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3.8应 用 举 例


第 八 节
应 用 举 例

考纲 考情 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与 测量和几何计算有关的实际问题 13年(4考):新课标全国卷ⅡT17 江苏T18 福建T13 浙江T16 三年 12年(4考):江西T17 天津T6 浙江T18 考题 新课标全国卷T17 11年(3考):安徽T14 天津T6 山东T17 1.应用正、余弦定理及

面积公式解三角形是高考考查的 热点 考情 2.常与角度、方向、距离及测量等问题有关的实际问题 播报 相结合命题 3.三种题型都有可能出现,属中低档题

三年11考

高考指数:★★★☆☆

【知识梳理】 1.三角形中常用的面积公式 (1)S= 1 ah(h表示边a上的高).
2 1 1 acsin B (2)S= 1 bcsinA= 2 = 2 absin C . 2 (3)S= 1 r(a+b+c)(r为三角形的内切圆半径). 2

2.实际应用中的常用术语 术语名称 术语意义 图形表示

在目标视线与水平视线所 成的角中,目标视线在水 仰角与俯角 平视线上方的叫做仰角, 目标视线在水平视线下方 的叫做俯角 从某点的指北方向线起按 顺时针方向到目标方向线 之间的水平夹角叫做方位 角.方位角α 的范围是 0°≤α <360°

方位角

术语名称

术语意义

图形表示 例:(1)北偏东m°

方向角

正北或正南方向线与目标 方向线所成的锐角,通常 表达为北(南)偏东 (2)南偏西n° (西)××度

术语名称

术语意义

图形表示

坡角

坡面与水平面的夹角

设坡角为α ,坡度
为i,则i= h =tanα
l

坡度

坡面的垂直高度h和水平宽 度l的比

【考点自测】 1.(思考)给出下列命题: ①面积公式中S= 1 bcsin A=
2 2 2 2 1 1 absin C= acsin B,其实质就 2 2

是面积公式S= 1 ah= 1 bh= 1 ch(h为相应边上的高)的变形; ②俯角是铅垂线与视线所成的角,其范围为[0, ? ];
2

③方位角与方向角其实质是一样的,均是确定观察点与目标点 之间的位置关系;

④方位角大小的范围是[0,2π ),方向角大小的范围一般是 [0, ? ).
2

其中正确的是( A.①②

) C.①②③ D.②④

B.①③④

【解析】选B.①正确.如S= 1 absin C= 1 ah(h=bsin C) ,h即为
2 2

边a上的高. ②错误.俯角是视线与水平线所构成的角. ③正确.方位角与方向角均是确定观察点与目标点之间的位置 关系的. ④正确.方位角是由正北方向顺时针转到目标方向线的水平角, 故大小的范围为[0,2π),而方向角大小的范围由定义可 知为[0, ? ).
2

2.两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等,灯塔A在观察站 南偏西40°,灯塔B在观察站南偏东60°,则灯塔A在灯塔B 的( ) B.北偏西10° D.南偏西80°

A.北偏东10° C.南偏东80°

【解析】选D.由条件可知,∠A=∠B=40°, 又∠BCD=60°,所以∠CBD=30°,所以 ∠DBA=10°,因此灯塔A在灯塔B的南偏西80°.

3.如图所示,D,C,B三点在地面的同一直 线上,DC=a,从C,D两点测得A点的仰角 分别为60°,30°,则A点离地面的高度AB 等于(
1 A. a 2 C. 3a

)
3a B. 2 3 D. a 3

【解析】选B.因为∠DAC=∠ACB-∠D=60°-30°=30°, 所以AC=CD=a,在Rt△ABC中,AB=AC·sin 60°=
3 a. 2

4.某工程中要将一长为100 m,倾斜角为75° 的斜坡,改造成倾斜角为30°的斜坡,并保 持坡高不变,则坡底需加长(
A.100 2 m C.50

)

?

2? 6 m

?

B.100 3 m D.200 m

【解析】选A.设坡底需加长x m,
由正弦定理得 100 ?
sin 30? x 解得x=100 2 . , sin 45?

5.(2014·莆田模拟)甲船在A处观察乙船,乙船在它的北偏东 60°的方向,两船相距a海里的B处,乙船正向北行驶,若甲船

是乙船速度的 3 倍,甲船为了尽快追上乙船,则应取北偏东
(填角度)的方向前进.

【解析】设两船在C处相遇,则由题意∠ABC= 180°-60°=120°,且 AC = 3,
BC 由正弦定理得 AC = sin 120? = 3 ? sin?BAC= 1 . BC sin?BAC 2

又0°<∠BAC<60°,所以∠BAC=30°. 答案:30°

6.船向正北航行,看见正东方向有相距8海里的两个灯塔恰好在

一条直线上.继续航行半小时后,看见一灯塔在船的南偏东60°,
另一灯塔在船的南偏东75°,则这艘船每小时航行 海里.

【解析】如图,由题意知在△ABC中,

∠ACB=75°-60°=15°,∠B=15°,
所以AC=AB=8. 在Rt△AOC中,OC=AC·sin30°=4. 所以这艘船每小时航行 4 =8(海里). 答案:8
1 2

考点1

测量距离问题

【典例1】(1)(2014·汕头模拟)如图,为 测量河对岸A,B两点间的距离,在河岸选 取相距40米的C,D两点,测得∠BCA=60°, ∠ACD=30°,∠CDB=45°,∠BDA=60°,则A,B间距离为 米.

(2)(2014·泰安模拟)如图,A,B是海面上位于东西方向相距 5(3+ 3 )海里的两个观测点,现位于A点北偏东45°,B点北偏 西60°的D点有一艘轮船发出求救信号,位于B点南偏西60°且 与B点相距20 3 海里的C点的救援船立即前往营救,其航行速度 为30海里/小时,该救援船到达D点需要多长时间?

【解题视点】(1)观察AB所在的三角形,根据已知条件求出有关 的边角再求解. (2)已知速度,要求时间,只要求出路程,即CD的长即可;再观察 CD所在的三角形,确定已知条件较集中的三角形求解.

【规范解答】(1)由已知得,∠BCD=30°+60°=90°,又因为 ∠BDC=45°,CD=40米,所以BD=40 2 米,在△ADC中, ∠ADC=60°+45°=105°, 所以∠CAD=180°-105°-30°=45°,

由正弦定理,得 AD ? CD sin?ACD ? 40 ? sin 30? ? 20 2.
sin?CAD sin 45?

在△ADB中,由余弦定理,得AB2=AD2+DB2-2AD·DBcos∠ADB
2 2 ? (20 2)( ? 40 2) -2 ? 20 2 ? 40 2cos 60? ? 2 400,

所以AB= 20 6(米).

答案: 20 6

(2)由题意知AB=5(3+ 3 )海里, 因为∠DAB=90°-45°=45°,∠DBA=90°-60°=30°, 所以∠ADB=180°-(45°+30°)=105°, 在△ADB中,由正弦定理,得 所以 DB ? AB sin?DAB ?
sin?ADB
DB AB ? , sin?DAB sin?ADB

5 3 ? 3 sin 45? sin 105?
5 3? 3 ? 2 6 ? 4 4

?

?

( 5 3 ? 3)sin 45? = ? sin 45?cos 60? ? cos 45?sin 60? 5 3 3 ?1 = ? 10 3(海里), 3 ?1 2

?

?

2 2

?

?

又因为∠DBC=∠DBA+∠ABC=30°+(90°-60°)=60°, 所以在△DBC中,由余弦定理,得

CD2=BD2+BC2-2BD·BCcos∠DBC
? 300 ? 1 200-2 ?10 3 ? 20 3 ? 1 ? 900, 2

所以CD=30(海里),
所以需要的时间t= 30 =1(小时),
30

即救援船到达D点需要1小时.

【互动探究】本例(2)中若不知救援船的速度,其他条件不
变,要求救援船必须在40分钟内到达,则救援船的最小速度

为多少?
【解析】设救援船的速度为v海里/小时,由例题解析可求得 CD=30海里,由30 ? 40 得v≥45.
v 60

即救援船的最小速度为45海里/小时.

【易错警示】注意开方 本例第(1)题在利用余弦定理时,很容易忽略对最后的结果开 方,从而导致结果错误,在应用余弦定理时一定要注意对最后 的结果开方. 【规律方法】距离问题的类型及解法 (1)类型:测量距离问题分为三种类型:两点间不可达又不可 视、两点间可视但不可达、两点都不可达 . (2)解法:选择合适的辅助测量点,构造三角形,将问题转化 为求某个三角形的边长问题,从而利用正余弦定理求解 .

解三角形应用题的两种情形 (1)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个 三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解 . (2)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及两个或两个 以上的三角形,这时需作出这些三角形,先解能求解的三角形,

然后逐步求解其他三角形,有时需设出未知量,从几个三角形
中列出方程(组),解方程(组)得出所要求的解.

【变式训练】某人在M汽车站的北偏西20°的方向上的A处,观 察到点C处有一辆汽车沿公路向M站行驶.公路的走向是M站的北 偏东40°.开始时,汽车到A的距离为31千米,汽车前进20千米 后,到A的距离缩短了10千米.此时汽车离汽车站的距离是____.

【解析】由题设,画出示意图,设汽车前进20千米后到达B处. 在△ABC中,AC=31,BC=20,AB=21,由余弦定理,得
AC2 ? BC2 ? AB2 23 cos C ? ? , 2AC BC 31 12 3 则 sin 2C ? 1 ? cos 2C ? 432 ,sin C ? , 312 31

所以sin∠MAC = sin(120°-C) =sin 120°cos C-cos 120°sin C = 35 3 .
62

在△MAC中,由正弦定理,得
ACsin?MAC 31 35 3 MC ? ? ? ? 35, sin?AMC 62 3 2

从而有MB=MC-BC=15(千米), 所以汽车还需要行驶15千米才能到达M汽车站.

答案:15千米

【加固训练】
1.甲船在岛B的正南A处,AB=10千米.甲船以每小时4千米的速

度向北航行,同时,乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏
东60°的方向驶去.当甲船在A,B之间,且甲、乙两船相距最 近时,它们所航行的时间是(
150 分钟 7 C.21.5分钟 A. 15 小时 7 D.2.15分钟 B.

)

【解析】选A.如图,设航行x小时,甲船航行到C处,乙船航行 到D处,在△BCD中,BC=10-4x,BD=6x,∠CBD=120°,两船相 距S千米,根据余弦定理可得, DC2=BD2+BC2-2BC·BDcos∠CBD =(6x)2+(10-4x)2-2×6x(10-4x)·cos 120°, 即S2=28x2-20x+100
20 2 20 2 )? 100-28 ? ( ) , 56 56 5 150 20 5 所以当 x ? ? 时,S2最小,从而S也最小,即航行 ? 60 ? 14 7 56 14 ? 28 (x-

分钟时两船相距最近.故选A.

2.如图所示,一艘海轮从A处出发,测得灯 塔在海轮的北偏东15°方向,与海轮相距 20海里的B处,海轮按北偏西60°的方向航 行了30分钟后到达C处,又测得灯塔在海轮的北偏东75°的方 向,则海轮的速度为 海里/分钟.

【解析】由已知得∠ACB=45°,∠B=60°, 由正弦定理得 AC =
AB , sin B sin ?ACB 所以 AC= AB sin B = 20 ? sin 60? =10 6, sin?ACB sin 45? 所以海轮航行的速度为 10 6 = 6 (海里/分钟). 30 3 答案: 6 3

考点2

测量高度、角度问题

【典例2】(1)(2014·吉安模拟)要测量底部不 能到达的电视塔AB的高度,在C点测得塔顶A的 仰角是45°,在D点测得塔顶A的仰角是30°, 并测得水平面上的∠BCD=120°,CD=40 m,则电视塔的高度 为 m.

(2)在海岸A处,发现北偏东45°方向,距A处( 3 -1)n mile的B 处有一艘走私船,在A处北偏西75°的方向,距离A处2n mile的 C处的缉私船奉命以10 3 n mile/h的速度追截走私船.此时,走 私船正以10n mile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜,问缉 私船沿着什么方向能最快追上走私船?

【解题视点】(1)点A与点B,C,D不在同一个平面内,且AB⊥平面 BCD,故本题的数学模型为三棱锥,根据已知条件和所求三角形 的联系求解. (2)注意到最快追上走私船且两船所用时间相等 ,若在D处相遇, 则可先在△ABC中求出BC,再在△BCD中求∠BCD.

【规范解答】(1)如图,设电视塔AB高为xm,

则在Rt△ABC中,由∠ACB=45°,得BC=x. 在Rt△ADB中,∠ADB=30°,

所以BD= 3 x.

在△BDC中,由余弦定理,得 BD2=BC2+CD2-2BC·CD·cos120°, 即( 3 x)2=x2+402-2·x·40·cos120°, 解得x=40,所以电视塔高为40 m. 答案:40

(2)设缉私船用t h在D处追上走私船, 如图, 则有CD=10 3 t,BD=10t,

在△ABC中,因为AB= 3-1,AC=2,∠BAC=120°,
所以由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos∠BAC
=( 3- 1)2+22-2 ? ( 3- 1) ? 2 cos 120?=6,

所以BC= 6 ,

AC BC = , sin ?ABC sin ?BAC 所以 sin?ABC= AC sin?BAC= 2 ? 3 = 2 . BC 2 6 2

在△ABC中,由正弦定理,得

所以∠ABC=45°,所以BC与正北方向垂直. 因为∠CBD=90°+30°=120°,
BD CD = , sin?BCD sin?CBD 所以 sin?BCD= BD sin?CBD =10tsin 120?= 1 , CD 2 10 3t

在△BCD中,由正弦定理,得

所以∠BCD=30°. 即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船.

【规律方法】 1.求解高度问题的三个关注点 (1)在处理有关高度问题时,要理解仰角、俯角 (它是在铅垂面 上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键. (2)在实际问题中,可能会遇到空间与平面 (地面)同时研究的

问题,这时最好画两个图形,一个空间图形,一个平面图形,
这样处理起来既清楚又不容易搞错.

(3)注意竖直线垂直于地面构成的直角三角形.

2.测量角度问题的基本思路 测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上,画出表示实际问 题的图形,并在图形中标出有关的角和距离,再用正弦定理或 余弦定理解三角形,最后将解得的结果转化为实际问题的解 .

提醒:方向角是相对于某点而言的,因此在确定方向角时,必
须先弄清楚是哪一个点的方向角.

【变式训练】(2014·大连模拟) 如图,测量
河对岸的塔高AB时,可以选与塔底B在同一水

平面内的两个观测点C与D,测得∠BCD=15°,
∠BDC=135°,CD=30 m,并在点C处测得塔顶A的仰角为30°,

则塔高AB为(
A.10 2 m C.15 6 m

)
B.10 3 m D.10 6 m

【解析】选D.在△BCD中,∠CBD=180°-15°-135°=30°,
BC CD = , sin?BDC sin?CBD 所以 BC= 30sin 135? =30 2 ? m ? . sin 30?

由正弦定理,得

在Rt△ABC中,AB=BC·tan∠ACB=30 2 tan 30°=10 6 (m).

【加固训练】 1.地面上有两座塔AB,CD,相距120米,一人分别在两塔底测 得一塔顶的仰角是另一塔顶仰角的2倍,在两塔底连线的中点O 处测得塔顶的仰角互为余角,则两塔的高度分别为( A.50米,100米 C.40米,50米 B.40米,90米 D.30米,40米 )

【解析】选B.设高塔高H,矮塔高h,在矮塔下望高塔仰角为α, 在O点望高塔仰角为b. 分别在两塔底部测得一塔顶仰角是另一塔顶仰角的两倍,所以 在高塔下望矮塔仰角为 ? , 即 tan ? ? H , tan ? ? h ,
120 2 120 2

h 120 ①, 根据倍角公式有 H ? h 2 120 1 ? ( ) 120 2?

在塔底连线的中点O测得两塔顶的仰角互为余角,所以在 O点望 矮塔仰角为 ? ? b,
h 即 tan b ? H , tan( ? ? b) ? , 60 2 2 60 根据诱导公式有 H ? 60 ②, 60 h

联立①②得H=90,h=40. 即两座塔的高度为40米,90米,故选B.

2.在一次海上联合作战演习中,红方一艘侦 察艇发现在北偏东45°方向,相距12 n mile 的水面上,有蓝方一艘小艇正以每小时 10 n mile的速度沿南偏东75°方向前进,若侦察艇以每小时 14 n mile的速度沿北偏东45°+α 方向拦截蓝方的小艇.若要 在最短的时间内拦截住,求红方侦察艇所需的时间和角α 的正

弦值.

【解析】如图,设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的 小艇,

则AC=14x,BC=10x,∠ABC=120°.
根据余弦定理得(14x)2=122+(10x)2-240xcos 120°,

解得x=2.故AC=28,BC=20. 根据正弦定理得 BC = AC ,
sin ? sin 120? 解得 sin ?= 20sin 120?=5 3 . 28 14

所以红方侦察艇所需要的时间为2小时,角α的正弦值为 5 3 .
14

考点3

三角形的面积公式的应用

高频考点 通 关

【考情】与三角形的面积有关的问题是高考的热点.在高考中 以解答题的形式出现,考查面积的计算、最值,根据面积求边、 角等问题.

【典例3】(1)(2013·新课标全国卷Ⅱ)△ABC的内角A,B,C的对
? ? 则△ABC的面积为( 边分别为a,b,c,已知b=2, B ? ,C ? , 6 4

)

A.2 3 ? 2 C.2 3 ? 2

B. 3 ? 1 D. 3 ? 1

(2)(2014·三亚模拟) 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别
? 若△ABC的面积等于 是a,b,c,已知c=2, C? . 3 ,则a= 3

,b=

.

【解题视点】(1)先由正弦定理求出边c,再由面积公式求解. (2)根据余弦定理及面积构造含有a,b的方程组求解.

【规范解答】(1)选B.因为 B ? ? ,C ? ? , 所以 A ? 7 ? . 由正弦定理得 b ? c , 解得 c ? 2 2. ? ?
sin
6 4 12

sin 6 1 4 所以三角形的面积为 bcsin A ? 1 ? 2 ? 2 2sin 7 ? . 2 2 12

3 2 2 1 因为 sin 7? ? sin( ? ? ? ) ? ? ? ?

12 3 4 2 2 2 2 2 3 1 ? ( ? ), 2 2 2 3 1 所以 1 bcsin A ? 2 2 ? 2 选B. ( ? ) ? 3 ?1 , 2 2 2 2

(2)由余弦定理及已知条件,得a2+b2-ab=4, 又因为△ABC的面积等于 3 , 即
1 absin C= 3 ,所以ab=4. 2

2 2 a ? 2, ? a ? b ? ab ? 4, 由? 解得 ? ? ? b ? 2. ?ab ? 4,

答案:2

2

【通关锦囊】 高考指数 ◆◆◆ 重点题型 求面积 已知面积 求边、角问 题 求面积的 最值问题 破 解 策 略

对于已知边、角求面积的问题,应考 虑求出两边之积与夹角的正弦 面积公式中含有两边夹角共四个量, 故可利用其构造方程知三求一 将面积用边角表示,利用函数或基本 不等式求最值

◆◆◆

◆◆◆

【关注题型】

面积与向量 ◆◇◇ 相结合的问 题

向量数量积中涉及边角问题,而面积中 也涉及边角问题,二者问题可相互联系

【通关题组】
1.(2014·石家庄模拟)在△ABC中,面积S=a2-(b-c)2,则

cos A=(
A. 8 17 B.

)
15 17 C. 13 15 D. 13 17

【解析】选B.S=a2-(b-c)2=a2-b2-c2+2bc=2bc-2bccos A=
1 bcsin A,所以sin A=4(1-cos A),16(1-cos A)2+cos2A=1, 2 所以cos A=15 . 17

2.(2014·厦门模拟)若△ABC中,b=3,B= ? ,则该三角形面
3

积的最大值为

.
3

【解析】由b=3,B= ? 及余弦定理可得

9=b2=a2+c2-2accos ? =a2+c2-ac≥2ac-ac=ac,
3

所以ac≤9,当a=c=3时,取“=”,

所以 S△ABC ? 1 acsin B ? 3 ac ? 3 ? 9 ? 9 3 ,
4 所以S△ABC的最大值为 9 3, 4 2 4 4

当a=b=c=3时取得.
9 答案: 3 4

3.(2011·安徽高考)已知△ABC 的一个内角为120°,并且三 边长构成公差为4的等差数列,则△ABC的面积为 .

【解析】设三角形一边长为x,则另两边的长为x-4,x+4,那么 (x+4)2=x2+(x-4)2-2x(x-4)cos 120°, 解得x=10,所以S△ABC= 1 ×10×6×sin 120°= 15 3.
2

答案: 15 3

【加固训练】 1. (2011·福建高考)若△ABC的面积为 3,BC=2,C=60°, 则边AB的长度等于 .

【解析】在△ABC中,由面积公式,得 S= 1 BC·CA·sin C= 1 ×2·AC·sin 60°
2 3 ? AC ? 3, 2 2

所以AC=2,再由余弦定理,得AB2=BC2+AC2-2AC·BC·cos C= 22+22-2×2×2× 1 =4,所以AB=2.
2

答案:2

2.(2014·南昌模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a, b,c,若b2+c2=a2+bc,且 AC AB=4,则△ABC的面积等于
2 2 2 b ? c ? a bc 1 【解析】由余弦定理,得 cos A ? ? ? , 2bc 2bc 2 又0<A<π,所以A= ? . 3 又 AC AB ? bccos A ? 1 bc ? 4, 所以bc=8. 2 所以 S△ABC ? 1 bcsin A ? 1 ? 8 ? 3 ? 2 3. 2 2 2

.

答案: 2 3

3.(2012·江西高考)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为
? 4 (1)求证:B ? C ? ? . 2

a,b,c,已知 A ? ,bsin( ? C) ? csin( ? B) ? a.

? 4

? 4

(2)若 a ? 2,求△ABC的面积.

【解析】(1)由 bsin( ? ? C) ? csin( ? ? B) ? a,应用正弦定理,得
? ? sin Bsin( ? C) ? sin Csin( ? B) ? sin A, 4 4 2 2 2 2 2 sin B( sin C ? cos C) ? sin C( sin B ? cos B) ? , 2 2 2 2 2
4 4

整理得sin Bcos C-cos Bsin C=1,
即sin(B-C)=1,
由于0 ? B ? 3? 3? ? ,0<C< , 从而B ? C ? . 4 4 2

? 2? B ? C ? ? ? A ?
因此B ?

3? , 4

5? ? ,C ? , 8 8 ? asin B 5? 由a ? 2, A ? ,得b ? ? 2sin , 4 sin A 8 asin C ? c? ? 2sin , sin A 8 1 5? ? 所以 ABC的面积S ? bcsin A ? 2sin sin 2 8 8 ? ? 1 ? 2cos sin ? . 8 8 2

【规范解答6】三角形面积公式的应用 【典例】(12分)(2013·新课标全国卷Ⅱ)△ABC的内角A,B,C的 对边分别为a,b,c,已知a=bcos C+csin B. (1)求B. (2)若b=2,求△ABC面积的最大值.

【审题】分析信息,形成思路
信息提取 思路分析 根据正弦定理→统一为角的条件→根据内 角和定理将角A用B,C表示→利用三角变换 得角B的函数值→求角B 由角B和边b→利用余弦定理构造含有a,c 的等式→利用基本不等式转化为ac的不等 式→将面积用a,c及角B表示→求最值

a=bcosC+ (1) csinB

若b=2,求 (2) △ABC面积 的最大值

【解题】规范步骤,水到渠成

(1)因为a=bcosC+csinB,
所以由正弦定理,得 sin A=sin Bcos C+sin Csin B,
①………2分

所以sin(B+C)=sin Bcos C+sin Csin B②, 即cosBsinC=sinCsinB, 因为sinC≠0, 所以tanB=1,……………………4分 解得B= ? .………………………5分
4

(2)由余弦定理,得b2=a2+c2-2accos ? ,
4

即4=a2+c2- 2 ac③, ………………………………7分 由不等式得a2+c2≥2ac,当且仅当a=c时,取等号, 所以4≥(2- 2 )ac④,解得ac≤4+2 2 , …………9分 所以△ABC的面积为
1 ? 2 acsin ? ? 4 ? 2 2 ? 2 ? 1. 2 4 4

?

?

……………………………………………11分 所以△ABC面积的最大值为 2 +1⑤. ……………………………………………12分

【点题】失分警示,规避误区

失分点

防范措施

①处没由正弦定理将边 若条件中边角混杂,应考虑利用正余 化解,造成思路受阻 弦定理,将边角统一后求解

②处没将角A用角B,C表 当题目中出现三个内角A,B,C时,可利 示 用C=π-(A+B)进行消元
③处不能利用余弦定理 当题目中出现一角一边时,应考虑利 构造含有a,c的方程 用余弦定理构造含有另两边的方程 对于含有a+b,ab,及a2+b2的等式,求 ④处不能利用基本不等 其中一个的范围时,可利用基本不等 式得出ac的范围 式转化为以该量为变量的不等式求解 ⑤处未进行总结导致解 对于解答题,最后要进行总结,对结果 题过程不完整而失分 进行整合

【变题】变式训练,能力迁移

(2013·福建高考)如图,在等腰直角△OPQ中,∠POQ=90°,
OP=2 2 ,点M在线段PQ上.

(1)若OM= 5 ,求PM的长.
(2)若点N在线段MQ上,且∠MON=30°, 问:当∠POM取何值时,△OMN的面积最 小?并求出面积的最小值.

【解析】(1)在△OMP中,∠P=45°,OM= 5 ,OP=2 2 ,

由余弦定理得,OM2=OP2+PM2-2×OP×PM×cos 45°,
得PM2-4PM+3=0,解得PM=1或PM=3. (2)设∠POM=α,0°≤α≤60°,
OM OP ? , sin?OPM sin?OMP 所以 OM ? OPsin 45? , 同理 ON ? OPsin 45? , sin(45? ? ?) sin(75? ? ?)

在△OMP中,由正弦定理,得

故S△OMN= 1 ×OM×ON×sin∠MON
1 OP 2sin 2 45? 1 ? ? ? 4 sin(45? ? ?)sin(75? ? ?) sin(45? ? ?)sin(45? ? ? ? 30?) 1 ? 3 1 sin(45? ? ?) [ sin(45? ? ?) ? cos(45? ? ?)] 2 2 1 ? 3 2 1 sin (45? ? ?) ? sin(45? ? ?)cos(45? ? ?) 2 2 1 ? 3 1 [1 -cos(90? ? 2?)] ? sin(90? ? 2?) 4 4 1 1 ? ? . 3 3 1 3 1 ? sin 2? ? cos 2? ? sin(2? ? 30?) 4 4 4 4 2

2

因为0°≤α≤60°,30°≤2α+30°≤150°,所以当 α=30°时,sin(2α+30°)的最大值为1,此时△OMN的面积 取到最小值.即∠POM=30°时,△OMN的面积最小,其最小值 为 8- 4 3 .


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