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高考补习班学习材料(不等式、圆锥曲线)


一. 不等式
一.基本不等式:1.使用条件:一正,二定,三相等;
2.(1)若 a, b ? R ,则 a ? b ? 2ab
2 2

(2)若 a, b ? R ,则 ab ?

(3)若 a, b ? R * ,则

a?b ? ab 2
2

a2 ?

b2 (当且仅当 a ? b 时取“=”) 2

(4)若 a, b ? R * ,则 a ? b ? 2 ab (当且仅当 a ? b 时取“=” ) (当且仅当 a ? b 时取“=” )

a ?b? a2 ? b2 (5)若 a, b ? R * ,则 ab ? ? ? ? ? 2 ? 2 ?

3.解题技巧:凑项、凑系数;分离常数;换元(常用于形如

二次 一次 或 的不等式,一项变三项,其中两 一次 二次
2 2 2

a ?b? a ?b ) 项具有导数关系) ; 构造不等式; 整体代换; 减少变量; 利用定值 (乘积、 和、 平方和 ab ? ? ? ? ? 2 ? 2 ? 5 例 1:已知 x ? ,求函数 y ? 4 x ? 2 ? 1 的最大值。 4 4x ? 5 1 解:因 4 x ? 5 ? 0 ,所以首先要“调整”符号,又 (4 x ? 2) 不是常数,所以对 4 x ? 2 要进行拆、凑项, 4x ? 5 5 1 1 ? ? x ? ,? 5 ? 4 x ? 0 ,? y ? 4 x ? 2 ? ? ? ? 5 ? 4x ? ? ? 3 ? ?2 ? 3 ? 1 4 4x ? 5 5 ? 4x ? ?
当且仅当 5 ? 4 x ?

1 ,即 x ? 1 时,上式等号成立,故当 x ? 1 时, ymax ? 1 。 5 ? 4x

课堂练习一:1.求函数 y

? 2x ?

1 , x ? 3 的最小值,并求取最小值时的 x 的值。 x ?3

例 2. 当

时,求 y ? x(8 ? 2 x) 的最大值。

解析:由 知, ,利用基本不等式求最值,必须和为定值或积为定值,此题为两个式子 积的形式,但其和不是定值。注意到 2 x ? (8 ? 2 x) ? 8 为定值,故只需将 y ? x(8 ? 2 x) 凑上一个系数即可。

当 2. 设 0 ? x ?

,即 x=2 时取等号 当 x=2 时, y ? x(8 ? 2 x) 的最大值为 8。

3 ,求函数 y ? 4 x(3 ? 2 x) 的最大值。 2

3. (2010〃四川高考文科〃T11)设 a ? b ? 0 ,则 a ?
2

1 1 ? 的最小值是( ab a ? a ? b ?

).

(A)1 例 3. 求 y ?
2

(B)2

(C)3

(D)4

x ? 7 x ? 10 ( x ? ?1) 的值域。 x ?1

解析一:本题看似无法运用基本不等式,不妨将分子配方凑出含有(x+1)的项,再将其分离。

1



,即

时, y ? 2 (x ? 1) ?

4 ? 5 ? 9 (当且仅当 x=1 时取“=”号)。 x ?1

解析二:本题看似无法运用基本不等式,可先换元,令 t=x+1,化简原式在分离求最值。

(t ? 1)2 ? 7(t ? 1 ) +10 t 2 ? 5t ? 4 4 = ? t ? ?5 t t t 4 当 ,即 t= 时, y ? 2 t ? ? 5 ? 9 (当 t=2 即 x=1 时取“=”号)。 t y?
评注:分式函数求最值,通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最

A g(x)恒正或恒负的形式, 然后运用基本不等式来求最值。 ? B( A ? 0, B ? 0) , g ( x) x ? a 恒成立, 4. (2010〃 山东高考理科〃 T14) 若对任意 x>0 , 2 则 a 的取值范围是 . x ? 3x ? 1
值。 即化为 y ? mg ( x) ?

5.求函数 y ?

ax2 ? x ? 1 ( x ? ?1且a ? 0) 的最小值。 x ?1

6.求函数 y ?

x?2 的最大值。 2x ? 5

例 4:已知 x ? 0, y ? 0 ,且 错解 : ..

1 9 ? ? 1 ,求 x ? y 的最小值。 x y 1 9 1 9? 9 x ? 0, y ? 0 ,且 ? ? 1 ,? x ? y ? ? 2 xy ? 12 故 ? ? ?? x ? y? ? 2 x y x y xy ? ?
x

? x ? y ?min ? 12
y xy



错因:解法中两次连用基本不等式,在 x ? y ? 2 xy 等号成立条件是 x ? y ,在 1 ? 9 ? 2 9 等号成立 条件是

1 9 ? 即 y ? 9 x ,取等号的条件的不一致,产生错误。因此,在利用基本不等式处理问题时,列出 x y

等号成立条件是解题的必要步骤,而且是检验转换是否有误的一种方法。 ? 1 9 ? y 9x 1 9 正解: x ? 0, y ? 0, ? ? 1 ,? x ? y ? ? x ? y ? ? ? ? ? ? ? 10 ? 6 ? 10 ? 16 x y ? x y? x y 当且仅当

1 9 y 9x ? 时,上式等号成立,又 ? ? 1 ,可得 x ? 4, y ? 12 时, ? x ? y ?min ? 16 。 x y x y
)

7.(2012〃浙江高考文科〃T9)若正数 x,y 满足 x+3y=5xy,则 3x+4y 的最小值是(

24 A. 5
?

28 B. 5
x y

C. 5

D.6

8.若 x, y ? R 且 2 x ?

y ? 1 ,求 1 ? 1 的最小值。

? 9.已知 a, b, x, y ? R 且 a ? b ? 1 ,求 x x y

? y 的最小值。
2

例 5: (2010?重庆高考理科?T7)已知 x ? 0 , y ? 0 , x ? 2 y ? 2 xy ? 8 ,则 x ? 2 y 的最小值是( A.3 B.4 C.



9 2

D.

11 2

解:选 B .(方法一(减少变量) )因为 x ? 2 y ? 2 xy ? 8 ,所以 y ? 所以 x ? 2 y ? x ?

8? x ?( x ? 1) ? 9 9 9 ? x? ? ( x ? 1) ? ? 2 ? 2 9 ? 2 ? 4 (当且仅当 x ? 1 ? , x ?1 x ?1 x ?1 x ?1 即 x ? 2 时等号成立,此时 y ? 1 ) (方法二(利用定值) )因为 x ? 2 y ? 2 xy ? 8 ,所以 2 xy ? x ? 2 y ? 1 ? 9 ,即 ( x ? 1)(2 y ? 1) ? 9

8? x , 2x ? 2

x ? 2 y ? ( x ? 1) ? (2 y ? 1) ? 2 ? 2 ( x ? 1)(2 y ? 1) ? 2 ? 4
( 方 法 三 ( 构 造 不 等 式 )) 因 为 x ? 2 y ? 2 2xy , 所 以 2 xy ? (

x ? 2y 2 ) , 所 以 2

( x ? 2 y)2 A2 ? 8 ,即 A2 ? 4 A ? 32 ? 0 ,解次不等式 ,设 x ? 2 y ? A ,则 A ? 4 4 A ? 4 A ? ? 8 得 (舍去)或 ,即 x ? 2 y ? 4 。 x ? 2 y ? 2 xy ? x ? 2 y ?
10. (2010 年高考浙江文科卷第 15 题) 若正实数 x, y (变式:求 2x+y 的最小值为______) 11.已知 a>0,b>0,ab-(a+b)=1,求 a+b 的最小值。 满足 xy ? 2 x ? y ? 6 , 则 xy 的最小值是 。

12. 已知 x,y 为正实数,3x+2y=10,求函数 W= 3x + 2y 的最大值.

y2 13.已知 x,y 为正实数,且 x + =1,求 x 1+y 2 的最大值. 2
2

2 2 14(2011〃浙江高考文科〃T16)若实数 x , y 满足 x ? y ? xy ? 1 ,则 x ? y 的最大值是

.

课 堂 练 习 一 答 案 : 1.

6?2 2

, x ? 3?
2

9 ? 2x ? 3 ? 2x ? y ? 4 x(3 ? 2 x) ? 2 ? 2 x(3 ? 2 x) ? 2? ? ? 2 2 ? ? 1 3 2 成立。3.D 4. [ , ??) 5.1 6. x ? ? 时,y max ? 5 2 4 1 3 ? ? 1, 7.选C.由 x ? 3 y ? 5xy 可得 5 y 5x
∴ 3x ? 4 y ? (3x ? 4 y) ?

3 ∴ 3 ? 2x ? 0 ∴ 2 3 ? 3? 当且仅当 2 x ? 3 ? 2 x, 即 x ? ? ? 0, ? 时等号 4 ? 2?

2 2

2.

∵ 0? x?

? 1 3 ? 9 4 3x 12 y 13 12 ? ? ? ?5 ? ?? ? ? 5 5 5 y 5 x 5 5 5 y 5 x ? ?
3

8. 3 ? 2 2 9. a ? b ? 2 ab 10. 18 变式 12 提示: xy ? 2 x ? y ? 6 ,可得 xy ? 2 x ? y ? 6, xy ? 2 x ? y ? 2 ? 8, ( x ? 1)( y ? 2) ? 8 , 所以 xy ? 2 x ? y ? 6 ? 2( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 10 11. 2 ? 2 2 12. 13. 3x + 2y ≤ 2 1+y 2 2? 2 ( 3x )2+( 2y )2 = 2 1 y2 2 +2 3x+2y =2 5 x 2+( ≤ 1 y2 2 + 2 )2 = 2

x 1+y 2 = x = 2 x? y2 1 x 2+ 2 +2 3 1 y2 x =4 即 x 1+y 2 = 2 · 2 2 +2 二.线性规划问题: 1.已知线性约束条件,探求线性目标关系最值问题

x?

1 y2 2 +2 14.

3 ≤ 4

2

2 3 3

?2 x ? y ? 2 ? 例 1:设变量 x、y 满足约束条件 ? x ? y ? ?1 , ? x ? y ?1 ?
① 则 z ? 2 x ? 3 y 的最大值为 ;②则 z ? x 2 ? y 2 的最小值为 。 解析:①如图 1,画出可行域,得在直线 2x-y=2 与直线 x-y=-1 的交点 A(3,4) 处,目标函数 z 最大值为 18。
2 2 2 2 2 ② z ? x ? y ? ( ( x ? 0) ? ( y ? 0) ) ,即点 ( x, y ) 到原点距离的平方,

由点到直线的距离公式可得 d ?

1 1 2 ,所以 z min ? 。 ? 2 2 2

? x ? y ? 1 ? 0, ? 课堂练习二: 1. (2013〃 新课标全国Ⅱ高考文科〃 T3) 设 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ? 0, , 则 z ? 2x ? 3 y ? x ? 3, ?
的最小值是( A. ?7 ) B. ?6 C. ?5 D. ?3

图1 书、 11

? x ? 0, ? 2. (2013〃北京高考文科〃T12)设 D 为不等式组 ? 2 x ? y ? 0 ,表示的平面区域,区域 D 上的点与点 ?x ? y ? 3 ? 0 ?
(1,0)之间的距离的最小值为 .

y?0 ? y ?1 ? 例 2. 已知实数 x, y 满足 ? x ? y ? 0 ,记 t ? 的最大值为 m,最小值为 n,则 m-n= x ? 1 ?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 4 3 4 3 A. B. C. ? D. ? 3 4 3 4 y ?1 y ?1 ? k ,即为过两点 ( x, y ) 和 (?1,1) 直线 解:t ? = x ? 1 x ? ( ?1) 2 ?1 1 0 ?1 ? ,n ? ? ?1 ,所以 的斜率,所以 m ? 2 ? ( ?1) 3 0 ? ( ?1) (-1,1) 4 m?n ? 。 3
3 2.5 2 1.5 1 0.5 5 4 3 2 1 0.5 1 2

(2,2)

3

4

4

1

1.5

2

2.5

? x ?1 x? y ? 3.已知变量 x, y 满足约束条件 ? y ? 1 ,则 z ? 的取值范围( ) x ? y ?x ? y ? 1 ? A. (?1,1) B. (?1,1] C. [?1,1) D. [?1,1]
2. 带参数类型:

?1 ? x ? y ? 4 。 若目标函数 z ? ax ? y(其 ??2 ? x ? y ? 2 中 a ? 0 )仅在点 (3,1) 处取得最大值,则 a 的取值范围为 。 解析:如图 5 作出可行域,由 z ? ax ? y ? y ? ?ax ? z 其表示为斜率为 ?a ,纵 截距为z的平行直线系, 要使目标函数 z ? ax ? y (其中 a ? 0 )仅在点 (3,1) 处 取得最大值。则直线 y ? ?ax ? z 过A点且在直线 x ? y ? 4, x ? 3 (不含界线) 之间。即 ?a ? ?1 ? a ? 1. 则 a 的取值范围为 (1, ??) 。
例 3: 已知变量 x , y 满足约束条件 ?

? x? y ?0 1 1 ? 4.已知 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ,若目标函数 z ? ax ? y (a 为常数)仅在点 ( , ) 取得最大值, 2 2 ?0 ? y ? 1/ 2 ?
则实数 a 的取值范围是( ) A. (-2,2) B. (0,1) C. (-1,1) D. (-1,0)

? x?0 ? 5.当实数 x, y 满足不等式组 ? y ? 0 时,恒有 ax ? y ? 3 成立,则 a 的取值范围( ) ?2 x ? y ? 2 ? A. (??, 0] B. [0, ??) C. [0, 2] D. (??,3]

?x ? y ? 3 ? 0 ? 例 4: (2012?福建高考文科?T10)若直线 y ? 2 x 上存在点 ( x, y) 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 3 ? 0 ,则实 ?x ? m ?
数 m 的最大值为( A. ? 1 ) B. 1 C.

3 2

D. 2

【解析】选 B. 如图,当 y ? 2 x 经过且只经过 x ? y ? 3 ? 0 和 x ? m 的交点时,m 取 到最大值,此时,即 (m, 2m) 在直线 x ? y ? 3 ? 0 ,则 m ? 1 . 6.(2012〃福建高考理科〃T9)若函数 y ? 2x 图象上存在点 ( x, y) 满

?x ? y ? 3 ? 0 ? 足约束条件 ? x ? 2 y ? 3 ? 0 ,则实数 m 的最大值为( ?x ? m ?
A.



1 2

B.1

C.

3 2

D.2

?y ? x ? 7.(2011〃湖南高考文科 T14)设 m>1,在约束条件 ? y ? m x 下,目标函数 z=x+5y 的最大值为 4,则 m ?x ? y ? 1 ?
的值为______
5

课堂练习二答案:1. B. 2.点(1,0)到区域 D 上点的最小距离即是点(1,0)到直线 2x-y=0 的距离, d ? 3.D 4.D 5.D 6.B 7.3
2

2.2 2

| 2 ?1 ? 0 |
1.8

2 ?1
1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2

2 1.6

?

2 5 。 5

2.5

2

1.5

1

0.5 0.2 0.4 0.6 0.8

0.5

1

1.5

二. 圆锥曲线
一.1.双曲线的简单几何性质: 焦点位置 标准方程 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上

1 1.2

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) a 2 b2
y

y 2 x2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) a 2 b2
y

图形

o

x

o

x

范围 对称性

x ? a, y ? R

y ? a, x ? R

轴对称图形(关于 x 轴, y 轴对称) 中心对称图形(关于原点(0,0)中心对称

A1 (?a,0) B1 (0, ?b)
顶点

A2 (a,0) B2 (0, b)

A1 (0, ?a) B1 (?b,0)

A2 (0, a) B2 (b,0)

实轴: 线段 A1 A 2 焦点: F1 (?c,0) F2 (c,0) 实轴长: 2 a 实半轴长: a

虚轴:线段 B1 B 2 焦点: F1 (0, ?c) F2 (0, c) 焦距: 2c 半焦距: c

虚轴长: 2b 虚半轴长: b

渐近线

x y ? ?0 a b e?

y x ? ?0 a b

离心率

c ? 1 离心率 e 越大,双曲线开口越大。 a

6

b x y x2 y2 y2 x2 y ? ? x ? ? 0 ? ? 1 的渐近线方程是 ( ) ,双曲线 ? ? 1 的渐近线 a a b a2 b2 a2 b2 x2 y 2 x2 y 2 a y x 方程是 y ? ? x ( ? ? 0 ) ,与双曲线 2 ? 2 ? 1 共渐近线的双曲线的方程为 2 ? 2 ? ? (? ? 0) b a b a b a b 2 2 2 2 b x y x y 渐近线为 y ? ? x ,双曲线方程就是: 2 ? 2 ? ? 。与双曲线 2 ? 2 ? 1 共焦点的双曲线系方程是 a a b a b 2 2 x y ? 2 ?1 2 a ?k b ?k 3.等轴双曲线:实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,等轴双曲线离心率等于 2 ,等轴双曲线的两 条渐近线是 y ? ? x ,等轴双曲线方程可以设为 x 2 ? y 2 ? ?, (? ? 0) 。
2. 渐近线:双曲线 4. 把直线方程 Ax+By+C=0 与双曲线方程联立,可得一个一次方程或二次方程。若得到的是一次方程,则 直线与双曲线的渐近线平行或重合,则直线与双曲线有一个交点(平行)或没有交点(重合) 。若得到的 是二次方程,则当 ? >0 时,直线与双曲线相交(两个交点) ,当 ? =0 时直线与双曲线相切(一个交点) , 当 ? <0 时直线与双曲线相离没有交点。 二 1.抛物线的简单几何性质: 标准方程

y 2 ? 2 px ( p ? 0)
l

y 2 ? ?2 px ( p ? 0)

x 2 ? 2 py ( p ? 0) y F o l

x 2 ? ?2 py ( p ? 0)

y
o F
p ( , 0) 2 p x?? 2

y
x

l

图形

F o

x

x

p p p , 0) (0, ? ) (0, ) 2 2 2 p p p y?? 准线方程 x? y? 2 2 2 y?0 y?0 x?0 x?0 范围 y轴 y轴 对称性 x轴 x轴 (0, 0) (0, 0) (0, 0) (0, 0) 顶点 e ?1 e ?1 e ?1 e ?1 离心率 p p p p ? x0 ? x0 ? y0 ? y0 焦半径公式 2 2 2 2 2 2.直线与抛物线:联立直线 l : y ? kx ? m 和抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 整理成关于 x (或 y )的一元二次 方程:当 a ? 0 时, ? ? 0 ?直线与抛物线相交,有两个不同公共交点; ? ? 0 ? 直线与抛物线相切,只 有一个公共交点; ? ? 0 ? 直线与抛物线相离,没有公共交点。 当 a ? 0 时,则直线是抛物线的对称轴或是和对称轴平行的直线,此时直线与抛物线相交,只有一个公共
焦点坐标

(?

交点,但不能成为相切。 3. 焦点弦问题: 设 过 抛 物 线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的 焦 点 F (

A( x1 , y1 ), B( x1 , y1 ) ,直线
角为 ,则有
2 ① y1 y2 ? ? p ;② x1 x 2 ?



p , 0 )的 直 线 与 抛 物 线 交 于 2 M 的斜率分别为 k1 , k 2 ,直线 的倾斜

3

y2=2px
A(x1,y1)

2

p2 ;③ k1k 2 ? ?4 ; 4
4 2

1

α
O
1

F

2

4

6

7

N
2

B(x2,y2)

3

2p , sin 2 ? p p 1 1 2 ⑤ FA ? , FB ? ;⑥ ? ? , 1 ? cos ? 1 ? cos ? AF BF p
④ AB ? x1 ? x 2 ? p ? ⑦过 A, B 两点做准线的垂线,垂足分别为 M , N ,则 ?MFN ? 90 , ⑧以弦 AB 长为直径的圆总与准线相切. 4. 抛物线的切线方程: (1)抛物线 y 2 ? 2 px 上一点 P( x0 , y0 ) 处的切线方程是 y0 y ? p( x ? x0 ) .
0

(2)过抛物线 y 2 ? 2 px 外一点 P( x0 , y0 ) 所引两条切线的切点弦方程是 y0 y ? p( x ? x0 ) . (3)抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 与直线 Ax ? By ? C ? 0 相切的条件是 pB2 ? 2 AC . 例 1: 已知双曲线 C: A.y=± x

x2 y2 5 ,则 C 的渐近线方程为( ? 2 ? 1 (a>0,b>0)的离心率为 2 a b 2
C.y=± x D.y=±x

)

B.y=± x

【解题指南】 根据题目中给出离心率确定 a 与 c 之间的关系, 再利用 c 2 ? a 2 ? b 2 确定 a 与 b 之间的关系, 即可求出渐近线方程.

c2 5 a2 ? b2 5 b2 1 c 5 ,所以 2 ? ,又因为 c 2 ? a 2 ? b 2 ,所以 ,得 ? ? , ? 4 4 a2 a a2 4 a 2 1 所以渐近线方程为 y ? ? x 2
【解析】选 C.因为 e ?

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两条渐近线与抛物线 y2=2px(p>0) a 2 b2 的准线分别交于 A,B 两点,O 为坐标原点.若双曲线的离心率为 2,△AOB 的面积为 3 , 则 p= ( ) 3 A.1 B. C.2 D.3 2
课堂练习三: 1.已知双曲线

x2 y 2 2.已知抛物线 y ? 8 x 的准线过双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一个焦点, 且双曲线的离心率为 2, 则 a b
2

该双曲线的方程为

.

例 2.(2013?湖南高考文科?T14)设 F1,F2 是双曲线 C:

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)的两个焦点。若在 C 上 a 2 b2

存在一点 P。使 PF1⊥PF2,且∠PF1F2=30°,则 C 的离心率为________________. 【解析】在直角三角形 PF1 F2 中,由题设可知: F1 F2 ? 2c, PF2 ? c, PF ,又 PF1 ? PF2 ? 2a , 1 ? 3c

c 2 ? ? 3 ?1 a 3 ?1 x2 y 2 3.设 F1 , F2 是双曲线 C : 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两个焦点,P 是 C 上一点,若 PF 1 ? PF 2 ? 6a, 且 a b ?PF1 F2 的最小内角为 30 ,则 C 的离心率为 。
所以 2a ? 3c ? c ,故 e ? 4.(2012〃辽宁高考文科〃T15)已知双曲线 x 若 P F1⊥PF2,则∣P F1∣+∣P F2∣的值为 5.已知点(2,3)在双曲线 C:
2

?

y =1,点 F1,F2 为其两个焦点,点 P 为双曲线上一点, . .

2

x 2 y2 ? 1 (a>0,b>0)上,C 的焦距为 4,则它的离心率为 a 2 b2
8

例 3: F1 、 F2 是双曲线的左、右焦点, P 是双曲线上一点,且 ?F1PF2 ? 60? , S ?PF1F2 ? 12 3 ,又离心 率为 2 ,则双曲线的标准方程为
2 2



c x y ? 2 ?1, 因 F1F2 ? 2c , 而e ? ? 2, 由双曲线的定义, 得 PF1 ? PF2 ? 2a ? c . 2 a a b 2 2 2 由余弦定理,得 (2c) ? PF1 ? PF2 ? 2 PF1 ? PF2 ? cos ?F1 PF2
解:设双曲线方程为
2 2 2 ? ( PF 1 ? PF 2 ) ? 2 PF 1 ? PF 2 ? (1 ? cos60?) ,∴ 4c ? c ? PF 1 ? PF 2 . 1 2 2 2 又 S ?PF1F2 ? PF1 ? PF2 sin 60? ? 12 3 , ∴ PF 1 ? PF 2 ? 48 . ∴ 3c ? 48 , c ? 16 , 得 a ? 4 , 2 x2 y2 ?1. b2 ? 12 .∴所求双曲线的方程为 ? 4 12

6.设 O 为坐标原点, F1 , F2 是双曲线

x 2 y2 ? ? 1 (a>0,b>0)的焦点,若在双曲线上存在点 P,满足∠ a 2 b2

F1 P F2 =60°,∣OP∣= 7a ,则该双曲线的离心率为
例 4: (2010?辽宁高考理科?T7)设抛物线 y2=8x 的焦点为 F,准线为 l,P 为抛物线上一点,PA⊥l,A 为 垂足.如果直线 AF 的斜率为 - 3 ,那么|PF|=( ) (A) 4 3 (B)8 (C) 8 3
2

(D) 16

【规范解答】选 B.由抛物线方程 y ? 8x ,可得准线 l 方程为: x ? ?2, 焦点坐标F(2,0) 设点 A 坐标

n?0 , ?n ? 4 3 。 ∴P 点纵坐标为 4 3 ?2 ? 2 2 由 ,∴|PF|=|PA|=|6-(-2)|=8,故选 B. (4 3) =8x,得x=6 ,∴P 点坐标为(6,4 3 ) 2 7. 抛物线 y ? 4x 的焦点为 F ,准线为 l ,经过 F 且斜率为 3 的直线与抛物线在 x 轴上方的部分相交于 点 A , AK ⊥ l ,垂足为 K ,则 △ AKF 的面积( ) A. 4 B. 3 3 C. 4 3 D. 8 2 8. P 为抛物线 y ? 2 px 上任一点,F 为焦点,则以 PF 为直径的圆与 y 轴( ) A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 位置由 P 确定 2 例 5: (2010?山东高考文科?T9)已知抛物线 y ? 2 px( p ? 0) ,过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线 与 A 、 B 两点,若线段 AB 的中点的纵坐标为 2,则该抛物线的准线方程为( ) (A) x ? 1 (B) x ? ?1 (C) x ? 2 (D) x ? ?2 【规范解答】选 B,设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则因为 A 、 B 两点在抛物线上,得
为(-2,n),? - 3=
2 y12 ? 2 px1 ① , y2 ? 2 px2 ②,① - ②得 ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 2 p( x1 ? x2 ) ,又线段 AB 的中点的纵 p 坐标为 2, 即 y1 ? y2 ? 4 , 直线 AB 的斜率为 1, 故 2 p ? 4, p ? 2 ,因此抛物线的准线方程为 x ? ? ? ?1. 2

【方法技巧】弦中点问题 ①对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解,在使用根与系数的关系时,要注意使用条 件是 ? ? 0.

x2 y 2 b 2 x0 ②在椭圆 2 ? 2 ? 1 中,以 P( x0 , y0 ) 为中点的弦所在直线的斜率 k ? ? 2 . a b a y0 x2 y 2 b 2 x0 ③在双曲线 2 ? 2 ? 1 中,以 P( x0 , y0 ) 为中点的弦所在直线的斜率 k ? 2 . a b a y0 p 2 ④在抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 中,以 P( x0 , y0 ) 为中点的弦所在直线的斜率 k ? . y0
9

9. 已知双曲线 E 的中心为原点,F(3,0)是 E 的焦点,过 F 的直线 l 与 E 相交于 A,B 两点,且 AB 的中点 为 N(- 12,-15),则 E 的方程为( )

x2 y 2 ?1 (A) ? 3 6
2

x2 y 2 ? ?1 (B) 4 5

x2 y 2 ? ?1 (C) 6 3

x2 y 2 ? ?1 (D) 5 4

M A

Y B

10.已知抛物线 y=-x +3 上存在关于直线 x+y=0 对称的相异两点 A、 B, 则|AB|等于 ( A.3 B.4 C.3 2 D.4 2 例 6:在抛物线 y ? 4 x 2 上求一点,使该点到直线 y ? 4 x ? 5 的距离为最短,则该点的 坐标是 。 解法 1:设抛物线上的点 P( x,4 x 2 ) ,

O

X
l? x + y = 0

| 4x2 ? 4x ? 5 | ? 点 P 到直线的距离 d ? 17 1 ( , 1 ) 故所求的点为 2

1 | 4( x ? ) 2 ? 4 | 4 17 1 2 ? ,当且仅当 x ? 时取等号, 17 2 17

解法 2:当平行于直线 y ? 4 x ? 5 且与抛物线相切的直线与抛物线的公共点为所求,设该直线方程为

y ? 4 x ? b ,代入抛物线方程得 4 x 2 ? 4 x ? b ? 0 ,由 ? ? 16 ? 16b ? 0 得 b ? ?1, x ?
1 ( , 1 ) 2
11. 已知实数 x、y 满足方程 y =4x,求 z ?
2

1 ,故所求的点为 2

y ?1 的最值。 x?2

y2 ? 1 3. 3 4. 2 3 3 9 ? 4 ? a ?1 ? a2 ? b2 ? 1 c 2 ? ? 5.【浪费时间的解法】由题意可得 ? 2c ? 4 ,解之得 ?b ? 3 ,所以所求离心率 e ? ? ? 2 . a 1 ? c?2 ?a 2 ? b 2 ? c 2 ? ? ?
课堂练习三答案:1.C 2. x 2 ? 6.

3
由?

7.C 8. 9.B 10. ∵点 A、B 关于直线 x+y=0 对称,∴设直线 AB 的方程为: y ? x ? m .

? y ? x?m ? x2 ? x ? m ? 3 ? 0 ?1? 2 y ? ? x ? 3 ? 设方程(1)之两根为 x1,x2,则 x1 ? x2 ? ?1 . x ? x2 1 1 ? 1 1? ? ? .代入 x+y=0:y0= .故有 M ? ? , ? . 设 AB 的中点为 M(x0,y0) ,则 x0 ? 1 2 2 2 ? 2 2? 2 从而 m ? y ? x ? 1 .直线 AB 的方程为: y ? x ? 1 .方程(1)成为: x ? x ? 2 ? 0 .解得: x ? ?2,1 ,从而
y ? ?1, 2 ,故得:A(-2,-1) ,B(1,2).? AB ? 3 2 ,选 C.
11. z min ? ?1, z max ?

1 2
10


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