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2013级高一数学寒假作业


高一数学寒假作业(一)
一、选择题: 1.若 U ? ?1,2,3,4?, M ? ?1,2?, N ? ?2,3? ,则 ? U (M A. ?1, 2,3? B. ?2?

N ) 是( )
D. ?4?

C. ?1,3, 4?

2.若直线过点 (1, 2) , (4,2 ? 3) ,则此直线

的倾斜角是( ) A. 30 ? B. 45 ? C. 60 ? D. 90 ? D. y ? 3x ? 6

3.过点 P(?2,0) ,且斜率为 3 的直线的方程是( ) A. y ? 3x ? 2 B. y ? 3x ? 2 C. y ? 3x ? 6 4.如果指数函数 A. (2, ??)
x

y ? (a ? 2) 在 x ? R 上是减函数,则 a 的取值范围是( ).
B. (??,3) C. (2,3) D. (3, ??)

5.函数 y ? x ?2 在区间 [1, 2] 上的最大值是 ( A.

) C. 1 D. ? 1

1 4

B. ? 4

6.设 ? ? {?1,1, ,3} ,则使函数 y ? x ? 的定义域为 R 且为奇函数的所有 ? 的值为 (A) ? 1,1,3 (B) ? 1,1 (C) ? 1,3 (D) 1,3

1 2

7.已知 lg 2 ? a , lg 3 ? b ,则 lg 36 ? ( ) A. 2 a ? 2 b C. 2 a ? 3b B. 4 ab D. a 2 ? b2
1 1

1 2

1 2 侧视图

8.几何体的三视图如图,则几何体的表面积为( ) A. (2 ? 2)? C. B. (3 ? 2)? D. 4?
正视图

7? 2

1
俯视图 (第 8题图)

9. 若 f ( x ) 是定义域为 R 的偶函数, 且 f ( x ) 在 [0, ??) 上为增函数, 则 f (?2) , f (?? ) ,

f (3) 的大小顺序为( )
A. f (?? ) ? f (3) ? f (?2) C. f (?? ) ? f (3) ? f (?2) B. f (?? ) ? f (?2) ? f (3) D. f (?? ) ? f (?2) ? f (3)

10.已知 a , b, c 是直线, ? 是平面,给出下列命题: ①若 a ? b , b ? c ,则 a // c ; ②若 a // b , b

? c ,则 a ? c ;

③若 a // ? , b ? ? ,则 a // b ; ④若 a 与 b 异面,且 a // ? ,则 b 与 ? 相交; 其中正确的命题的个数是( A.1 B.2 ) C.3 D.4

11.已知 A ? ?y | y ? x, x ? R? , B ? y | y ? x 2 , x ? R ,则 A ? B 等于 (A) R (B) ?0,??? (C){(0,0),(1,1)} (D) ?

?

?

12.设函数 g ( x) ? 1 ? 2 x , f ( g ( x)) ? (A)1 二、填空题: (B)3

1? x 1 ( x ? 0) ,则 f ( ) ? x 2
(D)30

(C)15

13.函数 f ( x) ? 1 ? x ? ln x 的定义域为 14.一个球的体积是
32? ,则这个球的表面积是 3

. .

15.设函数 f ( x) ? ? 零点为

?2 x ? 2 x ? ?1,???
2

? x ? 2 x x ? ?? ?,1?

,则函数 f ( x ) ?

1 的 4

16. 若函数 f ( x) ? loga x(0 ? a ? 1) 在 a, 2a 上的最大值是其最小值的 2 倍, 则a= 三、解答题: 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ?
m

?

?

.

2 ,且 f (2) ? 1 . x
2

(1)求 m 的值;

(2)判定 f ( x) 的奇偶性,并说明理由; (3)判断 f ( x) 在 (??,0) 上的单调性并给予证明.

18.(本小题满分 12 分) 已知两直线 l1 : 2x ? y ? 7 ? 0 , l2 : x ? y ?1 ? 0 , A(m, n) 是 l1 和 l2 的交点, (1)求 m, n 的值; (2)求过点 A 且垂直于直线 l1 的直线 l3 的方程; (3)求过点 A 且平行于直线 l : 2 x ? 3 y ? 1 ? 0 的直线 l4 的方程.

3

19. (本小题满分 14 分) 已知正方体 ABCD ? A1B1C1D1 , O 是四边形 ABCD 对角线的交点. (1)求证: C1O // 平面 AB1D1 ; (2)求证: 平面AB1D1 ? 平面A1 AC ;
A1 D1 B1 C1

D A O B

C

4

20. (满分 12 分) 设函数 f ( x) 对任意实数 x, y 都有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) , 且 x ? 0 时,

f ( x) <0, f (1) =-2.
(1)求证 f ( x) 是奇函数; (2)求 f ( x) 在[-3,3]上的最大值和最小值

5

x 21. 设全集 I ? R ,已知集合 M ? x | ?x ? 3? ? 0 , N ? ? x | 2 ? ? ? 2
2

?

?

? ? ? ?

?1? ?2?

x ?6

? ? ?. ? ?

(Ⅰ)求 ? CI M ? ? N ; (Ⅱ)记集合 A ? ?2? ,已知 B ? ?x | a ? 1 ? x ? 5 ? a, a ? R?, 若 A ? B ? B ,求实数 a 的取值范围.

6

22. (本小题满分 15 分)已知函数 f ( x) 是定义在 ?? ?,0? ? ?0,??? 上的奇函数, 当 x ? 0 时, f ( x) ? log2 x . (Ⅰ)求当 x ? 0 时,函数 f ( x) 的表达式; (Ⅱ)求满足 f ( x ? 1) ? ?1 的 x 的取值范围;

7

高一数学寒假作业(二)
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合要求的). 1.图中阴影部分所表示的集合是 A.B∩[CU(A∪C) ] B. (A∪B)∪(B∪C) C. (A∪C)∩(CUB) D. [CU(A∩C) ]∪B 2.经过点 M (?2, m) 、 N (m, 4) 的直线的斜率等于 1,则 m 的值为 A.1 A. 30 ? A.三棱锥 B.四棱锥 C.三棱台 D.四棱台 5.已知 0<loga2<logb2,则 a、b 的关系是 A.0<a<b<1 B.0<b<a<1 C.b>a>1 D.a>b>1 6.设 f(x)是 R 上的任意函数,则下列叙述正确的是 A. f ( x) ? f (? x) 是奇函数 C. f ( x) ? f (? x) 是偶函数 B. f ( x)? | f (? x) | 是奇函数 D. f ( x) ? f (? x) 是偶函数 B.4 B. 60 ? C.1 或 3 C. 120? D.1 或 4 D. 150? 3.直线 x ? 3 y ? 1 ? 0 的倾斜角为 4.某几何体的三视图如图所示,那么这个几何体是

7. 已知直线 l1 : Ax ? 3 y ? C ? 0 与 l2 : 2 x ? 3 y ? 4 ? 0 , 若 l1、l2 的交点在 y 轴上, 则C 的 值为 A.4 C.4 或-4
x

B.-4 D.与 A 的取值有关

8.已知 0 ? a ? 1 ,则方程 a ? log a x 的实根个数 A.2 B.3 C. 4
8

D.5

9.棱长为 a 的正方体外接球的表面积为 A. ? a
2 2

B. 2? a D. 4? a

2 2

C. 3? a

10.定义集合 A、B 的一种运算:

A ? B ? {x x ? x1 ? x2 , 其中x1 ? A, x2 ? B} ,若
C.18 D.21

A ? {1, 2,3}, B ? {1, 2} ,则 A ? B 中的所有元素数字之和为
A.9 B.14 二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在题中横线上. ) 11.两平行直线 5 x ? 12 y ? 0 与 5x ? 12y ? 13 ? 0 的距离是 则该平面图形的面积等于___________. 13 .若方程 x ? x ? 1 ? 0 在区间 (a , b ) (a , b? Z, 且 b? a ? 1)上有一根,则 a ? b 的值 为 .
3



12. 一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为 45 , 腰和上底长均为 1 的等腰梯形,

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 14. (本小题满分 12 分) 求经过两直线 2 x ? 3 y ? 3 ? 0 和 x ? y ? 2 ? 0 的交点且与直线 3x ? y ? 1 ? 0 垂直的 直线方程.

9

15. (本小题满分 12 分) 如图是一个几何体的正视图和俯视图. (I)画出其侧视图,试判断该几何体是什么几何体; (II)求出该几何体的全面积; (III)求出该几何体的体积.

10

16. (本小题满分 12 分)

A, B 两城相距 100km ,在 A, B 两地之间距 A 城 xkm 的 D 地建一核电站给 A, B 两
城供电,为保证城市安全,核电站距市距离不得少于 10 km .已知供电费用与供电距离的 平方和供电量之积成正比,比例系数 ? ? 0.25 .若 A 城供电量为 20 亿度/月, B 城为 10 亿度/月. (I)把月供电总费用 y 表示成 x 的函数,并求定义域; (II)核电站建在距 A 城多远,才能使供电费用最小.

11

17.(本小题满分 12 分) 已知 ?1 ? x ? 0, 求函数y ? 2x?2 ? 3 ? 4x 的最大值和最小值.

18(12 分)已知二次函数 f ( x) ? ? x ? 4 x ? 3
2

(1) 指出其图像对称轴,顶点坐标; (2) 说明其图像由 y ? ? x 的图像经过怎样的平移得来;
2

(3) 若 x ??1, 4? ,求函数 f ( x ) 的最大值和最小值。

12

19(12 分)求过点 P(2,3) ,且在两坐标轴上的截距相等的直线方程。

20. 如图, 正四棱锥 P-ABCD 的侧棱长为 5, 底面边长为 6。 (1) 求该正四棱锥的侧面积 (2) 求该正四棱锥的体积

P

D

C

A

B

13

高一数学寒假作业(三)
第Ⅰ卷
一、选择题:(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1. 设集合 U ? {1,2,3,4,5} , A ? {1,2,3} ,则 CuA= A. {4} B. {2,4, 5} C. {4,5} D. {1,3,4}

? x2 , x ? 0 2.设 f ? x ? ? ? x ,则 f ? ? f ? ?1? ? ?= ?2 , x ? 0
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 3. 已知 A(1,1) , B(2,4) ,则直线 AB 的斜率为 A. 1 A. y ? x ? 1 B. 2 B. y ? ? x2 C. 3 C. y ?
1 x

D. 4 D . y ? x3

4. 下列函数中,既是奇函数又是增函数的是

5. 若直线 mx+y-1=0 与直线 x-2y+3=0 平行,则 m 的值为 A.
1 2

B. ?

1 2

C. 2

D. ?2

6. 设 a ? 30.3 , b ? log? 3, c ? log0.3 2 则 a, b, c 的大小关系是 A. a ? b ? c 的是 A.若 m∥n,m∥α,则 n∥α C.若 α⊥β,m⊥β,则 m∥α B.若 α⊥β,m∥α,则 m⊥β D.若 m⊥n,m⊥α, n⊥β,则 α⊥β B. c ? b ? a C. b ? a ? c D. c ? a ? b

7. 设 m、n 是两条不同的直线,α、β 是两个不同的平面,则下列命题中正确

8. 当 0 ? a ? 1 时,在同一坐标系中,函数 y ? a ? x 与 y ? loga x 的图象是

14









O 1

O 1

A.

B.

C.

D.

9. 如图是一个正三棱柱体的三视图,该柱体的体积等于 A. 3 B. 2 3 C.2 D.
3 3
3

1

10. 函数 f(x)=ex- 1 的零点所在的区间是
x

第9题

A.(0, 1 )
2

B. ( 1 ,1)
2

C. (1, 3 )
2

D. ( 3 ,2)
2

2 ? ? x ? 4 x, x ? 0 12. 已知函数 f ( x) ? ? 2 ,若 f (2a ? 1) ? f (a) ,则实数 a 的取值范围 x ? 4 x , x ? 0 ? ?


1 A. (??, ?1) ? (? , ??) B. (??, ?3) ? (?1, ??) 3 1 C. ( ?1, ? ) D. (?3, ?1) 3

第Ⅱ卷(非选择题

共 72 分) .

二、填空题(共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分) 13. 已知函数 f ( x) ? lg( x ? 1) ,它的定义域为 为 .

14. 已知球的某截面的面积为 16 ? ,球心到该截面的距离为 3,则球的表面积 16. 下列四个判断:① 若 f ( x) ? x2 ? 2ax 在 [1, ??) 上是增函数,则 a ? 1; ② 函数
15

函数 y ? 2|x| 的最小值是 1;④ 在同一坐标系中函 y ? ln( x2 ? 1) 的值域是 R ;③ 数 y ? 2x 与 y ? 2? x 的图象关于 y 轴对称;其中正确命题的序号是 三、解答题(共 6 个小题,共 56 分. 17.(本小题满分 8 分) 设集合 A ? {x | ?1 ? x ? 3} , B ? {x | 2 x ? 4 ? x ? 2} , C ? {x | x ? a ? 1} . (1)求 A? B ; (2)若 B ? C ? C ,求实数 a 的取值范围. .

16

18.(本小题满分 8 分) 已知直线 l1 : 3x ? 4 y ? 1 ? 0 和点 A (1,2),设过 A 点与 l1 垂直的直线为 l2 . (1)求直线 l2 的方程; (2)求直线 l2 与两坐标轴围成的三角形的面积.

17

19. (本小题满分 10 分) 如图,四边形 ABCD 是正方形,O 是正方形的中心,PO ? 底面 ABCD,E 是 PC 的中点. 求证: (1) PA∥平面 BDE . (2)平面 PAC ? 平面 BDE .

(第 19 题)

18

20. (本小题满分 10 分) 某 企业拟 投资 A 、 B 两 个项 目,预 计投资 A 项 目 m 万 元可获 得利润 1 2 P ? ? ? m ? 20 ? ? 105 万 元 ; 投 资 B 项 目 n 万 元 可 获 得 利 润 80 79 59 2 Q?? ? 40 ? n ? ? ? 40 ? n? 万元.若该企业用 40 万元来投资这两个项 80 2 目,则分别投资多少万元能获得最大利润?最大利润是多少?

19

22. (本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ? x?2m ?m?3 (m ??) 为偶函数,且在 (0, ??) 上为增函数. (1)求 m 的值,并确定 f ( x) 的解析式; (2)若 g ( x) ? loga [ f (x )? ax ](a ? 0且 a ? 1) ,是否存在实数 a, 使 g ( x) 在区 间 [2,3] 上的最大值为 2,若存在,求出 a 的值,若不存在,请说明理由.
2

20

高一数学寒假作业(四)
参考公式:球的体积 V ? 锥体的体积 V ?

4 3 ? r (r 是球的半径) ; 柱体的体积 V ? Sh 3

1 Sh ;圆台的侧面积 S ? ? (r ? R)l (r、R 是底面半径, l 是圆台的母 3

线) 一、选择题:本大题共 12 小题;每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一个选项是符合题目要求的,把正确选项的代号涂在答题卡上. 1.下列说法正确的是 A.两两相交的三条直线确定一个平面 B.圆心和圆上两点可以确定一个平面 C.经过一条直线和一个点确定一个平面 D.梯形可以确定一个平面 2.若直线 l // 平面 ? ,直线 a ? ? ,则 l 与 a 的位置关系是 A. l // a B. l 与 a 异面 C. l 与 a 相交 D. l 与 a 没有公共点 3. 若一个几何体的三视图都是等腰三角形,则这个几何体可能是 A.圆锥 B.正四棱锥 C.正三棱锥 D.正三棱台 4. 给出下列命题: ⑴平行于同一直线的两个平面平行 ⑵平行于同一平面的两个平面平行 ⑶垂直于同一直线的两直线平行 ⑷垂直于同一平面的两直线平行 其中正确命题的序号为 A. ⑴ ⑵ B.⑶ ⑷ C. ⑵ ⑷ D.⑴ ⑶ 5.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图 如图所示,则其侧面积 等于 ... 1 A. 3 B.2
3

C. 2 3

D.6 1 1

6.函数 f ( x) ? x ? x ? 3 的实数解所在的区间是 A. 〔0,1〕 B. 〔1,2〕 C. 〔2,3〕 D.〔3,4〕

7.水平放置的 ?ABC 按“斜二测画法”得到如图所示的直观图,其中

O?B? ? O?C ? ? 1 , O?A? ?

3 ,那么原 ?ABC 是一个 2
O?

A.等边三角形 B.直角三角形 C.三边中只有两边相等的等腰三角形 D.三边互不相等的三角形
21

A?

y?

B?

C?

x?

8. 设 f ?x? ? 3 x ? 3x ? 8 , 用二分法求方程 3 x ? 3x ? 8 ? 0在x ? ?1,2? 内近似解的过程中得

f ?1? ? 0, f ?1.5? ? 0, f ?1.25? ? 0, 则方程的根落在区间
A. (1,1.25) B. (1.25,1.5) C. (1.5, 2) D. 不能确定

9.在棱长为 1 的正方体上,分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体, 则截去 8 个三棱锥后,剩下的凸多面体的体积是 A.

2 3

B.

1 3

C.

4 5

D.

5 6

10.如图,正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,异面直线 AC 与 BC1 所成的角的大小是

D1
A. 30 C. 60
?

C1

B. 45 D. 90

?

A1
D
A

B1
B

?

?

C

11. 函数 f ( x) ? ln x ? 2 x ? 6 在(2,3)内零点的个数为 A.0 B.1 C.2 D.4

12.如图,长方体的三条棱长分别是 AA? ? 1 , AB ? 2, AD ? 4 , 则从 A 点出发,沿长方体的表面到 C ? 的最短矩离是

D? B?

C?
C
B

A?
A.5 C. 29 B.7 D. 37

D
A

二、填空题:本大题共有 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分.把正确答案填在答题卡的相应 位置. 13.将一个气球的半径扩大 1 倍,它的体积扩大到原来的倍数是 14.正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,平面 AB1 D1 和平面 BC1 D 的位置关系为 15. 已知圆台的上下底面半径分别为 r , R ,且侧面面积等于两底 面面积之和,则圆台的母线长为 16. 如图,正方体 ABCD? A1 B1C1 D1 中,平面 ABC 1 D1 和平面
22

ABCD 所成二面角的大小是
三、解答题:本大题共 6 个小题,共 74 分.解答时要求写出必要的文字说明、证明过程 或推理步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知 ?

? ? a , ? ? ? m , ? ? ? b ,且 m//? ,求证: a//b .
?



b

? ?
a

m

23

18.(本小题满分 12 分) .如图,直角梯形 OABC 位于直线 x ? t (0 ? t ? 5) 右侧 的图形的面积为 f (t ) ,试求函数 f (t ) 的解析式. .. Y

x ?t
A B

2

C O 2 5 X

24

19.(本小题满分 12 分) 已知某几何体的三视图如图所示(单位: cm). (1) 画出这个几何体的直观图 ( 不要求写画 (2)求这个几何体的表面积及体积. 法);

25

20.(本小题满分 12 分) 如图,已知直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AC ? BC ? ,2 M 、 N 分别是棱 CC1 、 AB 的中点.求证:平面 MCN ? 平面 ABB1 A 1. A1 M C C1

B1

A

N

B

26

21.(本小题满分 12 分) 在四棱锥 P ? ABCD 中, 底面是边长为 2 的菱形,?DAB ? 60 , 对角线 AC 与 BD 相交于点 O , PO ? 平面 ABCD , PB 与平面 ABCD 所成的角为 60 ,求直线 PA 与底 面 ABCD 所成的角. P

D

A

O
B

C

27

22.(本小题满分 14 分) 某工厂今年 1 月、2 月、3 月生产某产品分别为 1 万件、1.2 万件、1.3 万件,为估 计以后每月的产量,以这三个月的产量为依据,用一个函数模拟该产品的月产量 y 与月 份 x 的关系,模拟函数可选用二次函数或

y ? a ? b x ? c ( a, b, c 为常数),已知四月份

该产品的产量为 1.37 万件,请问:用以上那个函数作模拟函数较好?并说明理由.

高一数学寒假作业(一)
一、选择题:
28

参考答案

题号 答案

1 D

2 A

3 D

4 C

5 C

6 D

7 A

8 B

9 A

10 A

11 B

12 B

二、填空题: 13. (0,1] 14. 16? 15. ,

9 2? 5 8 2

16.

1 4

三、解答题: 17. (本小题主要考查函数的表示方法及基本性质,考查化归转化的数学思想方法. ) 解: (1)因为 f (2) ? 1 , 2 ?
m

2 ? 1 ,所以 m ? 1 . 2

2 的定义域为 ?x | x ? 0?. x 2 2 因为 f (? x) ? ? x ? ? ?( x ? ) ? ? f ( x) , ?x x 所以 f ( x) 是奇函数. (3)设 x1 ? x2 ? 0 , 2 2 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 ? ? ( x2 ? ) x1 x2 2 2 2 ? x1 ? x2 ? ( ? ) ? ( x1 ? x2 )(1 ? ) x1 x2 x1 x2 2 ? 0, 因为 x1 ? x2 ? 0 ,所以 x1 ? x2 ? 0 , 1 ? x1 x2 所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,因此 f ( x) 在 (??,0) 上为单调增函数.

(2)函数 f ( x) ? x ?

18. (本小题主要考查直线平行、垂直的性质以及直线的交点等知识,考查数形结合的 数学思想方法,以及运算求解能力. ) 解: (1)因为 A(m, n) 是 l1 和 l2 的交点, 所以 ?

?2m ? n ? 7 ? 0 , ?m ? n ? 1 ? 0 ?m ? ?2 解得 ? ?n ? 3
(2)由(1)得 A(?2,3) . 因为 kl1 ? 2 , l3 ? l1 ,所以 kl3 ? ? 由点斜式得, l3 : y ? 3 ? ?

1 , 2

1 ( x ? 2) ,即 l3 : x ? 2 y ? 4 ? 0 . 2 2 (3)因为 l4 // l ,所以 kl4 ? kl ? , 3
29

由点斜式得, l4 : y ? 3 ?

2 ( x ? 2) ,即 2 x ? 3 y ? 13 ? 0 . 3

19. (本小题主要考查直线与平面平行、垂直,平面与平面垂直的判定,空间几何体体 积的计算,考查化归转化的数学思想方法,以及空间想象能力和推理论证计算能力) 解: (1)证明:连结 AC 1 1 1 1 ,设 AC

B1D1 ? O1 ,连结 AO1 ,

因为 ABCD ? A 1B 1C1D 1 是正方体 ,所以 A 1 ACC1 是平行四边形. 所以 AC 1 1 ? AC . 1 1 // AC ,且 AC 又 O1 , O 分别是 AC 1 1 , AC 的中点, 所以 O1C1 // AO ,且 O1C1 ? AO .
D A1 D1 O1 B1 C1

所以 AOC1O1 是平行四边形.
A

C O B

所以 C1O // AO1 . 又 AO1 ? 平面 AB1D1 , C1O ? 平面 AB1D1 , 所以 C1O // 平面 AB1D1 . (2)方法一: 因为 AA1 ? 平面A1 B1C1 D1 , D1 B1 ? 平面A1 B1C1D1 ,所以 AA1 ? B1D1 . 因为四边形 ABCD 是正方形,所以 AC ? BD , 而 D1 B1 // BD ,所以 D1 B1 ? AC . 因为 A1 A ? AC ? A ,所以 D1 B1 ? 平面A1 AC . 因为 D1B1 ? 平面AB1D1 ,所以 平面AB1D1 ? 平面A1 AC .

方法二: 连接 A1 B . 因为 A1 ABB1 是正方形,所以 A1 B ? AB1 .
? AB1 . 因为 CB ? 平面 A1 ABB1 , 由三垂线定理得, AC 1
30

同理可证, A1C ? AD1 . 因为 AB1 ? 平面 AB1 D1 , AD1 ? 平面 AB1 D1 , D1 A ? AB1 ? A , 所以 AC ? 平面 AB1 D1 . 1 因为 AC ? 平面 A1 AC , 所以平面 A1 AC ? 平面 AB1 D1 . 1 20.(1)证明:令 x=y=0,知 f (0) =0; 再令 y=-x,则 f(0)=f(x)+f(-x)=0,

? f (? x) ? ? f ( x) ,所以 f ( x) 为奇函数.
(2)任取 x1<x2,则 x2-x1>0,

? f(x2-x1)=f[x2+(-x1)]=f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1)<0, ? f ( x) 为减函数.
而 f (3) = f (2 ? 1) ? f (2) ? f (1) =3 f (1) =-6,

f (?3) =- f (3) =6.

? f ( x)max = f (?3) =6, f ( x)min = f (3) =-6
21. 解: (Ⅰ) M ? ?? 3? , N ? ?2,?3? , ∴ ?C I M ? ? N ? ?2?

(Ⅱ) A ? ?2? ,因为 A ? B ? B ,所以 B ? A 。 当 B ? ? 时, a ? 1 ? 5 ? a ,∴ a ? 3 ; 当 B ? ? 时, a ? 1 ? 5 ? a ? 2 ,∴ a ? 3 , 综上得 a ? 3 。 22.解: (Ⅰ)当 x ? 0 时, f ( x) ? ? log2 (? x) (Ⅱ) f ( x) ? ?

?log2 x ( x ? 0) , ?? log2 (? x) ?x ? 0?
31

∴ f ( x ? 1) ? ?

?log2 ( x ? 1) ( x ? 1 ? 0) ?log2 ( x ? 1) ( x ? ?1) ?? ?? log2 ?? ( x ? 1)? ?x ? 1 ? 0? ?? log2 ?? ( x ? 1)? ?x ? ?1?
? x ? ?1 ? x ? ?1 或? ?log 2 ( x ? 1) ? ?1 ?? log2 ?? ( x ? 1)? ? ?1

因为 f ( x ? 1) ? ?1 ,∴ ? ∴x ? ?3 或 ? 1 ? x ? ?

1 . 2

高一数学寒假作业(二)
一、选择题: 二、填空题: 三、解答题 14.解:由 ? AADBD 11. 1 DBACB 12. 2 ? 2 13. ?3

参考答案

?2 x ? 3 y ? 3 ? 0 7 得交点( ? 3 , - ) ????????3 分 5 5 ?x ? y ? 2 ? 0
所求的直线与直线 3x ? y ? 1 ? 0 垂直, 所求直线的方程为 y ?

又直线 3x ? y ? 1 ? 0 斜率为-3,??5 分 所以所求直线的斜率为

1 , ???7 分 3

7 1 3 ? (x ? ) , 5 3 5

化简得: 5x ? 15 y ? 18 ? 0 ??12 分 15.解:(I)左视图:???2 分可判断该几何体是一个正六棱锥.???4 分 (II)正六棱锥的棱长是 2 a ,底面边长是 a . 它是由六个腰长是 2 a ,底面边长是 a 的等腰三角形 与一个底面边长是 a 的正六边形围成.???????6 分 ∴ S表面 =

1 a 1 a a ? (2a)2 ? ( )2 ? 6 ? a ? a 2 ? ( ) 2 ? 6 2 2 2 2

=

3 15 2 3 3 2 3 3 a ? a = ( 5 ? 1)a 2 .???????9 分 2 2 2
(2a ) 2 ? a 2 ? 3a ,

(III)由正视图可知,正六棱锥的高为 h ? 底面积 S底面 =

1 1 3 3 2 3 3 3 a ? 3a ? a3 .???12 分 a ,∴ V棱 = S底 ? h ? ? 3 3 2 2 2
32

16.解: (I)由题意: y ? 0.25[20 x2 ? 10(100 ? x)2 ] = 7.5( x ?

100 2 50000 ) ? ?6 分 3 3

∵ x ≥ 10,且 100 ?x ≥ 10,∴10 ≤ x ≤ 90,∴函数的定义域为[10,90]. ???? 8分 (II)由二次函数知当 x=33.3 时,y 最小,??????????????11 分 ∴核电站建在距离 A 城 33.3km 时,供电费用最小.?????????12 分 17.解:令 y ? 2 x?2 ? 3 ? 4 x ? ?3 ? (2 x ) 2 ? 4 ? 2 x ,???????????3 分

2 4 ,???????????6 分 3 3 1 1 ? ?1 ? x ? 0 ,∴ ? 2 x ? 1即t ? [ ,1] ,?????????????8 分 2 2 2 1 2 2 4 又∵对称轴 t ? ? [ ,1] ,∴当 t ? ,即 x ? log 2 时y max ? ,??10 分 3 2 3 3 3
2 x 2 令 t ? 2 , 则y ? ?3t ? 4t ? ?3(t ? ) ?

∴当 t ? 1 即 x=0 时, y min ? 1 .?????????????????12 分 18. f ( x) ? ? x ? 4 x ? 3 ? ?( x ? 2) ? 7
2 2

2分 4分
2

(1)对称轴 x ? 2 ,顶点坐标 (2, 7)
2

(2) f ( x) ? ? x ? 4 x ? 3 图象可由 y ? ? x 向右平移两个单位再向上平移 7 个单位可 得。 6分 (3) f (1) ? 6, f (4) ? 3, f (2) ? 7 ,由图可知在 x ??1, 4? ,函数 f ( x ) 的最大值为 7,最 小值为 3 19.法一:(截距式) 当直线过原点时,过点 (2,3) 的直线为 y ? 当直线不过原点时,设直线方程为 所以直线方程为 12 分

3 x ------------------------(5 分) 2

x y ? ? 1 ( a ? 0 ),直线过点 (2,3) ,代入解得 a ? 5 a a

x y ? ?1 5 5 3 x y x 和 ? ?1. 2 5 5

所以 P(2,3) ,且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为 y ? 法二(斜截式)
33

依题意知直线显然存在斜率,

--------------------(2 分)

设直线方程为 y ? kx ? b ,直线过点 P(2,3) ,代入方程有

3 ? 2k ? b



直线在 x 轴和 y 轴的截距分别为 ? 依题意有 ?

b 和b , k
----6 分

b ?b k



3 ? ?k ? ?1 ?k ? 由① ②解得 ? 2 或? ? b?5 ? ?b ? 0
所以直线的方程为 y ? 20.1)48 (2) 12 7

10 分

3 x 和 y ? ? x ? 5 ----------------------------12 分 2

高一数学寒假作业参考答案(三) 一、选择题 1.C 2.B 12.A 二、填空题 13. 3.C 4.D 5.B 6.B 7.D 8. D 9.A 10.B

?x | x ? 1?

14. 100 ?

16. ③ ④

三、解答题 17. 解:(1)由题意知,

B ?{ x | x ? 2}
所以 A ? B ? ?x | 2 ? x ? 3? (2) 因为 B ? C ? C 所以 B ? C 所以 a ? 1 ? 2 ,即 a ? 3

2分 4分

6分 8分
3 4

18. 解:(1) 由直线 l1 : 3x ? 4 y ? 1 ? 0 ,知 kl1 ? ? 又因为 l1 ? l2 ,所以 kl1 ? kl2 ? ?1
34

1分

解得 kl2 ?

4 3

3分
4 (x - 1) 整理的 4 x ? 3 y ? 2 ? 0 3

所以 l2 的方程为 y - 2 ?

4分

(2)由 l2 的方程 4 x ? 3 y ? 2 ? 0 解得,当 x ? 0 时, y ?
2 3 1 2

当 y ? 0 时, x ? ? 所以 S? ? 8分 19. 证明 (1)连接 O、E 两点. 因为 所以 又因为 所以 (2) 因为 所以

6分

1 1 1 2 1 ? ? ? ,即该直线与两坐标轴围成的面积为 . 6 2 2 3 6

1分

O 是 AC 的中点,E 是 PC 的中点, OE∥AP, OE ? 平面 BDE,PA ? 平面 BDE, PA∥平面 BDE 5分 3分

PO ? 底面 ABCD,BD ? 平面 BDE, PO ? BD, 6分

又因为四边形 ABCD 是正方形,AC 与 BD 是对角线 所 以 AC 7分 所 以 BD 8分
35

?

BD





AC

?

PO=O

?





PAC



因为 所以

BD ? 平面 BDE, 平面 PAC ? 平面 BDE. 10 分

20. 解: 设投资 x 万元于 A 项目, 则投资 (40-x) 万元于 B 项目, 分 总利润 w ? ?
1 79 59 ( x ? 20) 2 ? 105 ? (? x 2 ? x) 80 80 2

2

5分

? ? x 2 ? 30 x ? 100

? ?( x ?15)2 ? 325
8分 当 x=15 时,Wmax=325(万元).
所以投资 A 项目 15 万元,B 项目 25 万元时可获得最大利润,最大利润为 325 万元. 10 分

22. (1)由条件幂函数 f ( x) ? x?2m ?m?3 (m ??) ,在 (0, ??) 上为增函数, 得到 解 得 2分 又因为 所
m? Z, ?2m2 ? m ? 3? 0
?1 ? m ? 3 , 2

2

以 3分

m?0



1.

又因为是偶函数 当 m ? 0 时, f ( x) ? x3 , 不满足 f ( x) 为奇函数; 当 m ? 1 时, f ( x) ? x2 , 满足 f ( x) 为偶函数; 所 5分
36



f(

?

2

(2) g ( x) ? loga ( x2 ? ax), 令 h( x) ? x2 ? ax , 由 h( x) ? 0 得: x ? (??,0) (a, ??)
g ( x) 在 [2,3] 上有定义,? 0 ? a ? 2 且 a ? 1,

? h( x) ? x2 ? ax
7分



[2,3]











.

当 1 ? a ? 2 时, g ( x)max ? g (3) ? loga (9 ? 3a) ? 2,
a 2 ? 3a ? 9 ? 0 ? a ? ?3 ? 3 5 2 ?3 ? 3 5 2

因为 1 ? a ? 2, 所以 a ?

8分

当 0 ? a ? 1 时, g ( x)max ? g (2) ? loga (4 ? 2a) ? 2,

?a2 ? 2a ? 4 ? 0?a ? ?1 ? 5
0 ? a ? 1 ,? 此种情况不存在,

9分

综上,存在实数 a ? 10 分

?3 ? 3 5 ,使 g ( x) 在区间 [2,3] 上的最大值为 2. 2

高一数学寒假作业(四)答案
一、选择题 1.D 2. D 3. C 4.C 5. D 6. B 7. A 二、填空题 13. 8 14. 平行 三、解答题 17. 证明: 15. 8. B 9. D 10. C 11. B 12. A

r 2 ? R2 r?R

16. 45

37

? ? ? ? m? ? m // ? ? ? m // a ????5 分 ? ? ? ? a? ? ? ? ? ? m? ? m // ? ? ? m // b ????10 分 ? ?? ? b ? ?
由公理 4 知 a // b ????12 分 18.解:(1)设直线 x ? t 与梯形的交点为 D, E , 当 0 ? t ? 2 时,????2 分

?
b

? ?
a

m

f (t ) ? S梯形OABC ? S?ODE ?

(3 ? 5) ? 2 1 1 ? t ? t ? 8 ? t 2 ,????6 分 2 2 2

当 2 ? t ? 5 时, f (t ) ? S矩形DECB ? 2(5 ? t ) ? 10 ? 2t ,????10 分

? 1 2 ?8 ? t (0 ? t ? 2) 所以 f (t ) ? ? . 2 ? ?10 ? 2t (2 ? t ? 5)

???? 12 分

19.解: (1) 这个几何体的直观图如图所示.

????6 分

(2) 这个几何体可看成是正方体 AC1 及直三棱柱 B1C1Q ? A1 D1 P 的组合体. 由 PA 1 ? PD 1 ? 可得 PA 1 ? PD 1. 故所求几何体的表面积

2 , A1 D1 ? AD ? 2 ,
???? 8 分

S =5×22+2×2× 2+2× ×( 2)2
=22+4 2(cm ),
2

1 2

???? 10 分
38

1 3 2 3 所求几何体的体积 V =2 + ×( 2) ×2=10(cm ).????12 分 2 20. 证明:在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,

CC1 ? 底面 ABC ??????2 分
因为 AB ? 平面 ABC , 所以 AB ? CC1 ?????5 分 又因为 AC ? BC ? 2 , N 是 AB 中点,所以 AB ? CN . ?????7 分 由于 CC1

CN ? C且CC1、CN ? 面MCN
????????10 分

所以 AB ? 面MCN

又因为 AB ? 面ABB1 A1 所以 平面 MCN ? 平面 ABB1 A 1 . ???????? 12 分 C1

A1 M C

P
B1

D A
A N B

O
B

C

21. 解:在四棱锥 P ? ABCD 中,由 PO ? 平面 ABCD ,得 PO ? AO , PO ? BO , 所以 ?PBO 是 PB 与平面 ABCD 所成的角,所以 ?PBO ? 60 ,且 ?PAO 是 PA 与平 面 ABCD 所成的角??????5 分 因为底面 ABCD 是菱形, O 是对角线的交点, ?DAB ? 60 所以 ?AOB 是直角三角形,且 ?BAO ? 30 , ??????8 分 在 Rt ?AOB 中, BO ? AB sin ?BAO ? 2sin 30? ? 1 ,
39

AO ? AB cos ?BAO ? 3
于是在 Rt ?POB 中,得 PO ? BO tan 60 = 3 , ?????10 分 所以在 Rt ?POA 中, tan ?PAO ?

PO ? 1 , ?PAO ? 45 , AO

所以 PA 与平面 ABCD 所成的角为 45 . ???????12 分 22. 解:设二次函数为: y ? px2 ? qx ? r
? p ? q ? r ?1 ? p ? ?0.05 ? 由已知得: ? 4 p ? 2 q ? r ? 1 . 2 ? ? ? q ? 0.35 ? 9 p ? 3q ? r ? 1.3 ? r ? 0 .7 ? ? 2 ∴ y ? ?0.05x ? 0.35x ? 0.7

当 x = 4 时, y1 ? ?0.05? 4 2 ? 0.35? 4 ? 0.7 ? 1.3 ????6 分 又对于函数

y ? a ?bx ? c

? ab ? c ? 1 ?a ? ?0.8 由已知得: ?ab2 ? c ? 1.2 ? ? b ? 0.5 ? ? ? ab3 ? c ? 1.3 ? c ? 1.4 ? ?

∴ y ? ?0.8 ? ( ) ? 1.4
x

1 2

1 当 x = 4 时, y 2 ? ?0.8 ? ( ) 4 ? 1.4 ? 1.35 2 由四月份的实际产量为 1.37 万件,
| y2 ? 1.37 |? 0.02 ? 0.07 ?| y1 ? 1.37 |

????12 分

∴选用函数 y ? ?0.8 ? ( 1 ) x ? 1.4 作模拟函数较好. ????14 分
2

40


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