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2013自主招生数学模拟试题【第二套】试卷及答案与解析


2013 自主招生模拟试训练(数学)第二套
满分 100 分 考试时间 90 分钟 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 3 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的 1.已知复数 z 满足 z ? 1 ,则 z ? iz ? 1 的最小值为

2? 2 2 ?1

2 ?1

2.在 AB

C 中, b2 ? ac ,则 sin B 的取值范围是

?1 3? ? ? 2, 2 ? ? ? ? 5 ?1 3 ? ? ? 2 , 2 ? ? ? ? 3 ? ? ,1? ? ? 2 ? ? 3? ? ? 0, 2 ? ? ?

3 在直四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 中,底面 ABCD 为矩形,则 p : “ ABCD ? A1B1C1D1 有一个截 面是正六边形” , q : “ ABCD ? A1B1C1D1 是正方体” ,则
p 是 q 的充分不必要条件 p 是 q 的必要不充分条件 p 是 q 的充分必要条件

2013 自招数学模拟题【第二套】

p 和 q 相互独立

4. n 是两位数,满足 n 是其各位数字和的倍数,则满足条件 n 的个数为

5.已知 ABC ,若对任意 t ? R , BA ? t BC ? AC ,则 ABC 的形状是 .必为锐角三角形 B.必为钝角三角形 C.必为直角三角形 D.不确定

2 6.抛物线 y ? 2 px ? p ? 0? 上两点 A, B ,满足 AB ? L ? L ? 2 p ? ,取 AB 中点为 M , 过 M 做 MH

垂直于 y 轴,垂足为 H ,则 MH 最大值 d1 和最小值 d 2 的差为

? L ? 2 p?
8p

2

? L ? 2 p?
4p

2

? L ? 2 p?
16 p

2

? L ? 2 p?
8p

2

?

p 2

7.正二十面体相邻面的二面角的余弦值是

2013 自招数学模拟题【第二套】

?

5 ?1 2 5 3 5 ?1 4 5 6

?

?

?

8.不等边 ABC , 内角 A, B 的平分线延长后分别交外接圆圆于 A , B . 则 1 1

AA1 ? cos
1 4 1 2

A B ? BB1 ? cos 2 2 的值为 b?a

1 2

9.设 M n ? 0.a1a2 ??? an | ai ? ?0,1? , i ? 1, 2, ???, n ? 1, an ? 1 , 其中 0.a1a2 ??? an ? a1 ? 10?1 ? a2 ? 10?2 ? ??? ? an ? 10? n
Tn 是 M n 中元素的个数, S n 是 M n 中所有元素的和,则 lim

?

?

Sn ? n ?? T n

10.正八面体的六个顶点标有 , ,

,6 这六个数字,相邻两个顶点 具有公共棱 上的数

字之差的绝对值叫变差,变差的总和叫全变差 ,则全变差 V 可能的取值个数为

2013 自招数学模拟题【第二套】

二、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.(每题 14 分) 11. 已知 ? , ? , ? ,且 ? ? ? ? ? ? 0,sin ? ? sin ? ? sin ? ? 0 ,求证: ? , ? , ? 中至少存

在一个角满足余弦值等于 1. 在 ABC 中, A ? B ? C ,且 以及 ABC 面积的最小值.

sin A ? sin B ? sin C ? 3 ,其内切圆半径为 3 ,求 B cos A ? cos B ? cos C

12.已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 上依次四点 A, B, C, D 共圆, a 2 b2 求证直线 AC, BD 的斜率之和为定值.

设 AC, BD 交于原点,直线 AC 的斜率为 k ? k ? 0 ? ,求四边形 ABCD 面积最大值,以及此 时 k 的值.

2013 自招数学模拟题【第二套】

13. 已知一种游戏分三关,各关通过概率分别为 p1 , p2 , p3 ? p1 ? p2 ? p3 ? , 游戏规则是若第

i ? i ? 1, 2 ? 关未通过可以重新尝试通过第 i 关, 直到第 i 关通关为止, 方可尝试通过第 i ? 1 关,
直到通过第三关,游戏结束. 求恰好 5 局游戏通关的概率. 若 p1 ? p2 ? p3 ? p ,求通关所需游戏局数 N 的分布列和数学期望.

2013 自招数学模拟题【第二套】

14.已知函数序列 f n ? x ? ? 1 ?

2n x2 x4 n x ? ? ??? ? ? ?1? ,其中 n ? N * . 2! 4! ? 2n ? !

证明: 对于

f n ? x ? 在 ?1, 2 ? 有且仅有一实根 xn ;
xk ? xk ? 2 , xm? 2 ? xm , xk ? xm . 中的实根, 求证对于任意正奇数 k , 正偶数 m , 求证:

n ? n ? 3? 张卡片上分别写有数字 1 到 n , 一位魔术师把这 n 张卡片放入颜色分别是红色、 15.
白色、蓝色的三个盒子里,每个盒子里至少放入一张卡片。 一位观众从三个盒子中挑出两个, 并从中各选取一张卡片, 然后宣布这两张卡片上的两个数 的和数,魔术师知道这个和数之后,便能够指出哪一个是没有被观众取出卡片的盒子。问: 对于指定的 n ,共有多少种放卡片的方法,使得这个魔术师总能够成功?并给出一种可行的 放入方案(如果至少有一张卡片被放入不同颜色的盒子,两种方法被认为是不同的)

2013 自招数学模拟题【第二套】

2013 自主招生模拟试训练(数学)第二套参考答案
1 2 D 11.解: 3 C 4 D 5 C 6 A 7 B 8 B 9 C 10 B

? ? ? ?? ? 0,
? ??
2 cos

? 0 ? sin ? ? sin ? ? sin ? ? sin ? ? 2sin

? ??
2

? 2sin

?
2

cos

?
2

? 2sin

?
2

cos

? ??
2

? 2sin

??

? cos 2?

? ??
2

? cos

? ?? ?
2

? ? ?4sin sin sin , 2 2 2 ?

?

?

?

则 sin

?
2

,sin

?
2

,sin 至少一个是 0,不妨令 sin ? 0 , cos ? ? 1 .故原命题成立. 2 2

?

?

sin A ? sin B ? sin C ? 3, cos A ? cos B ? cos C
?sin A ? 3 cos A ? sin B ? 3 cos B ? sin C ? 3 cos C ? 0

?? ?? ?? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ? 即? sin ? A ? ? ? sin ? B ? ? ? sin ? C ? ? ? 0 ,而 ? A ? ? ? ? B ? ? ? ? C ? ? ? 0 , 3? 3? 3? 3? ? 3? ? 3? ? ? ? ? ?? ?? ?? ? ? ? 由 知 cos ? A ? ? ,cos ? B ? ? ,cos ? C ? ? 至少有一个 3 3 3? ? ? ? ? ?
是1

?? ?? ? ? 若 ABC 不等边,则 cos ? A ? ? ? 1 且 cos ? C ? ? ? 1 ,只 3? 3? ? ? ?? ? ? 能 cos ? B ? ? ? 1 ,即 B ? , 3? 3 ?
若 ABC 是等边三角形, B ? 综上 B ?

?
3

,

?
3

.

如右图,容易得到 BF ? BD ? 3 , 则 AE ? AF ? c ? 3,

CE ? CD ? a ? 3,
则b ? a?c?6, 则S ?
3 1 3 ac ? ? a ? b ? c ? r ? ? ?a ? c ? ? a ? c ? 6 ? ? ?, 4 2 2 ? 整理得, ac ? 4a ? 4c ? 12 ? 0 ,

可得 ? a ? 4?? c ? 4? ? 4 ,

2013 自招数学模拟题【第二套】

ID ID ? C 2 ? 1 ,于是 这里的 a ? 4, c ? 4 ,理由为 C ? ? , ? tan ? tan ? 3 , CD ? 2 3 CD 3 3

a ? ID ? 3 ? 4 ,同理可得 c ? 4
1 3 S ? ac sin B ? ?? a ? 4 ?? c ? 4 ? ? 4 ? a ? 4 ? ? 4 ? c ? 4 ? ? 16? ? 2 4 ? ? 3 4?8 4

?

? a ? 4?? c ? 4? ? 16? ? 9

3

等号当且仅当 a ? c ? 6 时成立

12.解: 方法一:设 AC, BD 的交点为 M ? t , s ? ,

A : ? x1 , y1 ? , C : ? x2 , y2 ?
设 AC : y ? s ? k1 ? x ? t ? , BD : y ? s ? k2 ? x ? t ? , 联立 AC 和椭圆得方程

?a k
2

2 1

? b2 ? x2 ? 2a 2 k1 ? s ? k1t ? x ? a 2 ?? s ? k1t ? ? b2 ? ? 0 ? ?
2

则 AM ? CM ? ?1 ? k12 ? ? x1 ? t ?? x2 ? t ? ?

?1 ? k ? a s
2 1

2 2

? b2t 2 ? a 2b2

a 2 k12 ? b2

,

2 2 2 2 2 2 M 不在椭圆上,? a s ? b t ? a b ? 0

同理可得 BM ? DM ?

?1 ? k ? a s
2 2

2 2

? b2 t 2 ? a 2 b2

a 2 k2 2 ? b 2

,

A, B, C, D 四点共圆,得 BM ? DM ? AM ? CM
得到 k12 ? k2 2 ,而 AC, BD 不重合,所以 k1 ? k2 ? 0 . 方法二:设 AC : y ? k1 x ? b1 , BD : y ? k2 x ? b2 ,则经过 A, B, C, D 的二次曲线可以表示为

x2 y 2 ? ? 1 ? ? ? k1 x ? y ? b1 ?? k2 x ? y ? b2 ? ? 0 不包括 AC, BD 两条直线形成的双直线 a 2 b2
若其中有一个圆的情形,则 xy 的系数 ?? ? k1 ? k2 ? ? 0 若 ? ? 0 ,其表示题目中的椭圆的方程,故 k1 ? k2 ? 0 , 不妨设其中之一为 k , 另一个为 ?k ,

2013 自招数学模拟题【第二套】

进一步的,若其表示圆,则令 x 2 , y 2 系数相等,即 可. 有

a 2 ? b2 1 1 2 ?? 2 2 ? k ? ? ? ? ? ,即 即 a b ?1 ? k 2 ? a2 b2

知 AC, BD 斜率相反,可知 AC : y ? kx, BD : y ? ?kx ,
2k 1? k2

设 AC, BD 夹角为 ? ,则 sin ? ? 联立 AC 和椭圆得 x 2 ?
S ABCD ?

a 2b2 1? k2 1? k2 ,则 AC ? 2ab 2 ,同理 BD 2 ab ? 2 2 b ?a k b ? a2k 2 b2 ? a 2 k 2
2

1 2a 2 b 2 k 2a 2 b 2 2a 2 b 2 ? ? ? ab . AC BD sin ? ? 2 2 2 b ? a 2 k 2 b2 2 b 2 ?a k 2 ?a k k k
b 时成立 a

等号当且仅当 k ?

13. 解:
2 2 2 P ? N ? 5? ? p1 p2 p3 ??1 ? p1 ? ? ?1 ? p2 ? ? ?1 ? p3 ? ? ?1 ? p1 ??1 ? p2 ? ? ?1 ? p1 ? ?1 ? p3 ? ? ?1 ? p2 ? ?1 ? p3 ?? ? ?

2 2 ? p1 p2 p3 ? p12 ? p2 ? p3 ? p1 p2 ? p2 p3 ? p3 p1 ? 4 p1 ? 4 p2 ? 4 p3 ? 6 ? .

令 q ?1? p ,
P ? N ? k ? ? Ck2?1qk ?3 p3
?

? k ? 3, 4,5,6,...?

E ? N ? ? ? kCk2?1q k ?3 p3 ,
k ?3

2E ? N ? p3

? 1 ? 2 ? 3 ? 2 ? 3 ? 4q ? 3 ? 4 ? 5q 2 ? 4 ? 5 ? 6q3 ? ... ① 2qE ? N ? p3 2E ? N ? 3p
2

? 1 ? 2 ? 3q ? 2 ? 3 ? 4q 2 ? 3 ? 4 ? 5q3 ? 4 ? 5 ? 6q 4 ? ... ②

① -②得

? 1 ? 2 ? 2 ? 3q ? 3 ? 4q 2 ? 4 ? 5q3 ? ... ③

2qE ? N ? 3 p2

? 1 ? 2q ? 2 ? 3q 2 ? 3 ? 4q3 ? 4 ? 5q 4 ? ... ④

2013 自招数学模拟题【第二套】

③ -④得

E?N? 3p

? 1 ? 2q ? 3q 2 ? 4q3 ? ...

qE ? N ? 3p E?N? 3
3 . p

? q ? 2q 2 ? 3q3 ? 4q 4 ? ... ⑥

-⑥得
E?N? ?

? 1 ? q ? q 2 ? q3 ? q 4 ? ... ?

1 1? q

14. 解:

? 1? ?1 1? 1 1 ? ? ? 若 n 是奇数, f n ?1? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? 2 n ? 2 ? ! ? 2 n ?! ? ? ? 0, ? 2! ? ? 4! 6! ? ? ? ? ? 1? ?1 1? 1 1 1 ? ? ? ?0. 若 n 是偶数, f n ?1? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? 2! ? ? 4! 6! ? ? ? 2 n ? 4 ? ! ? 2 n ? 2 ? ! ? ? 2 n ?!
1 f 2 ? 2 ? ? ?1 , f3 ? 2 ? ? ? , 3

若 n 是大于 1 的奇数,

? 22 n ? 2 1 ? 26 28 ? ? 210 212 ? 22 n ? fn ? 2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? 3 ? 6! 8! ? ? 10! 12! ? ? ? 2 n ? 2 ? ! ? 2 n ?! ? ? 1 1? 1 ? 1 1 ? ? 1 ? 1 2n ? ? ? 28 ? ? ? ? 212 ? ? ? ? ??? ?2 ? 2 2 2 ? ? 2n ? 2 ?!2 ? 2n ?! ? ??0 3 ? 6!2 8! ? ? 10!2 12! ? ? ?
若 n 大于 2 的偶数, f n ? 2? ? f n?1 ? 2? ? 0 由上可知

fn ? x ?



?1, 2 ? 有根.

x3 x5 x 2 n ?1 n f n? ? x ? ? ? x ? ? ? ... ? ? ?1? , 3! 5! ? 2n ? 1?!
若 n 是偶数,

? ? x3 ? ? x5 x 7 ? x 2 n ?3 x 2 n ?1 ? ? ? x ? ?1, 2 ? , f n? ? x ? ? ? ? x ? ? ? ? ? ? ? ? ... ? ? ? 2n ? 3?! ? 2n ? 1?! ? ? 3! ? ? 5! 7! ? ? ? ?

2013 自招数学模拟题【第二套】

? ? x 2 ? x5 ? x2 ? x 2 n ?3 ? x2 ? ? x ?1 ? ? ? ? ? ? ?0 1 ... 1 ? ? ? ? ? ? ? ? 2n ? 3?! ? ? 2n ? 1?? 2n ? 2 ? ? ? 3 ? 2 ? 5! ? 7 ? 6 ?
若 n 是奇数, f n ? x ? ? f n?1 ? x ? ? 0 , 综上 f n ? x ? 在 ?1, 2 ? 单调递减,故原命题成立. 奇数情形

fk ?2 ? xk ? ? fk ? xk ? ?


? x2k ? 2 x2k ? 4 x2 k ? 2 ? x2 ? ? ? 1 ? ??0, ? ? 2k ? 2?! ? 2k ? 4 ?! ? 2k ? 2 ?! ? ? 2k ? 4 ?? 2k ? 3? ? ?

知 f n ? x ? 在 ?1, 2 ? 单调递减,且有唯一根,

得 xk ? xk ? 2 . 偶数情形, f m? 2 ? xm ? ? f m ? xm ? ? 理由同上 xm? 2 ? xm , 由上述知道, x1 ? x3 ? x5 ? x7 ? ???
x2 ? x4 ? x6 ? x8 ? ???

? x2m? 2 x2m? 4 x2m? 2 ? x2 1 ? ?? ? ? ? ? ? 0, ? 2m ? 2?! ? 2m ? 4?! ? 2m ? 2 ?! ? ? ? 2m ? 4 ?? 2m ? 2 ? ?

f k ?1 ? x k ? ? f k ? x k ? ?

x2k ? 2 ? 0 ,得到 xk ? xk ?1 , ? 2k ? 2 ? !

对于任意偶数 m ,奇数 k ,存在奇数 l ,使得 l ? m, l ? k 则 xm ? xl ?1 ? xl ? xk .

15.
3 ? 6 种情形. 解:(1)若 n ? 3 ,相当于三个数的全排列,有 A3

(2)若 n ? 4 ,①若 1,2,3 位于不同的盒子,则 4 一定和 1 放在同一个盒子,5 一定和 2 放同 一个盒子,以此类推,1,4,7,…;2,5,8,…;3,6,9,…,不妨设这三组数字集合为 A1 , A2 , A3 其中三组的数字分别为 3m ? 2,3n ? 1,3k 型,其中 m, n, k ? N * , 接下来我们验证这样分配是可以的,对于任意 A1 , A2 组的两个数字,其和一定是 3 的倍数,

2013 自招数学模拟题【第二套】

其可以分成另外连个正整数的和一定是两个 3 的倍数, 或者是一个与 1 对 3 同余, 另一个与 2 对 3 同余,而前一种情形,已经被摆放的情形排除,故可以清楚的知道答案是 A3 ,其他两 种情况同理也是可以验证的.
3 又考虑到颜色的问题,此种情形又分 A3 ? 6 种情形.

② 若 1,2,3 不全位于不同的盒子,我们把这三个盒子数字构成的集合分别叫做 A1 , A2 , A3 , 而且满足 A1 , A2 , A3 其中最小元素依次递增.仅对 1,2,3 在哪个集合分类,可分为以下三 种情形. 情形
A1 A2 A3

?

1,2,3 1,2 1 3 2,3

?
?

对于情形 ? ,若 n ? 4 , 一个集合为空, 不满足题意.若 n ? 5 , 不妨设 A2 中最小元素为 k , 则由 2 ? k ? 1 ? ? k ? 1? , k ? 1 目前只能在集合 A2 中,同理 k ? 2, k ? 3,..., n 都只能在 A2 中, A3 是空集不满足题意. 对于情形 ? ,不妨设 A3 中最小元素为 k , 显然 k ? 4 ,k ? 1 ? ? k ? 1? ? 2, k ? 2 ? ? k ? 1? ? 3 ,
k ? 1 的位置不可能同时满足,故此种情形不正确.

对于情形 ? ,设 A3 中最小元素为 k ,若 k ? n ,则 2 ? k ? 1 ? ? k ? 1? , k ? 1 目前能在集合 A1 中,而 3 ? k ? 2 ? ? k ? 1? , k ? 1 目前只能在 A3 中,不可同时满足,不成立. 对于情形 ? ,,若 k ? n ,则 A3 为单元素集,若 n ? 4 则已经结束,若 n ? 4 ,由

n ? 2 ? ? n ? 1? ? 3 ,得到 n ? 1? A2 ,若 A1 中除 1 外还有其他元素,设其中最大的为 m ,显然
m ? 3 ,则由 m ? ? n ? 1? ? ? m ? 1? ? n , m ? 1 无处可选,故 A1 也为单元素集,即

1? A1 , 2,3,..., n ? 1? A2 , n ? A3 ,

接下来,我们证明上述方式的正确性: 所取元素之和取值为 3, 4,..., n ,则未被选中集合为 A3 ,

2013 自招数学模拟题【第二套】

所取元素之和为 n ? 1 ,则未被选中集合为 A2 , 所取元素之和为 n ? 2, n ? 3,...,2n ? 1 ,则未被选中集合为 A1 , 现在给 A1 , A2 , A3 着色,则有 6 种方案. 综上所述,若 n ? 3 ,则方案有 6 种,若 n ? 4 方案有 12 种.

2013 自招数学模拟题【第二套】


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