? C. 4 ,

? 6

D. 4 ,

? 3

高三数学(文科)第 1 页(共 10 页)

7.已知抛物线 y ? 4 x 的动弦 AB 的中点的横坐标为 2 ,则 AB 的最大值为(
2

)
5 6 4

A. 4

B. 6

C. 8

D. 12

6 3 2

8.将数字 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 书写在每一个骰子的六个表面上,做成 6 枚一样的骰子. 分别取三枚同样的这种骰子叠放成如图 A 和 B 所示的两 个柱体,则柱体 A 和 B 的表面(不含地面)数字之和分别是( A. 47 , 48 B. 47 , 49 C. 49 , 50 D. 50 , 49

6 3

2 1

1 3

5 5

)

A

B

第二部分(非选择题共 110 分)
二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.双曲线

x2 ? y 2 ? 1的焦距是________,渐近线方程是________. 2

?x ? 2 y ? 8, ? 10.若变量 x , y 满足约束条件 ? 0 ? x ? 4 , ? 0 ? y ? 3, ?
则 z ? 2 x ? y 的最大值等于_______. 11.右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术” .执行该程序框图, 若输入的 a , b 分别为 14,20,则输出的 a =______. 12.设 a ?

3 1 3 sin 2? ? cos 2? , b ? 1 ? 2sin 2 13? , c ? b, c 的大小关系是_______. ,则 a , 2 2 2

? 2x , x ? 1, 13.已知函数 f ( x) ? ? 若直线 y ? m 与函数 f ( x) 的图象只有一个交点,则实数 m 的取值范 x ? 1, ?log2 x ,
围是____________. 14.某次考试的第二大题由 8 道判断题构成,要求考生用画“√”和画“×”表示对各题的正误判断,每 题判断正确得 1 分,判断错误不得分.请根据如下甲,乙,丙 3 名考生的判断及得分结果,计算出考生 丁的得分. 第1题 第2题 第3题 第4题 第5题 第6题 第7题 第8题 甲 乙 丙 丁 × × √ √ × √ × × √ × √ × × × √ × × √ √ √ √ × × × × √ × × √ × × × 得分 5 5 6 ?

丁得了_______________分.

高三数学(文科)第 2 页(共 10 页)

三、解答题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15. (本小题共 13 分) 已知在等比数列 ?an ? 中, a1 ? 1 ,且 a2 是 a1 和 a3 ? 1的等差中项. (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)若数列 ?bn ? 满足 bn ? 2n ?1 ? an (n ? N * ) ,求 ?bn ? 的前 n 项和 Sn .

16. (本小题共 13 分) 设△ ABC 的内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,且 b sin A ? 3a cos B . (Ⅰ)求角 B 的大小;

sin C ? 2sin A ,求 a , c 的值. (Ⅱ)若 b ? 3 ,

高三数学(文科)第 3 页(共 10 页)

17. (本小题共 13 分) 交通拥堵指数是综合反映道路网畅通或拥堵的概念,记交通拥堵指数为 T ,其范围为 0 , 10 ,分别有 五个级别:T ? 0 , 2? 畅通;T ? 2 , 4? 基本畅通;T ? 4 , 6? 轻度拥堵;T ? 6 , 8? 中度拥堵;T ? 8 , 10

?

?

?

?

?

?

?

?

严重拥堵.晚高峰时段( T ? 2 ),从某市交通指挥中心选取了市区 20 个交通路段,依据其交通拥堵指数数 据绘制的直方图如图所示.
频率 组距

交通拥堵指数

(Ⅰ)求出轻度拥堵,中度拥堵,严重拥堵路段各有多少个; (Ⅱ)用分层抽样的方法从交通指数在 4 , 6? , 6 , 8? , 8 , 10 的路段中共抽取 6 个路段,求依次抽 取的三个级别路段的个数; (Ⅲ)从(Ⅱ)中抽出的 6 个路段中任取 2 个,求至少 1 个路段为轻度拥堵的概率.

?

?

?

?

18. (本小题共 14 分) 如图,在直四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 中, BD ? BC , BD ? AC ,点 M 是棱 BB1 上一点. (Ⅰ)求证: B1D1 ∥平面 A 1BD ; (Ⅱ)求证: MD ? AC ; (Ⅲ)试确定点 M 的位置,使得平面 DMC1 ⊥平面 CC1D1D .

高三数学(文科)第 4 页(共 10 页)

19. (本小题共 14 分) 已知函数 f ( x) ? e ? 2 x .
x

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的极值;
x 2 (Ⅱ)证明:当 x ? 0 时, e ? x ;

(Ⅲ)当 x ? 0 时,方程 f ( x) ? kx ? 2 x 无解,求 k 的取值范围.
2

20. (本小题共 13 分)

0 , 在平面直角坐标系 xOy 中,动点 P 到两点 ? 3 ,

?

? ?

3, 0 的距离之和等于 4 ,设动点 P 的轨迹

?

B 两点. 为曲线 C ,直线 l 过点 E ? ?1, 0? 且与曲线 C 交于 A ,
(Ⅰ)求曲线 C 的方程; (Ⅱ)△ AOB 的面积是否存在最大值?若存在,求出此时△ AOB 的面积;若不存在,说明理由.

高三数学(文科)第 5 页(共 10 页)

石景山区 2015—2016 学年第一学期期末考试

高三数学(文)参考答案
一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 题号 答案 1 B 2 D 3 C 4 A 5 C 6 A 7 B 8 A

二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. (第 9 分 , 分) 三、解答题 共 80 分. 15. (本小题共 13 分) 解: (Ⅰ)设公比为 q ,则 a2 ? q , a3 ? q ,
2

题号 答案

9

10

11

12

13

14

题第一空 2 第二空 3

2 x 2 3, y ?? 2

10

2

c?a?b

? ?? ? ?0? ?2 ,

6
共 6 小题,

…………1 分

∵ a2 是 a1 和 a3 ? 1的等差中项, ∴ 2a2 ? a1 ? (a3 ? 1) , 2q ? 1 ? (q ? 1) ,
2

……………3 分 ……………5 分 .……………6 分

解得 q ? 2 或 q ? 0 (舍) , ∴ an ? 2
n ?1


n?1

(Ⅱ) bn ? 2n ?1 ? an ? 2n ?1 ? 2


n?1

则 Sn ? [1 ? 3 ????(2n ?1)] ? (1 ? 2 ????2

) ? n2 ? 2n ?1.

.……………13 分

16. (本小题共 13 分) 解: (Ⅰ)? b sin A ? 3a cos B ,由正弦定理得 sin B sin A ? 3 sin A cos B , .……………2 分 在△ ABC 中, sin A ? 0 ,即 tan B ? 3 , B ? (0, π ) ……………4 分

高三数学(文科)第 6 页(共 10 页)

?B ?

π . 3

.……………6 分 .……………8 分
2

(Ⅱ)? sin C ? 2sin A ,由正弦定理得 c ? 2a ,
2

由余弦定理 b2 ? a 2 ? c2 ? 2ac cos B ,得 9 ? a ? 4a ? 2a ? (2a ) ? cos

π , 3

.……………10 分 解得 a ? 3 ,∴ c ? 2a ? 2 3 . 17. (本小题共 13 分) 解: (Ⅰ)由直方图可知: .……………13 分

(0.1 ? 0.2) ?1? 20 ? 6 , (0.25 ? 0.2) ?1? 20 ? 9 , (0.1 ? 0.05) ?1? 20 ? 3 .
所以这 20 个路段中,轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵路段分别为 6 个, 9 个, 3 个. .……………4 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知拥堵路段共有 6 ? 9 ? 3 ? 18 个,按分层抽样从 18 个路段中选出 6 个,每种情况分别 为:

6 6 6 ?6 ? 2 , ?9 ? 3 , ?3 ? 1 , 即 这 三 个 级 别 路 段 中 分 别 抽 取 的 个 数 为 2 , 3 , 18 18 18
.……………8 分

1.

A2 ,选取的 3 个中度拥堵路段为 B1 , B2 , B3 ,选取 (Ⅲ)记(Ⅱ)中选取的 2 个轻度拥堵路段为 A 1,
的 1 个严重拥堵路段为 C , 则从 6 个路段选取 2 个路段的可能情况如下:

( A1 , A2 ) ,( A1 , B1 ) ,( A1 , B2 ) ,( A1 , B3 ) ,( A1 , C) ,( A2 , B1 ) ,( A2 , B2 ) ,( A2 , B3 ) ,( A2 , C) , ( B1 , B2 ) , ( B1 , B3 ) , ( B1 , C) , ( B2 , B3 ) , ( B2 , C) , ( B3 , C) 共 15 种可能,
其中至少有 1 个轻度拥堵的有: ( A1 , A2 ) , ( A1 , B1 ) , ( A1 , B2 ) , ( A1 , B3 ) , ( A1 , C) , ( A2 , B1 ) ,

( A2 , B2 ) , ( A2 , B3 ) , ( A2 , C) 共 9 种可能.
∴所选 2 个路段中至少 1 个路段轻度拥堵的概率为

9 3 ? . 15 5

.……………13 分

18. (本小题共 14 分) 解:(Ⅰ)证明:由直四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 , 得 BB1 ∥ DD1 , BB1 ? DD1 , ∴ BB1D1D 是平行四边形,∴ B1D1 ∥ BD ..……………2 分

高三数学(文科)第 7 页(共 10 页)

∵ BD ? 平面 A 1BD , B1 D1 ? 平面 A 1BD , ∴ B1 D1 ∥平面 A 1BD ..……………4 分

(Ⅱ)证明:∵ BB1 ? 平面 ABCD , AC ? 平面 ABCD ,∴ BB1 ? AC . 又∵ BD ? AC ,且 BD ? BB1 ? B , ∴ AC ? 平面 BB1D1D . ∵ MD ? 平面 BB1D1D ,∴ MD ? AC . .……………7 分 .……………9 分

(Ⅲ)当点 M 为棱 BB1 的中点时,平面 DMC1 ? 平面 CC1D1D . ……………10 分 证明如下: 取 DC 的中点 N ,D1C1 的中点 N1 , 连接 NN1 交 DC1 如图所示. ∵ N 是 DC 的中点, BD ? BC , ∴ BN ? DC . 又∵ DC 是平面 ABCD 与平面 DCC1D1 的交线, 平面 ABCD ⊥平面 DCC1D1 , ∴ BN ? 平面 DCC1D1 由题意可得 O 是 NN1 的中点, ∴ BM ∥ ON 且 BM ? ON , 即四边形 BMON 是平行四边形. ∴ BN ∥ OM . ∴ OM ? 平面 DCC1D1 . ∵ OM ? 平面 DMC1 ,∴平面 DMC1 ⊥平面 CC1D1D 19. (本小题共 14 分)
x 解: (Ⅰ) f ?( x) ? e ? 2 ,

于 O ,连接 OM ,

..……………12 分

.……………14 分

令 f ?( x) ? 0 解得 x ? ln 2 ,

ln 2) 上单调递减,在 (ln 2 , +?) 上单调递增, 易知 f ( x) 在 (?? ,
故当 x ? ln 2 时, f ( x) 有极小值 f (ln 2) ? 2 ? 2ln 2 (Ⅱ)令 g ( x) ? e ? x ,则 g ?( x) ? e ? 2 x ,
x 2 x

...……………4 分 ...……………5 分

由(Ⅰ)知 g ?( x) ? e ? 2x ? f ( x) ? 2 ? 2ln 2 ? 0 ,
x

高三数学(文科)第 8 页(共 10 页)

所以 g ( x) 在 (0 , ? ?) 上单调递增, 所以 g ( x) ? g (0) ? 1 ? 0 , 所以 e ? x .
x 2

..……………8 分
x 2
x 2

(Ⅲ)方程 f ( x) ? e ? 2 x ? kx ? 2 x ,整理得 e ? kx , 当 x ? 0 时, k ?

ex . x2

...……………9 分

ex 令 h( x ) ? 2 , x
则 h?( x) ?

e x ? x 2 ? e x ? 2 x e x ( x ? 2) ? , x4 x3

...……………10 分

令 h?( x) ? 0 ,解得 x ? 2 ,

? ?) 上单调递增, 易得 h( x) 在 (0 , 2) 上单调递减,在 (2 ,
所以 x ? 2 时, ? ( x) 有最小值 ? (2) ?

e2 , 4

...……………12 分

而当 x 越来越靠近 0 时, ? ( x) 的值越来越大, 又当 x ? 0 ,方程 f ( x) ? kx ? 2 x 无解,
2

所以 k ?

e2 . 4

...……………14 分

20. (本小题共 13 分)

0 , 解: (Ⅰ)由椭圆定义可知,点 P 的轨迹 C 是以点 ? 3 ,
曲线 C 的方程为

?

? ?

3, 0 为焦点,长半轴长为 2 的椭圆,故

?

x2 ? y 2 ? 1. 4

...……………3 分 ...……………4 分

(Ⅱ)存在△ AOB 面积的最大值. 因为直线 l 过点 E ? ?1,0? , 所以可设直线 l 的方程为 x ? my ? 1 或 y ? 0 (舍).

高三数学(文科)第 9 页(共 10 页)

? x2 ? ? y 2 ? 1, 2 2 由条件得 ? 4 整理得 (m ? 4) y ? 2my ? 3 ? 0 , ? x ? my ? 1 ?
? ? (?2m)2 ? 12(m2 ? 4) ? 0 .
设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,其中 y1 ? y2 . 解得 y1 ? y2 ?

2m ?3 , y1 y2 ? 2 , 2 m ?4 m ?4

...……………7 分

则 y2 ? y1 ?

4 m2 ? 3 , m2 ? 4
1 m2 ? 3
...……………10 分

则 S?AOB ?

1 2 m2 ? 3 2 OE y2 ? y1 ? ? 2 2 m ?4 m2 ? 3 ?

2 t ? 3, 设 t ? m ? 3 ,则 g (t ) ? t ? ,

1 t

? ? 上为增函数,所以 g (t ) ? 则 g (t ) 在区间 ? 3 , ?

?

4 3 . 3

所以 S?AOB ?

3 3 ,当且仅当 m ? 0 时等号成立,即 ( S ?AOB ) max ? . 2 2
3 . 2
....……………13 分

所以 S?AOB 的最大值为

【注:若有其它解法,请酌情给分】

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