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等比数列的前n项和导学案


等比数列前 n 项和导学案
国际象棋起源于古代印度,据传,国王要奖赏国际象棋的发明者,问他有什么要求,发明者说: “请在 棋盘的第 1 个格子里放上 1 颗麦粒,在第 2 个格子里放上 2 颗麦粒,在第 3 个格子里放上 4 颗麦粒,在第 4 个格子里放上 8 颗麦粒,依次类推,每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的 2 倍,直到第 64 个格子.”这是一个什么数学问题?国王能满足他的要求吗? 分析:由于每个格子里的麦粒数都是前一个格子里的麦粒数的 2 倍,且共有 64 个格子,各个格子里的麦粒 数依次是: 于是发明者要求的麦粒总数就是: 思考 1:设 s64 ? 1 ? 2 ? 22 ? 23 ?

263 那么 2s64 的表达式如何?

思考 2: s64 与 2s64 的表达式中有许多相同项,你有什么办法消去这些相同项?所得结论如何?

思考 3:上述算法实际上解决了求等比数列 1,2,4,8?, 2 4+8 + ?+ 2
n ?1

n ?1

,?前 64 项的和,利用这个算法,1+2+

等于什么?

思考 4:上述算法叫做错位相减法 .一般地,设等比数列{ an }的公比为 q,前 n 项和为 s n ,利用错位相减法 如何求 s n ?所得结果如何?

a1( 1- qn ) 思考 5: S n = 就是等比数列的前 n 项和公式,这个公式的使用条件是什么 ? 1- q

思考 6:当 q=1 时,如何求 s n ?

思考 7:当公比 q≠1 时,结合等比数列通项公式, s n 可变形为什么?

例 1 求下列等比数列的前 8 项的和 1 、

1 1 1 , , , ?; 2 4 8

2、 a1 ? 27, a9 ?

1 , q ? 0. 243

例 2 在等比数列 ?an ? 中,求满足下列条件的量

(1) a1 ? a3 ? 2, 求sn
1 (2) (2)q ? 2, n ? 5, a1 ? .求an和sn ; 2

(3) (3)a1 ? 1, a n ? ?512, s n ? ?341.求q和n 。

例 3 求和 1 ? a ? a ? a ?
2 3

? a n?1


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