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数学(理)卷·2016届河南省南阳市高三上期期中质量评估试题(2015.11)word版


南阳市 2016 届高三上期期中质量评估 数学(理)试题
第 I 卷(选择题共 60 分) 一、选择魔:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一个 是符合题目要求的. 1.若集合 A={x| x= i n , n ? N ? } (i 是虚数单位) ,B=(1,一 1} ,则 A ? B 等于 A. {一 1} B. {1}

C. ? D. {1,一 1}

2;设复数 z=(x 一 1)+ yi ( x ? R, y ? 0) ,若 | z |? 1,则 y≥x 的概率为 A、

3 1 ? 4 2?

B、

1 1 ? 4 2?

C、

1 1 ? 2 ?

D、

1 1 ? 2 ?

3.下列命题中正确的结论个数是 ①“p 且 q 为真”是“p 或 q 为真”的必要不充分条件 ②命题“若 ab=0,则 a=0 或 b=0’’的否命题是“若 ab ? 0,则 a ? 0 且 b ? 0" ③日 ?x0 ? R ,使 x02 ? 2 x0 ? 3 ? 0 A.0 B.1 C.2 D.3

4.已知函数 f ( x) ? ln(1? | x |) ? A、 ( ? , ) C、 ( ,1)

1 1 3 3

1 3

1 ,当 f(x)>f(2x 一 1)时,x 的取值范围是 1 ? x2 1 B、 (??, ) ? (1, ??) 3 1 1 D、 ( ??, ? ) ? ( , ??) 3 3

5.已知等比数列{ an }满足 an >O,n=1,2…,且 a5 ? a2 n?5 ? 22n (n ? 3) ,则当 n ? 1 时,

log2 a1 ? log2 a3 ?? ? ? ? log2 a2n?1 ?
A.n(2n 一 1) B. (n+l)2 C.n2 D. (n 一 1)2

6.已知函数 y= f(-|x|)的图象如图所示,则函数 y=f(x)的图象不可能是

7.若 x ?

y ? a x ? y ( x ? 0, y ? 0) 恒成立,则 a 的最小值为
1 页 共 9 页

A. 1

B. 2

C. 2

D、2 2

8.已知 a 是实数,则函数 f(x)=1+a sin ax 的图象不可能是

9. 在△ABC 中,已知 AC=1,∠ABC= 为 A.[0,

??? ? ??? ? 2? ,∠BAC=θ ,记 f (? ) ? AB? BC ,则 f(θ )的值域 3
1 ] 6 1 ] 6

1 ) 6

B. (0,

1 ) 6

C. [0,

D. (0,

10.函数 f (x)= ?

?2? | x |, x ? 2
2 ?( x ? 2) , x ? 2

,若函 y=f (x)十 f(2-x)-b, b ? R 恰 4 个零,

则 b 的取值范围是 A.(

7 ,+ ? ) 4

B.(一 ? ,

7 ) 4

C.(0,

7 ) 4

D.(

7 ,2) 4

11.已知 且 A、[13,17] B.[12,13] 的取值范围是 C. [

:若 P 是△ABC 所在平面内一点,

3 ,12] 4

D. [

3 ,13] 4

12. 已 知 函 数 f(x ) 对 任 意 的 x ? R 都 满 足 f(x) + f ( - x) =0, 当 x ? 0 时 , f ( x ) =

? ? x, x ? a ? a ? 0 ,若对 ) ?x ? R ,都有 f(x-2) ? f (x),则实数 a 的取值范围为 ?? a, a ? x ? 2a ( ? x ? 3a, x ? a ?
A、(0,

1 ) 4

B .[

1 1 , ) 4 3

C、 (0,

1 ] 3

D、(0,

1 ] 3

第 II 卷(非选择题共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.若△ABC 的面积为 10 3 ,且 AB=5, AC=8,则 BC 等于 . 2f(2)(填

14.已知 f(x)在 R 上可导,且满足 ( x ? 2) f '( x) ? 0 ,则 f(一 2015)+f(2015)
2 页 共 9 页

两个数值的大小关系:>、=、<、≥、≤) .

?2 x ? y ? 2 ? 0 x y ? 15.设实数 x,y 满足约束条件 ?8 x ? y ? 4 ? 0 ,若目标函数 z ? ? ( a ? 0, b ? 0) 的最大值为 a b ? x ? 0, y ? 0 ?
9,则 d= 4a ? b 的最小值为 16.设函数 f ( x) ? ? 的取值范围是 . ,若 f (x)的函数图像与 x 轴恰有 2 个交点,则实数 a

? 2 x ? a, x ? 1 ?4( x ? a)( x ? 2a), x ? 1


三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题 10 分) 在锐角△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C,所对的边,且 3a ? 2c sin A (1)确定角 C 的大小; (2)若 c ?

7 ,且△ABC 的面积为

3 3 ,求 a 十 b 的值. 2

18.(本小题 12 分)

3 ? Sn 为数列{ an }的前 n 项和,已知 Sn= ?
n

1 2

3 . 2

(1)求数列{ an }的通项公式; (2)若数列{ bn }满足 anbn ? log3 an ,求数列{ bn }的前 n 项和 Tn.

19.(本小题 12 分) 设 f(x)是一个二次项系数为正的二次函数,f(x+3)=f(-1-x)对任意 x ? R 都成立,若向量 a= (

1 ,2sin x),b=(2,sin x),c=(2,1),d=(l,cos 2x),求 f(a·b)-f(c·d)>0 的解集. 2

3 页 共 9 页

20.(本小题 12 分) 数列{ an }的首项 al=1,且对任意 n ? N


, an 与 an ?1 恰为方程 x2 ? bn x ? 2n ? 0 的两个根.

(1)求数列( an }和数列{ bn }的通项公式; (2)求数列{ bn }的前 n 项和 Sn.

21.(本小题 12 分) 已知函数 f (x) =x3-3x. (1)求函数 f (x)的极值; (2)过点 P(l,n)(n ? -2)作曲线 y= f (x)的切线,问:实数 n 满足什么样的取值范围, 过点 P 可以作出三条切线?

22.(本题 12 分) 已知函数 g(x)=x2-2x ln x. (1)讨论 g(x)的单调性; (2)证明:存在 a ? (0 ,1),使得 g(.x) ? 2a (ln x ? x ? a ? )(a ? 0) 在区间(1,+ ? )内恒 成立,且 g(x)= 2a (ln x ? x ? a ? )( a ? 0) 在(1,+ ? )内有唯一解.

1 2

1 2

4 页 共 9 页

高三(理科)数学试题参考答案
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符 合题目要求的. 1.D 2.C 3.B 4.C 5.C 6.C 7.B 8.D 9.D 10.D 11.D 12.C

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. 7 或 129 14、≥(大于等于) 15、

4 3

16、

1 ? a ? 1或a ? 2 2

三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本题 10 分) 解(1)由 3a ? 2c sin A 及正弦定理得,

a 2sin A sin A ? ? c sin C 3

Q sin A ? 0,? sin C ?

3 2

Q ?ABC 是锐角三角形,? C ?
(2)解法 1: Q c ?

?
3

…………5 分

7, C ?

?
3

. 由面积公式得

1 ? 3 3 ab sin ? ,即ab ? 6        ① 2 3 2
由余弦定理得

a 2 ? b 2 ? 2ab cos

?
3

? 7, 即a 2 ? b 2 ? ab ? 7     ②

2 由②变形得 (a+b) ? 25, 故a ? b ? 5

解法 2:前同解法 1,联立①、②得

?a 2 ? b2 ? ab ? 7 ?a 2 ? b2=13   ?? ? ?ab ? 6 ?ab ? 6
消去 b 并整理得 a ? 13a ? 36 ? 0 解得 a ? 4或a ? 9
4 2 2 2

所以 ?

?a ? 2 ?a ? 3 故a?b ? 5 或? ?b ? 3 ?b ? 2

…………10 分

18.(本题 12 分)
n 解: (Ⅰ)由 2Sn ? 3 ? 3 可得 a1 ? S1 ?

1 (3 ? 3) ? 3 , 2
5 页 共 9 页

an ? Sn ? Sn ?1 ?

1 n 1 (3 ? 3) ? (3n ?1 ? 3) ? 3n ?1 (n ? 2) 2 2

而 a1 ? 3 ? 31?1

? 3, n ? 1, a ? ? n ?1 ,则 n ?3 , n ? 1.

…………6 分

? 3, n ? 1, log 3 an a ? ? n ?1 (Ⅱ)由 anbn = log3 an 及 n 可得 bn ? an ?3 , n ? 1.
1 1 2 3 n ?1 Tn ? ? ? 2 ? 3 ? ? ? n ?1 3 3 3 3 3 1 1 1 2 3 n ? 2 n ?1 Tn ? 2 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n ?1 ? n 3 3 3 3 3 3 3 2 1 1 1 1 1 1 n ?1 Tn ? ? ? 2 ? 2 ? 3 ? ? ? n ?1 ? n 3 3 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 n ?1 ? ? 2 ? ( ? 2 ? 3 ? ? ? n ?1 ) ? n 3 3 3 3 3 3 3 1 1 ? n 2 n ?1 2 1 3 n ?1 ? ?3 3 ? n ? ? ? ? n n 1 9 1? 3 9 2 2?3 3 3 13 2n ? 1 ? ? 18 2 ? 3n 13 2n ? 1 Tn ? ? …………12 分 12 4 ? 3n ?1

?1 , n ? 1, ? ?3 ?? . n ? 1 ? , n ? 1. ? ? 3n ?1

19.(本题 12 分) 解析: 设 f(x)的二次项系数为 m, 其图象上的两点为 A(1-x,y1)、 B(1+x,y2), 因为 f(x+3)=f(-1-x), 所以 y1=y2 由 x 的任意性得 f(x)的图象关于直线 x=1 对称,若 m>0,则 x≥1 时,f(x)是增函数; →→ 1 →→ ∵a· b =( ,2sinx)· (2,sinx)=2sin2x+1≥1, c · d =(2, 1)· (1, cos2x) 2 =cos2x+2≥1 ……………………6 分 →→ →→ ∵m>0,f( a · b )>f( c · d ) ? f(2sin2x+1)>f(cos2x+2) ? 2sin2x+1>cos2x+2 ? 1-cos2x+1>cos2x+2 ? cos2x<0

? 2kπ+

? 3? ? 3? <2x<2kπ+ ,k∈z ? kπ+ <x<kπ+ , 2 2 4 4

k∈z. ……………………12 分 20.(本题 12 分) 解:(Ⅰ)由题意 n∈N*,an· an+1=2n n+1 an+1· an+2 an+2 2 ∴ = a = n =2 2 an· an+1 n 又∵a1· a2=2,a1=1,a2=2 ∴a1,a3,…,a2n-1 是前项为 a1=1 公比为 2 的等比数列, a2,a4,…,a2n 是前项为 a2=2 公比为 2 的等比数列
6 页 共 9 页

∴a2n-1=2n 1,a2n=2n n∈N*


?1 ? n2 2 , n ? 2k ? 1, k ? N ? ? 即 an ? ? n ?2 2 , n ? 2k , k ? N ? ?

…………3 分

又∵bn=an+an+1 当 n 为奇数时, 当 n 为偶数时,

bn ? 2

n ?1 2

?2

n ?1 2

? 3?2
n 2

n ?1 2

bn ? 2 ? 2 ? 2?2

n 2

n 2

n ?1 ? ?3 ? 2 2 ,n为奇数 ∴bn= ? 1? n 2 ? ? 2 ,n为偶数

…………6 分

(Ⅱ)Sn=b1+b2+b3+…+bn 当 n 为偶数时, Sn=(b1+b3+…+bn-1)+(b2+b4+…+bn) =?
n 3 ? 3? 2 4 ? 4?2 2 ? =7· 2 -7 1? 2 1? 2

n 2

n 2

当 n 为奇数时, Sn=b1+b2+…+bn-1+bn
n ?1

2 2 -7 =Sn-1+bn=10· n ?1 ? ?10 ? 2 2 ? 7,n为奇数 Sn= ? n 2 ? 7 ? 2 ? 7,n为偶数 ?
21. (本题 12 分)

…………12 分

2 解: (I)∵ f ? ? x ? ? 3x ? 3 ? 0 ,∴在 x ? ?1 处取得极值,

∴极大值 f ? ?1? ? 2 ,极小值 f ?1? ? ?2 ,

…………5 分

(II)f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1), ∵曲线方程为 y=x3-3x,∴点 P(1,n)不在曲线上. 设切点为 M(x0,y0) ,则点 M 的坐标满足 y0 ? x0 ? 3x0 .
3

因 f ?( x0 ) ? 3( x0 ? 1) ,故切线的斜率为
2
2 3( x0 - 1) = 3 x0 - 3x0 - n , x0 - 1

整理得 2 x0 - 3x0 + n + 3 = 0 . ∵过点 P(1,n)可作曲线的三条切线, ∴关于 x0 方程 2x0 - 3x0 + n + 3 =0 有三个实根.
3 2

3

2

7 页 共 9 页

设 g(x0)= 2 x0 ? 3x0 ? m ? 3 ,则 g′(x0)=6 x0 ? 6 x0 ,
3 2 2

由 g′(x0)=0,得 x0=0 或 x0=1. ∴g(x0)在(-∞,0) , (1,+∞)上单调递增,在(0,1)上单调递减. ∴函数 g(x0)= 2 x0 ? 3x0 ? m ? 3 的极值点为 x0=0,x0=1
3 2

∴关于 x0 方程 2x0 - 3x0 + n + 3 =0 有三个实根的充要条件是

3

2

? g (0) ? 0 ,解得-3<n<-2. ? ? g (1) ? 0
故所求的实数 a 的取值范围是-3<n<-2. 22.(本题 12 分) …………12 分

解:⑴由题 g ? x ? 的定义域为 ? 0, ?? ? , g? ? x ? ? 2x ? 2ln x ? 2 ,所以 g ? ?1? ? 0 且 g ?? ? x ? ? 2 ?1 ?

? ?

1? (x) < 0 ,当 1 ? x 时, g ⅱ (x) > 0 , ? 。当 0 ? x ? 1 时, g ⅱ x?
…………6 分

可得 g? ? x ? ? g? ?1? ? 0 , g ? x ? 在 ? 0, ?? ? 单调递增;

⑵设函数 f ? x ? ? ?2 ? x ? a ? ln x ? x2 ? 2ax ? 2a2 ? a ? a ? 0? 。则只需证明:存在 a ? ? 0,1? , 使得 f ? x ? ? 0 在区间 ?1, ?? ? 内恒成立,且 f ? x ? ? 0 在 ?1, ?? ? 内有唯一解。由 f ? ? x ? ? 0 可得

a?

x ? 1 ? ln x x ? 1 ? ln x ? ? ,令 ? ? x ? ? ?2 ? x ? ln x ? x 2 ? ? ?1 ?1 1? x 1? x ? ?
2 2

e ? e ? 2? x ? 1 ? ln x ? x ? 1 ? ln x ? x ? 1 ? ln x ? e?2 ? ,则 ? ? e ? ? ? 2 ? x ? 2? ? 2? ? 0, ? ? ?1 ?1 ?1 ?1 ?1 ? 1? x 1? x 1? e ? 1? x ? ? 1? e ?
故存在 x0 ? ?1, e? , 使得 ? ? x0 ? ? 0 。 令 a0 ? ? ?1? ? 1 ? 0 , 由 u? ? x ? ? 1 ? x
?1

x0 ? 1 ? ln x0 , u ? x ? ? x ?1 ? ln x ? x ? 1? , ?1 1 ? x0

? 0 知,函数 u ? x ? 在区间 ?1, ?? ? 单调递增。所以

0?

u ?1? u ? x0 ? u ?e? e?2 ? ? a ? ? ? 1 ,即 a0 ? ? 0,1? 。当 a ? a0 时,有 f ? ? x0 ? ? 0 , 0 ?1 ?1 1 ? 1 1 ? x0 1? e 1 ? e?1

f ? x0 ? ? ? ? x0 ? ? 0 。由⑴知,函数 f ? ? x ? 在 ?1, ?? ? 单调递增,故当 x ? ?1, x0 ? 时,有 f ? ? x0 ? ? 0 ,
从而 f ? x ? ? f ? x0 ? ? 0 ;当 x ? ? x0 , ??? 时,有 f ? ? x0 ? ? 0 ,从而 f ? x ? ? f ? x0 ? ? 0 。所以,当

x ? ?1, ??? 时, f ? x ? ? 0 。综上所述,存在 a ? ? 0,1? ,使得 f ? x ? ? 0 在区间 ?1, ?? ? 内恒成立,

8 页 共 9 页

且 f ? x ? ? 0 在 ?1, ?? ? 内有唯一解。

……12 分

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