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2013-2014学年高中数学人教A版选修1-1同步辅导与检测:3.3.3函数的最大(小)值与导数


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导数及其应用

3 .3 3.3.3

导数在研究函数中的应用 函数的最大(小)值与导数

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1.函数的最大值与最小值 一般地,如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条 连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.函数的最 值必在极值点或区间端点取得. 2.一般地,求函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值与 最小值的步骤如下 (1)求函数y=f(x)在区间(a,b)内的极值; (2)将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b) 比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.

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极值与最值的区别与联系 (1)极值与最值是不同的,极值只是相对一点附近的 局部性质,而最值是相对于整个定义域或所研究问题的整 体性质. (2)函数的最值通常在极值点或区间端点取得,若有 唯一的极值,则此极值必是函数的最值. (3)求函数的最值一般需要先确定函数的极值.因此 函数极值的判断是关键,如果仅仅是求最值,可将导数值 为零的点或区间端点的函数值直接求出并进行比较,也可 以根据函数的单调性求最值.

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求下列函数的最值: (1)f(x)=-x3+3x,x∈[- 3, 3 ]; 1? 4 2 ? (2)f(x)=-x +2x +3,x∈ -3,2 . ? ?
解析:(1)f (x)=-3x2+3, 令f (x)=-3x2+3=0,得x=±1.
3 0,f()=0, ∵f(1)=2,f(-1)=-2,f(-)=

∴f(x)的最大值是2,最小值是-2.

(2)f (x)=-4x3+4x,
令f (x)=-4x(x+1)(x-1)=0,得x=-1,0,1. 当x变化时,f (x),f(x)的变化情况如下表: 金品质?高追求 我们让你更放心!

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?0,1? ? 2?
1 2

x

-3 (-3,-1)

-1

(-1,0)

0

f′(x)
f ( x) - 60


?↗

0
4


?↘

0
3


↗?
55 16

∴当x=-3时,f(x)的最小值是-60; 当x=-1时,f(x)的最大值是4. 点评:该题要求准确理解函数最值的求法,掌握求解 函数最值的一般步骤,学会用表格直观显示解题过程,特 别要注意极值点不在定义域内的情形.

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变式迁移 1.求下列函数的最值: (1)f(x)=x3+2x,x∈[-1,1]; (2)f(x)=(x-1)(x-2)2,x∈[0,3]. 解析:(1)当x∈[-1,1]时,f′(x)=3x2+2>0, 则f(x)=x3+2x在x∈[-1,1]上单调递增.因而f(x)的 最小值是f(-1)=-3,最大值是f(1)=3.

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(2)因为 f(x)=(x-1)(x-2)2=x3-5x2+8x-4, 所以 f′(x)=(3x-4)(x-2). 4 令 f′(x)=(3x-4)(x-2)=0,得 x= 或 x=2, 3 4? 4 ? ∵f(0)=-4,f 3 = ,f(2)=0,f(3)=2, ? ? 27 ∴f(x)的最大值是 2,最小值是-4.

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1 2 设函数 f(x)=x - x -2x+5. 2
3

(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)当x∈[-1,2]时,f(x)<m恒成立,求实数m的取

值范围.

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解析:(1)求导,得 f′(x)=3x2-x-2, 令 f′(x)=3x2-x-2=0, 2 解得,x=1 或 x=- . 3 2? ? 易知,当 x∈ -∞,-3 时,f′(x)>0, ? ? 2 ? ? f(x)为增函数;当 x∈ -3,1 时, ? ? f′(x)<0,f(x)为减函数; 当 x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)为增函数. 2? ? 所以,f(x)的增区间为 -∞,-3 和(1,+∞), ? ? 2 ? ? 减区间为 -3,1 . ? ?
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(2)当 x∈[-1,2]时,f(x)<m 恒成立, 等价于 f(x)在 x∈[-1,2]时的最大值小于 m. 2? 22 ? 由(1)可知,f(x)极大值=f -3 =5+ , 27 ? ? 7 f(x)极小值=f(1)= ; 2 11 又 f(-1)= ,f(2)=7, 2 则 f(x)在 x∈[-1,2]时的最大值为 f(2)=7. 所以,m>7.

点评:本例体现了函数最值的广泛应用,尤其是含参 数不等式恒成立问题,通常通过分离参数后构造函数,把 问题转化为求函数的最值,其中的一个重要的等价转化过 程是:m≥f(x)恒成立?m≥f(x)min;m≤f(x)恒成立?m≤f(x)max. 金品质?高追求 我们让你更放心!

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变式迁移

1 2 2.已知函数 f(x)= x +ln x, 2 (1)求函数 f(x)在[1,e]上的最大值,最小值. (2)求证:在区间[1,+∞)上,函数 f(x)的图 2 3 象在函数 g(x)= x 的下方. 3 1 解析:(1)依题意有 f′(x)=x+ , x 当 x∈[1,e]时,f′(x)>0,f(x)在[1,e]上为增函数, 1 2 ∴f(x)max=f(e)= e +1, 2 1 f(x)min=f(1)= . 2
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1 2 2 3 证明:设 F(x)= x +ln x- x 2 3 2 ? 1 - x ?? 1 + x + 2 x ? 2 1 2 则 F′(x)=x + -2x = x x 当 x∈[1,+∞)时,F′(x)<0, F(x)在区间[1,+∞)上为减函数, 1 且 F(1)=- <0,故 x∈[1,+∞)时,F(x)<0, 6 1 2 2 3 ∴ x +ln x< x , 2 3 在区间[1,+∞)上,函数 f(x)的图象 2 3 在函数 g(x)= x 的下方. 3
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2 3 3 2 设 <a<1,函数 f(x)=x - ax +b,x∈[-1,1]的 3 2 6 最大值为 1,最小值为- ,求常数 a,b 的值. 2

解析:令f′(x)=3x2-3ax=0,得x1=0,x2=a.

当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x f’(x) f ( x)
3 -1- a+b 2

-1

(-1,0) 0 (0,a) + ↗? 0 b - ↘?

a 0
a3 - +b 2

(a,1) +

1

3 - 1 - a+b ↗ 2

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从上表可知,当 x=0 时, f(x)取得极大值 b,而 f(0)>f(a), f(1)>f(-1),故需要比较 f(0)与 f(1)的大小.因为 3 f(0)-f(1)= a-1>0,所以 f(x)的最大值是 2 f(0)=b,则 b=1; 3 a 3 又 f(-1)-f(a)=-1- a+b-?- 2 +b? 2 ? ? 1 = (a+1)2(a-2)<0,所以 f(x)的最小值是 f(-1) 2 3 3 3 6 =-1- a+b=- a,则- a=- , 2 2 2 2 6 所以 a= . 3
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点评:该题属于逆向探究题型,其基本的解决 方法是待定系数法,通常根据求最值的方法先求最

值,再由已知条件得到方程组后求解方程组得答
案.

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变式迁移

a 3.已知函数 f(x)=lnx- . x (1)当 a>0 时,判断 f(x)在定义域上的单调性; 3 (2)若 f(x)在[1,e]上的最小值为 ,求 a 的值. 2

解析:(1)由题意得 f(x)的定义域为(0,+∞), 1 a x+a 且 f′(x)= + 2= 2 . x x x ∵a>0, ∴f′(x)>0,故 f(x)在(0,+∞)上是单调递增函数.
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x+a (2)由(1)可知:f′(x)= 2 x ①若 a≥-1,则 x+a≥0,即 f′(x)≥0 在[1,e]上恒成立, 此时 f(x)在[1,e]上为增函数, 3 3 ∴f(x)min=f(1)=-a= ,∴a=- (舍去). 2 2 ②若 a≤-e,则 x+a≤0,即 f′(x)≥0 在[1,e]上恒与立, 此时 f(x)在[1,e]上为减函数, a 3 e ∴f(x)min=f(e)=1- = ,∴a=- (舍去). e 2 2 ③若-e<a<-1,令 f′(x)=0,得 x=-a. 金品质?高追求 我们让你更放心!

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a 3 e ◆数学?选修 (配人教 A版 ◆ = ,∴a=- (舍去). ∴1-1 f(x)? =f(e)= 1) - min e 2 2 ③若-e<a<-1,令 f′(x)=0,得 x=-a. 当 1<x<-a 时,f′(x)<0. ∴f(x)在(1,-a)上为减函数; 当-a<x<e 时,f′(x)>0, ∴f(x)在(-a,e)上为增函数, 3 ∴ f(x)min=f(-a)=ln(-a)+1= ?a=- e. 2 综上可知:a=- e
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基础训练 1. 函数f(x)=x3-3x+1在闭区间[-3,0]上的最大值、 最小值分别是( A.1,-1 ) B.1,-17

C.3,-17

D.9,-19

解析:根据求最值的步骤,直接计算即可得答案为C.

答案:C

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