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2016届江西省师范大学附属中学高三下学期第三次模拟考试数学(文)试题


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江西师大附中2016届高三第三次模拟考试

文科数学
注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷 3至4页。 2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。 3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效。 4. 考试结束后,将本试题和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷
一 . 选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。 1.已知集合 A ? {x ? Z | x( x ? 3) ? 0} , B ? {x | ln x ? 1} ,则 A ? B ? ( ) A. {0,1, 2} B. {1, 2,3} C. {1, 2} D. {2,3} 2.定义运算

a, b 1, 2 ,则复数 z 对应的点在( ? ad ? bc ,若 z ? c, d i, i 2
B.第二象限
x

) D.第四象限

A.第一象限

C.第三象限

3.已知 a ? R ,“函数 y ? 3 ? a ? 1 有零点”是“函数 y ? log a x 在 (0, ??) 上为减函数”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.我国古代有用一首诗歌形式提出的数列问题:远望巍巍塔七层,红灯向下成倍增,共灯 三百八十一,请问塔顶几盏灯?( ) A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 5.在 ?ABC 中,设 CB ? a , AC ? b ,且 | a |? 2,| b |? 1, a ? b ? ?1 ,则 | AB |? ( A. B. 2

??? ?

?

????

?

?

?

? ?

??? ?



6.已知函数 f ( x) ? sin(2 x ?

?
3

C. 3

D. 2 )

) ,则下列结论错误的是(

A.函数 f ( x) 的最小正周期为 ? B.函数 f ( x) 在区间 [0,

?
4

] 上是增函数

C.函数 f ( x) 的图象可由 g ( x) ? sin 2 x 的图象向右平移 D.函数 f ( x) 的图象关于直线 x ?

?
6

个单位得到

?
3

对称

7.以下四个命题中: ①从匀速传递的产品生产流水线上, 质检员每 10 分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测, 这样的抽样是分层抽样;

②若数据 x1 , x2 , x3 ,? , xn 的方差为,则 2 x1 , 2 x2 , 2 x3 ,? , 2 xn 的方差为 2 ; ③两个随机变量的线性相关性越强,相关系数的绝对值越接近于 1; ④对分类变量 x 与 y 的随机变量 K 2 的观测值 k 来说, k 越小,判断“ x 与 y 有关”的 把握越大. 其中真命题的个数为( A. B. 2

) C. 3 D. 4

8.如图所示的程序框图中,若 f ( x) ? sin x , g ( x) ? cos x , x ? [0, 恒成立,则 m 的最大值是( A. B. ) C.

?
2

] ,且 h( x) ? m

2 2

1 2

D. 0

9 .一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O ? xyz 中的坐标分别是 (2,0, 2) , (2, 2,0) ,

(0, 2, 2) , (0, 0, 0) ,画该四面体三视图中的正视图时,以 zOx 平面为投影面,则得到正视
图可以为( )

A

B

C

D

?x ? 1 2x ? 10.若实数 x, y 满足约束条件 ? y ? 0 则 z ? y 的最小值为( 2 ?x ? y ? 4 ?
A. 16 B. C.



1 2

D.

1 4

11.已知定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f (? x) ? ? f ( x) , f (1 ? x) ? f (1 ? x) ,且当

x ? [0,1] , f ( x) ? log 2 ( x ? 1) ,则 f (31) ? (
A. 0 B. C. 2

) D. ?1

12. 已知偶函数 f ( x) 是定义在 ? x ? R | x ? 0? 上的可导函数, 其导函数为 f ?( x) . 当 x ? 0 时,

f ( x) 4mf (m ? 1) 恒成立.设 m ? 1 ,记 a ? , b ? 2 m f (2 m ) , x m ?1 4m ) c ? (m ? 1) f ( ) ,则 a, b, c 的大小关系为( m ?1 A. a ? b ? c B. a ? b ? c C. b ? a ? c D. b ? a ? c f ?( x) ?

第II卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生 都必须作答。第(22)题~第(24)题未选考题,考生根据要求作答。 二.填空题:本大题共4小题,每小题5分,将答案填在答题纸上 13. 如图, 直线是曲线 y ? f ( x) 在 x ? 4 处的切线, 则 f (4) ? f ?(4) 的值为 .

14 . 已 知 等 差 数 列 {an } 的 前 n 项 和 为 S n , 若 a3 , a5 是 方 程

x 2 ? 8 x ? 15 ? 0 的两根,则 S7 ?



15.在平面直角坐标 xOy 中,已知点 A(1,0), B (4,0) ,若满足条件 PA ? 的轨迹方程为 16.已知椭圆 .

1 PB ,则动点 P 2

x2 y 2 3 , A, B 是椭圆的左、右顶点, P 是 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 e ? 2 2 a b

椭圆上不同于 A, B 的一点,直线 PA, PB 斜倾角分别为 ? , ? ,则 | tan ? ? tan ? | 的最小值 为 .

三.解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 12 分)如图, D 是直角 ?ABC 斜边 BC 上一点, AC ? 3DC . (Ⅰ)若 ?DAC ? 30? ,求角 B 的大小; (Ⅱ)若 BD ? 2 DC ,且 AD ? 2 2 ,求 DC 的长. 18. (本小题满分 12 分) 某校高一年级学生全部参加了 体育科目的达标测试,现从中随机抽取 40 名学生的测 试 成 绩 , 整 理 数 据 并 按 分 数 段 [40,50) , [50, 60) , [60, 70) , [70,80) , [80,90) , [90,100] 进行分组,假设 同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替, 则得 到体育成绩的折线图(如图) . (Ⅰ) 体育成绩大于或等于 70 分的学生常被称为“体育 良好”.已知该校高一年级有 1000 名学生,试估计高一年级中“体育良好”的学生人数; (Ⅱ)为分析学生平时的体育活动情况,现从体育成绩在 [60, 70) 和 [80,90) 的样本学生中随 机抽取 2 人,求在抽取的 2 名学生中,至少有 1 人体育成绩在 [60, 70) 的概率;

19. (本小题满分 12 分)如图,三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AA1 ? 平面 ABC ,

A1

M B1 N

C1

A B

C

BC ? AB ,点 M , N 分别为 A1C1 , A1 B 的中点.

(Ⅰ)求证:平面 A1 BC ? 平面 A1 AB ; (Ⅱ)设平面 MNB1 与平面 BCC1 B1 的交线为,求证: MN ? l . 20. (本小题满分 12 分) 已知抛物线 C : x ? 4 y , 过点 P (t , 0)(其中 t ? 0 )
2

作互相垂直的两直线 l1 , l2 , 直线 l1 与抛物线 C 相切于点 Q(在第一象限内) , 直线 l2 与抛物线 C 相交于 A, B 两点. (Ⅰ)当 t ? 1 时,求直线 l1 的方程; (Ⅱ)求证:直线 l2 恒过定点. 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? e (2 x ? 1) ? ax ? a ( a ? R ) ,e 为 自然对数的底数. (Ⅰ) 当 a ? 1 时,求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ) ①若存在实数 x ,满足 f ( x) ? 0 ,求实数 a 的取值范围;
x

②若有且只有唯一整数 x0 ,满足 f ( x0 ) ? 0 ,求实数 a 的取值范围. 请考生在(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目 。如果多做,则按所做第一个题目计分,做答时,请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑。 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,四边形 ABCD 外接于圆, AC 是圆周角 ?BAD 的角平分线,过点 C 的 切线与 AD 延长线交于点 E , AC 交 BD 于点 F . (Ⅰ)求证: BD ? CE ; (Ⅱ)若 AB 是圆的直径, AB ? 4 , DE ? 1 ,求 AD 的长度. 23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程: 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 ?

? ? x ? 1 ? 3 cos ? ? ? y ? 3 sin ?

( ? 是参数, 0 ? ? ? ? ) ,

以 O 为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. (Ⅰ)求曲线 C 的极坐标方程; (Ⅱ) 直线 l1 的极坐标方程是 2 ? sin(? ?

?

3

直线 l2 : ? ? )?3 3 ? 0,

?
3

( ? ? R) 与曲线 C 的

交点为 P ,与直线 l1 的交点为 Q ,求线段 PQ 的长. 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| 2 x ? 1| . (Ⅰ)若不等式 f ( x ? ) ? 2m ? 1(m ? 0) 的解集为 [?2, 2] ,求实数 m 的值; (Ⅱ)若不等式 f ( x) ? 2 y ? 小值.

1 2

a ? | 2 x ? 3 | ,对任意的实数 x, y ? R 恒成立,求实数 a 的最 2y

江西师大附中2016届高三第三次模拟考试

文科数学
注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷 3至4页。 2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。 3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效。 4. 考试结束后,将本试题和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷
一 . 选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。 1.已知集合 A ? {x ? Z | x( x ? 3) ? 0} , B ? {x | ln x ? 1} ,则 A ? B ? ( C ) A. {0,1, 2} B. {1, 2,3} C. {1, 2} D. {2,3} 2.定义运算

a, b 1, 2 ,则复数 z 对应的点在( ? ad ? bc ,若 z ? c, d i, i 2
B.第二象限
x

B



A.第一象限

C.第三象限

D.第四象限

3.已知 a ? R ,“函数 y ? 3 ? a ? 1 有零点”是“函数 y ? log a x 在 (0, ??) 上为减函数”的 ( B ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.我国古代有用一首诗歌形式提出的数列问题:远望巍巍塔七层,红灯向下成倍增,共灯 三百八十一,请问塔顶几盏灯?( C ) A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 5.在 ?ABC 中,设 CB ? a , AC ? b ,且 | a |? 2,| b |? 1, a ? b ? ?1 ,则 | AB |? ( A. B. 2

??? ?

?

????

?

?

?

? ?

??? ?

C



6.已知函数 f ( x) ? sin(2 x ?

?
3

C. 3

D. 2 D )

) ,则下列结论错误的是(

A.函数 f ( x) 的最小正周期为 ? B.函数 f ( x) 在区间 [0,

?
4

] 上是增函数

C.函数 f ( x) 的图象可由 g ( x) ? sin 2 x 的图象向右平移 D.函数 f ( x) 的图象关于直线 x ?

?
6

个单位得到

?
3

对称

7.以下四个命题中: ①从匀速传递的产品生产流水线上, 质检员每 10 分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测, 这样的抽样是分层抽样; ②若数据 x1 , x2 , x3 ,? , xn 的方差为,则 2 x1 , 2 x2 , 2 x3 ,? , 2 xn 的方差为 2 ; ③两个随机变量的线性相关性越强,相关系数的绝对值越接近于 1; ④对分类变量 x 与 y 的随机变量 K 2 的观测值 k 来说,k 越小,判断“ x 与 y 有关”的把握越大. 其中真命题的个数为( A ) A. B. 2 C. 3 D. 4

8.如图所示的程序框图中,若 f ( x) ? sin x , g ( x) ? cos x , x ? [0, 立,则 m 的最大值是( A. B. B ) C.

?
2

] ,且 h( x) ? m 恒成

1 D. 0 2 9 .一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O ? xyz 中的坐标分别是 (2,0, 2) , (2, 2,0) , (0, 2, 2) , (0, 0, 0) ,画该四面体三视图中的正视图时,以 zOx 平面为投影面,则得到正视
2 2
图可以为( A )

A

B

C )

D

?x ? 1 2x ? 10.若实数 x, y 满足约束条件 ? y ? 0 则 z ? y 的最小值为( D 2 ?x ? y ? 4 ?
A. 16 B. C.

1 1 D. 2 4 11.已知定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f (? x) ? ? f ( x) , f (1 ? x) ? f (1 ? x) ,且当 x ? [0,1] , f ( x) ? log 2 ( x ? 1) ,则 f (31) ? ( D ) A. 0 B. C. 2 D. ?1 12. 已知偶函数 f ( x) 是定义在 ? x ? R | x ? 0? 上的可导函数, 其导函数为 f ?( x) . 当 x ? 0 时,
f ( x) 4mf (m ? 1) 恒成立.设 m ? 1 ,记 a ? , b ? 2 m f (2 m ) , x m ?1 4m c ? (m ? 1) f ( ) ,则 a, b, c 的大小关系为( A ) m ?1 A. a ? b ? c B. a ? b ? c C. b ? a ? c D. b ? a ? c f ?( x) ?

第II卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生 都必须作答。第(22)题~第(24)题未选考题,考生根据要求作答。 二.填空题:本大题共4小题,每小题5分,将答案填在答题纸上 13. 如图, 直线是曲线 y ? f ( x) 在 x ? 4 处的切线, 则 f (4) ? f ?(4) 的值为 . 【命题意图】本题考查导数的几何意义和直线的斜率计算公式。 【解析】如图可知 f (4) ? 5 , f ?(4) 的几何意义是表示在 x ? 4 处切

5?3 1 ? ,故 f (4) ? f ?(4) ? 5.5 。 4?0 2 14 . 已 知 等 差 数 列 {an } 的 前 n 项 和 为 S n , 若 a3 , a5 是 方 程
线的斜率,故 f ?(4) ?

x 2 ? 8 x ? 15 ? 0 的两根,则 S7 ?
2



【命题意图】本题意在考查等差数列的性质及求和公式。 【解析】因为 a3 , a5 是方程 x ? 8 x ? 15 ? 0 的两根,所以 a3 ? a5 ? 8 ,从而 a4 ? 4 ,

S7 ? 7 a4 ? 28 。
15.在平面直角坐标 xOy 中,已知点 A(1,0), B (4,0) ,若满足条件 PA ? 的轨迹方程为 . 【命题意图】本题考查曲线与方程,两点间距离公式。 【答案】 x ? y ? 4
2 2

1 PB ,则动点 P 2

【解析】设点 P ( x, y ) ,则由条件得 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 化简得 x ? y ? 4 。
2 2

1 [( x ? 4) 2 ? y 2 ] , 4

x2 y 2 3 16.已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 e ? , A, B 是椭圆的左、右顶点, P 是 2 a b 椭圆上不同于 A, B 的一点,直线 PA, PB 斜倾角分别为 ? , ? ,则 | tan ? ? tan ? | 的最小值
为 . 【命题意图】本题考查椭圆的方程和性质,均值不等式。 【解析】设 P ( x0 , y0 ) ,椭圆顶点 A(? a, 0) , B (a, 0) ,

k PA ?


y0 y y2 y0 y0 , k PA ? k PB ? ? 0 ? 20 2, , k PB ? x 0 ? a x0 ? a x0 ? a x 0 ?a x0 ? a

x0 2 y0 2 x2 b2 ? 2 ? 1 ,所以 y0 2 ? b 2 (1 ? 02 ) ? 2 (a 2 ? x0 2 ) , 2 a b a a

所以 k PA ? k PB ? ?

b2 b2 1 ,即 tan ? tan ? ? ? ?? 2 2 a a 4 | tan ? ? tan ? |?| tan ? | ? | tan ? |? 2 | tan ? tan ? | ? 1

三.解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 12 分)如图, D 是直角 ?ABC 斜边 BC 上一点,

AC ? 3DC . (Ⅰ)若 ?DAC ? 30? ,求角 B 的大小; (Ⅱ)若 BD ? 2 DC ,且 AD ? 2 2 ,求 DC 的长.
【命题意图】本题考查正弦定理及余弦定理的应用,意在考查运算能力及分析问题、解决问 题的能力. AC DC 【解析】 (Ⅰ)在△ABC 中,根据正弦定理,有 . ? sin ?ADC sin ?DAC

3 ??????3 分 2 又 ?ADC ? ?B ? ?BAD ? ?B ? 60 ? ? 60 ? ,所以 ?ADC ? 120°
因为 AC ? 3DC ,所以 sin ?ADC ? 3 sin ?DAC ? 于是 ?C ? 180 ? ? 120 ? ? 30 ? ? 30 ? ,所以 ?B ? 60° ??????6 分 (Ⅱ)设 DC ? x ,则 BD ? 2 x , BC ? 3 x , AC ? 于是 sin B ?

3x

AC 3 6 , cos B ? , AB ? 6 x ??????9 分 ? BC 3 3 在 ?ABD 中,由余弦定理,得 AD 2 ? AB 2 ? BD 2 ? 2 AB ? BD cos B , 6 即 (2 2) 2 ? 6 x 2 ? 4 x 2 ? 2 ? 6 x ? 2 x ? ? 2 x 2 ,得 x ? 2 3 故 DC ? 2 ??????12 分

18. (本小题满分 12 分) 某校高一年级学生全部参加了 体育科目的达标测试,现从中随机抽取 40 名学生的测 试 成 绩 , 整 理 数 据 并 按 分 数 段 [40,50) , [50, 60) , [60, 70) , [70,80) , [80,90) , [90,100] 进行分组,假设 同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替, 则得 到体育成绩的折线图(如图) . (Ⅰ) 体育成绩大于或等于 70 分的学生常被称为“体育 良好”.已知该校高一年级有 1000 名学生,试估计高一年级中“体育良好”的学生人数; (Ⅱ)为分析学生平时的体育活动情况,现从体育成绩在 [60, 70) 和 [80,90) 的样本学生中随 机抽取 2 人,求在抽取的 2 名学生中,至少有 1 人体育成绩在 [60, 70) 的概率; 【命题意图】本题考查频率分布折线图、古典概型、用样本估计总体,意在考查识图能力、 数据处理能力、逻辑分析能力、数学运算能力. 【解析】 (Ⅰ)由折线图知,样本中体育成绩大于或等于 70 分的学生有 30 人??2 分 30 ? 750 人??5 分 所以该校高一年级学生中, “体育良好”的学生人数大约为 1000 ? 40 (Ⅱ)设“至少有 1 人体育成绩在 [60, 70) ”为事件 M , 记体育成绩在 [60, 70) 的学生为 A1 , A2 ,体育成绩在 [80,90) 的学生为 B1 , B2 , B3 , 则从这两组学生中随机抽取 2 人,所有可能的结果如下: ( A1 , A2 ), ( A1 , B1 ), ( A1 , B2 ), ( A1 , B3 ), ( A2 , B1 ), ( A2 , B2 ), ( A2 , B3 ), ( B1 , B2 ), ( B1 , B3 ), ( B2 , B3 ) 共 10 种 ??????????????????9 分 而事件 M 所包含的结果有 ( A1 , A2 ), ( A1 , B1 ), ( A1 , B2 ), ( A1 , B3 ), ( A2 , B1 ), ( A2 , B2 ), ( A2 , B3 ) 共 7 种,因此事件 M 发生的概率为 7 ??????????????????12 分 A1 M 10 C1 19. (本小题满分 12 分)如图,三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AA1 ? 平面 B1 ABC , BC ? AB ,点 M , N 分别为 A1C1 , A1 B 的中点. (Ⅰ)求证:平面 A1 BC ? 平面 A1 AB ; N (Ⅱ)设平面 MNB1 与平面 BCC1 B1 的交线为,求证: MN ? l . C 【命题意图】本题以直三棱柱为几何背景,考查空间两条直线的位置 A 关系、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识,考查空间想 B 象能力和推理论证能力. 【解析】 (Ⅰ)因为 AA1 ? 平面 ABC , BC ? 平面 ABC ,所以 BC ? AA1 ????2 分 又因为 BC ? AB , AA1 ? AB ? A , AA1 ? 平面 A1 AB , AB ? 平面 A1 AB , 所以 BC ? 平面 A1 AB ????????????4 分 又 BC ? 平面 A1 BC ,所以平面 A1 BC ? 平面 A1 AB ????????????6 分 (Ⅱ)法一:连接 BC1 ,在 △A1 BC1 中,点 M 、 N 分别为 A1C1 、 A1 B 的中点,所以 MN∥C1 B ????????????8 分 又 MN ? 平面 BCC1 B1 , C1 B ? 平面 BCC1 B1 , 所以 MN∥ 平面 BCC1 B1 ????????????10 分 A1 又因为 MN ? 平面 MNB1 ,平面 MNB1 ? 平面 BCC1 B1 ? , 所以 MN∥l ????????????12 分 法二:取 A1 B1 的中点 P ,连接 MP 、 NP . 在 △A1 B1C1 中,点 M 、 P 分别为 A1C1 、 A1 B1 的中点, 所以 MP∥C1 B1 ????????????7 分 A 又因为 MP ? 平面 BCC1 B1 , C1 B1 ? 平面 BCC1 B1 , 所以 MP∥ 平面 BCC1 B1 ????????????8 分 同理可证 NP∥ 平面 BCC1 B1 .

M P B1 N

C1

C B

又因为 MP ? NP ? P , MP ? 平面 MNP , NP ? 平面 MNP , 所以平面 MNP∥平面 BCC1 B1 ????????????10 分 又因为 MN ? 平面 MNP ,所以 MN∥ 平面 BCC1 B1 . 又因为 MN ? 平面 MNB1 ,平面 MNB1 ? 平面 BCC1 B1 ? , 所以 MN∥l ????????????12 分 20. (本小题满分 12 分) 已知抛物线 C : x ? 4 y , 过点 P (t , 0)
2

(其中 t ? 0 )作互相垂直的两直线 l1 , l2 ,直线 l1 与抛物线 C 相切于点 Q (在第一象限内) , 直线 l2 与抛物线 C 相交于 A, B 两点. (Ⅰ)当 t ? 1 时,求直线 l1 的方程; (Ⅱ)求证:直线 l2 恒过定点. 【命题意图】本题主要考查抛物线的标准方程及其性质,直线与抛物线的位置关系,直线过 定点问题,意在考查学生的运算求解能力. 【解析】 (Ⅰ)当 t ? 1 时,设直线 l1 的斜率为 k,则直线 l1 的方程为 y ? k ( x ? 1) , 与抛物线方程联立 ?

? x2 ? 4 y 可得: x 2 ? 4kx ? 4k ? 0 ,????????2 分 ? y ? k ( x ? 1)

由于直线 l1 与抛物线 C 相切,所以 ? ? 16k 2 ? 16k ? 0 , 求得: k ? 0 或 k ? 1 ,根据点 Q 在第一象限内,所以 k ? 1 , 从而直线 l1 的方程为 x ? y ? 1 ? 0 ????????5 分 (Ⅱ)设直线 l1 的斜率为 k,则 l1 直线的方程为 y ? k ( x ? t ) ,

?x2 ? 4 y 与抛物线方程联立 ? 可得: x 2 ? 4kx ? 4kt ? 0 , ? y ? k (x ? t)
由于直线 l1 与抛物线 C 相切,所以 ? ? 16k 2 ? 16kt ? 0 ,解得: t ? k ?????8 分

t2 ? 0 故 Q 点坐标为 Q (2t , t ) ,所以直线 l1 的斜率为 ? t ?????10 分 2t ? t
2

1 1 又 l1⊥l2,故设 l2 的方程为: y ? ? ( x ? t ) ,即 y ? ? x ? 1 , t t 所以直线 l2 恒过定点(0,1) ?????12 分

21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x ) ? e (2 x ? 1) ? ax ? a ( a ? R ) , e 为自然对数的底 数. (Ⅰ) 当 a ? 1 时,求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ) ①若存在实数 x ,满足 f ( x) ? 0 ,求实数 a 的取值范围;
x

②若有且只有唯一整数 x0 ,满足 f ( x0 ) ? 0 ,求实数 a 的取值范围. 【命题意图】本题考查函数性质与导数的应用。 【解析】 (Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x) ? e x (2 x ? 1) ? x ? 1 , f '( x) ? e x (2 x ? 1) ? 1 ???1 分 由于 f '(0) ? 0 , 当 x ? (0, ??) 时, e x ? 1, 2 x ? 1 ? 1 ,∴ f '( x) ? 0 , 当 x ? (??,0) 时, 0 < e x ? 1, 2 x ? 1 ? 1 ,∴ f '( x) ? 0 , 所以 f ( x) 在区间 (??,0) 上单调递减,在区间 (0, ??) 上单调递增?????3 分 (Ⅱ) ①由 f ( x) ? 0 得, e
x

? 2 x ? 1? ? a ? x ? 1? .

当 x ? 1 时,不等式显然不成立;

当 x ? 1 时, a ? 记 g ( x) ?

e x ? 2 x ? 1?

x ?1

;当 x ? 1 时, a ?

e x ? 2 x ? 1?

x ?1
2

?????4 分

e x ? 2 x ? 1?

x ?1

, g '( x ) ?

e x ? 2 x ? 1?? x ? 1? ? e x ? 2 x ? 1?

? x ? 1?
3

?

e x 2 x 2 ? 3x

?

? x ? 1?

2

?,

3 ? ? 3? 0? 和 ? ∴ g ( x ) 在区间 ? ?? , ? , ?? ? 上为增函数, ? 0,1? 和 ?1, ? 上为减函数,???6 分 ?2 ? ? 2?

?3? 2 ? ? 4e ,当 x ? 1 时, a ? g ? 0 ? ? 1 , ?2? ? 3 ? ?? ,1 U 综上所述,所有 a 的取值范围为 ? ? ? 4e 2 , ?? ? ?????8 分 ? ?
∴ 当 x ? 1 时, a ? g ? ②由①知 a ? 1 时, x0 ? (??,1) ,由 f ( x0 ) ? 0 ,得 g ( x0 ) ? a , 又 g ( x) 在区间 (??, 0) 上单调递增,在 (0,1) 上单调递减,且 g (0) ? 1 ? a , 3 3 ∴ g (?1) ? a ,即 a ? ,∴ ? a ? 1 ?????10 分 2e 2e 当 a ? 4e 2 时, x0 ? (1, ??) ,由 f ( x0 ) ? 0 ,得 g ( x0 ) ? a ,
3 ?3 ?3? ? 3 又 g ( x) 在区间 (1, ) 上单调递减, ? , ?? ? 上单调递增,且 g ? ? ? 4e 2 ? a , 2 ? ?2? ?2 ? g (2) ? a 5e3 ∴? ,解得 3e2 ? a ? , 2 ? g (3) ? a
3

? 3 5e3 ? ,1) U ? 3e2 , ?????12 分 2e 2 ? ? ? 请考生在(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答。注意 :只能做所选定的题目。如果多做,则按所做第一个题目计分,做 答时,请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,四边形 ABCD 外接于圆, AC 是圆周角 ?BAD 的角平分线, 过点 C 的切线与 AD 延长线交于点 E , AC 交 BD 于点 F . (Ⅰ)求证: BD ? CE ; (Ⅱ)若 AB 是圆的直径, AB ? 4 , DE ? 1 ,求 AD 的长度.
综上所述,所有 a 的取值范围为 [ 【命题意图】 本题主要考查圆周角定理、 弦切角定理、 三角形相似的判断与性质等基础知识, 意在考查逻辑推证能力、转化能力、识图能力. 【解析】 (Ⅰ) Q AC 是圆周角 ?BAD 的角平分线,∴ ?EAC ? ?BAC , 又 Q CE 是圆的切线,∴ ?ECD ? ?EAC ,∴ ?ECD ? ?BAC , 又 Q ?BAC ? ?BDC ,∴ ?ECD ? ?BDC , ∴ BD / / CE ?????4 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 ?ECD ? ?BAC , ?CED ? ?ADB , Q AB 是圆的直径,∴ ?ACB ? ?ADB ? 90o ,∴ ?CED ? ?ACB ? 900 , DE DC ∴ Rt ?CED ~ Rt ?ACB ,∴ , ? BC BA Q ?EAC ? ?DBC ,由(Ⅰ)知 ?EAC ? ?BDC ,∴ ?DBC ? ?BDC ,∴ DC ? BC , DE DC BC ∴ ,则 BC 2 ? AB ? DE ? 4 ,∴ BC ? 2 ? ? BC BA AB

1 AB ,∴ ?BAC ? 300 ,∴ ?BAD ? 600 , 2 1 ∴在 Rt ?ABD 中, ?ABD ? 300 ,所以 AD ? AB ? 2 .?????10 分 2 23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程:

∴在 Rt ?ABC 中, BC ?

在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 ?

? ? x ? 1 ? 3 cos ? ? ? y ? 3 sin ?

( ? 是参数, 0 ? ? ? ? ) ,

以 O 为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. (Ⅰ)求曲线 C 的极坐标方程; (Ⅱ) 直线 l1 的极坐标方程是 2 ? sin(? ?

?

3

直线 l2 : ? ? )?3 3 ? 0,

?
3

( ? ? R) 与曲线 C 的

交点为 P ,与直线 l1 的交点为 Q ,求线段 PQ 的长. 【命题意图】本题主要考查参数方程、极坐标方程与普通方程的互化及三角恒等变换,意在 考查转化能力、运算能力。 【解析】 (Ⅰ)曲线 C 的普通方程为 ( x ? 1) ? y ? 3 ,又 x ? ? cos ? , y ? ? sin ? ,
2 2

所以曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 2 ? cos ? ? 2 ? 0, 0 ? ? ? ? ??????5 分
2

? ? 2 ? 2 ? cos ? ? 2 ? 0 ? ? (Ⅱ)设 P ( ?1 , ?1 ) ,则有 ? ? ,解得 ?1 ? 2, ?1 ? ,???7 分 3 ?? ? 3 ? ? ? 2 ? sin(? ? ) ? 3 3 ? 0 ? ? ? 3 设 Q ( ? 2 , ? 2 ) ,则有 ? ,解得 ? 2 ? ?3, ? 2 ? ,???9 分 3 ?? ? ? ? 3 ? 所以 | PQ |?| ?1 ? ? 2 |? 5 ???10 分
24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| 2 x ? 1| . (Ⅰ)若不等式 f ( x ? ) ? 2m ? 1(m ? 0) 的解集为 [?2, 2] ,求实数 m 的值; (Ⅱ)若不等式 f ( x) ? 2 y ?

1 2

a ? | 2 x ? 3 | ,对任意的实数 x, y ? R 恒成立,求实数 a 的最 2y

小值. 【命题意图】本题主要考查绝对值不等式的解法、三角不等式、基本不等式等基础知识,以 及考查等价转化的能力、逻辑思维能力、运算能力. 【解析】 (Ⅰ)由题意,知不等式 | 2 x |? 2m ? 1( m ? 0) 解集为 [?2, 2] .

1 1 ? x ? m ? ,????????????2 分 2 2 1 3 所以,由 m ? ? 2 ,解得 m ? ????????????4 分 2 2 a a (Ⅱ)不等式 f ( x) ? 2 y ? y ? | 2 x ? 3 | 等价于 | 2 x ? 1| ? | 2 x ? 3 |? 2 y ? y , 2 2 a 由题意知 (| 2 x ? 1| ? | 2 x ? 3 |) max ? 2 y ? y ????????????6 分 2 因为 | 2 x ? 1| ? | 2 x ? 3 |?| (2 x ? 1) ? (2 x ? 3) |? 4
由 | 2 x |? 2m ? 1 ,得 ? m ?

a ? 4 ,即 a ? 2 y (4 ? 2 y ) 对任意的 y ? R 都成立, y 2 则 a ? [2 y (4 ? 2 y )]max ??????8 分
所以 2 y ?

2 y ? (4 ? 2 y ) 2 ] ? 4 ,当且仅当 2 y ? 4 ? 2 y ,即 y ? 1 时等号成立, 2 故 a ? 4 ,所以实数 a 的最小值为 4??????10 分
而 2 (4 ? 2 ) ? [
y y


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