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山东省德州市某中学2015-2016学年高二数学上学期第一次(10月)月考试题


高二数学月考试题
第 I 卷(选择题) 2015/10

一、选择题(本题共 10 道小题,每小题 5 分,共 50 分)
2 1.命题“ ?x0 ? (0, ??), 2 0 ? x0 ”的否定为 x

A. ?x ? (0, ??),2 x ? x 2 C. ?x ? (0, ??),2 x ? x 2 2. x ?

1或y ? 2 是 x ? y ? 3 的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件

B. ?x ? (0, ??),2 x ? x 2 D. ?x ? (0, ??),2 x ? x2 ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

3.设 m,n 是两条不同的直线,α ,β 是两个不重合的平面,给出下列四个命题:



? n⊥α ;②

? m∥n;③

? n⊥β ;④

? n∥α .

其中正确命题的序号是( A.①④ B.②④

) C.①③ D.②③

4.如图,正方形 O′A′B′C′的面积为 4,它是水平放置的一个平面图形的直观图,则原图 形的周长为()

A.

B. 16

C.

12

D.

5.对于任意的直线 l 与平面 α ,在平面 α 内必有直线 m,使 m 与 l() A. 平行 B. 相交 C. 垂直 D. 互为异面直线

6.自二面角 α ﹣l﹣β 的棱 l 上任选一点 O,若∠AOB 是二面角 α ﹣l﹣β 的平面角,必须 具备条件() A. AO⊥OB,AO? α ,BO? β B. AO⊥l,BO⊥l
1

C. AB⊥l,AO? α ,BO? β

D. AO⊥l,OB⊥l,AO? α ,BO? β

7.点 B 是点 A(1,2,3)在坐标平面 yOz 内的正投影,则|OB|等于() A. B. C. D.

8.已知平面 ? 的法向量为 n ? (2, ?2,4), AB ? (?3,1,2) ,点 A 不在 ? 内,则直线 AB 与平 面的位置关系为 A. AB ? ? C. AB 与 ? 相交不垂直 9.给出如下四个命题: ①若“p∨q”为真命题,则 p、q 均为真命题; ②“若 a>b,则 2 >2 ﹣1”的否命题为“若 a≤b,则 2 ≤2 ﹣1”; ③“? x∈R,x +x≥1”的否定是“? x0∈R,x0 +x0≤1”; ④“x>0”是“x+ ≥2”的充要条件. 其中不正确的命题是( A. ①② ) B. ②③ C. ①③ D. ③④
2 2 a b a b

?

??? ?

B. AB ? ? D. AB / /?

10.已知 A(4,1,3),B(2,3,1),C(3,7,-5),点 P(x,-1,3)在平面 ABC 内,则 x 的值为( A.-4 ) B.1 C.10 D.11

2

第 II 卷(非选择题)

二、填空题(本题共 5 道小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.从一个棱长为 1 的正方体中切去一部分,得到一个几何体,其三视图如图,则该几何体 的体积为 .

12.在大小为 60°的二面角 α ﹣1﹣β 中,已知 AB? α ,CD? β ,且 AB⊥l 于 B,CD⊥l 于 D,若 AB=CD=1,BD=2,则 AC 的长为 .

13.已知平面 ? 的法向量是 --------------------

? 2,3, ?1? ,平面 ? 的法向量是 ? 4, ?, ?2? ,若 ? / / ? ,则 ? 的值是
.

14.已知直线 ? ⊥平面 ? ,直线 m ? 平面 ? ,有下面四个命题: ① ? ∥ ? ? ? ⊥m;② ? ⊥ ? ? ? ∥m;③ ? ∥m ? ? ⊥ ? ;④ ? ⊥m ? ? ∥ ? 其中正确命题序号是________.

15.已知空间四边形 OABC,如图所示,其对角线为 OB,AC.M,N 分别为 OA,BC 的中点,点 G 在线段 MN 上,且 MG ? 2GN ,现用基向量 OA, OB, OC 表示向量 OG ,并设

OG ? xOA ? yOB ? zOC ,则 x ? y ? z ? ______.

3

三、解答题(本题共 6 道小题,共 75 分,解答需写出必要的文字说明及推演步骤) 16.(本小题满分 12 分) 已知 p:{x| x ? 3 ? 2}, q:{x |(x -m+1)(x -m-1) ? 0} ,若 ?p 是 ?q 充分而不必要条 件,求实数 m 的取值范围.

17.(本小题满分 12 分) 已知命题 P:函数 y ? log a (2 x ? 1) 在定义域上单调递增; 命题 Q:不等式 (a ? 2) x2 ? 2(a ? 2) x ? 4 ? 0 对任意实数 x 恒成立, 若 P、Q 都是真命题,求实数 a 的取值范围.

18.(本小题满分 12 分)如图所示,四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,PA⊥平面 ABCD, M、N 分别是 AB、PC 的中点,PA=AD=a. (1)求证:MN∥平面 PAD; (2)求证:平面 PMC⊥平面 PCD.

19.(本题满分 12 分)如图,在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,∠BAC=90°,AB=BB1,直线 B1C 与 平面 ABC 成 30°角. (I)求证:平面 B1AC⊥平面 ABB1A1; (II)求直线 A1C 与平面 B1AC 所成角的正弦值.

4

20.(本题满分 13 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 是正方形,侧棱 PD ⊥底面 ABCD , PD ? DC ,

E 是 PC 的中点.
(Ⅰ)证明: PA //平面 BDE ; (Ⅱ)求二面角 B ? DE ? C 的平面角的余弦值; (Ⅲ)在棱 PB 上是否存在点 F ,使 PB ⊥平面 DEF ? 证明你的结论.

21.(本小题满分 14 分) 如图所示, 在四棱锥 P-ABCD 中, 底面 ABCD 为直角梯形, AD∥BC, ∠ADC=90°, 平面 PAD⊥ 1 底面 ABCD,E 为 AD 的中点, PA=PD=4,BC= AD=2,CD= 2 3 . 2 (Ⅰ)求证:PA⊥CD; (Ⅱ) 若 M 是棱 PC 的中点,求直线 PB 与平面 BEM 所成角的正弦值;

5

(Ⅲ)在棱 PC 上是否存在点 N,使二面角 N-EB-C 的余弦值为 位置;若不存在,请说明理由.

13 ,若存在,确定点 N 的 13

6

高二数学试卷答案 2015.10. 1.C 2.B 3.C 4.B 5.C 6.D 7.B 8.D 9.C 10.D 11. 12. 13.6 14.①③ 15.

5 6

16.由题意 p: ? 2 ? x ? 3 ? 2 ∴ 1? x ? 5 ∴ ?p : x ? 1或x ? 5 q: m ? 1 ? x ? m ? 1 ∴ ?q : x ? m ? 1或x ? m ? 1 又∵ ?p 是 ?q 充分而不必要条件 ∴? (8分) (4分)

?m ? 1 ? 1 ?m ? 1 ? 5

∴2 ? m ? 4

(12分)

17.∵命题 P 函数

y ? log a (2 x ?1) 在定义域上单调递增;

∴a>1?????????????????3 分 又∵命题 Q 不等式 (a ? 2) x2 ? 2(a ? 2) x ? 4 ? 0 对任意实数 x 恒成立; ∴ a ? 2 ???????????????5 分
a?2?0 ? 或? , ???????????????8 分 ? ? 4 ( a ? 2) 2 ? 16(a ? 2) ? 0 ?

即 ?2 ? a ? 2 ???????????????????????10 分 ∵P、Q 都是真命题, ∴ a 的取值范围是 1<a ? 2 ? 18.解答: ??????? ????????12 分

证明: (1)设 PD 的中点为 E,连接 AE、NE, DC, AB,∴EN AM, AB

由 N 为 PC 的中点知 EN 又 ABCD 是矩形,∴DC 又 M 是 AB 的中点,∴EN ∴AMNE 是平行四边形

∴MN∥AE,而 AE? 平面 PAD,NM?平面 PAD ∴MN∥平面 PAD-------------------6 分
7

证明: (2)∵PA=AD,∴AE⊥PD, 又∵PA⊥平面 ABCD,CD? 平面 ABCD, ∴CD⊥PA,而 CD⊥AD,∴CD⊥平面 PAD ∴CD⊥AE,∵PD∩CD=D,∴AE⊥平面 PCD, ∵MN∥AE,∴MN⊥平面 PCD, 又 MN? 平面 PMC, ∴平面 PMC⊥平面 PCD.---------------------12 分

19. 解:

(I)证明:由直三棱柱性质,B1B⊥平面 ABC, ∴B1B⊥AC,又 BA⊥AC,B1B∩BA=B, ∴AC⊥平面 ABB1A1,又 AC? 平面 B1AC, ∴平面 B1AC⊥平面 ABB1A1.---------------5 分 (II)解:过 A1 做 A1M⊥B1A1,垂足为 M,连接 CM, ∵平面 B1AC⊥平面 ABB1A,且平面 B1AC∩平面 ABB1A1=B1A, ∴A1M⊥平面 B1AC. ∴∠A1CM 为直线 A1C 与平面 B1AC 所成的角, ∵直线 B1C 与平面 ABC 成 30°角,∴∠B1CB=30°. 设 AB=BB1=a,可得 B1C=2a,BC= ,

8

∴直线 A1C 与平面 B1AC 所成角的正弦值为 ------------------12 分 20.解:法一: (Ⅰ)以 D 为坐标原点,分别以 DA 、 DC 、 DP 所在直线为 x 轴、 y 轴、 z

,0 ,0 ) 轴建立空间直角坐标系, 设 PD ? DC ? 2 , 则 A(2

,P(0, 0, 2) ,E (0,1,1) ,B(2, 2,0)

PA ? (2,0,?2), DE ? (0,1,1), DB ? (2,2,0)
设 n1 ? ( x, y, z ) 是平面 BDE 的一个法向量, 则由

?

? ???? ? ?y ? z ? 0 ?n 1 ? DE ? 0 ? ,得 ? 取 y ? ?1 ,得 n1 ? (1, ?1,1) . ? ? ? ??? ?2 x ? 2 y ? 0 ? ?n 1 ? DB ? 0
---4 分

??? ? ? ??? ? ? ∵ PA ? n1 ? 2 ? 2 ? 0 ,? PA ? n1,又PA ? 平面BDE,? PA / /平面BDE
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 n1 ? (1, ?1,1) 是平面 BDE 的一个法向量, 又 n 2 ? DA ? (2,0,0) 是平面 DEC 的一个法向量. 设二面角 B ? DE ? C 的平面角为 ? ,由图可知 ? ?? n1 , n 2 ?

?

?

??? ?

? ?

? ? ? ? n1 ? n 2 2 3 ? ? ∴ cos ? ? cos ? n1 , n 2 ?? ? . ? | n1 | ? | n 2 | 3?2 3
故二面角 B ? DE ? C 的余弦值为

3 . 3

---------8 分

(Ⅲ)∵ PB ? (2,2,?2), DE ? (0,1,1) ∴ PB? DE ? 0 ? 2 ? 2 ? 0,? PB ? DE. 假设棱 PB 上存在点 F ,使 PB ⊥平面 DEF ,设 PF ? ? PB(0 ? ? ? 1) , 则 PF ? (2?, 2?, ?2? ) , DF ? DP ? PF ? (2?, 2?, 2 ? 2? )
2 2 由 PF ? DF ? 0 得 4? ? 4? ? 2? (2 ? 2? ) ? 0

??? ? ??? ?

??? ?

????

??? ? ??? ?

??? ? ????

1 1 ? (0,1),此时 PF ? PB 3 3 1 即在棱 PB 上存在点 F , PF ? PB ,使得 PB ⊥平面 DEF .--------13 分 3
∴? ?

OE 为中位线, 法二: (Ⅰ) 连接 AC ,AC 交 BD 于 O , 连接 OE . 在 ?PAC 中, ? OE // PA
又PA ? 平面BDE ,? PA //平面 BDE .
9

(Ⅱ) PD ⊥底面 ABCD ,? 平面 PDC ⊥底面 ABCD , CD 为交线,? BC ⊥ CD

? 平面 BCE ⊥平面 PDC , PC 为交线, ? PD = DC , E 是 PC 的中点? DE ⊥ PC ? DE ⊥平面 PBC ,? DE ⊥ BE ? ?BEC 即为二面角 B ? DE ? C 的平面角.
设 PD ? DC ? a ,在 Rt ?BCE 中, CE ?

2 6 3 a, BC ? a, BE ? a,? cos ?BEC ? 2 2 3

故二面角 B ? DE ? C 的余弦值为

3 3

(Ⅲ)由(Ⅱ)可知 DE ⊥平面 PBC ,所以 DE ⊥ PB ,所以在平面 PDE 内过 D 作

DF ⊥ PB , tP ? D B 连 EF, 则 PB ⊥平面 DEF . 在R

中, PD ? a ,BD ?

2a ,PB ? 3a ,

PF ?

3 1 a .所以在棱 PB 上存在点 F , PF ? PB ,使得 PB ⊥平面 DEF 3 3

21.(1)? 面 PAD ? 面 ABCD 等腰 ?PAD 中, E 为 AD 的中点,? PE ? AD ? PE ? 面 ABCD 又 PA 在面 ABCD 内的射影是 AD , CD ? AD 由三垂线定理知: CD ? PA ????4 分

(2)以 E 为原点,分别以 EA, EB, EP 的方向为 x 轴, y 轴, z 轴的正方向建立空间直 角坐标系,由 PE ? 4 ? cos30 ? 2 3 得 P(0,0,2 3)
0

??? ? ??? ? ??? ?

又?C(?2,2 3,0)

???? ? ??? ? ? M (?1, 3, 3) 则 EM ? (?1, 3, 3) ,又 EB ? (0,2 3,0) ?

设平面 BEM 的一个法向量为 n ? ( x, y, z) 则?

? ?

2 3y ? 0

? ? ? x ? 3 y ? 3z ? 0

令 z ? 1 则 x ? 3, y ? 0

? ??? ? ?n ? ( 3,0,1) 又? PB ? (0,2 3, ?2 3)

设直线 PB 与平面 BEM 所成角为 ? 则 sin ? ? cos ? PB, n ? ?

??? ? ?

?2 3 2 ? 24

?

2 4

????9 分

10

(3)假设在棱 PC 上存在点 N ,使二面角 N ? EB ? C 的余弦值为

13 13

设 PN ? ? PC(0 ? ? ? 1) ,则 EN ? ? EC ? (1 ? ? ) EP ? (?2?,2 3?,2 3(1 ? ? )) 又 EB ? (0,2 3,0) ,设平面 NEB 的一个法向量为 n1 ? ( x, y, z) 则?

??? ?
??? ?
? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??

2 3y ? 0

? ? ?2? x ? 2 3? y ? 2 3(1 ? ? ) z ? 0 ?? 令 z ? ? , x ? 3(1 ? ? ) ?n1 ? ( 3(1 ? ?),0, ?)
又? n2 ? (0,0,1) 为平面 EBC 的一个法向量 则 cos ? n1 , n2 ? ?

?? ?

?? ?? ?

?
3(1 ? ? ) ? ?
2 2

?

13 13

解得 ? ?

1 (负值舍) 3
????14 分

故存在点 N 为棱 PC 的靠近 P 的三分点符合条件.

11


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