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2009-2010学年度第一学期高中教学质量监测(三)高一数学科试题


2009-2010 学年度第一学期高中教学质量监测(三)高一数学科试题 (时间:120 分钟
欢迎你参加这次测试,祝你取得好成绩!

满分:150 分)
审核:朱攀

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的。 1、 设集合 A ? ?5, log2 ?a ? 3??, 集合 B ? ?a, b?, 若 A ? B ? ?2?, 则 A ? B 等于 ( A、{1,2,5} B、{-1,2,5} C、{2,5,7} )
? 3 ? D、 ? x ? ? x ? 1且x ? 0? ? 2 ?



D、{-7,2,5}

2、函数 y ? 2 x ? 3 ?
? 3 ? A、 ? x ? ? x ? 1? ? 2 ?

1? x 的定义域是( x
? 2 ? ? 2

? 3 ? ? 3 ? B、 ? x ? ? x ? 1? C、 ? x ? ? x ? 1且x ? 0? ?

3、过长方体 ABCD—A1B1C1D1 任意两条棱的中点作直线,其中与平面 DBB1D1 平行的 直线共有( A、10 条
2

) B、16 条
2 1

C、8 条

D、12 条 )

4、若 a ? (?1.2) 3 , b ? 1.13 , c ? 0.9 2 ,则它们的大小关系是(

A、 c ? a ? b B、 a ? c ? b C、 b ? a ? c D、 c ? b ? a 5、一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,这个圆柱的表面积与侧面积的比是 ( ) A、 1 ? 4?
4?

B、 1 ? 2?
2?

C、 1 ? 2?
?

D、 1 ? 4?
2?

6、如下图,一个空间几何体的主视图,侧视图,俯视图为全等的等腰直角三角 形,如果直角三角形的直角边为 1,那么这个几何体的体积为( )

主视图

侧视图

俯视图

A、1

B、 1

2

C、 1

6

D、 1

3

7、已知 P 是△ABC 所在平面外一点,点 O 是点 P 在平面 ABC 上的射影. 若 PA=PB=PC,则 O 是△ABC 的( A.内心 B.外心 ) C.重心 D.垂心

8、在矩形 ABCD 中,AB=4,BC=3,沿 AC 将矩形 ABCD 拆成一个直二面角 B-AC-D, 则四面体 ABCD 的外接球的体积为( A、 125 ?
12


6

B、 125 ?
9

C、 125 ?

D、 125 ?
3

9、已知 m、 n 是两条不重合的直线, ? 、 ? 是两个不重合的平面,下面命题中 正确的是( ) B、若 m ? ? ,m// ? ,则 ? ? ?

A、若 m// ? ,n// ? , ? // ? ,则 m//n C、若 ? ? ? ,m ? ? ,则 m// ?

D、若 m ? ? ,n ? ? ,m ? n,则 ? ? ?

10 、已知函数 f ( x) 的定义域为 (??,0) ? (0,??) , f ( x) 是奇函数,且当 x>0 时,

f ( x) ? x 2 ? x ? a 若函数 g ( x) ? f ( x) ? x 恰有两个零点,则实数 a 的取值范围
是( A、 a ? 0 ) B、 a ? 0 C、 a ? 1 D、 a ? 0或a ? 1

11、如果 a , b 是异面直线,过不在 a , b 上的任意一点 P,给出下列四个命题:①一 定可作直线 l 与 a , b 都相交; ②一定可作直线 l 与 a , b 都垂直;③一定可作平面

? 与 a , b 都平行;④一定可作直线 l 与 a , b 都平行,其中正确的命题的个数是
( A、1 ) B、2 C、3 D、4

12、已知函数 f ( x) 是定义在实数集 R 上的不恒为零的偶函数,且对任意实数 x
5 都有 xf ( x ? 1) ? (1 ? x) f ( x) ,则 f ( ) 的值是( 2 1 A、0 B、 C、1 2

) D、
5 2

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上。 13、已知正三角形 ABC 的边长为 a ,那么在斜二测画法下△ABC 的平面直观图
?A' B ' C ' 的面积为
1

。 。

14、幂函数 y=(k2-2k-2) x 2? k 在 ?0,??? 上是减函数,则 k=

15、已知 f ( x) ? 1 ? ( x ? a)(x ? b)(a ? b) ,m,n 是 f ( x) 的两个零点,且 m<n,则
a, b, m, n 从小到大的顺序是



16、如图所示,正△ABC 的中线 AF 与中位线 DE 相交于 G,已知△ A? ED 是△AED 绕 DE 旋转过程中的一个图形,现给出下列四个命题:①动点 A? 在平面 ABC 上的射影在线段 AF 上;②恒有平面
A?GF ? 平面 BCED; ③三棱锥 A? -FED
D B G E F 16 题 A′ A

的体积有最大值; ④异面直线 A? E 与

BD 不可能垂直;其中正确命题的序
号是 。

C

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分。解答应写出文字说明,证明过程或 演算步骤。 17、 (本小题满分 10 分)已知集合

A ? ?x1 ? x ? 7? ,B ? ?x 2 ? x ? 10? ,C ? ?x x ? a?,全集为实数集 R。
(1)求 A ? B, (C R A) ? B ; (2)如果 A ? C ? ? ,求 a 的取值范围。

18、 (本小题满分 12 分)如图,已知 SD ? 正方形 ABCD 所在平面,
S

且 SD=DC,M,N 分别是 AD 与 SB 的中点。 (1)求证:MN//平面 SDC; (2)求 SC 与平面 SDB 所成的角的大小。
D M A N C

19、 (本小题满分 12 分)已知定义在 R 上的函数 f ( x) =2x+ (1)若 f ( x) 为偶函数,求 a 的值;

a , a 为常数。 2x

18 题

B

(2)当 f ( x) 满足(1)时,判断 f ( x) 在 ?0,??? 上的单调性,并用单调性的定 义证明; (3)猜想 f ( x) 在 ?? ?,0? 上的单调性(不必证明) 。

20、 (本小题满分 12 分) 如图所示, 把等腰直角三角形 ABC 沿斜边 AB 旋转至 DAB 的位置,使 CD=AC= a (1)求三棱锥 D—ABC 的体积; (2)求二面角 C—BD—A 的正弦值。
A B D

20 题

C

21、 (本小题满分 12 分)如图:三棱柱 ABC—A1B1C1 的底面是等腰直角三角形
o ? A1C1B1=90 ,AA1⊥底面 A1B1C1,A1C1=1,AA1= 2 ,D 为 A1B1 的中点。

(1)求证:平面 AC1D ? 平面 ABB1A1; (2)若 E 为 AB1 上的一点,当 AE 等于多少时,AB1 ? 平面 C1DE。
EB1

C B

A

C1 A1 D 21 题 B1

22 、 ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 二 次 函 数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a, b, c ? R) 满 足 条 件
f (?1) ? 0, 对 于 任 意 实 数 x 都 有 f ( x) ? x ? 0 , 并 且 当 x ? (0,2) 时 , 有

? x ?1? f ( x) ? ? ? 。 ? 2 ? (1)求证: f (1) ? 1 ;
(2)求 f ( x) 的解析式; ( 3 ) 当 x ? [?1,1] 时 , 函 数 g ( x) ? f ( x) ? mx(m ? R) 是 单 调 的 , 求 证 :
m ? 0或m ? 1 。

2

2009-2010 学年度第一学期高中教学质量监测(三)

高一数学科试题参考答案
一、选择题。 1~6:A C C D 二、13、
6 2 a 16

B

C

7~12:B

C

B

D

A

A

14、3 15、m < a < b < n 16、① ② ③ 三、解答题。 17、 (1) A ? B ? ?x 1 ? x ? 10?……….2 分

(CR A) ? B ? ?x x ? 1或x ? 7?? ?x 2 ? x ? 10?= ?x 7 ? x ? 10?

…….5 分

(2)当 a>1 时满足 A ? C ? ¢ 18、 (1)证明:取 SC 的中点 K,连结 NK,DK 1 N 为 SB 的中点,∴NK = BC 2 1 又 M 为 AD 的中点,∴MD = BC 2 ∴NK =DK ∴四边形 MNKD 为平行四边形 ∴MN∥DK MN¢平面 SDC 又 DK ? 平面 SDC ∴MN∥平面 SDC …….6 分
=
?x 7 ? x ? 10?

…….10 分

=

?x 7 ? x ? 10?

(2)连结 AC,BD,AC 与 BD 相交于点 O, 由 SD⊥平面 ABCD,OC 平面 ABCD ∴SD⊥OC 又四边形 ABCD 上 ∴OC⊥BD 又 SD∩BD=D ∴OC⊥平面 SDB,O 上重点 ∴SC 在平面 SDB 的射影为 SO ∴SC 与平面 SDB 所成的角为∠CSO …….9 分 又 SD=DC 得 SC=AC 在 Rt△SOC 中 1 1 ∴OC= AC= SC ∴∠CSO=30°…….12 分 2 2 a a 19、 (1)由 f (? x) ? f ( x) 得 2 ? x ? ? x ? 2 x ? x 2 2 1 ∴ (a ? 1)( 2 x ? x ) ? 0 对 x ? R 恒成立 2 ∴a-1=0,a=1 …….4 分 (2)设 0 ? x1 ? x2 ,则 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? (2 x1 ? = (2 x1 ? 2 x2 ) ∵ 0 ? x1 ? x2 ,∴ 2 x1 ? x2 ? 1 ? 0,2 x1 ? 2 x2 ? 0 ,
1 1 ) ? ( 2 x2 ? x2 ) x1 2 2

=

?x 7 ? x ? 10?

2 x1 ? x2 ? 1 2 x1 ? x2

∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,那 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ∴ f ( x) 在[0,+∞)上是增函数…….10 分 (3)猜想, f ( x) 在(-∞,0]上是减函数. …….12 分 20、 (1)取 AB 中点 O ,连结 OD,OC 则有 OD⊥AB,OC⊥AB

AC=CB=AD=DB=a,则 OC=OD=

2 a 2

又 CD=AC=a, ∴△COD 是直角三角形 即 DO⊥OC 又 AB∩OC=0 ∴DO⊥平面 ABC
1 1 1 2 2 3 ∴ ? D? ABC ? S ?ABC ? DO ? ? a ? a ? a= a 3 3 2 2 12

….3 分 ….6 分

(2)取 BD 的中点 E,连结 CE、OE ∵△BOD 为等腰直角三角形,∴OE⊥BD ∴CE⊥BD ∴∠OEC 为二面角 C-BD-A 的平面角

又 CD ? CB ? a ,E 为 BD 的中点 ….8 分

? CD=CB= a ,? CE=

3 a 2

∴△COE 为直角三角形

2 a OC 6 2 ? ? ∴ sin ?OEC ? CE 3 3 a 2

….12 分

21、①证明:由 ?A1 B1C1 为等腰直角三角形 ∴ C1 D ? A1 B1 又 AA1 ? 底面 A1 B1C1 ,CD ? 平面 A1 B1C1

∴ AA1 ? C1D ,又 A1 B1 ? AA1 ? A1 ∴ C1D ⊥平面 AA1 , BB1 又 C1D ? 平面 AC1 D ∴平面 AC1 D ⊥平面 ABB1A1 ….6 分 ….4 分

(2)作 DE⊥AB1 交下 AB1 于 E,由(1) C1D ⊥平面 AA1B1B ∴ C1D ⊥AB1

DE⊥AB1

又 C1D ∩DE=D

∴AB1⊥平面 C1D E 又 A1C1=1 ∴A1B1= 2 ,

….8 分 , ∠A1C1B=90°,

AA1= 2 D B1=
2 2

AB1 =2 且 ?DB1 E ? 45?

3 1 AE 2 ∴EB1= , ? ?3 2 EB1 1 2

….12 分
x ?1 2 ) 令 2

22、 (1)证明:对于 f ( x) ? x ? 0 恒成立以及 x ? (0,2) 时有 f ( x) ? (

? f (1) ? 1 ? 0 x=1,得 ? 所以 f (1) ? 1 ? f (1) ? 1
(2)由 f (?1) ? 0 得 a - b + c =0 ① 由 f (1) ? 1 得 a+b+c=1 ②

….4 分

1 1 1 所以 f ( x) ? ax 2 ? x ? ? a 2 2 2 1 1 由 f ( x) ? x ? 0 恒成立,即 ax 2 ? x ? ? a ? 0 恒成立 2 2

由①②得 b ?

1 2

a+c=

?a ? 0 ? 得? 1 1 ? ? ( ? ) 2 ? 4a ( ? a ) ? 0 ? 2 2 ?
1 1 故 (4a ? 1) 2 ? 0即a ? 则c ? 4 4 1 2 1 1 ∴ f ( x) ? x ? x ? 4 2 4

….8 分

(3)证明: g ( x) ? f ( x) ? mx ?

1 2 1 1 x ? ( ? m) x ? 4 2 4 1 1 1 = [ x ? (1 ? 2m)] 2 ? ? ( ? m) 4 4 2

因为 g ( x) 在 x ? [?1,1] 是单调的 ∴ 1 ? 2m ? 1或1 ? 2m ? ?1, 解得m ? 1或m ? 0 ….12 分


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