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福建省厦门双十中学2015届高考数学热身试卷(理科)


福建省厦门双十中学 2015 届高考数学热身试卷(理科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.请把答案填涂在答题卷的相应位置. 1. (5 分)若 cosθ=﹣ A.﹣2 ,θ∈[0,π],则 tanθ=() B. C. D.2

2. (5 分)已知 =2﹣i,则在复

平面内,复数 z 对应的点位于() A.第一象限 B.第二象限
2

C.第三象限

D.第四象限

3. (5 分)已知集合 U=R,A={x|3x﹣x >0},B={y|y=log2(x+1) ,x∈A},则 A∩(?UB)为 () A.[2,3) B.(2,3) C.(0,2) D.?

4. (5 分)已知三个正态分布密度函数 3)的图象如图所示,则()

(x∈R,i=1,2,

A.μ1<μ2=μ3,?1=?2>?3 C. μ1=μ2<μ3,?1<?2=?3

B. μ1>μ2=μ3,?1=?2<?3 D.μ1<μ2=μ3,?1=?2<?3

5. (5 分)已知向量 =(3,4) , ﹣2 =(11,4) ,若向量 与向量 的夹角为 θ,则 cosθ= () A. B. ﹣ C. D.﹣

6. (5 分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是()

A.

B.

C.

D.

7. (5 分)已知命题 p:设 a,b∈R,则“a+b>4”是“a>2 且 b>2”的必要不充分条件; 2 2 命题 q:“?x0∈R,使得 x0 ﹣x0>0”的否定是:“?x∈R,均有 x ﹣x<0”; 在命题①p∧q;②(?p)∨(?q) ;③p∨(?q) ; ④(?p)∨q 中,真命题的序号是() A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 8. (5 分)如图,把圆周长为 1 的圆的圆心 C 放在 y 轴上,顶点 A(0,1) ,一动点 M 从 A 开始逆时针绕圆运动一周,记 象大致为() =x,直线 AM 与 x 轴交于点 N(t,0) ,则函数 t=f(x)的图

A.

B.

C.

D.

9. (5 分)设双曲线

的右焦点为 F(c,0) ,方程 ax +bx﹣c=0

2

的两实根分别为 x1,x2,则 P(x1,x2) () 2 2 2 2 A.必在圆 x +y =2 内 B. 必在圆 x +y =2 外 2 2 C. 必在圆 x +y =2 上 D.以上三种情况都有可能 10. (5 分)某班试用电子投票系统选举班干部候选人.全班 k 名同学都有选举权和被选举权, 他们的编号分别为 1,2,…,k,规定:同意按“1”,不同意(含弃权)按“0”,令

其中 i=1,2,…,k,且 j=1,2,…,k,则 同时同意第 1,2 号同学当选的人数为() A.a11+a12+…+a1k+a21+a22+…+a2k B. a11+a21+…+ak1+a12+a22+…+ak2 C. a11a12+a21a22+…+ak1ak2 D.a11a21+a12a22+…+a1ka2k

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.请把答案填在答题卷的相应位置. 11. (4 分)已知实数 x,y 满足不等式组 ,则 x+2y 的最大值为.

12. (4 分)某程序框图如图所示,该程序运行后输出的 k 的值是.

13. (4 分)若 f(x)=cosx+3

dx,则

=.

14. (4 分)已知甲、乙两组数据如茎叶图所示,若它们的中位数相同,平均数也相同,则二 项式 展开式中的常数项为.

15. (4 分)已知(2x+1) =a0+a1x+a2x +…+anx ,令 x=0 就可以求出常数,即 a0=1,请研究其 中蕴含的解题方法并完成下列问题:若 e = 则 + + +…+ =.
x

n

2

n

aix ,即 e =a0+a1x+a2x +a3x +a4x +…+anx +…,

i

x

2

3

4

n

三、解答题:本大题共 5 小题,每小题分数见旁注,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程 或演算步骤.请在答题卷相应题目的答题区域内作答. 16. (13 分)已知直线两直线 l1:xcosα+ y﹣1=0;l2:y=xsin(α+ B,C 对边分别为 a,b,c,a=2 (Ⅰ)求 A 值; (Ⅱ)求 b 和△ ABC 的面积. ) ,△ ABC 中,内角 A,

,c=4,且当 α=A 时,两直线恰好相互垂直;

17. (13 分)甲、乙两人为了响应政府“节能减排”的号召,决定各购置一辆纯电动汽车.经了 解目前市场上销售的主流纯电动汽车,按续驶里程数 R(单位:公里)可分为三类车型,A: 80≤R<150,B:150≤R<250,C:R≥250.甲从 A,B,C 三类车型中挑选,乙从 B,C 两类 车型中挑选,甲、乙二人选择各类车型的概率如下表: 车型 概率 人 A B C 甲 乙 / . p q

若甲、乙都选 C 类车型的概率为

(Ⅰ)求 p,q 的值; (Ⅱ)求甲、乙选择不同车型的概率; (Ⅲ)某市对购买纯电动汽车进行补贴,补贴标准如下表: 车型 A B C 补贴金额(万元/辆) 3 4 5 记甲、乙两人购车所获得的财政补贴和为 X,求 X 的分布列. 18. (13 分)如图,已知直线 l 与抛物线 x =4y 相切于点 P(2,1) ,且与 x 轴交于点 A,定点 B 的坐标为(2,0) . (Ⅰ)若动点 Q 满足 ? + | |=0,求点 Q 的轨迹 C 的方程;
2

(Ⅱ)设椭圆 Γ 的中心在原点,对称轴在坐标轴上,直线 l:y=kx+t(k≠0,t≠0)与轨迹 C 交 于 M,N 两点,且与椭圆 Γ 交于 H,K 两点.若线段 MN 与线段 HK 的中点重合,求椭圆 Γ 的离心率.

19. (13 分)已知△ ABC 中,∠ACB=45°,B、C 为定点且 BC=3,A 为动点,作 AD⊥BC 于 D(异于点 B) ,如图 1 所示.连接 AB,将△ ABD 沿 AD 折起,使平面 ABD⊥平面 ADC,如 图 2 所示. (Ⅰ)求证:AB⊥CD; (Ⅱ)当三棱锥 A﹣BCD 的体积取得最大值时,求线段 AC 的长; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,分别取 BC,AC 的中点 E、M,试在棱 CD 上确定一点 N,使得 EN⊥BM,并求此时 EN 与平面 BMN 所成角的大小.

20. (14 分)已知函数 f(x)=xe +ax ﹣x, (a∈R,e 为自然对数的底数,且 e=2.718…) . (Ⅰ)若 a=﹣ ,求曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程; (Ⅱ)若对于 x≥0 时,恒有 f′(x)﹣f(x)≥(4a+1)x 成立,求实数 a 的取值范围; (Ⅲ)当 n∈N 时,证明:
*

x

2



本题设有 21、22、23 三个选考题,每题 7 分,请考生任选 2 题作答,满分 7 分.如果多做, 则按前两题计分.选修 4-2:矩阵与变换 21. (7 分)如图,矩形 OABC 在变换 T 的作用下变成了平行四边形 OA′B′C′,变换 T 所对应 的矩阵为 M,矩阵 N 是把坐标平面上的点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标伸长到原来的 3 倍的变换所对应的矩阵. (Ⅰ)求矩阵 M,N; (Ⅱ)直线 l 先在矩阵 M,再在矩阵 N 所对应的线性变换作用下像的方程为 x+y+1=0.求直 线 l 的方程.

选修 4-4:极坐标与参数方程(共 1 小题,满分 7 分) 22. (7 分)已知椭圆 C: =1,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系(取 )═﹣ .

同样单位长度) ,直线 l 的极坐标方程为 ρcos(θ+

(Ⅰ)写出椭圆 C 的参数方程及直线 l 的直角坐标方程; (Ⅱ)求椭圆 C 上的点 P 到直线 l 的距离的最大值.

选修 4-5:不等式选讲(共 1 小题,满分 0 分) 23.已知函数 f(x)= (m>0)的定义域为 R

(Ⅰ)求实数 m 的取值范围; 2 2 2 (Ⅱ)若 a,b∈R,且 a+b+m=4,a +b +m =16,求实数 m 的值.

福建省厦门双十中学 2015 届高考数学热身试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.请把答案填涂在答题卷的相应位置. 1. (5 分)若 cosθ=﹣ A.﹣2 ,θ∈[0,π],则 tanθ=() B. C. D.2

考点: 同角三角函数基本关系的运用. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由 cosθ 的值及 θ 的范围,利用同角三角函数间的基本关系求出 sinθ 的值,即可确定 出 tanθ 的值. 解答: 解:∵cosθ=﹣ <0,θ∈[0,π],

∴θ∈( ∴sinθ= 则 tanθ=

,π], = =﹣2, ,

故选:A. 点评: 此题考查了同角三角函数基本关系的运用,熟练掌握基本关系是解本题的关键.

2. (5 分)已知 =2﹣i,则在复平面内,复数 z 对应的点位于() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 由复数代数形式的乘法运算求得 ,进一步得到 z,则答案可求. 解答: 解:由 =2﹣i,得 ,

∴z=1﹣2i, 则复数 z 对应的点的坐标为(1,﹣2) ,位于第四象限. 故选:D. 点评: 本题考查复数代数形式的乘除运算,考查了复数的基本概念,是基础题. 3. (5 分)已知集合 U=R,A={x|3x﹣x >0},B={y|y=log2(x+1) ,x∈A},则 A∩(?UB)为 () A.[2,3) B.(2,3) C.(0,2) D.? 考点: 对数函数的值域与最值;交、并、补集的混合运算. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 解一元二次不等式求得 A、解对数不等式求得 B,从而求得 A∩(?UB) . 2 解答: 解:∵A={x|3x﹣x >0}={x|0<x<3) ,B={y|y=log2(x+1) ,x∈A}={x|0<x<2}, 则 A∩(?UB)={x|0<x<3}∩{x|x≤0,或 x≥2}={x|2≤x<3}, 故选:A. 点评: 本题主要考查一元二次不等式、对数不等式的解法,集合间的运算,属于中档题.
2

4. (5 分)已知三个正态分布密度函数 3)的图象如图所示,则()

(x∈R,i=1,2,

A.μ1<μ2=μ3,?1=?2>?3 C. μ1=μ2<μ3,?1<?2=?3

B. μ1>μ2=μ3,?1=?2<?3 D.μ1<μ2=μ3,?1=?2<?3

考点: 正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义. 专题: 数形结合. 分析: 正态曲线关于 x=μ 对称,且 μ 越大图象越靠近右边,第一个曲线的均值比第二和第 三和图象的均值小,且二,三两个的均值相等,又有 ? 越小图象越瘦长,得到正确的结果. 解答: 解:∵正态曲线关于 x=μ 对称,且 μ 越大图象越靠近右边, ∴第一个曲线的均值比第二和第三和图象的均值小,且二,三两个的均值相等, 只能从 A,D 两个答案中选一个, ∵? 越小图象越瘦长, 得到第二个图象的 ? 比第三个的 ? 要小, 故选 D. 点评: 本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义,考查密度函数中两个特征数均 值和标准差对曲线的位置和形状的影响,是一个基础题.

5. (5 分)已知向量 =(3,4) , ﹣2 =(11,4) ,若向量 与向量 的夹角为 θ,则 cosθ= () A. B. ﹣ C. D.﹣

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 首先求出向量 的坐标,然后用数量积求向量的夹角. 解答: 解:向量 =(3,4) , ﹣2 =(11,4) ,得到 =(﹣4,0) , 所以向量 与向量 的夹角为 θ,则 cosθ= ;

故选:B. 点评: 本题考查了向量的坐标运算以及运用数量积公式求向量的夹角. 6. (5 分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是()

A.

B.

C.

D.

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 根据几何体的三视图,得出该几何体是一正方体去掉一个三棱锥,结合图中数据求 出它的体积. 解答: 解:根据几何体的三视图,得; 该几何体是一棱长为 1 的正方体,去掉一三棱锥,

如图所示; ∴该几何体的体积是 V 几何体=1 ﹣
3

×1 ×1= .

2

故选:A. 点评: 本题考查了利用空间几何体的三视图求体积的应用问题,是基础题目. 7. (5 分)已知命题 p:设 a,b∈R,则“a+b>4”是“a>2 且 b>2”的必要不充分条件; 2 2 命题 q:“?x0∈R,使得 x0 ﹣x0>0”的否定是:“?x∈R,均有 x ﹣x<0”; 在命题①p∧q;②(?p)∨(?q) ;③p∨(?q) ; ④(?p)∨q 中,真命题的序号是() A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 考点: 复合命题的真假. 专题: 简易逻辑. 分析: 对于命题 p:设 a,b∈R,由 a>2 且 b>2?a+b>4,反之不成立,可举反例 a=1,b=5, 即可判断出真假; 对于命题 q:利用命题的否定定义即可判断出真假.再利用复合命题真假的判定方法即可判断 出.

解答: 解:命题 p:设 a,b∈R,由 a>2 且 b>2?a+b>4,反之不成立,例如 a=1,b=5, 因此“a+b>4”是“a>2 且 b>2”的必要不充分条件,是真命题; 命题 q:“?x0∈R,使得 x0 ﹣x0>0”的否定是:“?x∈R,均有 x ﹣x≤0”,因此是假命题. 可得:①p∧q 是假命题;②(?p)∨(?q)是真命题;③p∨(?q)是真命题; ④(?p) ∨q 是假命题. 因此真命题为:②③. 故选:C. 点评: 本题考查了命题真假的判定方法、复合命题真假的判定方法,考查了推理能力,属 于基础题. 8. (5 分)如图,把圆周长为 1 的圆的圆心 C 放在 y 轴上,顶点 A(0,1) ,一动点 M 从 A 开始逆时针绕圆运动一周,记 象大致为() =x,直线 AM 与 x 轴交于点 N(t,0) ,则函数 t=f(x)的图
2 2

A.

B.

C.

D.

考点: 函数的图象. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据动点移动过程的规律,利用单调性进行排除即可得到结论. 解答: 解:当 x 由 0→ 时,t 从﹣∞→0,且单调递增, 由 →1 时,t 从 0→+∞,且单调递增, ∴排除 A,B,C, 故选:D. 点评: 本题主要考查函数图象的识别和判断,利用特殊值法,结合点的移动规律是解决本 题的关键,综合性较强,有一点的难度.

9. (5 分)设双曲线

的右焦点为 F(c,0) ,方程 ax +bx﹣c=0

2

的两实根分别为 x1,x2,则 P(x1,x2) () 2 2 2 2 A.必在圆 x +y =2 内 B. 必在圆 x +y =2 外

C. 必在圆 x +y =2 上 考点: 圆与圆锥曲线的综合. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 由题设知 ,

2

2

D.以上三种情况都有可能

,故 x1 +x2 =(x1+x2) ﹣
2 2

2

2

2

2x1x2=

=



>1,所以,点 P(x1,x2)必在圆 x +y =2 外. ,

解答: 解:∵ , ∴x1 +x2 =(x1+x2) ﹣2x1x2 =
2 2 2

=



=

=1+e >2.
2 2

2

∴P(x1,x2)必在圆 x +y =2 外. 故选 B. 点评: 本题考查圆秘圆锥曲线的综合运用,解题时要注意韦达定理和点与圆的位置关系的 合理运用. 10. (5 分)某班试用电子投票系统选举班干部候选人.全班 k 名同学都有选举权和被选举权, 他们的编号分别为 1,2,…,k,规定:同意按“1”,不同意(含弃权)按 “0”,令 其中 i=1,2,…,k,且 j=1,2,…,k,则 同时同意第 1,2 号同学当选的人数为() A.a11+a12+…+a1k+a21+a22+…+a2k B. a11+a21+…+ak1+a12+a22+…+ak2 C. a11a12+a21a22+…+ak1ak2 D.a11a21+a12a22+…+a1ka2k 考点: 进行简单的合情推理. 专题: 压轴题. 分析: 先写出同意第 1 号同学当选的同学,再写出同意第 2 号同学当选的同学,那么同时 同意 1,2 号同学当选的人数为它们对应相乘再相加.

解答: 解:第 1,2,…,k 名学生是否同意第 1 号同学当选依次由 a11,a21,a31,…,ak1 来 确定 (aij=1 表示同意, aij=0 表示不同意或弃权) , 是否同意第 2 号同学当选依次由 a12, a22, …, ak2 确定, 而是否同时同意 1,2 号同学当选依次由 a11a12,a21a22,…,ak1ak2 确定, 故同时同意 1,2 号同学当选的人数为 a11a12+a21a22+…+ak1ak2, 故选 C. 点评: 本题主要考查了矩阵的应用,考查学生阅读理解、分析问题解决问题的能力. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.请把答案填在答题卷的相应位置. 11. (4 分)已知实数 x,y 满足不等式组 ,则 x+2y 的最大值为 5.

考点: 专题: 分析: 解答:

简单线性规划. 不等式的解法及应用. 作出不等式对应的平面区域,利用线性规划的知识,通过平移即可求 z 的最大值. 解:作出不等式对应的平面区域,

由 z=x+2y,得 y=﹣ x+ , 平移直线 y=﹣ x+ ,由图象可知当直线 y=﹣ x+ 经过点 C 时,直线的截距最大,此时 z 最 大. 由 ,得 ,

即 C(1,2) , 此时 z 的最大值为 z=1+2×2=5, 故答案为:5.

点评: 本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法. 12. (4 分)某程序框图如图所示,该程序运行后输出的 k 的值是 4.

考点: 程序框图. 专题: 算法和程序框图. 分析: 执行程序框图,依次写出每次循环得到的 S,k 的值,当 S=2059 时,不满足条件 S <100,退出循环,输出 k 的值为 4. 解答: 解:执行程序框图,可得 k=0,S=0 满足条件 S<100,S=1,k=1 满足条件 S<100,S=3,k=2 满足条件 S<100,S=11,k=3 满足条件 S<100,S=2059,k=4 不满足条件 S<100,退出循环,输出 k 的值为 4. 故答案为:4. 点评: 本题主要考察了程序框图和算法,正确得到退出循环时 K 的值是解题的关键,属于 基础题.

13. (4 分)若 f(x)=cosx+3

dx,则

=



考点: 定积分. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 令 (0) ,则答案可求. 解答: 解:令 =F(1)﹣F(0) ,F(x)=∫f(x)dx, =F(1)﹣F(0) ,求得 F(x)=∫f(x)dx,进一步求得 F(1) ,F

则 F(x)=∫f(x)dx=sinx+3x(F(1)﹣F(0) )+c, F(1)=sin1+3(F(1)﹣F(0) )+c,

F(0)=c, ∴ 故答案为: =F(1)﹣F(0)=﹣ . ,

点评: 本题考查定积分和不定积分,考查数学转化思想方法,属中档题. 14. (4 分)已知甲、乙两组数据如茎叶图所示,若它们的中位数相同,平均数也相同,则二 项式 展开式中的常数项为 .

考点: 茎叶图. 专题: 二项式定理. 分析: 根据茎叶图中中位数相同,平均数也相同确定 m,n 的值即可得到结论. 解答: 解:乙的中位数为 则甲的中位数为 33,即 m=3, 甲的平均数为 则乙的平均数为 解得 n=8, 则二项式 为( ) 展开式的常数项为
4

=33,

=33, =33,

=



故答案为: 点评: 本题主要考查茎叶图以及二项展开式的应用,考查中位数和平均数的概念和计算, 属于中档题. 15. (4 分)已知(2x+1) =a0+a1x+a2x +…+anx ,令 x=0 就可以求出常数,即 a0=1,请研究其 中蕴含的解题方法并完成下列问题:若 e = 则 + + +…+ =(n+1) !﹣1.
x n 2 n

aix ,即 e =a0+a1x+a2x +a3x +a4x +…+anx +…,

i

x

2

3

4

n

考点: 数列与函数的综合;导数的运算. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 通过对 e =a0+a1x+a2x +a3x +a4x +…anx +…,连续求导,赋值求出 a0,a1,a2,a3,a4, 猜想 an,然后求解
x x 2 3 4 n

+

+

+…+
2 3

的值.
4 n

解答: 解:对 e =a0+a1x+a2x +a3x +a4x +…+anx +…,两边求导: e =a1+a2x+a3x +a4x +…+anx
x x 2 3 n﹣1

+…,令 x=0 得:a1=1?
2

=1
n﹣2

再两边求导:e =2×1a2+3×2a3x+4×3a4x +…n×(n﹣1)anx 令 x=0 得:a2=
x

+…

?

=1×2=2!
n﹣3

再两边求导:e =3×2×1a3+4×3×2a4x+…n(n﹣1) (n﹣2)anx 令 x=0 得:a3= … 猜想:an= 所以 ? =1×2×3×…n=n! + ? =1×2×3=3!

+…

=n×n!=[(n+1)﹣1]n!=(n+1)!﹣n!,所以

+

+…+

═(2!﹣1!)+(3!﹣2!)

+…[(n+1)!﹣n!]=(n+1)!﹣1. 故答案为: (n+1) !﹣1. 点评: 本题考查数列与函数的综合应用,函数的导数以及二项式定理的应用,以及赋值法 的应用,考查转化思想以及计算能力. 三、解答题:本大题共 5 小题,每小题分数见旁注,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程 或演算步骤.请在答题卷相应题目的答题区域内作答. 16. (13 分)已知直线两直线 l1:xcosα+ y﹣1=0;l2:y=xsin(α+ B,C 对边分别为 a,b,c,a=2 (Ⅰ)求 A 值; (Ⅱ)求 b 和△ ABC 的面积. ) ,△ ABC 中,内角 A,

,c=4,且当 α=A 时,两直线恰好相互垂直;

考点: 余弦定理;正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: (Ⅰ)由 α=A,表示出两直线的斜率,由两直线垂直时斜率乘积为﹣1 列出关系式, 整理求出 A 的值即可; (Ⅱ)由余弦定理列出关系式,把 a,c,cosA 的值代入求出 b 的值,再由 b,c,sinA 的值, 利用三角形面积公式即可求出三角形 ABC 面积. 解答: 解: (Ⅰ)当 α=A 时,直线 l1:xcosα+ y﹣1=0;l2:y=xsin(α+ k1=﹣2cosA,k2=sin(A+ ∵两直线相互垂直, ) , )的斜率分别为

∴k1k2=﹣2cosAsin(A+ 整理得:cosA( 化简得: sin2A+

)=﹣1,即 cosAsin(A+

)= ,
2

sinA+ cosA)= ,即 = ,即

sinAcosA+ cos A= , )= ,

sin2A+ cos2A=sin(2A+

∵0<A<π,即 0<2A<2π, ∴ <2A+ = < , ; , ,即 12=b +16﹣4b,
2

∴2A+

,即 A=

(Ⅱ)∵a=2

,c=4,A=
2 2 2

∴由余弦定理得:a =b +c ﹣2bccos 解得:b=2, 则 S△ ABC= bcsinA= ×4×2× =2



点评: 此题考查了余弦定理,三角形面积公式,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握余弦 定理是解本题的关键. 17. (13 分)甲、乙两人为了响应政府“节能减排”的号召,决定各购置一辆纯电动汽车.经了 解目前市场上销售的主流纯电动汽车,按续驶里程数 R(单位:公里)可分为三类车型,A: 80≤R<150,B:150≤R<250,C:R≥250.甲从 A,B,C 三类车型中挑选,乙从 B,C 两类 车型中挑选,甲、乙二人选择各类车型的概率如下表: 车型 概率 人 A B C 甲 乙 / . p q

若甲、乙都选 C 类车型的概率为

(Ⅰ)求 p,q 的值; (Ⅱ)求甲、乙选择不同车型的概率; (Ⅲ)某市对购买纯电动汽车进行补贴,补贴标准如下表: 车型 A B C 补贴金额(万元/辆) 3 4 5 记甲、乙两人购车所获得的财政补贴和为 X,求 X 的分布列. 考点: 离散型随机变量及其分布列;概率的应用. 专题: 概率与统计. 分析: (Ⅰ)利用已知条件列出方程组,即可求解 p,q 的值.

(Ⅱ)设“甲、乙选择不同车型”为事件 A,分情况直接求解甲、乙选择不同车型的概率. (Ⅲ)X 可能取值为 7,8,9,10.分别求解概率,即可得到分布列.

解答: 解: (Ⅰ)由题意可得

解得





…(4 分)

(Ⅱ)设“甲、乙选择不同车型”为事件 A,分三种情况,甲选车型 A,甲选车型 B,甲选车型 C,满足题意的概率为:P(A)= 答:所以甲、乙选择不同车型的概率是 . (Ⅲ)X 可能取值为 7,8,9,10. P(X=7)= P(X=9)= 所以 X 的分布列为: X 7 P …(13 分) 点评: 本题考查离散型随机变量的分布列的求法,概率的应用,考查分析问题解决问题的 能力. 18. (13 分)如图,已知直线 l 与抛物线 x =4y 相切于点 P(2,1) ,且与 x 轴交于点 A,定点 B 的坐标为(2,0) . (Ⅰ)若动点 Q 满足 ? + | |=0,求点 Q 的轨迹 C 的方程;
2

. …(7 分)

=

,P(X=8)= = ; P(X=10)=

= , = .

8

9

10

(Ⅱ)设椭圆 Γ 的中心在原点,对称轴在坐标轴上,直线 l:y=kx+t(k≠0,t≠0)与轨迹 C 交 于 M,N 两点,且与椭圆 Γ 交于 H,K 两点.若线段 MN 与线段 HK 的中点重合,求椭圆 Γ 的离心率.

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程.

分析: (I)对抛物线方程进行求导,求得直线 l 的斜率,设出 Q 的坐标,利用 ? + | |=0 求得 x 和 y 的关系.

(II)设椭圆 E 的方程,根据 M,N 在椭圆 C 上,设点的坐标,代入两式相减并恒等变形得 斜率,同理由 H,K 在椭圆 E 上,得斜率,利用弦 AB 的中点与弦 HK 的中点重合,建立方程, 从而可得椭圆 E 的离心率,即可得到结论. 解答: 解: (Ⅰ)由 x =4y 得 y=
2

,∴y′= x.

∴直线 l 的斜率为 y′|x=2=1, 故 l 的方程为 y=x﹣1,∴点 A 的坐标为(1,0) . 设 Q(x,y) ,则 由 ? + | =(1,0) , |=0, . . =(x﹣2,y) , =(x﹣1,y) ,

整理,得

(II)设椭圆 Γ 的方程为 (x3,y3) ,K(x4,y4) . ∵M,N 在椭圆 C 上,

(m>0,n>0,m≠n) ,并设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,H

∴x1 +2y1 =2,且 x2 +2y2 =2,两式相减并恒等变形得 k=﹣2×

2

2

2

2



由 H,K 在椭圆 E 上,仿前述方法可得 k=﹣ ∵弦 AB 的中点与弦 HK 的中点重合,∴m =2n , 求得椭圆 E 的离心率 e= = .
2 2



点评: 本题主要考查椭圆的标准方程、圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基 础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查分类整合思想、数形结合思想、化归转化思 想等. 19. (13 分)已知△ ABC 中,∠ACB=45°,B、C 为定点且 BC=3,A 为动点,作 AD⊥BC 于 D(异于点 B) ,如图 1 所示.连接 AB,将△ ABD 沿 AD 折起,使平面 ABD⊥平面 ADC,如 图 2 所示. (Ⅰ)求证:AB⊥CD; (Ⅱ)当三棱锥 A﹣BCD 的体积取得最大值时,求线段 AC 的长; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,分别取 BC,AC 的中点 E、M,试在棱 CD 上确定一点 N,使得 EN⊥BM,并求此时 EN 与平面 BMN 所成角的大小.

考点: 直线与平面所成的角;棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 综合题;空间位置关系与距离;空间角. 分析: (Ⅰ)证明 CD⊥平面 ABD,即可证明 AB⊥CD; (Ⅱ)设 BD=x,先利用线面垂直的判定定理证明 AD 即为三棱锥 A﹣BCD 的高,再将三棱锥 的体积表示为 x 的函数,最后利用导数求函数的最大值即可; (Ⅲ)由(Ⅱ)可先建立空间直角坐标系,写出相关点的坐标和相关向量的坐标,设出动点 N 的坐标,先利用线线垂直的充要条件计算出 N 点坐标,从而确定 N 点位置,再求平面 BMN 的法向量,从而利用夹角公式即可求得所求线面角 解答: (Ⅰ)证明:∵BD⊥AD,CD⊥AD,平面 ABD⊥平面 ADC, ∴∠BDC=90°, ∴CD⊥BD, ∵CD⊥AD,AD∩BD=D, ∴CD⊥平面 ABD, ∵AB?平面 ABD, ∴AB⊥CD; (Ⅱ)解:设 BD=x,则 CD=3﹣x ∵∠ACB=45°,AD⊥BC,∴AD=CD=3﹣x ∵折起前 AD⊥BC,∴折起后 AD⊥BD,AD⊥CD,BD∩DC=D ∴AD⊥平面 BCD ∴VA﹣BCD= ×AD×S△ BCD= ×(3﹣x)× ×x(3﹣x)= (x ﹣6x +9x) 设 f(x)= (x ﹣6x +9x) x∈(0,3) , ∵f′(x)= (x﹣1) (x﹣3) ,∴f(x)在(0,1)上为增函数,在(1,3)上为减函数 ∴当 x=1 时,函数 f(x)取最大值 ∴当 BD=1 时,三棱锥 A﹣BCD 的体积最大,此时 AC=2 ; (Ⅲ)解:以 D 为原点,建立如图直角坐标系 D﹣xyz,由(Ⅱ)知,三棱锥 A﹣BCD 的体积 最大时,BD=1,AD=CD=2 ∴D(0,0,0) ,B(1,0,0) ,C(0,2,0) ,A(0,0,2) ,M(0,1,1) ,E( ,1,0) , 且 =(﹣1,1,1) =(﹣ ,λ﹣1,0)
3 2 3 2

设 N(0,λ,0) ,则

∵EN⊥BM,∴

?

=0

即(﹣1,1,1)?(﹣ ,λ﹣1,0)= +λ﹣1=0,∴λ= ,∴N(0, ,0) ∴当 DN= 时,EN⊥BM 设平面 BMN 的一个法向量为 =(x,y,z) , 由 =(﹣1,1,1)及 =(﹣1, ,0)



,取 =(1,2,﹣1)

设 EN 与平面 BMN 所成角为 θ,则

=(﹣ ,﹣ ,0)

sinθ=|cos<

, >|=

=

∴θ=60° ∴EN 与平面 BMN 所成角的大小为 60°.

点评: 本题主要考查了线面垂直的判定,折叠问题中的不变量,空间线面角的计算方法, 空间向量、空间直角坐标系的运用,有一定的运算量,属中档题. 20. (14 分)已知函数 f(x)=xe +ax ﹣x, (a∈R,e 为自然对数的底数,且 e=2.718…) . (Ⅰ)若 a=﹣ ,求曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程; (Ⅱ)若对于 x≥0 时,恒有 f′(x)﹣f(x)≥(4a+1)x 成立,求实数 a 的取值范围; (Ⅲ)当 n∈N 时,证明:
* x 2



考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性. 专题: 导数的综合应用.

分析: (I)a=﹣ 时,f(x)=xe ﹣ x ﹣x,f′(x)=(x+1)e ﹣x﹣1,利用导数的几何意 义可得切线的斜率 f′(1)=2e﹣2,利用点斜式即可得出切线方程; x 2 x 2 (II)f′(x)﹣f(x)≥(4a+1)x 化为 e ﹣ax ﹣2ax﹣1≥0,令 g(x)=e ﹣ax ﹣2ax﹣1,x∈[0, +∞) ,g(0)=0.对于 x≥0 时, 恒有 f′(x)﹣f(x)≥(4a+1)x 成立?g(x)min≥0,对 a 分类讨论,利用导数研究其单调性 极值与最值即可得出. (III)由(II)可知:当 a= 时,e ﹣ax ﹣2ax﹣1≥0 在 x∈[0,+∞)上恒成立,可得 e ﹣1≥ +x, 可得 e ≥x+1,令 n=1,2,…, 2 n 则 e≥1+1,e ≥2+1,…,e ≥n+1,“累加求和”即可得出 解答: (I)解:a=﹣ 时,f(x)=xe ﹣ x ﹣x, ∴f′(x)=(x+1)e ﹣x﹣1, ∴f′(1)=2e﹣2, 又 f(1)=e﹣ , ∴曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程为 =(2e﹣2) (x﹣1) , 化为(2e﹣2)x﹣y+ ﹣e=0. (II)解:f′(x)﹣f(x)≥(4a+1)x 化为 e ﹣ax ﹣2ax﹣1≥0, x 2 令 g(x)=e ﹣ax ﹣2ax﹣1,x∈[0,+∞) ,g(0)=0. x 则 g′(x)=e ﹣2ax﹣2a,当 a≤0 时,g′(x)>0,因此 g(x)在 x∈[0,+∞)单调递增, ∴g(x)≥g(0)=0,满足条件. 当0 时,g (x)=e ﹣2a>0,g′(x)在 x∈[0,+∞)单调递增,
″ x x 2 x x 2 x x 2 x

x

2

x

∴g′(x)≥g′(0)=1﹣2a≥0, ∴g(x)在 x∈[0,+∞)单调递增,满足条件; 当a


时,令 g (x)=0,解得 x=ln(2a)>0,



∴令 g (x)>0,解得 x>ln(2a) ,此时函数 g′(x)单调递增; ″ 令 g (x)<0,解得 0<x<ln(2a) ,此时函数 g′(x)单调递减. ∴当 x=ln(2a)时,函数 g′(x)取得最小值,g′(ln(2a) )=2a﹣2aln2a﹣2a=﹣2aln(2a)< 0,g′(0)=1﹣2a<0, ∴g(x)在[0,ln(2a) )上单调递减, ∴g(x)<g(0)=0,不满足条件,舍去. 综上可得:对于 x≥0 时,恒有 f′(x)﹣f(x)≥(4a+1)x 成立,则实数 a 的取值范围是(﹣ ∞. ) ; (III)证明:由(II)可知:当 a= 时,e ﹣ax ﹣2ax﹣1≥0 在 x∈[0,+∞)上恒成立, ∴e ﹣1≥ +x,
x x 2

∴e ≥x+1 2 n 令 n=1,2,…,则 e≥1+1,e ≥2+1,…,e ≥n+1 ∴ = ≥n+ ≥

x

点评: 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、几何意义、切线方程、证明不 等式,考查了分类讨论的思想方法,恒等变形能力,考查了推理能力与计算能力,属于难题. 本题设有 21、22、23 三个选考题,每题 7 分,请考生任选 2 题作答,满分 7 分.如果多做, 则按前两题计分.选修 4-2:矩阵与变换 21. (7 分)如图,矩形 OABC 在变换 T 的作用下变成了平行四边形 OA′B′C′,变换 T 所对应 的矩阵为 M,矩阵 N 是把坐标平面上的点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标伸长到原来的 3 倍的变换所对应的矩阵. (Ⅰ)求矩阵 M,N; (Ⅱ)直线 l 先在矩阵 M,再在矩阵 N 所对应的线性变换作用下像的方程为 x+y+1=0.求直 线 l 的方程.

考点: 几种特殊的矩阵变换. 专题: 矩阵和变换.

分析: (Ⅰ)设 T

,由题意可得

解得 a,b,c,d 的值,即可求得矩

阵 M,N. (Ⅱ)设直线 l 上任一点(x,y)依次在矩阵 M,N 即矩阵 NM 所对应的线性变换作用下对 应点(x′,y′) ,可得 代入 x′+y′+1=0 即可得解.

解答: 解: (Ⅰ)设 T

,A(2,0)→A′(0,2) ,B′(2,1)→B′(﹣1,3) ,



解得

,即有 M=

,N=

…4 分

(Ⅱ)NM=



设直线 l 上任一点(x,y)依次在矩阵 M,N 即矩阵 NM 所对应的线性变换作用下对应点(x′, y′) , 则 代入 x′+y′+1=0 可得 3x+y+1=0,

所以,直线 l 的方程是 3x+y+1=0…7 分 点评: 本题考查了矩阵变换的性质,矩阵的乘法,属于中档题. 选修 4-4:极坐标与参数方程(共 1 小题,满分 7 分) 22. (7 分)已知椭圆 C: =1,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系(取 )═﹣ .

同样单位长度) ,直线 l 的极坐标方程为 ρcos(θ+

(Ⅰ)写出椭圆 C 的参数方程及直线 l 的直角坐标方程; (Ⅱ)求椭圆 C 上的点 P 到直线 l 的距离的最大值. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 2 2 分析: (I)利用 sin α+cos α=1 即可把曲线 C 的普通方程化为参数方程;利用 x=ρcosθ, y=ρsinθ,可得直线 l 的直角坐标方程; (II)设与直线 l 平行且与椭圆相切的直线方程,与椭圆方程联立,令△ =0,解得 m,求出两 条平行线之间的距离即可. 解答: 解: (I)利用 sin α+cos α=1,可得圆 C 的参数方程为 ρcos(θ+ )=﹣ ,可化为 ρcosθ﹣ ρsinθ=﹣ ,
2 2



∴直线 l 的直角坐标方程为 x﹣ y+9=0; (II)设与直线 l 平行且与椭圆相切的直线方程为 x﹣ 与椭圆方程联立,化为 令△ =0,化为 m =13,解得 m=± 取 m= , 则 M 到直线 l 的距离的最大值
2

y+m=0, ,





点评: 本题主要考查曲线的参数方程与极坐标方程、直线的极坐标方程、直线与椭圆相切 问题、平行线之间的距离等基础知识,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 选修 4-5:不等式选讲(共 1 小题,满分 0 分) 23.已知函数 f(x)= (m>0)的定义域为 R

(Ⅰ)求实数 m 的取值范围; 2 2 2 (Ⅱ)若 a,b∈R,且 a+b+m=4,a +b +m =16,求实数 m 的值.

考点: 二维形式的柯西不等式. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: (Ⅰ)由题意可得|x+1|+|x﹣m|≥5 恒成立,故|(x+1)﹣(x﹣m)|≥5,由此求得实数 m 的取值范围. 2 2 2 (Ⅱ)根据 a,b∈R,且 a+b+m=4,a +b +m =16,且 m≤﹣6 或 m≥4,求得实数 m 的值. 解答: 解: (Ⅰ)由于函数 f(x)= (m>0)的定义域为 R,

∴|x+1|+|x﹣m|≥5 恒成立,故|(x+1)﹣(x﹣m)|=|1+m|≥5, ∴m+1≤﹣5 或 m+1≥5,求得 m≤﹣6 或 m≥4, 故实数 m 的取值范围为(﹣∞,﹣6]∪[4,+∞) . 2 2 2 (Ⅱ)若 a,b∈R,且 a+b+m=4,a +b +m =16,再由(Ⅰ)可得 m≤﹣6 或 m≥4, ∴实数 m=4. 点评: 本题主要考查函数的恒成立问题,绝对值三角不等式,属于中档题.


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