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江苏省泰兴市第一高级中学2014-2015学年高一下学期期末模拟考试(一)数学试题


泰兴市第一高级中学 2014—2015 学年度第二学期期末模拟考试(一)

高一数学试卷
卷面总分:160 分 考试时间:120 分钟 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分。不需要写出解答过程,请把答案直 接填空在答题卡相应位置上 ........
1. 已知直线 l : m x ? y ? 4 若直线 l 与直线

x ? m(m ? 1) y ? 2 垂直,则 m 的值为______.

2.若等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 a1 ? 1, a4 ? 8 ,则 S5 =



3. 已知圆 C : x2 ? y 2 ? r 2 与直线 3x ? 4 y ? 10 ? 0 相切,则圆 C 的半径 r ? 4.若 x>y,a>b,则在①a-x>b-y,②a+x>b+y,③ax>by,④x-b>y-a,⑤ > 这 五个式子中,恒成立的所有不等式的序号是________. 5.在等差数列{ an }中,已知 a3 ? a8 ? 10 ,则 3 a5 ? a7 = .

a b y x

6.过圆 x 2 ? y 2 ? 4 上一点 P 1,? 3 的切线方程为___________________.

?

?

? x ? y ? 2 ? 0, y ? 7.设实数 x , y 满足 ? x ? 2 y ? 4 ? 0, 则 的最大值为___________ x ?2 y ? 3 ? 0, ?
8. 设直线 x-my-1=0 与圆(x-1) +(y-2) =4 相交于 A、B 两点,且弦 AB 的长为 2 3,则 实数 m 的值是________. 9. 设 l , m 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面,则下列命题为真命题的序号是____. (1).若 m // l , m // ? , 则l // ? ; (2).若 m ? ? , l ? m, 则l / /? ; (3).若 ? / / ? , l ? ? , m / / ? , 则l ? m ; (4).若 m ? ? , m / / ? , l ? ? , l / /? , 则? / / ? 10. 已知正四棱锥的底面边长是 6,高为 7 ,则该正四棱锥的侧面积为 .
2 2

11.己知 a,b 为正数,且直线 ax ? by ? 6 ? 0 与直线 2 x ? (b ? 3) y ? 5 ? 0 互相平行,则 2a+3b 的最小值为 .

12 .如果关于 x 的不等式 (1 ? m2 ) x2 ? (1 ? m) x ? 1 ? 0 的解集是 R ,则实数 m 的取值范围



.

13.已知圆O:x 2 ? y 2 ? 1, 点P( x0 , y0 )是直线l : 3x ? 2 y ? 4 ? 0上的动点,若在圆O上总存在不同的 ??? ? ??? ? ??? ? 两点A,B使得OA ? OB ? OP, 则x0的取值范围为________.

14.已知x, y ? R, 满足2 ? y ? 4 ? x, x ? 1, 则

x2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 2 的最大值为_______. xy ? x ? y ? 1

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写出文字 ....... 说明、证明过程或演算步骤. 15. (本题满分 14 分)

2?, B?1,0?, C ?? 1,4? ,求: 已知 △ ABC 的顶点 A?3,
(1) AB 边上的高所在直线的方程; (2) AC 边上的中线所在直线的方程; (3) △ ABC 外接圆方程.

16、 (本题满分 14 分)
2 等比数列 ?an ? 的各项均为正数,且 4a1 ? a2 ? 3, a5 ? 9a2a6 .

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 bn ? log3 an ,求数列 ?an ? bn ? 的前 n 项和 Sn .

17. (本题满分 14 分)

F 为 CE 上的点, AD ? 平面 ABE ,AE ? EB ? BC ? 2 , 如图所示, 矩形 ABCD 中, 且 BF ? 平面 ACE D C (1) 求证: AE ? 平面 BCE ; G (2) 求证: AE // 平面 BFD ; (3) 求三棱锥 C ? BGF 的体积.
A E F B

18. (本题满分 16 分) 某加工厂需定期购买原材料,已知每千克原材料的价格为 1.5 元,每次购买原材料需支 付运费 600 元, 每千克原材料每天的保管费用为 0.03 元, 该厂每天需要消耗原材料 400 千克, 每次购买的原材料当天即开始使用(即有 400 千克不需要保管). (1)设该厂每 x 天购买一次原材料,试写出每次购买的原材料在 x 天内总的保管费用 y1 关 于 x 的函数关系式; (2)求该厂多少天购买一次原材料才能使平均每天支付的总费用 y 最小,并求出这个最小 值.

19. (本题满分 16 分)

? 2? 已知以点 C?t, ?(t∈R,t≠0)为圆心的圆与 x 轴交于点 O,A,与 y 轴交于点 O,B,其中 O ?
t?
为原点. (1)求证:△AOB 的面积为定值;

(2)设直线 2x+y-4=0 与圆 C 交于点 M,N,若 OM ? ON ,求圆 C 的方程; (3)在(2)的条件下,设 P,Q 分别是直线 l:x+y+2=0 和圆 C 上的动点,求 PB ? PQ 的 最小值及此时点 P 的坐标.

20. (本题满分 16 分) 已知 Sn 是数列 {an } 的前 n 项和,且 Sn ? n2 ? 4n ? 4 (1)求数列 ?a n ? 的通项公式; (2)设各项均不为零的数列 ?c n ? 中,所有满足 c k ? c k ?1 ? 0 的正整数 k 的个数称为这个数列

?c n ?

的变号数,令 c n ? 1 ?

4 (n 为正整数) ,求数列 ?c n ? 的变号数; an

(3)记数列{

m 1 } 的前 n 的和为 Tn ,若 T2n+1 ? Tn ? 对 n ? N ? 恒成立,求正整数 m 的最小值。 15 an

高一数学期末模拟(一)参考答案
1、0 或 2;2、31;3、2;4、②、④; 5、20;6、 x ? 3 y ? 4 ? 0

3 3 5 8、 ? ; 7、 2 ; 3 9、③; 10、48;11、25;12、 m ? 或m ? ?1 3 ;
? 24 ? 10 ? 0, ? 13 ? ? 13、 ;14、 3
15:解:

?1?l : x ? y ? 3 ? 0 …………4 分
2 2

? 2 ? x ? 1.?? 9分
2? ? 7? 50 .??14分 ? 3? ? ?x? ? ?? y? ? ? 3? ? 3? 9 ?
16、解: (1) an ? 3n …………4 分

n(n ? 1) 1 n ?1 3 ? ? 3 ? ??14分 . 2 2 2 17、 (1)证明:∵ AD ? 平面 ABE , AD // BC ,∴ BC ? 平面 ABE ,则 AE ? BC
(2) bn ? n,

?? 9分;S n ?

又? BF

? 平面 ACE ,则 AE ? BF ? AE ? 平面 BCE

(2)由题意可得 G 是 AC 的中点,连接 FG
? BF ? 平面 ACE ,则 CE ? BF

D
G

C

,而 BC ? BE ,

?F

是 EC 中点,在 ?AEC 中, FG // AE ,? AE // 平面 BFD A E F B

(3) ? AE // 平面 BFD ,? AE // FG , 而? AE
? 平面 BCE

,? FG ? 平面 BCF

? G 是 AC 中点, F 是 CE 中点,? FG // AE 且 FG ?

1 AE ? 1 , 2
1 CE ? CF ? 2

? BF ? 平面 ACE ,? BF ? CE

,? Rt ?BCE 中, BF ?

2,

? S ?CFB ?

1 1 1 2 ? 2 ? 1 ?VC ? BG F ? VG ? BC F ? ? S ?CFB ?FG ? 2 3 3

18、解:(I)每次购买原材料后,当天用掉的 400 公斤原材料不需要保管费用,第二天用掉的 400 公斤原材料需保管 1 天,第三天用掉的 400 公斤原材料需保管 2 天,第四天用掉的 400 公 斤原材料需保管 3 天,……,第 x 天(也就是下次购买原材料的前一天)用掉最后的 400 公斤 原材料需保管 x-1 天. 每次购买的原材料在 x 天内总的保管费用

y1=400× O.03[1+2+3+…+(x-1)]=6x2-6x(元).
2

…………7 分

(Ⅱ)由上问可知,购买一次原材料的总的费用为 6x -6x+600+1.5×400x 元,



购买一次原材料平均每天支付的总费用



. 当且仅当

,即 x=10 时,取等号. …………15 分∴该厂

10 天购买一次原材料可以使平均每天支付的总费用 y 最少,为 714 元.…………16 分

19:(1)证明: 2?2 2 4 4 2 2 由题设知,圆 C 的方程为(x-t)2+? ?y- t ? =t +t2,化简得 x -2tx+y - t y=0, 当 y=0 时,x=0 或 2t,则 A(2t,0); 4? 4 当 x=0 时,y=0 或 ,则 B? ?0, t ?, t 1 1 ?4?=4 为定值. ∴S△AOB= |OA|· |OB|= |2t|· ?t? 2 2 …………5 分

(2)解:∵|OM|=|ON|,则原点 O 在 MN 的中垂线上,设 MN 的中点为 H,则 CH⊥MN, 2 t 2 1 ∴C,H,O 三点共线,则直线 OC 的斜率 k= = 2= ,∴t=2 或 t=-2. t t 2 ∴圆心为 C(2,1)或(-2,-1), ∴圆 C 的方程为(x-2)2+(y-1)2=5 或(x+2)2+(y+1)2=5, 由于当圆方程为(x+2)2+(y+1)2=5 时,直线 2x+y-4=0 到圆心的距离 d>r,此时不满 足直线与圆相交,故舍去, ∴圆 C 的方程为(x-2)2+(y-1)2=5. (3)解:点 B(0,2)关于直线 x+y+2=0 的对称点为 B′(-4,-2), 则|PB|+|PQ|=|PB′|+|PQ|≥|B′Q|, 又 B′到圆上点 Q 的最短距离为|B′C|-r= ?-6?2+?-3?2- 5=3 5- 5=2 5. 1 所以|PB|+|PQ|的最小值为 2 5,直线 B′C 的方程为 y= x, 2 …………10 分

4 2? 则直线 B′C 与直线 x+y+2=0 的交点 P 的坐标为? ?-3,-3?.

…………16 分

(2)

??3, n ? 1 n ?1 ?? 3 ? ? 由题设 c n ? ? ? ? 2n ? 9 4 1? n?2 , n?2 ? ? ? 2n ? 5 ? 2n ? 5
当 n ? 2 时,令 cn ? cn ?1 ? 0得

…………7 分

2n ? 9 2n ? 7 ? ?0 2n ? 5 2n ? 3

3 5 7 9 即 ?n? 或 ?n? 2 2 2 2 …………………………9 分 解得n ? 2或n ? 4
又? c1 ? ?3, c 2 ? 5 ? n ? 1 时也有 c1 ? c 2 ? 0 综上得数列 ?c n ? 共有 3 个变号数,即变号数为 3 …………11 分

(3)令 g (n) ? S 2n?1 ? S n ,

g (n ? 1) ? g (n) ? S 2n?3 ? S n?1 ? (S 2n?1 ? S n ) ? (S 2n?3 ? S 2n?1 ) ? (S n?1 ? S n )
?
13 分 当 n ? 2 时, g (n ? 1) ? g (n) 所以 g (n) 单调递减;因而 g (n) 的最大值为 g (2) ? S5 ? S2 ?

1 a2 n ?3

?

1 a2 n ? 2

?

1 1 ?24n ? 1 1 = 1 ………… ? ? ? an ?1 4n ? 1 4n ? 1 2n ? 3 (4n ? 1)(4n ? 1)(2n ? 3)

1 1 23 ? ?1 ? 5 3 15

当 n ? 1 时, g (2) ? g (1) ? 0 ,所以 g (2) ? g (1) …………15 分 所以:

m 23 ,即 m ? 23 ,又 m 为正整数;所以 m 的最小值为 23.……………16 分 ? 15 15


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