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高三第一轮复习导学案3.3 导数的综合应用教师版


2013 级人教版数学一轮复习

编号:

编制时间: 2015.4.8

编制人:王文东

第三章导数及其应用 3.3 导数的综合应用(文理合用)
【考纲要求】
1.会利用导数解决生活中的优化问题. 2.会利用导数研究函数的零点、方程的根及不等式证明类问题.

>【考点预测】
近几年的高考一直保持对导数知识的考查力度,体现了在知识网络交汇点命题的风格,特别是将函数、 导数、方程、不等式综合在一起,解决单调性、极值、最值中的参数范围等问题,这类问题涉及含参数的不 等式、方程、不等式恒成立的求解,一直是高考考查的重点和高考命题的热点.

【使用说明与学法指导】
1.复习教材 文:选修 1-1 p101——p107 理:选修 2-2 p34——p37,理解和掌握定义,并完成《优化设 计》文:p44 理:p45 知识梳理部分,夯实基础。 2.对探究部分认真审题并完成; 3.找出自己的疑惑和需要讨论的问题准备课上讨论质疑。

【双基自测】
4.面积为 S 的一矩形中,其周长最小时的边长是 【答案】 .

S
S , x

【解析】 设矩形的一边边长为 x,则另一边边长为 其周长为 l=2x+

2S 2S ,x>0,l′=2- 2 . x x

令 l′=0,解得 x= S . 易知,当 x= S 时,其周长最小. 5. 已知函数 y=f(x)(x∈R)的图象如图所示,则不等式 xf′(x)<0 的解集为

1 1 )∪( ,2) 2 2 1 B.(-∞,0)∪( ,2) 2 1 1 C.(-∞, )∪( ,+∞) 2 2 1 D.(-∞, )∪(2,+∞) 2
A.(-∞, 【答案】 B 【解析】 由 y=f(x)图象的单调性可得 f′(x)在(-∞,
1

1 1 )∪(2,+∞)上大于 0, 在( , 2)上小于 0, ∴xf′ 2 2

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(x)<0 的解集为(-∞,0)∪(

1 ,2). 2

11.(2012 河南郑州测试)给出定义:若函数 f(x)在 D 上可导,即 f′(x)存在,且导函数 f′(x)在 D 上也 可导,则称 f(x)在 D 上存在二阶导函数,记 f″(x)=[f′(x)]′.若 f″(x) <0 在 D 上恒成立,则称 f(x)在 D 上为凸 函数 . 以下四个函数在 (0 ,

? ) 上不是凸函数的是 2
3

.( 把你认为正确的序号都填上 ) ①
x

f(x)=sinx+cosx;②f(x)=lnx-2x;③f(x)=-x +2x-1;④f(x)=xe 【答案】 ④ 【解析】 对于①,f″(x)=-(sinx+cosx),x∈(0, 在 x∈(0,

.

? )时,f″(x)<0 恒成立; 2 ? 对于③,f″(x)=-6x,在 x∈(0, )时,f″(x)<0 恒成立; 2 ? x 对于④,f″(x)=(2+x)·e ,在 x∈(0, )时,f″(x)>0 恒成立, 2
所以 f(x)=xe 不是凸函数.
x

? 1 )时,f″(x)<0 恒成立; 对于②,f″(x)=- 2 , 2 x

【探究案】
探究点四 实际应用问题 例 4. 某分公司经销某种品牌产品,每件产品的成本为 3 元,并且每件产品需向总公司交 a 元(3≤a≤5) 2 的管理费,预计当每件产品的售价为 x 元(9≤x≤11)时,一年的销售量为(12-x) 万件 (1)求分公司 一年的利润 L(万元)与每件产品的售价 x 的函数关系式; (2)当每件产品的售价为多少元时,分公司一年的利润 L 最大,并求出 L 的最大值 Q(a). 2 解 (1)分公司一年的利润 L(万元)与售价 x 的函数关系式为:L=(x-3-a)(12-x) ,x∈[9,11] 2 (2) L?( x) =(12-x) -2(x-3-a)(12-x)=(12-x)(18+2a令 L? =0 得 x=6+ a 或 x=12(不合题意,舍去) ∵3≤a≤5,∴8≤6+ a≤
2 3
28 3

2 3

2

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2 3

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在 x=6+ a 两侧 L′的值由正变负 所以①当 8≤6+ a<9 即 3≤a< 时,Lmax=L(9)=(9-3-a)(12-9) =9(6②当 9≤6+ a≤
2 3 2 3
28 9 ,即 ≤a≤5 时, 2 3

2 3

9 2

2

Lmax=L(6+ a)=(6+ a-3-a)[12-(6+ a)] =4(3- a)
? ?9(6 ? a ), ? 所以 Q(a) ? ? 3 1 ? ?4? ?3 ? a? , ? 3 ? ? ? 3? a ? 9 , 2

2 3

2 3

2

1 3

3

9 ? a ? 5. 2


9 2

若 3≤a< ,则当每件售价为 9 元时,分公司一年的利润 L 最大,最大值 Q(a)=9(6-a)(万元) ;
2 3
1 3 ?
3

9 2

? ? 若 ≤a≤5,则当每件售价为(6+ a)元时,分公司一年的利润 L 最大,最大值 Q(a)= 4? 3 ? a ? (万元). ?

跟踪训练 4:某造船公司年造船量是 20 艘,已知造船 x 艘的产值函数为 R(x)=3 700x+45x -10x (单位: 万元) ,成本函数为 C(x)=460x+5 000(单位:万元) ,又在经济学中,函数 f(x)的边际函数 Mf(x)定义为 Mf(x)=f(x+1)-f(x). (1)求利润函数 P(x)及边际利润函数 MP(x); (提示:利润=产值-成本) (2)问年造船量安排多少艘时,可使公司造船的年利润最大? (3)求边际利润函数 MP(x)的单调递减区间,并说明单调递减在本题中的实际意义是什么? 3 2 * 解: (1)P(x)=R(x)-C(x)=-10x +45x +3 240x-5 000(x∈N ,且 2 * MP(x)=P(x+1)-P(x)=-30x +60x+3 275 (x∈N ,且 2 (2) P?( x) =-30x +90x+3 240=-30(x∵x>0,∴ P?( x) =0 时,x=12, ∴当 0<x<12 时, P?( x) >0,当 x>12 时, P?( x) ∴x=12 时,P(x)有最大值 即年造船量安排 12 艘时,可使公司造船的年利润最大 2 2 (3)MP(x)=-30x +60x+3 275=-30(x-1) 所以,当 x≥1 时,MP(x)单调递减, * 所以单调减区间为[1,19] ,且 x∈N MP(x)是减函数的实际意义是:随着产量的增加,每艘利润与前一艘比较,利润在减少.

2

3

规律方法指导
研究可导函数 f ( x) 的单调性、极值(最值)时,应先求出函数 f ( x) 的导函数 f ' ( x) ,再找出 f ' ( x) =0 的 x 取 值或 f ' ( x) >0( f ' ( x) <0)的 x 的取值范围.

3

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【训练案】

新课标高二数学同步测试 1.4
说明:本试卷分第一卷和第二卷两部分,第一卷 74 分,第二卷 76 分,共 150 分;答题时间 120 分钟. 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代号填在题后的 括号内(每小题 5 分,共 50 分) . 1.两曲线 y ? x 2 ? ax ? b与2 y ? ?1 ? xy 3 相切于点(1,-1)处,则 a,b 值分别为( A.0,2 2. 设函数 f ? x ? ? ? B.1,-3 C.-1,1 D.-1,-1 ( ) )

2x , 则f ?x ? 1? x2

A.在(-∞,+∞)单调增加 B.在(-∞,+∞)单调减少 C.在(-1,1)单调减少,其余区间单调增加 D.在(-1,1)单调增加,其余区间单调减少 3.当 x≠0 时,有不等式





A.e ? 1 ? x
x

B.e x ? 1 ? x C.当x ? 0时e x ? 1 ? x, 当x ? 0时e x ? 1 ? x D.当x ? 0时e x ? 1 ? x, 当x ? 0时e x ? 1 ? x
4.若连续函数在闭区间上有惟一的极大值和极小值,则 A.极大值一定是最大值,极小值一定是最小值 B.极大值必大于极小值 C.极大值一定是最大值,或极小值一定是最小值 D.极大值不一定是最大值,极小值也不一定是最小值 5. 设f ?x ?在x0 可导, 则 lim
x ?0





f ?x0 ? x ? ? f ?x0 ? 3x ? 等于 x
4





班级:

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姓名: B. f ??x0 ?

教师评价: C. 3 f ??x0 ?

组内评价: D . 4 f ??x0 ? ( )

A. 2 f ??x0 ?

6.下列求导运算正确的是 A.(x+ ) ? ? 1 ?
x x

1 x

1 x2

B.(log2x)′=
2

1 x ln 2
( )

C.(3 )′=3 log3e D.(x cosx)′=-2xsinx 2 7.函数 f(x)= a x +x+1 有极值的充要条件是 A.a >0 B.a≥0 C.a <0 D .a ≤0

8. 设 f(x)、 g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当 x<0 时, f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) >0.且 g(3)=0. 则不等式 f(x)g(x)<0 的解集是 ( ) A.(-3,0)∪(3,+∞) B.(-3,0)∪(0, 3) C.(-∞,- 3)∪(3,+∞) D.(-∞,- 3)∪(0, 3) 9.f( x )是定义在区间[-c,c]上的奇函数,其图象如图所示:令 g( x )=af( x )+b,则下列关于函数 g( x ) 的叙述正确的是( )

A.若 a<0,则函数 g( x )的图象关于原点对称. B.若 a=-1,-2<b<0,则方程 g( x )=0 有大于 2 的实根.
C.若 a≠0,b=2,则方程 g( x )=0 有两个实根. D.若 a≥1,b<2,则方程 g( x )=0 有三个实根 10.已知函数 f (x)的导数为 f ?( x) ? 4 x 3 ? 4 x, 且图象过点(0,-5) ,当函数 f (x)取得极大值-5 时, ( A.-1 B .0 C.1 D.±1 二、填空题:请把答案填在题中横线上(每小题 6 分,共 24 分) .

x 的值应为



? ?? 11.函数 f(x)=x+2cosx 在区间 ?0, ? 上的最大值为_________;在区间[0,2π ]上最大值为___________. ? 2?
3 2 12 . 已 知 x ? R , 奇 函 数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c 在 [1, ??) 上 单 调 , 则 字 母 a, b, c 应 满 足 的 条 件





13 .两个和为 48 的正整数,第一个数的立方与第二个数的平方之和最小,则这两个正整数分别为 __________.

?, 则f ??0? ? __________ 14. 设f ?x ? ? x?x ? 1??x ? 2???x ? 1000 __ .
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共 76 分) . 15. (12 分)设函数 y=x +ax +bx+c 的图象如图所示,且与 y=0 在原点相切,若函数的极小值为-4, (1) 求 a、b、c 的值; (2)求函数的递减区间.
3 2

5

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16. (12 分)是否存在这样的 k 值,使函数 f ( x) ? k x ?
2 4

2 3 1 x ? kx 2 ? 2 x ? 在(1,2)上递减,在(2, 3 2

-∞)上递增.

17. (12 分)设函数 f ( x) ? x( x ? 1)( x ? a),(a ? 1) (1)求导数 f / ( x) ; 并证明 f ( x ) 有两个不同的极值点 x1 , x2 ; (2)若不等式 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 成立,求 a 的取值范围.

18. (12 分) 讨论函数 f ?x? ?| 4 x 3 ? 18x 2 ? 27 |, x ? ?0,2?的单调性, 并确定它在该区间上的最大值最小值.

19. (14 分)如图,把边长为 a 的正六边形纸板剪去相同的六个角,做成一个底面为正六边形的无盖六棱 柱盒子,设高为 h 所做成的盒子体积 V(不计接缝). (1)写出体积 V 与高 h 的函数关系式; (2)当 a 为多少时,体积 V 最大,最大值是多少?

h

A E F B C

6

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20. (14 分)已知过函数 f(x)= x ? ax ? 1 的图象上一点 B(1,b)的切线的斜率为-3.
3 2

(1)求 a、b 的值; (2)求 A 的取值范围,使不等式 f(x)≤A-1987 对于 x∈[-1,4]恒成立; 令 g ?x ? ? ? f ?x ? ? 3x 2 ? tx ? 1.是否存在一个实数 t,使得当 x ? (0,1] 时,g(x)有最大值 1?

参考答案
一、 1.D;2.C;3.B;4.D; 5.D 提示:这里插入 f ?x0 ? ,因为题目假定 f(x)在 x 0 点可导,所以分成两项的极限都存在.

即 lim

f ?x 0 ? x ? ? f ?x 0 ? 3x ? x ?0 x ? f ?x 0 ? x ? ? f ?x 0 ?? ? ? f ?x 0 ? f ?x 0 ? 3x ??? ? lim x ?0 x f ?x 0 ? x ? ? f ?x 0 ? f ?x 0 ? 3x ? ? f ?x 0 ? ? lim ? 3 lim x ?0 x ? 0 x ? 3x ? f ?? x 0 ? ? 3 f ?? x 0 ? ? 4 f ?? x 0 ?.

注意:本题有个常见的 错误做法:令x 则x0 ? 3x ? t 0 ? 3x ? t,

f ?x0 ? x ? ? f ?x0 ? x ? f ?t ? 4 x ? ? f ?t ? ? lim x ?0 x ?0 x x ? 4 lim f ??t ? ? 4 lim f ??x0 ? 3x ? ? 4 f ??x0 ?. lim
x ?0 x ?0

因为题中只设 f(x)在 x 0 可导,没说在 x 0 及其邻域内可导,更没假定 f ??x ? 在 x 0 点连续,所以上面 的做法是无根据的.
7

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6.D;7.C 8.D 9.B 10.B 二、 11. ? 3 ,2?? ? 1? ;提示: y ? ? 1 ? 2 sin x, 得 f(x)的驻点为

? 6

?
6

? 2k? ,

5? ? ?? ? 2k? ,当在区间 ?0, ? 内 6 ? 2?

考虑时,仅有一个驻点

?

?? ? ? ?? ? ? ? ?? , f ? ? ? ? 3, f ?0? ? 2, f ? ? ? , 比较后得知,f(x)在 ?0, ? 上的最大 6 ?6? 6 ? 2? ?2? 2

值为

? ? 3 ,而当考虑区间[0,2π ]上的最大值时,需比较 f(0), 6

f(2π ), f ?

? ? ? ? 5? ? ?, f ? ? 四个值的大小. ?6? ? 6 ?
f (0) ? 0 ? c ? 0 ; f ( x) ? f (? x) ? 0 ? a ? 0 .

12. a ? c ? 0, b ? 3 ;解析:

f '( x) ? 3x2 ? b ,
若 f ( x ) x ? [1, ??) 上是增函数,则 f '( x) ? 0 恒成立,即 b ? (3x2 )min ? 3 ; 若 f ( x ) x ? [1, ??) 上是减函数,则 f '( x) ? 0 恒成立,这样的 b 不存在. ; 综上可得: a ? c ? 0, b ? 3 13.5 与 43; 14.1000! ;提示: f ??0? ? lim
x ?0

f ?x ? ? f ?0? ? lim?x ? 1??x ? 2????x ? 1000? ? 1000!. x ?0 x ?0

三、 15.解析: (1)函数的图象经过(0,0)点 ∴ c=0,又图象与 x 轴相切于(0,0)点, y ' =3x +2ax+b ∴ 0=3×0 +2a×0+b,得 b=0 ∴ y=x +ax , y ' =3x +2ax
3 2 2 2 2

2 2 a 时, y' ? 0 ,当 x ? ? a 时, y' ? 0 3 3 2 当 x= ? a 时,函数有极小值-4 3 2 3 2a 2 ∴ (? a ) ? a( ) ? ?4 ,得 a=-3 3 3
当x?? (2) y ' =3x -6x<0,解得 0<x<2 ∴ 递减区间是(0,2) 点拨:1、如果函数 f(x)在点 x=x0 的一个δ 区域:(x0-δ ,x0+δ )内有定义,对任意的 x∈(x0-δ ,
2

x0)∪(x0, x0+δ )总有 f(x)<f(x0) (f(x)>f(x0)) , 则称 f(x0)为函数 f(x)的极大 (小) 值, x0 称为极大 (小)
值点; 2、注意极值与最值的区别,极值是相对于领域而言,它仅是极值点附近的局部范围内的相对大小,而最 值是相对于闭区间而言,它是函数在给定的闭区间上的全部函数值中最大(小)的值.
8

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2 3 2

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16.解析:f(x)=4k x -2x -2kx+2,由题意,当 x∈(1,2)时, f ' ( x ) <0 当 x∈(2,+∞)时, f ' ( x ) >0 由函数 f ' ( x ) 的连续性可知 f ' (2) =0 即 32k -8-3=0 得 k ?
2

1 3 或k ? ? 8 2

验证:当 k ?

1 时, f ' (x) ? x 3 ? 2x 2 ? x ? 2 ? (x ? 1)(x ? 1)(x ? 2) 2

若 1<x<2, f ' ( x ) ? 0 , 若 x>2, f ' ( x ) ? 0 ,符合题意
9 3 9 7 ? 193 7 ? 193 3 )( x ? 2)( x ? ) 当 k ? ? 时, f ' ( x ) ? x 3 ? 2x 2 ? x ? 2 ? ( x ? 16 4 16 9 9 8 显然不合题意

1 ,满足题意 2 点拨:利用导数处理单调性问题,讨论的区间是开区间,注意递增与递减区间的交界处的导数为 0,本题 求出 k 值后还需讨论验证.
综上所述,存在 k ? 17. (1) f ?( x) ? 3x 2 ? 2(1 ? a) x ? a.

令f ?( x) ? 0得方程 3x 2 ? 2(1 ? a) x ? a ? 0. 因? ? 4(a 2 ? a ? 1) ? 4a ? 0, 故方程有两个不同实根 x1 , x 2 不妨设x1 ? x 2 ,由f ?( x) ? 3( x ? x1 )(x ? x 2 )可判断f ?( x)的符号如下: 当x ? x1时, f ?( x) ? 0; 当x1 ? x ? x 2时, f ?( x) ? 0; 当x ? x 2时, f ?( x) ? 0 因此 x1 是极大值点, x2 是极小值点. (II)因 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0, 故得不等式 3 2 x13 ? x2 ? (1 ? a)(x12 ? x2 ) ? a( x1 ? x2 ) ? 0.

即( x1 ? x2 )[(x1 ? x2 ) 2 ? 3x1 x2 ] ? (1 ? a)[(x1 ? x2 ) 2 ? 2 x1 x2 ] ? a( x1 ? x2 ) ? 0. 2 ? x1 ? x 2 ? (1 ? a), ? ? 3 又由(I)知 ? ?x x ? a . 1 2 ? 3 ?
代入前面不等式,两边除以(1+a) ,并化简得

2a 2 ? 5a ? 2 ? 0. 1 (舍去) 2 因此,当a ? 2时, 不等式f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0成立. 解不等式得 a ? 2或a ?
18.解:设 ??x ? ? 4x 3 ? 18x 2 ? 27, 则 ???x ? ? 12x?x ? 3? ,于是当 0<x≤2 时, ???x ? ? 0, 而只有 x=0 时,

???x ? ? 0 ,故在[0,2]上 ??x ? 为单调减少,

9

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3 ? ??x ? 0 ? x ? , ? ?3? ? 3? ? 2 而 ??0? ? 27, ?? ? ? 0, ??2? ? ?13, 所以 f ?x ? ?| 4x 3 ? 18x 2 ? 27 |? ? 在 ?0, ? 为单调减 ?2? ? 2? ?? ??x ? 3 ? x ? 2. ? 2 ?
?3 ? 少,在 ? ,2? 为单调增加, ?2 ?
?3? 因而在[0,2]上 f(x)的最大值 f(0)=27,最小值 f ? ? ? 0. ?2?
19.解: (1)六棱柱的底边长( a ?
2

2 3 h )cm, 3

3? 2 3 ? 2 ?a ? 底面积为( 6 ? )cm h? ? ? 4 ? 3 ? 3? 2 3 ? ?a ? ∴体积 V= h? ? ?h 2 ? 3 ? ?

2

A E F B C

2 3? 3 3 2 ? 2 ? h ? 3ah ? a h ? 3 ? 4 ?

(2)V′=

3 3 2 3? 2 3 2? a或h ? a (舍去) ? 3h ? 2 3ah ? a ? ? 0 得 h ? 6 2 3 ? 4 ?

a3 3 3 ∴当 h ? a cm 时 V 有最大值 cm 3 6
20.解: (1) f
' '

?x ?= 3x 2 ? 2ax

依题意得 k= f ?1? =3+2a=-3, ∴a=-3

? f ?x? ? x 3 ? 3x 2 ? 1,把 B(1,b)代入得 b= f ?1? ? ?1
∴a=-3,b=-1 (2)令 f
'

?x ?=3x -6x=0 得 x=0 或 x=2
2 3 2

∵f(0)=1,f(2)=2 -3×2 +1=-3 f(-1)=-3,f(4)=17 ∴x∈[-1,4],-3≤f(x)≤17 要使 f(x)≤A-1987 对于 x∈[-1,4]恒成立,则 f(x)的最大值 17≤A-1987 ∴A≥2004. (1) 已知 g(x)=- x ? 3x ? 1 ? 3x ? tx ? 1 ? ? x ? tx
3 2 2 3

?

?

∴ g ?x? ? ?3x ? t
' 2

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2

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∵0<x≤1,∴-3≤-3x <0, ① 当 t>3 时,t-3x >0, 即g ' ?x? ? 0
2

∴g(x)在 (0.1] 上为增函数, g(x)的最大值 g(1)=t-1=1,得 t=2(不合题意,舍去) ② 当 0≤t≤3 时, g ' ?x? ? ?3x 2 ? t 令 g ' ? x ? =0,得 x= 列表如下:

t 3

x

(0, + ↗

t ) 3

t 3
0 极大值

(

t ,1] 3
- ↘

g ' ?x ?
g(x)

? t? t t ? +t g(x)在 x= 处取最大值- ? =1 ? ? 3 3 3 ? ?
∴t= 3

3

27 33 2 t = < 3 2 4 3

∴x=

t <1 3

③当 t<0 时, g ' ?x? ? ?3x 2 ? t <0,∴g(x)在 (0.1] 上为减函数, ∴g(x)在 (0.1] 上为增函数, ∴存在一个a=

33 2 ,使g(x)在 (0.1] 上有最大值1. 2

11

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13.(2011 山东高考,理 21)某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米),其中容器的中间为圆柱形,
? 左右两端均为半球形,按照设计要求容器的容积为 80 立方米,且 l ? 2r .假设该容器的建造费用仅与其表 3

面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为 3 千元,半球形部分每平方米建造费用为 设该容器的建造费用为 y 千元.

千元.

(1)写出 y 关于 r 的函数表达式,并求该函数的定义域; (2)求该容器的建造费用最小时的 r. 【解】 (1)设容器的容积为 V, 由题意知 V= ?
? 又 V ? 80 3 ?
2

l?4 3 ?

3

?

故l ?

V ?4 ? r3 3

? r2

4 20 ? 380 ?4 3 r ? 3 ( r2 ? r) . r2

由于 l ? 2r? 因此 0 ? r ? 2 . 所以建造费用 y=2 ? rl ? 3 ? 4 ? 因此 y=4 ? (c2
2

20 c ? 2 ? r? 4 3 ( r2 ?

r) ?

?

2

c.

? . ? 160 r ?0 ? r ? 2
8? (c ? 2) r2

? (2)由(1)得 y′=8 ? (c ? 2)r ? 160 ? r2

(r

3

. ? c20 ?2 )? 0 ? r ? 2

由于 c>3,所以 c-2>0. 当 令3
3

时?r ? ? c20 ?2 ? 0

3 20 c?2

.

20 c?2

? m? 得 m>0,
8? (c ?2) r2

所以 y′ ?

(r ? m)(r

2

?rm ? m

2

).

12

班级:

小组:

姓名:

教师评价:

组内评价:

①当 0<m<2 即 c ? 9 时, 2 当 r=m 时,y′=0; 当 r ? (0? m) 时,y′<0; 当 r ? (m? 2) 时,y′>0.
? 所以 r=m 是函数 y=4 ? (c ? 2)r 2 ? 160 的极小值点,也是最小值点. r ?0 ? r ? 2

②当 m ? 2 即 3 ? c ? 9 时, 2 当 r ? (0? 2) 时,y′<0,函数单调递减.
? 所以 r=2 是函数 y=4 ? (c ? 2)r 2 ? 160 的最小值点. r ?0 ? r ? 2

综上所述,当 3 ? c ? 9 时,建造费用最小时 r=2;当 2

9 2

时,建造费用最小时 r ?

3

20 c?2

.

【课后反思】

13


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