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2013届高三数学理科限时训练题2


2013 届高三数学理科限时训练题(2)
(时间:45 分钟,满分:94 分)

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分 1.已知 i 是虚数单位,那么 ( A. i B. ? i
1? i 1? i )
2

?

( C. 1 D. ? 1 ( )



2.命题“ ? x ? R , x 2 ? 2 x ? 4 ? 0 ”的否定为 A. ? x ? R , x 2 ? 2 x ? 4 ? 0 C. ? x ? R , x 2 ? 2 x ? 4 ? 0
? ?
?

B. ? x ? R , x 2 ? 2 x ? 4 ? 0 D. ? x ? R , x 2 ? 2 x ? 4 ? 0
? ?

3. 设向量 a 与 b 的夹角为 ? , a ? (2,1) , a ? 3 b ? (5, 4 ) ,则 cos ? =(
4 5 1 3



A.

B.

C.

10 10

D.

3 10 10

4.在等差数列 { a n } 中,若 a 1 ? a 2 ? a 3 ? 3 , a 28 ? a 29 ? a 30 ? 165 ,则此数列前 30 项和等 于( ) A.810 B.840 C.870 D.900 5.如图,矩形长为 6,宽为 4,在矩形内随机地撒 300 颗黄豆,数得落在椭圆外的黄豆数为 96 颗,以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为( ). y A. 7.68 B. 1 6 .3 2 C. 1 7 .3 2 D. 8.68 6.函数 f ( x ) ? A sin( ? x ? ? ) ( A ? 0 , ? ? 0 )的部分图象如图 2 所示,则 f (1) ? f ( 2 ) ? f ( 3 ) ? ? ? f ( 2006 ) 的值等于( ) 6 A.0 B. 2 C. 2 ?
1 4

2
2

D. 2 ?

2

o -2

2

x

7.若函数 f ( x ) ? min{ 3 ? log

x , log

x } ,其中 min{ p , q } 表示

p , q 两者中的较小者,则 f ( x ) ? 2 的解集为(

) D. ( , ?? )
4 1

A. ( 0 , 4 )

B. ( 0 , ?? )

C. ( 0 , 4 ) ? ( 4 , ?? )

8.对一切实数 x ,不等式 x 2 ? a | x | ? 1 ? 0 恒成立,则实数 a 的取值范围是( A. ( ?? , ? 2 ) B. ?? 2 , ?? ? C. [? 2 , 2 ] D. ?0 , ?? ?



二.填空题:每小题 5 分, 共 30 分 (一)必做题:第 9、10、11、12、13 题为必做题,每道试题考生都必须做答 9.在各项都为正数的等比数列 { a n } 中,首项 a1 ? 3 ,前三项和为 21,则 a 3 ? a 4 ? a 5 ? ______

10. 由曲线 y ? e x ,x ? 1 ,y ? 1 所围成的图形面积是 11.右图所示的程序框图的输出结果为

.

12.设双曲线的两个交点分别为 F1 、 F 2 ,过 F 2 作双曲线实轴所在直线 的垂线交双曲线于点 P,若 P F2 ? 2 F1 F2 ,则双曲线的离心率是___ 13.
( x ? 2 x )
6

展开式中,常数项是__________.

(二)选做题:第 14、15 题为选做题,考生只能选做一题. 14. (坐标系与参数方程选做题)在直角坐标系 xoy 中,已知曲线 C 的
? y ? s in ? ? 1 ? x ? cos ?

参数方程是 ?

( ? 是参数) ,若以 O 为极点, x 轴的正半轴
C

为极轴,则曲线 C 的极坐标方程可写为_________. 15. (几何证明选讲选做题)如图 A B 是⊙ O 的直径, P 为 A B 延长线 上一点,P C 切⊙ O 于点 C,P C ? 4 ,P B ? 2 。 则⊙ O 的半径等于____ 三、解答题:本大题共 2 个小题,每小题 12 分,共 24 分,解答 应写出文字说明,证明过程或演算步骤 16. (本小题满分 12 分)如图,在组合体中, ABCD ? A1 B1 C 1 D 1 是一个长方体, P ? ABCD 是一个四棱锥. AB ? 2 , BC ? 3 , 点 P ? 平面 CC 1 D 1 D 且 PD ? PC ?
2

A

O

B

P

P

D A B

C


D1 A1 B1 C1

(Ⅰ)证明: PD ? 平面 PBC ; (Ⅱ)求 PA 与平面 ABCD 所成的角的正切值; (Ⅲ)若 AA 1 ? a ,当 a 为何值时, PC // 平面 AB 1 D

17. (本小题满分 12 分)某公司生产陶瓷,根据历年的情况可知,生产陶瓷每天的固定成本为 14000 元,每生产一件产品,成本增加 210 元.已知该产品的日销售量 f ( x ) 与产量 x 之间的关
? 1 2 x ,    ? x ? 4 0 0 0 ? f ( x) ? ? 625 系式为 ,每件产品的售价 g ( x) 与产量 x 之间的关系式为 ? 2 5 6 ,     x ? 4 0 0 ? ? 5 0 ? ? x ? 750 ,    ? x ? 400 g (x) ? ? 8 . ? 500 ,       x ? 400 ?

(Ⅰ)写出该陶瓷厂的日销售利润 Q ( x ) 与产量 x 之间的关系式; (Ⅱ)若要使得日销售利润最大,每天该生产多少件产品,并求出最大利润.

2011 届高三数学理科限时训练题(2)参考答案
一、选择题(每小题 5 分,共 40 分) 二、填空题(每小题 5 分,共 30 分) 9. 84 10. e ? 2 11. 8 12. DADB BBCB

5?2

13. 60

14. ? ? 2 sin ?

15. 3

三、解答题: (本大题共 2 个小题,每小题 12 分,共 24 分) 16、(Ⅰ)证明:因为 PD ? PC ?
2

, CD ? AB ? 2 ,

所以 ? PCD 为等腰直角三角形,即 PD ? PC ……1 分 因为 ABCD ? A1 B1 C 1 D 1 是一个长方体, 所以 BC ? 面 CC 1 D1 D ,而 P ? 平面 CC 1 D1 D , 所以 PD ? 面 CC 1 D1 D , 所以 BC ? PD . ……3 分 因为 PD 垂直于平面 PBC 内的两条相交直线 PC 和 BC , 由线面垂直的判定定理,可得 PD ? 平面 PBC . ……4 分 (Ⅱ)解:过 P 点在平面 CC 1 D 1 D 作 PE ? CD 于 E ,连接 AE .……5 分 因为 面 ABCD ? 面 PCD , 所以 PE ? 面 ABCD , 所以 ? PAE 就是 PA 与平面 ABCD 所成的角.……6 分 因为 PE ? 1 , AE ? 10 ,
PE AE 1 10 10 10

所以 tan ? PAE ?

?

?



……7 分
10 10

所以 PA 与平面 ABCD 所成的角的正切值为 (Ⅲ)解:当 a ? 2 时, PC // 平面 AB 1 D . 当 a ? 2 时,四边形 CC 1 D 1 D 是一个正方形, 所以 ? C 1 DC ? 45 0 ,而 ? PDC ? 45 0 , 所以 ? PDC 1 ? 90 0 ,即 C 1 D ? PD .



……8 分 ……9 分

……10 分 ……11 分 ……12 分

而 PC ? PD , C 1 D 与 PC 在同一个平面内,所以 PC // C 1 D . 而 C 1 D ? 面 AB 1 C 1 D ,所以 PC // 面 AB 1C 1 D , 即 PC // 平面 AB 1 D .

16.方法二:(Ⅰ)如图建立空间直角坐标系,设棱长 AA 1 ? a ,则有 D ( 0 , 0 , a ) , P ( 0 ,1, a ? 1) ,
B ( 3, 2 , a )

, C ( 0 , 2 , a ) ???2 分 , P B ? (3,1, ? 1) , P C ? (0,1, ? 1) ,所以 P D ? P B ? 0 , P D ? P C ? 0 ?3 分
P
??? ?

???? 于是 P D ? (0, ? 1, ? 1)

??? ?

???? ??? ?

???? ??? ?

所以 PD 垂直于平面 PBC 内的两条相交直线 PC 和 BC , 由线面垂直的判定定理,可得 PD ? 平面 PBC .??4 分 (Ⅱ) A ( 3 , 0 , a ) ,所以 P A ? (3, ? 1, ? 1) ,而平面 ABCD 的一个法 向量为 n1 ? (0, 0,1) .?5 分 所以 c o s ? P D , n 1 ? ?
???? ?? ? ?1 11 ? 1 ? ? 11 11
11 11

z

??? ?

D A B

C

?? ?



??6 分
A1

D1 B1

C1

y

所以 PA 与平面 ABCD 所成的角的正弦值为 所以 PA 与平面 ABCD 所成的角的正切值为

?7 分 ?8 分

x

10 10

(Ⅲ) B1 ? ( 3 , 2 , 0 ) ,所以 DA ? ( 3 , 0 , 0 ) , AB 1 ? ( 0 , 2 , ? a ) . 设平面
? DA ? n ? 3 x ? 0 2 ? AB 1 D 的法向量为 n 2 ? ( x , y , z ) ,则有 ? ? AB ? n ? 2 y ? az ? 0 1 2 ?



令 z ? 2 ,可得平面 AB 1 D 的一个法向量为 n 2 ? ( 0 , a , 2 ) .

??10 分

若要使得 PC // 平面 AB 1 D ,则要 PC ? n 2 ,即 PC ? n 2 ? a ? 2 ? 0 ,解得 a ? 2 .?11 分 所以当 a ? 2 时, PC // 平面 AB 1 D . 17、解:(Ⅰ)总成本为 c ( x ) ? 14000 ? 210 x .所以日销售利润
1 6 2 ? 3 x ? x ? 210 x ? 14000 ,    ? x ? 400 0 ?? 5 Q ( x ) ? f ( x ) g ( x ) ? c ( x ) ? ? 1000 ? x ? 400 ? ? 210 x ? 114000 ,         

??12 分

.??6 分

(Ⅱ)①当 0 ? x ? 400 时, Q / ( x )

? ?

3 1000

x

2

?

12 5

x ? 210



??7 分 ??8 分

令 Q / ( x ) ? 0 ,解得 x ? 100 或 x ? 700 .

于是 Q ( x ) 在区间 [ 0 ,100 ] 上单调递减, 在区间 [100 , 400 ] 上单调递增, 所以 Q ( x ) 在 x ? 400 时 取到最大值,且最大值为 30000; ②当 x ? 400 时, Q ( x ) ? ? 210 x ? 114000 ? 30000 . ??10 分 ??12 分

综上所述,若要使得日销售利润最大,每天该生产 400 件产品,其最大利润为 30000 元 14 分


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