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河北省承德联校2014-2015学年高二下学期期末考试数学(理)试题


承德联校 2014 ? 2015 学年下学期期末考试 高二数学试卷(理科)
第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的) 1、集合 A ? {x ? N | x ? 6}, B ? {x ? R | x2 ? 3x ? 0} ,则 A ? B 等于 A. ?3,4,5? B.

?4,5,6? C. ?x | 3 ? x ? 6? D. {x | x ? 0 或 3 ? x ? 6}

2、若复数 z 满足: z ? 1 ? ( z ? 1)i ,则复数 z 等于 A. ?i B. i C. 1 ? i D. 1 ? i

3、设命题 p : ?n ? N , n2 ? 2n ,则 ? p 为 A. ?n ? N , n2 ? 2n B. ?n ? N , n2 ? 2n
2

C. ?n ? N , n2 ? 2n
2

D. ?n ? N , n2 ? 2n

4、 正弦函数是奇函数, f ? x ? ? sin( x ?1) 是正弦函数, 因此 f ? x ? ? sin( x ?1) 是奇函数, 以上 “三 段论”推理说法正确的是 A.结论正确 B.大前提不正确
2

C.小前提不正确

D.全不正确

5、若函数 f ? x ? ? lg( a ? x ? x ) 为奇函数,则实数 a 的值为 A.1 B.-1 C.2 D.不存在

6、曲线 y ?

2x 在点 (?1, ?2) 处的切线方程为 x?2
B. y ? 4 x ? 2
5.5 0.1

A. y ? ?4 x ? 6
5.2

C. y ? 2 x

D. y ? x ? 1

7、已知 a ? 0.8 , b ? 0.8 , c ? 5.2 ,则这三个数的大小关系为 A. b ? a ? c
2

B. a ? b ? c

C. c ? a ? b

D. c ? b ? a

8、若 f ? x ? ? ? x ? b ln x 在 [1, ??) 上是减函数,则实数 b 的取值范围是 A. [1, ??) B. [? , ??)

1 2

C. (??, 2]

D. (??, ? ]

1 2

9、已知函数 f ? x ? ? ?

?2 x ?1 ? 1

x ?1

?? log 2 ( x ? 1) x ? 1

,且 f ? a ? ? ?3 ,则 f (7 ? a) 等于

A. ?

1 2

B.

1 2

C. 1

D. ?1

10、图中的阴影部分由底为 1 的等腰三角形及高为 2 和 3 的两矩形所构成, 设函数 S ? S (a)(a ? 0) 是图中介于平行线 y ? 0 及 y ? a 之间的阴影部分面积, 则函数 S ? a ? 的图象大致为:

11、 已知 “整数对” 按如下规律排成一列:?1,1? , ?1,2? , ? 2,1? , ?1,3? , ? 2,2? , ?3,1? , ?1,4? , ? 2,3? , ?3,2? ,

? 4,1? ,? ,则第 59 个“整数对”是
A. ? 7,5? B. ? 4,8? C. (2,10) D. ?10, 2?

?2 x ? 1(0 ? x ? 1) ? 12、 定义在 R 上的奇函数 f ? x ? 和定义在 {x | x ? 0} 上的偶函数 g ? x ? 分别满足 f ? x ? ? ? 1 ? ( x ? 1) ?x

g ? x ? ? log2 x( x ? 0) ,若存在实数 a,使得 f ? a ? ? g ?b? 成立,则实数 b 的取值范围是
A. ? ?2, 2? B. [ , 0) ? (0, ]

1 2

1 2

C. [?2, ? ] ? [ , 2]

1 2

1 2

D. (??, ?2] ? [2, ??)

第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卷的横线上。 13、函数 f ? x ? ? ln(2 x ? x 2 ) ? x ? 1 的定义域为 14、若定积分

?

a

1

1 dx ? 2(a ? 1) ,则 a ? x
个实根。

3 2 15、若 a ? 3 ,则方程 x ? ax ? 1 ? 0 在 ? 0, 2? 上恰有

16、平面几何中有如下结论:如图 1,设 O 是等腰直角 ?ABC 底边 BC 的中点,AB=1,过点 O 的动直 线与两腰或其延长线的交点分布为 Q、R,则有

1 1 ? ? 2 ,类比此结论,将其拓展到空间有: AQ AR

如图 2,设 O 是正三棱锥 A-BCD(底面 ? BCD 是正三角形,顶点在底面投影为底面中心)的底面 BCD 的中心,AB、AC、AD 两两垂直,AB=1,过点 O 的动平面与三棱锥的三条侧棱或其延长线的交点分别 为 Q、R、P,则有 (填写一个关于线段 AQ、AR、AP 的结论)

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17、 (本小题满分 10 分) 已知条件 p : x ? ?2, q : bx ? 1 ,其中 b 为实数且 b ? 0 (1)若 p 是 q 的必要不充分条件,求 b 的取值范围; (2)记 A ? {x | x ? ?2}, B ? {x | bx ? 1} ,若 A ? B ? R ,求实数 b 的取值范围。

18、 (本小题满分 12 分) 设 f ? x ? 为定义在 R 上的偶函数,当 0 ? x ? 2 时, y ? x ;当 x ? 2 时, y ? f ? x ? 的图象是顶点 为 P(3, 4) 且过点 A(2, 2) 的抛物线的一部分。 (1)求函数 f ? x ? 在 (??, ?2) 上的解析式; (2)写出函数 f ? x ? 的值域和单调区间。

19、 (本小题满分 12 分) 随着经济的发展,到某岛进行旅游观光的人数越来越多,交通问题已成为制约经济发展的重要因 素,因此政府欲在大陆和岛屿之间(如图)建立一条高速通道以便于大陆和岛屿之间来往,大陆沿
x 海先可近似看做函数 f ? x ? ? a (a ? 1) 的图象, 且正好与直线 y ? x 相切, 而岛屿海岸线可近似看做

函数 g ? x ? ? loga ( x ? 3)(a ? 1) 的图象(每单位代表十万米) (1)试求 a 的值及切点的坐标; (2)已知建成后的高速通道将开通高铁,并且高铁时速不能超过 300 km / h ,试问高铁能否在半 小时内穿过高速通道?,请说明理由。

20、 (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? ax ? x ln x 的图象在点 x ? e(e 为自然对数的底数)处的切线的斜率为 3, (1)求实数 a 的值;
2 (2)若 f ? x ? ? kx 对任意 x ? 0 成立,求实数 k 的取值范围;
n m

(3)当 n ? m ? 1(m, n ? N ) 时,证明:

?

m m ? 。 n n

请考生在第 21 ? 26 三题中任选 2 题作答,如果多做,作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题 号涂黑,把答案填在答题卡上. 21、 (本小题满分 10 分) 如图:梯形 ABCD 中,AB//CD,点 F 在 BC 上,DF 与 AB 的延长线交于点 G。 (1)求证: ?CDF ? ?AGF ; (2)若 BF=2FC,共 F 作 EF//CD 交 AD 于点 E,若 AB=6,EF=4,求 CD 的长。

22、 (本小题满分 10 分)
? 如图,在 ?ABC 中, ?C ? 90 ,BE 是 ? B 的平分线, DE ? BE 交 AB 于 D, ? O 是 ?BDF 的

外接圆。 (1)求证:AC 是 ? O 的切线; (2)如果 AD=6,AE=6 2 ,求 BC 的长。

23、 (本小题满分 10 分) 已知圆 C1 的参数方程 ?

? x ? 2cos ? ,以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极 (? 为参数) ? y ? 2sin ?

坐标系,圆 C2 的极坐标方程为 ? ? 4 sin(? ?

?
3

)

(1)将圆 C1 的参数方程化为普通方程,将圆 C2 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)将 C1 、 C2 是否相交?若相交,请求出公共弦长;若不相交,请说明理由。

24、 (本小题满分 10 分) 已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与直角坐标系的 x 轴的正半轴重合,设点 O 为坐标原点,直线 l ; ?

?x ? t ( 参数 t ? R )与曲线 C 的极坐标方程为 ? cos2 ? ? 2sin ? 。 ? y ? 2 ? 2t
??? ? ??? ?

(1)求直线 l 与曲线 C 的普通方程; (2)设直线 l 与曲线 C 相交与 A、B 两点,证明: OA ? OB ? 0

25、 (本小题满分 10 分) 已知函数 f ? x ? ? 2x ?1 ? 2x ? 3 , x ? R (1)解不等式 f ? x ? ? 5 ; (2)若不等式 m2 ? m ? f ? x ? , ?x ? R 都成立,求实数 m 的取值范围。

26、 (本小题满分 10 分) 已知函数 f ? x ? ? 2x ?1 , g ? x ? ? x ? a (1)当 a ? 0 时,解不等式 f ? x ? ? g ? x ? ; (2)若存在 x ? R ,使得 f ? x ? ? g ? x ? 成立,求实数 a 的取值范围。


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