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上海市宝山区2016届高考数学一模试卷(解析版)


2016 年上海市宝山区高考数学一模试卷
一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,只要求直接填写结果,每个空格填对得 4 分, 否则一律得零分. 1.方程 4x﹣2x﹣6=0 的解为 .

2.已知:

(i 是虚数单位 ),则 z=



3.以点(1,2)为圆心,与直线

4x+3y﹣35=0 相切的圆的方程是



4.数列

所有项的和为



5.已知矩阵 A=

,B=

,AB=

,则 x+y=



6.等腰直角三角形的直角边长为 1,则绕斜边旋转一周所形成的几何体的体积为



7.若(x﹣ )9 的展开式中 x3 的系数是﹣84,则 a=



8.抛物线 y2=12x 的准线与双曲线 于 .

的两条渐近线所围成的三角形的面积等

9.已知 ω,t>0,函数

的最小正周期为 2π,将 f(x)的图象向左平移 t 个单 .

位,所得图象对应的函数为偶函数,则 t 的最小值为

10.两个三口之家,共 4 个大人,2 个小孩,约定星期日乘“奥迪”、“捷达”两辆轿车结伴郊游,每辆 车最多只能乘坐 4 人,其中两个小孩不能独坐一辆车,则不同的乘车方法种数是
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11.向量 , 满足



, 与 的夹角为 60°,则

=



12.数列

,则 是该数列的第

项.

13.已知直线(1﹣a)x+(a+1)y﹣4(a+1)=0(其中 a 为实数)过定点 P,点 Q 在函数 图象上,则 PQ 连线的斜率的取值范围是 .



14.如图,已知抛物线 y2=x 及两点 A1(0,y1)和 A2(0,y2),其中 y1>y2>0.过 A1,A2 分别 作 y 轴的垂线,交抛物线于 B1,B2 两点,直线 B1B2 与 y 轴交于点 A3(0,y3),此时就称 A1,A2 确定了 A3.依此类推,可由 A2,A3 确定 A4,….记 An(0,yn),n=1,2,3,…. 给出下列三个结论: ①数列{yn}是递减数列; ②对?n∈N*,yn>0; ③若 y1=4,y2=3,则 . .

其中,所有正确结论的序号是

二.选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题都给出代号为 A、B、C、D 的四个结论, 其中有且只有一个结论是正确的.必须用 2B 铅笔将正确结论的代号涂黑,选对得 5 分,不选、选 错或者选出的代号超过一个,一律得零分. 15.如图,该程序运行后输出的结果为( )

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A.1

B.2

C.4

D.16

16.P 是△ ABC 所在平面内一点,若 A.△ ABC 内部 B.AC 边所在直线上 C.AB 边所在直线上 D.BC 边所在直线上

,其中 λ∈R,则 P 点一定在(



17.若 a,b 是异面直线,则下列命题中的假命题为(



A.过直线 a 可以作一个平面并且只可以作一个平面 α 与直线 b 平行 B.过直线 a 至多可以作一个平面 α 与直线 b 垂直 C.唯一存在一个平面 α 与直线 a、b 等距 D.可能存在平面 α 与直线 a、b 都垂直

18.王先生购买了一部手机,欲使用中国移动“神州行”卡或加入联通的 130 网,经调查其收费标准 见下表:(注:本地电话费以分为计费单位,长途话费以秒为计费单位.) 网络 甲:联通 130 乙:移动“神州行” 月租费 12 元 无 本地话费 0.36 元/分 0.60 元/分 长途话费 0.06 元/秒 0.07 元/秒

若王先生每月拨打本地电话的时间是拨打长途电话时间的 5 倍,若要用联通 130 应最少打多长时间 的长途电话才合算.( )
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A.300 秒

B.400 秒

C.500 秒

D.600 秒

三.解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须写出必要的步骤,答题务必写 在黑色矩形边框内. 19.在三棱锥 P﹣ABC 中,已知 PA,PB,PC 两两垂直,PB=5,PC=6,三棱锥 P﹣ABC 的体积为 20,Q 是 BC 的中点,求异面直线 PB,AQ 所成角的大小(结果用反三角函数值表示).

20.设 a、b、c 分别是△ ABC 三个内角∠A、∠B、∠C 的对边,若向量 , (1)求 tanA?tanB 的值; (2)求 的最大值. 且 ,

21.某市 2013 年发放汽车牌照 12 万张,其中燃油型汽车牌照 10 万张,电动型汽车 2 万张.为了节 能减排和控制总量,从 2013 年开始,每年电动型汽车牌照按 50%增长,而燃油型汽车牌照每一年比 上一年减少 0.5 万张,同时规定一旦某年发放的牌照超过 15 万张,以后每一年发放的电动车的牌照 的数量维持在这一年的水平不变. (1)记 2013 年为第一年,每年发放的燃油型汽车牌照数构成数列{an},每年发放的电动型汽车牌 照数为构成数列{bn},完成下列表格,并写出这两个数列的通项公式; a1=10 b1=2 a2=9.5 b2= a3= b3= a4= b4= … …

(2)从 2013 年算起,累计各年发放的牌照数,哪一年开始超过 200 万张?
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22.已知椭圆 (1)若已知

+y2=1 上两个不同的点 A,B 关于直线 ,M 为椭圆上动点,证明: ;

对称.

(2)求实数 m 的取值范围; (3)求△ AOB 面积的最大值(O 为坐标原点).

23.已知函数 f(x)=logkx(k 为常数,k>0 且 k≠1),且数列{f(an)}是首项为 4,公差为 2 的等 差数列. (1)求证:数列{an}是等比数列; (2)若 bn=an+f(an),当 时,求数列{bn}的前 n 项和 Sn 的最小值;

(3)若 cn=anlgan,问是否存在实数 k,使得{cn}是递增数列?若存在,求出 k 的范围;若不存在, 说明理由.

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2016 年上海市宝山区高考数学一模试卷
参考答案与试题解析

一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,只要求直接填写结果,每个空格填对得 4 分, 否则一律得零分. 1.方程 4x﹣2x﹣6=0 的解为 log23 .

【考点】指数式与对数式的互化;二次函数的性质. 【专题】计算题. 【分析】由 4x﹣2x﹣6=0,得(2x)2﹣2x﹣6=0,由此能求出方程 4x﹣2x﹣6=0 的解. 【解答】解:由 4x﹣2x﹣6=0,得 (2x)2﹣2x﹣6=0, 解得 2x=3,或 2x=﹣2(舍去), ∴x=log23. 故答案为:log23. 【点评】本题考查指数方程的解法,解题时要认真审题,注意指数式和对数式的互化.

2.已知:

(i 是虚数单位 ),则 z= ﹣3﹣4i .

【考点】复数代数形式的乘除运算. 【专题】计算题;方程思想;数学模型法;数系的扩充和复数. 【分析】把已知的等式变形,利用复数代数形式的乘除运算化简求得 ,再求其共轭复数得答案. 【解答】解:由 ,得: , ∴z=﹣3﹣4i. 故答案为:﹣3﹣4i. 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查共轭复数的概念,是基础的计算题.

3.以点(1,2)为圆心,与直线 4x+3y﹣35=0 相切的圆的方程是 (x﹣1)2+(y﹣2)2=25 . 【考点】圆的标准方程;直线与圆的位置关系.
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【专题】计算题. 【分析】先求圆心到直线 4x+3y﹣35=0 的距离,再求出半径,即可由圆的标准方程求得圆的方程. 【解答】解:以点(1,2)为圆心,与直线 4x+3y﹣35=0 相切, 圆心到直线的距离等于半径,即: 所求圆的标准方程:(x﹣1)2+(y﹣2)2=25 故答案为:(x﹣1)2+(y﹣2)2=25 【点评】本题考查圆的标准方程,直线与圆相切,是基础题.

4.数列

所有项的和为 2 .

【考点】等比数列的前 n 项和. 【专题】计算题;转化思想;综合法;等差数列与等比数列. 【分析】先求出数列 【解答】解:数列 前 n 项和,再求出前 n 项和的极限,从而求出结果. 前 n 项和:

Sn=

=2[1﹣( )n],

∴数列 S= =

所有项的和为: =2.

故答案为:2. 【点评】本题考查等比数列的前 n 项和的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等比数列的性 质的合理运用.

5.已知矩阵 A=

,B=

,AB=

,则 x+y=

8



【考点】矩阵与矩阵的乘法的意义. 【专题】计算题;转化思想;综合法;矩阵和变换. 【分析】利用矩阵乘法法则求解.

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【解答】解:∵矩阵 A= ∴AB= =

,B= =

,AB= ,



∴ ∴x+y=8.

,解得 x=5,y=3,

故答案为:8. 【点评】本题考查代数式的值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意矩阵乘法法则的合理运 用.

6.等腰直角三角形的直角边长为 1,则绕斜边旋转一周所形成的几何体的体积为 【考点】旋转体(圆柱、圆锥、圆台). 【专题】计算题;空间位置关系与距离;立体几何.



【分析】 直角边长为 1 的等腰直角三角形, 绕斜边旋转一周所形成的几何体是两个底面半径为: 高也为 的圆锥的组合体,代入圆锥体积公式,可得答案.



【解答】解:直角边长为 1 的等腰直角三角形, 绕斜边旋转一周所形成的几何体是两个底面半径为: 故该几何体的体积 V=2×[ × 故答案为: 【点评】本题考查的知识点是旋转体,圆锥的体积,难度不大,属于基础题. ]? = ,高也为 . 的圆锥的组合体,

7.若(x﹣ )9 的展开式中 x3 的系数是﹣84,则 a= 1 . 【考点】二项式系数的性质. 【专题】计算题. 【分析】利用二项展开式的通项公式求出第 r+1 项,令 x 的指数为 3 得展开式中 x3 的系数,列出方 程解得. 【解答】解: 展开式的通项为
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=(﹣a)rC9rx9﹣2r

令 9﹣2r=3 得 r=3 ∴展开式中 x3 的系数是 C93(﹣a)3=﹣84a3=﹣84, ∴a=1. 故答案为 1 【点评】本试题主要考查二项展开式的通项公式和求指定项系数的方法.

8.抛物线 y2=12x 的准线与双曲线

的两条渐近线所围成的三角形的面积等于



【考点】双曲线的简单性质;抛物线的简单性质. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】 写出抛物线 y2=12x 的准线与双曲线 的两条渐近线方程是解决本题的关键, 然后

确定三角形的形状和边长利用面积公式求出三角形的面积. 【解答】解:抛物线 y2=12x 的准线为 x=﹣3, 双曲线 的两条渐近线方程分别为:y= 的等边三角形, ×2 ×sin60°= . x,y=﹣ x,

这三条直线构成边长为 2

因此,所求三角形面积等于 ×2 故答案为: .

【点评】本题考查三角形形状的确定和面积的求解,考查双曲线标准方程与其渐近线方程的联系, 抛物线标准方程与其准线方程的联系,考查学生直线方程的书写,考查学生分析问题解决问题的能 力,属于基本题型.

9.已知 ω,t>0,函数

的最小正周期为 2π,将 f(x)的图象向左平移 t 个单 .

位,所得图象对应的函数为偶函数,则 t 的最小值为

【考点】三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象;二阶矩阵. 【专题】计算题;函数思想;数学模型法;三角函数的图像与性质. 【分析】由题意得到函数解析式,利用辅助角公式化积后结合周期求得 ω,再由函数图象的平移求 得平移后的函数解析式,结合平移后的函数为偶函数求出 t 的取值集合得答案.
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【解答】解: ∵f(x)的最小正周期为 2π,∴

= ,得 ω=1.

=



将 f(x)的图象向左平移 t 个单位,得 f(x+t)= ∵函数 f(x+t)为偶函数, ∴ ,则 t= . .



取 k=0 时,t 的最小值为 故答案为: .

【点评】本题考查三角函数中的恒等变换应用,考查了三角函数的图象平移,训练了函数奇偶性的 求法,是中档题.

10.两个三口之家,共 4 个大人,2 个小孩,约定星期日乘“奥迪”、“捷达”两辆轿车结伴郊游,每辆 车最多只能乘坐 4 人,其中两个小孩不能独坐一辆车,则不同的乘车方法种数是 48 . 【考点】排列、组合及简单计数问题. 【专题】计算题. 【分析】只需选出乘坐奥迪车的人员,剩余的可乘坐捷达.再分奥迪车上没有小孩、奥迪车上有一 个小孩、奥迪车上有 2 个小孩这三种情况,分别求得乘车的方法数,相加即得所求. 【解答】解:只需选出乘坐奥迪车的人员,剩余的可乘坐捷达. 若奥迪车上没有小孩,则有 若奥迪车上有一个小孩,则有 若奥迪车上有两个小孩,则有 =10 种. =10 种方法; =28 种;

综上,不同的乘车方法种数为 10+28+10=48 种, 故答案为 48. 【点评】本题主要考查排列与组合及两个基本原理的应用,体现了分类讨论的数学思想,属于中档 题.

11.向量 , 满足



, 与 的夹角为 60°,则
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=



【考点】平面向量数量积的运算. 【专题】方程思想;综合法;平面向量及应用. 【分析】求出 【解答】解: ∵ 故答案为: . 【点评】本题考查了平面向量的数量积运算,是基础题. ,对 =| |× ,∴( )2= .∴ 两边平方,解出| |. = | |. ﹣2 + = .∴1﹣| |+| |2= .解得| |= .

12.数列 【考点】数列的概念及简单表示法;数列的函数特性. 【专题】等差数列与等比数列.

,则 是该数列的第 128 项.

…, 【分析】 该数列中: 分子、 分母之和为 2 的有 1 项, 为 3 的有 2 项, 为 4 的有 3 项, 为 5 的有 4 项, 由此可知:分子、分母之和为 16 的有 15 项.而分子、分母之和为 17 的有 16 项,排列顺序为: , , ,…, , ;即可得出 是分子、分母之和为 17 的第 8 项. , ,

【解答】解:观察数列

该数列中:分子、分母之和为 2 的有 1 项,为 3 的有 2 项,为 4 的有 3 项,为 5 的有 4 项,…, ∴分子、分母之和为 16 的有 15 项. 而分子、分母之和为 17 的有 16 项,排列顺序为: , 故共有 故答案为 128. 【点评】本题考查了通过观察所要解决的提问转化为利用等差数列的前 n 项和公式解决,属于中档 题. , , ,…, , 项. ;其中 是分子、分母之和为 17 的第 8 项;.

13.已知直线(1﹣a)x+(a+1)y﹣4(a+1)=0(其中 a 为实数)过定点 P,点 Q 在函数 图象上,则 PQ 连线的斜率的取值范围是 [﹣3,+∞) .
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【考点】恒过定点的直线;直线的斜率. 【专题】直线与圆. 【分析】 直线方程即 x+y﹣4+a(﹣x+y﹣4)=0, 由 ,求得定点 P 的坐标,设点 Q(m,

m+ ),m≠0,则 PQ 连线的斜率为为 范围.

=

﹣3,再利用二次函数的性质求得它的

【解答】解:已知直线(1﹣a)x+(a+1)y﹣4(a+1)=0 即 x+y﹣4+a(﹣x+y﹣4)=0, 由 ,解得 ,故定点 P 的坐标为(0,4).

设点 Q(m,m+ ),m≠0,则 PQ 连线的斜率为 故 PQ 连线的斜率的取值范围为[﹣3,+∞), 故答案为[﹣3,+∞).

=1+

﹣ =

﹣3≥﹣3,

【点评】本题主要考查直线过定点问题,直线的斜率公式,二次函数的性质应用,属于中档题.

14.如图,已知抛物线 y2=x 及两点 A1(0,y1)和 A2(0,y2),其中 y1>y2>0.过 A1,A2 分别 作 y 轴的垂线,交抛物线于 B1,B2 两点,直线 B1B2 与 y 轴交于点 A3(0,y3),此时就称 A1,A2 确定了 A3.依此类推,可由 A2,A3 确定 A4,….记 An(0,yn),n=1,2,3,…. 给出下列三个结论: ①数列{yn}是递减数列; ②对?n∈N*,yn>0; ③若 y1=4,y2=3,则 .

其中,所有正确结论的序号是 ①②③ .

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【考点】数列与解析几何的综合. 【专题】计算题;压轴题. 【分析】先确定直线 Bn﹣1Bn﹣2 的方程,求得 【解答】解:由题意,Bn﹣1( ),Bn﹣2( ,由此即可得到结论.

),则直线 Bn﹣1Bn﹣2 的

方程为

令 x=0,则

,∴



∴ ∵y1>y2>0,∴yn>0,故②正确; ,∴yn<yn﹣1,故①正确; 若 y1=4,y2=3,则 故答案为:①②③. 【点评】本题考查数列与解析几何的综合,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题. ,y4= , ,故③正确.

二.选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题都给出代号为 A、B、C、D 的四个结论, 其中有且只有一个结论是正确的.必须用 2B 铅笔将正确结论的代号涂黑,选对得 5 分,不选、选 错或者选出的代号超过一个,一律得零分. 15.如图,该程序运行后输出的结果为( )

第 13 页(共 23 页)

A.1

B.2

C.4

D.16

【考点】程序框图. 【专题】计算题;图表型. b=2, a=1+1=2; b=4, a=2+1=3; b=16, a=3+1=4; ①a=1≤3, ②a=2≤3, ③a=3≤3, 【分析】 由题意可得: 进而程序结束得到答案. 【解答】解:由题意可得:①a=1≤3,b=2,a=1+1=2; ②a=2≤3,b=4,a=2+1=3; ③a=3≤3,b=16,a=3+1=4; 因为 a=4≤3 不成立,所以输出 b 的数值为 16. 故选 D. 【点评】本题考查的知识点是程序框图,模拟循环的执行过程是解答此类问题常用的办法.

16.P 是△ ABC 所在平面内一点,若 A.△ ABC 内部 B.AC 边所在直线上 C.AB 边所在直线上 D.BC 边所在直线上 【考点】向量在几何中的应用. 【专题】平面向量及应用. 【分析】根据 ,代入

,其中 λ∈R,则 P 点一定在(



,根据共线定理可知



共线,从而可确定 P

点一定在 AC 边所在直线上.
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【解答】解:∵ ∴ ∴ ∥ = ,即 与 ,则

, ,



共线,

∴P 点一定在 AC 边所在直线上, 故选 B. 【点评】本题主要考查向量的共线定理,要证明三点共线时一般转化为证明向量的共线问题.属于 中档题.

17.若 a,b 是异面直线,则下列命题中的假命题为(



A.过直线 a 可以作一个平面并且只可以作一个平面 α 与直线 b 平行 B.过直线 a 至多可以作一个平面 α 与直线 b 垂直 C.唯一存在一个平面 α 与直线 a、b 等距 D.可能存在平面 α 与直线 a、b 都垂直 【考点】空间中直线与直线之间的位置关系. 【专题】计算题;转化思想;综合法;空间位置关系与距离. 【分析】在 A 中,把直线 b 平移与直线 a 相交,确定一个平面平行于 b;在 B 中,只有 a、b 垂直时 才能作出一个平面 α 与直线 b 垂直;在 C 中,由唯一性定理得唯一存在一个平面 α 与直线 a、b 等 距;在 D 中:若存在平面 α 与直线 a、b 都垂直,则 a∥b. 【解答】解:由 a,b 是异面直线,知: 在 A 中:a,b 是两异面直线,把直线 b 平移与直线 a 相交,确定一个平面,因此经过直线 a 只能作 出 1 个平面平行于 b,故 A 正确; 在 B 中:只有 a、b 垂直时才能作出一个平面 α 与直线 b 垂直,否则过直线 a 不可以作一个平面 α 与直线 b 垂直,故 B 正确; 在 C 中:由唯一性定理得唯一存在一个平面 α 与直线 a、b 等距,故 C 正确; 在 D 中:若存在平面 α 与直线 a、b 都垂直,则直线与平面垂直的性质定理得 a∥b,故 D 错误. 故选:D. 【点评】本题考查命题真假的判断,是中档题,解题时要认真审题,注意空间中线线、线面、面面 间的位置关系的合理运用.

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18.王先生购买了一部手机,欲使用中国移动“神州行”卡或加入联通的 130 网,经调查其收费标准 见下表:(注:本地电话费以分为计费单位,长途话费以秒为计费单位.) 网络 甲:联通 130 乙:移动“神州行” 月租费 12 元 无 本地话费 0.36 元/分 0.60 元/分 长途话费 0.06 元/秒 0.07 元/秒

若王先生每月拨打本地电话的时间是拨打长途电话时间的 5 倍,若要用联通 130 应最少打多长时间 的长途电话才合算.( A.300 秒 B.400 秒 ) C.500 秒 D.600 秒

【考点】函数与方程的综合运用;函数的值;分段函数的应用. 【专题】计算题;转化思想;函数的性质及应用. 【分析】根据每月的通话时间和甲方式的收费标准,可知所需花费=月租费+本地话费+长途话费,可 求所需话费 y(元)与通话时间 x(分钟)的函数关系式;将乙方式所需话费 y(元)与通话时间 x (分钟)的函数关系式求出,将两个式子进行比较,可得出较为省钱的入网方式. 【解答】解:每月接打本地电话的时间是接打长途电话的 5 倍,王先生每月拨打长途电话时间为 x (分钟),他所需话费 y(元),联通 130 他所需话费 y(元)与通话时间 x(分钟)的函数关系式 为 y=12+0.36×5x+3.6x(x>0); 移动“神州行”他所需话费 y(元)与通话时间 x(分钟)的函数关系式为:y=0.6×5x+4.2x, 若要用联通 130 应最少打多长时间的长途电话才合算,可得:12+0.36×5x+3.6x<0.6×5x+4.2x, 解得:x> 故选:B. 【点评】本题主要是应用数学模型来解决实际问题,考查一次函数的应用. (分钟)=400 秒.

三.解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须写出必要的步骤,答题务必写 在黑色矩形边框内. 19.在三棱锥 P﹣ABC 中,已知 PA,PB,PC 两两垂直,PB=5,PC=6,三棱锥 P﹣ABC 的体积为 20,Q 是 BC 的中点,求异面直线 PB,AQ 所成角的大小(结果用反三角函数值表示).

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【考点】异面直线及其所成的角. 【专题】计算题;转化思想;综合法;空间角. 【分析】由三棱锥 P﹣ABC 的体积为 20,得 PA=4,取 PC 的中点为 D,连结 AD,DQ,则∠AQD 为异面直线 PB,AQ 所成的角,由此能求出异面直线 PB,AQ 所成的角. 【解答】解:∵在三棱锥 P﹣ABC 中,PA,PB,PC 两两垂直,PB=5,PC=6,三棱锥 P﹣ABC 的 体积为 20, ∴ ,解得 PA=4,

取 PC 的中点为 D,连结 AD,DQ, 则∠AQD 为异面直线 PB,AQ 所成的角, ,DA=5, ∵QD⊥平面 PAC,∴QD⊥AD, ∴tan∠AQD=2, ∴异面直线 PB,AQ 所成的角为 arctan2.

【点评】本题考查异面直线所成角的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意空间能力的培养.

20.设 a、b、c 分别是△ ABC 三个内角∠A、∠B、∠C 的对边,若向量 ,
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(1)求 tanA?tanB 的值; (2)求 的最大值.

【考点】三角函数的化简求值;平面向量数量积的运算. 【专题】计算题. 【分析】(1)由 ,化简得 4cos(A﹣B)=5cos(A+B),由此求得 tanA?tanB 的值. , 而 ,

(2) 利用正弦定理和余弦定理化简为 利用基本不等式

求得它的最小值等于 ,从而得到 tanC 有最大值 【解答】解:(1)由 即 亦即 4cos(A﹣B)=5cos(A+B),… 所以 .… ,得 ,

,从而求得所求式子的最大值. .…

(2)因

,…

而 所以,tan(A+B)有最小值 ,… 当且仅当 时,取得最小值.



又 tanC=﹣tan(A+B),则 tanC 有最大值

,故

的最大值为

.…

【点评】本题主要考查两个向量数量积公式,正弦定理和余弦定理,两角和的正切公式,以及基本 不等式的应用,属于中档题.

21.某市 2013 年发放汽车牌照 12 万张,其中燃油型汽车牌照 10 万张,电动型汽车 2 万张.为了节 能减排和控制总量,从 2013 年开始,每年电动型汽车牌照按 50%增长,而燃油型汽车牌照每一年比 上一年减少 0.5 万张,同时规定一旦某年发放的牌照超过 15 万张,以后每一年发放的电动车的牌照 的数量维持在这一年的水平不变.
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(1)记 2013 年为第一年,每年发放的燃油型汽车牌照数构成数列{an},每年发放的电动型汽车牌 照数为构成数列{bn},完成下列表格,并写出这两个数列的通项公式; a1=10 b1=2 a2=9.5 b2= 3 a3= 9 b3= 4.5 a4= 8.5 b4= 6.75 … …

(2)从 2013 年算起,累计各年发放的牌照数,哪一年开始超过 200 万张? 【考点】数列的应用. 【专题】应用题;点列、递归数列与数学归纳法. 【分析】(1)利用从 2013 年开始,每年电动型汽车牌照按 50%增长,而燃油型汽车牌照每一年比 上一年减少 0.5 万张,同时规定一旦某年发放的牌照超过 15 万张,以后每一年发放的电动车的牌照 的数量维持在这一年的水平不变,可填写表格,并写出这两个数列的通项公式; (2)利用等差数列与等比数列的求和公式,可得﹣ n2+17n﹣ 【解答】解:(1) a1=10 b1=2 … 当 1≤n≤20 且 n∈N*,an=10+(n﹣1)×(﹣0.5)=﹣0.5n+10.5; 当 n≥21 且 n∈N*,an=0. ∴an= 而 a4+b4=15.25>15 ∴bn= ,… … a2=9.5 b2=3 a3=9 b3=4.5 a4=8.5 b4=6.75 … … ≥200,即可得出结论.

(2)当 n=4 时,Sn=a1+a2+a3+a4+b1+b2+b3+b4=53.25. 当 5≤n≤21 时,Sn=(a1+a2+…+an)+(b1+b2+b3+b4+b5+…+bn)=10n+

+

+6.75(n﹣4)

=﹣ n2+17n﹣



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由 Sn≥200 得﹣ n2+17n﹣

≥200,即 n2﹣68n+843≤0,得 34﹣

≤n≤21 …

∴到 2029 年累积发放汽车牌照超过 200 万张.… 【点评】本题考查数列的应用,考查利用数学知识解决实际问题,考查数列的求和,考查学生分析 解决问题的能力,属于中档题.

22.已知椭圆 (1)若已知

+y2=1 上两个不同的点 A,B 关于直线 ,M 为椭圆上动点,证明: ;

对称.

(2)求实数 m 的取值范围; (3)求△ AOB 面积的最大值(O 为坐标原点).

【考点】椭圆的简单性质. 【专题】数形结合;方程思想;转化思想;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】(1)设 M(x,y),则 +y2=1,利用两点之间的距离公式、二次函数的单调性即可得出. .与椭圆方程联立得

(2)由题意知 m≠0,可设直线 AB 的方程为

.△ >0,再利用中点坐标公式、根与系数的关系即可得出. (3)利用弦长公式、点到直线的距离公式可得 S△ AOB,再利用二次函数的单调性即可得出. 【解答】(1)证明:设 M(x,y),则 +y2=1,

于是 ∵﹣1≤y≤1, ∴当 时,

=

=

=



.即



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(2)解:由题意知 m≠0,可设直线 AB 的方程为





消去 y,得



∵直线 ∴ 即

与椭圆 , ①

有两个不同的交点,

将 AB 中点



代入直线方程

解得



由①②得 (3)解:令



. ,即 ,





且 O 到直线 AB 的距离为



设△ AOB 的面积为 S(t),∴



当且仅当

时,等号成立. .

故△ AOB 面积的最大值为

【点评】本题考查了椭圆的定义及其标准方程、直线与椭圆相交弦长问题、点到直线的距离公式、 三角形面积计算公式、轴对称问题、两点之间的距离公式,考查了推理能力与计算能力,属于难题.

23.已知函数 f(x)=logkx(k 为常数,k>0 且 k≠1),且数列{f(an)}是首项为 4,公差为 2 的等 差数列. (1)求证:数列{an}是等比数列;
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(2)若 bn=an+f(an),当

时,求数列{bn}的前 n 项和 Sn 的最小值;

(3)若 cn=anlgan,问是否存在实数 k,使得{cn}是递增数列?若存在,求出 k 的范围;若不存在, 说明理由. 【考点】数列与函数的综合;对数函数的图像与性质. 【专题】分类讨论;定义法;函数的性质及应用;等差数列与等比数列. 【分析】(1)运用等差数列的通项公式和对数的定义,可得 an=k2n+2,再由等比数列的定义即可得 证; (2)求得 an,f(an),再由等差数列和等比数列的求和公式,运用单调性即可得到最小值; (3)由题意可得(n+1)lgk<(n+2)?k2?lgk 对一切 n∈N*成立.讨论 k>1,0<k<1,运用数列的 单调性即可得到所求 k 的范围. 【解答】解:(1)证明:由题意可得 f(an)=4+2(n﹣1)=2n+2, 即 logkan=2n+2, ∴ ,





∵常数 k>0 且 k≠1,∴k2 为非零常数, ∴数列{an}是以 k4 为首项,k2 为公比的等比数列; (2)当 时, ,f(an)=2n+2,

所以



因为 n≥1,所以, 因而最小值为 S1=1+3+ ﹣ = (3)由(1)知, 要使 cn<cn+1 对一切 n∈N*成立, .

是递增数列,



即(n+1)lgk<(n+2)?k2?lgk 对一切 n∈N*成立. 当 k>1 时,lgk>0,n+1<(n+2)k2 对一切 n∈N*恒成立; 当 0<k<1 时,lgk<0,n+1>(n+2)k2 对一切 n∈N*恒成立,
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只需 ∵ ∴当 n=1 时, ∴

, 单调递增, . . 满足条件.

,且 0<k<1,∴

综上所述,存在实数

【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用,考查数列的单调性的判断和 运用,以及数列不等式恒成立问题的解法,属于中档题.

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