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2014《成才之路》高一数学(人教A版)必修4课件:2-3-1 平面向量基本定理


成才之路· 数学
人教A版 ·必修4

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第二章
平面向量

第二章

平面向量

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第二章
2.3 平面向量的基本定理及坐标表示

第二章

平面向量

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第二章
2.3.1 平面向量基本定理

第二章

平面向量

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课前自主预习

课堂典例讲练

课后强化作业

第二章

2.3 2.3.1

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课前自主预习

第二章

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温故知新 1.上节课已经学习过向量的数乘,所谓向量的数乘为 ________,记为________,它的长度与方向规定如下: (1)________=|λ||a|; (2)当________时,λa 的方向与 a 的方向相同;当 λ<0 时, λa 的方向与 a 的方向________.
[答案] 实数 λ 与向量 a 的积 λa |λa| λ>0 相反

第二章

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2.若|a|=5,b 和 a 的方向相反,且|b|=7,则 a=( A. 5 7 B.- 5 7 C. 7 5 D.- 7 5

)b.

[答案] B

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→ 3. 如图所示, 是△ABC 的边 AB 上的中点, D 则向量CD等 于( ) → 1→ A.-BC+ BA 2 → 1→ B.-BC-2BA → 1→ C.BC-2BA → 1→ D.BC+ BA 2
[答案] A
第二章 2.3 2.3.1

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新课引入

音乐是人们在休闲时候的一种选择,不管是通俗的流行歌 曲、动感的摇滚音乐,还是高雅的古典音乐,它们都给了人们 不同的享受、不一样的感觉.事实上,音乐有 7 个基本音符:

第二章

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Do Re Mi Fa Sol La Si, 所有的乐谱都是这几个音符的巧妙 组合,音乐的奇妙就在于此. 在多样的向量中,我们能否找到它的“基本音符”呢? 自主预习 阅读教材 P93-94 回答下列问题.

第二章

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1.平面向量基本定理 如果 e1、e2 是同一平面内的两个________向量,那么对于 不共线 这一平面内的任意向量 a, 有且只有一对实数 λ1, 2, a=λ1e1 λ 使 +λ2e2,其中不共线的向量 e1、e2 叫做表示这一平面内所有向
基底 量的一组_______.

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[破疑点](1)这个定理告诉我们,在平面内任一向量都可以 沿两个不共线的方向分解成两个向量的和,且这样的分解是唯 一的,同一个非零向量在不同的基底下的分解式是不同的,而 零向量的分解式是唯一的,即 0=λ1e1+λ2e2,且 λ1=λ2=0. (2)于对固定的 e1、e2(向量 e1 与 e2 不共线)而言,平面内任 一确定的向量的分解是唯一的,但平面内的基底却不唯一,只 要平面内的两个向量不共线,就可以作为基底,它有无数组.

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→ → 在?ABCD中,设 AC =a, BD =b,试用基底{a、b}表示 → → AB、BC. [分析] 本题实质是平面向量基本定理的应用.通过观察

图形,直接寻找向量之间的关系,可以看作转移法;也可利 → → → → 用方程思想,直接用 AB 、 BC 表示a、b,然后将 AB 、 BC 看作 → → 未知量,利用方程思想,解得AB、BC.

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[解析]

方法一:如图,设AC、BD相交于点O,

→ → 1 → 1→ 1 则有AO=OC=2a,BO=2BD=2b, 1 → → → → → 1 ∴AB=AO+OB=AO-BO= a- b, 2 2 1 → → → 1 BC=BO+OC=2a+2b.

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→ → 方法二:设AB=x,BC=y, ?→ → → ?AB+BC=AC 则有? → → → ?AD-AB=BD ?
?x+y=a ? 即? ?y-x=b. ?

→ → 且 AD=BC=y,

1 1 1 1 解之,可得x=2a-2b,y=2a+2b, 1 → 1 → 1 1 即AB= a- b,BC= a+ b. 2 2 2 2
第二章 2.3 2.3.1

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2.向量的夹角 → → (1)定义:两个非零向量a和b,且 OA =a, OB =b,则∠ AOB=θ叫做向量a和b的夹角(如图所示),范围是___________. 0° ≤θ≤180° 当θ=0° 时,向量a和b同向;当θ=180° 时,向量a和b_____. 反向

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(2)垂直:如果向量a和b的夹角是________,我们就说向 90° 量a与b垂直,记作 a⊥b .

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试指出图中向量的夹角.
[解析] → → ①∠AOB=θ为两向量OA与OB的夹角;

→ → ②OA与OB的夹角为0° ,两向量同向; → → ③OA与OB的夹角为180° ,两向量反向; → → ④两向量OA与AB的夹角为θ.

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课堂典例讲练

第二章

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思路方法技巧
命题方向1 考查对基底概念的理解
如果e1、e2是平面α内两个不共线的向量,那么下 列说法中不正确的是( ... )

①a=λe1+μe2(λ、μ∈R)可以表示平面α内的所有向量; ②对于平面α内任一向量a,使a=λe1+μe2的实数对(λ,μ) 有无穷多个; λ1 μ1 ③若向量λ1e1+μ1e2与λ2e1+μ2e2共线,则 = . λ2 μ2
第二章 2.3 2.3.1

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④若实数λ、μ使得λe1+μe2=0,则λ=μ=0. A.①② C.③④ [分析] B.②③ D.② 应用平面向量基本定理解题时,要抓住基向量e1

与e2不共线和平面内向量a用基底e1、e2表示的惟一性求解.

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[解析] 由平面向量基本定理可知,①④是正确的.对于 ②,由平面向量基本定理可知,一旦一个平面的基底确定, 那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的.对于③, 当λ1λ2=0或μ1μ2=0时不一定成立,应为λ1μ2-λ2μ1=0.故选B.

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设 e1,e2 是不共线的两个向量,给出下列四组向量:①e1 与 e1+e2;②e1-2e2 与 e2-2e1;③e1-2e2 与 4e2-2e1;④e1 +e2 与 e1-e2.其中不能作为平面内所有向量的一组基底的是 . ________.(写出所有满足条件的序号)
[答案] ③

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[解析]

①设

?λ=1, ? e1+e2=λe1,则? ?1=0, ?

无解,

∴e1+e2 与 e1 不共线,即 e1 与 e1+e2 可作为一组基底; ②设 e1-2e2=λ(e2-2e1),则(1+2λ)e1-(2+λ)e2=0,则
?1+2λ=0, ? ? ?2+λ=0, ?

无解,

∴e1-2e2 与 e2-2e1 不共线,即 e1-2e2 与 e2-2e1 可作为 一组基底;

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1 ③∵e1-2e2=- (4e2-2e1),∴e1-2e2 与 4e2-2e1 共线, 2 即 e1-2e2 与 4e2-2e1 不可作为一组基底; ④设 e1+e2=λ(e1-e2),则(1-λ)e1+(1+λ)e2=0,
?1-λ=0, ? ∴? ?1+λ=0, ?

无解,

∴e1+e2 与 e1-e2 不共线,即 e1+e2 与 e1-e2 可作为一组 基底.

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规律总结:根据平面向量基底的定义知此类问题可转化 为判断两个向量是否共线的问题.若不共线,则它们可作为一 组基底;若共线,则它们不可能作为一组基底.

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命题方向2

用基底表示向量
→ → 已知OA =a,OB =b,C为线段AO上距A较近的一

个三等分点,D为线段CB上距C较近的一个三等分点,则用a、 → b表示OD的表达式为( )

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1 A. (4a+3b) 9 1 C.3(2a+b)

1 B. (9a+7b) 16 1 D.4(3a+b)

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[解析]

→ → → → 1→ ∵OD=OC+CD=OC+ CB 3

2→ 1→ → 1 → → =OC+3(OB-OC)=3OC+3OB 4→ 1→ 1 =9OA+3OB=9(4a+3b),∴选A.

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1→ → 已知平行四边形ABCD的对角线交于点C, BM = 3 BC , → 1→ → → → CN=3CD,OA=a,OB=b,用a、b表示OD=__________, → → ON=________,MN=________.

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[答案]

2 2 1 1 a+b; a+ b; a- b 3 3 2 6

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→ → 1→ 1 1 [解析] BA=a-b,BM= BA= a- b, 6 6 6 → → → 1 5 → OM=OB+BM=6a+6b,OD=a+b, → → → 1→ 1→ 2→ 2 2 ON=OC+CN=2OD+6OD=3OD=3a+3b, → → → 1 1 MN=ON-OM=2a-6b.

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命题方向3

有关向量夹角的计算
已知两个非零向量a与b的夹角为60° ,试求下列向

量的夹角:(1)a与-b;(2)2a与3b. [分析] 首先作出相应向量,然后依据向量夹角的定义求 解.

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[解析]

(1)由向量夹角的定义,作出a与b的夹角,如图

①,向量a与-b的夹角为120° . (2)如图②,向量2a与3b的夹角为60° .

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规律总结:解决此类问题时,应先作出图形,明确要求 的角,然后结合图形求出角度.

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如图,已知△ABC是等边三角形.

→ → (1)求向量AB与向量BC的夹角; → → (2)若E为BC的中点,求向量AE与EC的夹角.

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[解析]

(1)∵△ABC为等边三角形,

∴∠ABC=60° . 如下图,延长AB至点D,使AB=BD,

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→ → 则AB=BD, → → ∴∠DBC为向量AB与BC的夹角. ∵∠DBC=120° , → → ∴向量AB与BC的夹角为120° . (2)∵E为BC的中点,∴AE⊥BC, → → ∴AE与EC的夹角为90° .

第二章

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探索延拓创新
命题方向4 综合分析与解决问题的能力
→ → 如图,在△OAB中,OA=a,OB =b,M、N分别 → 1 → 1 → → 是边OA、OB上的点,且OM = a,ON = b,设AN 与BM 相交 3 2 → 于点P,用向量a、b表示OP.

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[分析]

该题目不能直接通过向量的加、减及数乘运算确

定λ1,λ2,可以引进参数,利用“表示方法的唯一性”确定参 数,进而确定λ1、λ2.

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[解析]

→ → → → → → ∵OP=OM+MP,OP=ON+NP,

→ → → → → → → 设MP=mMB,NP=nNA,则OP=OM+mMB 1 1 1 =3a+m(b-3a)=3(1-m)a+mb. 1 → → → 1 OP=ON+nNA=2b+n(a-2b) 1 = (1-n)b+na. 2

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?1 ?3?1-m?=n ∵a、b不共线,∴? ?1?1-n?=m ?2 → 1 2 ∴OP=5a+5b.

1 ?n= , 5

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→ 1→ → 1→ 在△OAB中,OC= OA,OD= OB,AD与BC交于点M, 4 2 → → → 设OA=a,OB=b,试以a、b为基底表示OM. [分析] → 先用平面向量基本定理设出 OM =ma+nb,分别

→ → → → 表示出AM 、AD 、CM 、CB 后,再利用共线向量的条件列出方 程组,从而确定m,n的值.

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[解析]

→ → → → 设OM =ma+nb(m,n∈R),则AM =OM -OA =

1 → → → 1 (m-1)a+nb,AD=OD-OA=2b-a=-a+2b, → → ∵A、M、D三点共线,∴AM=λAD,

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?m-1=-λ ? ∴? 1 ,消去λ得m+2n=1. ?n=2λ ? 1? → → → ? 而CM=OM-OC=?m-4?a+nb,
? ?



1 1 → → → CB=OB-OC=b- a=- a+b, 4 4 → → ∵C、M、B三点共线,∴CM=μCB, 1 1 ? ?m- =- μ 4 4 ,消去μ即4m+n=1. ∴? ?n=μ ?



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1 ? ?m+2n=1 ?m=7 ? 由①②可得:? ,解得? ?4m+n=1 ? ?n=3 ? 7 → 1 3 ∴OM=7a+7b.



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名师辨误作答
1.忽略两个向量作为基底的条件 已知e1≠0,λ∈R,a=e1+λe2,b=2e1,则a与b 共线的条件为( A.λ=0 C.e1∥e2 [错解] A ) B.e2=0 D.e1∥e2或λ=0

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[错因分析] 在应用平面向量基本定理时,要注意a=λ1e1 +λ2e2中,e1,e2不共线这个条件.若没有指明,则应对e1,e2 共线的情况加以考虑. [思路分析] 当e1∥e2时,a∥e1,又因为b=2e1,所以b∥ e1.又e1≠0,故a与b共线;当λ=0时,则a∥e1.又因为b=2e1, 所以b∥e1.又因为e1≠0,故a与b共线.
[正解] D

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2.分不清向量的起点和终点 在Rt△ABC中,∠ABC=90° ,∠ACB=60° ,则 → → AC与CB的夹角θ=________. [错解] → → ∵∠ACB是AC与CB的夹角,∴θ=60° .

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→ → [错因分析] 错解中,误认为∠ACB是 AC 与 CB 的夹角, → → → → 其实不然,∠ACB是 CB 与 CA 的夹角, AC 与 CB 的起点不同, 则∠ACB不是夹角. → [思路分析] 当且仅当a与b的起点相同,且a= OA ,b= → OB时,∠AOB才是向量a与b的夹角.

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[正解]

→ 如图所示,延长AC到D,使AC=CD,则 AC =

→ → → CD,∠BCD是AC与CB的夹角,

由于∠BCD+∠ACB=180° ,∠ACB=60° , 则∠BCD=180° -60° =120° ,即θ=120° .
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