当前位置:首页 >> 数学 >>

专题--数列求和的基本方法和技巧


数列求和的基本方法和技巧
黎汉周
一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式: S n

?

n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d 2 2

(q ? 1) ? na1 ? n a ? an q 2、等比数列求和

公式: S n ? ? a1 (1 ? q ) ? 1 (q ? 1) ? 1? q 1? q ?
3、
n 1 S n ? ? k ? n(n ? 1) 2 k ?1 n 1 S n ? ? k 3 ? [ n(n ? 1)]2 2 k ?1

4、 S n

n 1 ? ? k 2 ? n(n ? 1)( 2n ? 1) 6 k ?1

5、

[例 1] 已知 log 3

x?

?1 2 3 n ,求 x ? x ? x ? ? ? ? ? x ? ? ? ? 的前 n 项和. log 2 3 ?1 1 ? log 3 x ? ? log 3 2 ? x ? log 2 3 2
Sn ? x ? x2 ? x3 ? ? ? ? ? xn
(利用常用公式)

解:由 log 3

x?

由等比数列求和公式得



x(1 ? x ) = 1? x
n

1 1 (1 ? n ) 2 2 =1- 1 1 2n 1? 2

[例 2] 设 Sn=1+2+3+…+n,n∈N*,求

f ( n) ?

Sn (n ? 32) S n?1

的最大值.

解:由等差数列求和公式得

Sn ?

1 1 n(n ? 1) , S n ? (n ? 1)( n ? 2) 2 2

(利用常用公式)



f ( n) ?

Sn (n ? 32) S n?1



n n ? 34 n ? 64
2



1 n ? 34 ?
8 8

64 n



( n?

1 8 n

?
) 2 ? 50

1 50

∴ 当

n?

,即 n=8 时,

f (n) max ?

1 50

1

二、错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法, 这种方法主要用于求数列{an· bn}的前 n 项和, 其中{ an }、 { bn }分别是等差数列和等比数列. [例 3] 求和: S n

? 1 ? 3x ? 5 x 2 ? 7 x 3 ? ? ? ? ? (2n ? 1) x n ?1 ………………………①
n ?1

解:由题可知,{ (2n ? 1) x 设 xS n

}的通项是等差数列{2n-1}的通项与等比数列{ x

n ?1

}的通项之积 ②

? 1x ? 3x 2 ? 5 x 3 ? 7 x 4 ? ? ? ? ? (2n ? 1) x n ……………………….

(设制错位) (错位相减)

①-②得

(1 ? x) S n ? 1 ? 2 x ? 2 x 2 ? 2 x 3 ? 2 x 4 ? ? ? ? ? 2 x n ?1 ? (2n ? 1) x n

再利用等比数列的求和公式得: (1 ?

x) S n ? 1 ? 2 x ?

1 ? x n ?1 ? (2n ? 1) x n 1? x



Sn ?

(2n ? 1) x n ?1 ? (2n ? 1) x n ? (1 ? x) (1 ? x) 2

[例 4] 求数列

2 4 6 2n , 2 , 3 ,? ? ?, n ,? ? ? 前 n 项的和. 2 2 2 2 2n 1 解:由题可知,{ n }的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{ n }的通项之积 2 2 2 4 6 2n 设 S n ? ? 2 ? 3 ? ? ? ? ? n …………………………………① 2 2 2 2 1 2 4 6 2n S n ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ? ? n ?1 ………………………………② 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2n ①-②得 (1 ? ) S n ? ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ? ? n ? n ?1 2 2 2 2 2 2 2 1 2n ? 2 ? n ?1 ? n ?1 2 2 n?2 ∴ S n ? 4 ? n ?1 2

(设制错位) (错位相减)

三、反序相加法求和 这是推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列(反序) ,再把它与原数列相加,就可以 得到 n 个 (a1 ? an ) . [例 5] 求证: C n
0 1 2 n ? 3C n ? 5C n ? ? ? ? ? (2n ? 1)C n ? (n ? 1)2 n 0 1 2 n ? C n ? 3C n ? 5C n ? ? ? ? ? (2n ? 1)C n …………………………..

证明: 设 S n



把①式右边倒转过来得
n n 1 0 S n ? (2n ? 1)C n ? (2n ? 1)C n ?1 ? ? ? ? ? 3C n ? C n

(反序)
2

又由 C n

m

n ? Cn ? m 可得

0 1 n n S n ? (2n ? 1)C n ? (2n ? 1)C n ? ? ? ? ? 3C n ?1 ? C n …………..…….. 0 1 n n 2S n ? (2n ? 2)(C n ? C n ? ? ? ? ? C n ?1 ? C n ) ? 2(n ? 1) ? 2 n



①+②得 ∴
2 ?

(反序相加)

S n ? (n ? 1) ? 2 n

[例 6] 求 sin

1 ? sin 2 2? ? sin 2 3? ? ? ? ? ? sin 2 88? ? sin 2 89? 的值 ? sin 2 1? ? sin 2 2? ? sin 2 3? ? ? ? ? ? sin 2 88 ? ? sin 2 89 ? ………….


解:设 S

将①式右边反序得

S ? sin 2 89 ? ? sin 2 88 ? ? ? ? ? ? sin 2 3? ? sin 2 2? ? sin 2 1? …………..②
又因为 ①+②得

(反序)

sin x ? cos(90 ? ? x), sin 2 x ? cos2 x ? 1
(反序相加)

2S ? (sin 2 1? ? cos2 1? ) ? (sin 2 2 ? ? cos2 2 ? ) ? ? ? ? ? (sin 2 89 ? ? cos2 89 ? ) =89
∴ S=44.5

四、分组法求和 有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后 分别求和,再将其合并即可. [例 7] 求数列的前 n 项和: 1 ? 1,

1 1 1 ? 4, 2 ? 7,? ? ?, n?1 ? 3n ? 2 ,… a a a 1 1 1 解:设 S n ? (1 ? 1) ? ( ? 4) ? ( 2 ? 7) ? ? ? ? ? ( n ?1 ? 3n ? 2) a a a
将其每一项拆开再重新组合得

S n ? (1 ?

1 1 1 ? 2 ? ? ? ? ? n?1 ) ? (1 ? 4 ? 7 ? ? ? ? ? 3n ? 2) a a a (3n ? 1)n (3n ? 1)n 当 a=1 时, S n ? n ? = 2 2 1 1? n 1? n a ? (3n ? 1)n = a ? a ? (3n ? 1)n 当 a ? 1 时, S n ? 1 a ?1 2 2 1? a
? k (k ? 1)( 2k ? 1) ? 2k 3 ? 3k 2 ? k
n n

(分组) (分组求和)

[例 8] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前 n 项和. 解:设 a k



S n ? ? k (k ? 1)( 2k ? 1) = ? (2k 3 ? 3k 2 ? k )
k ?1 k ?1

将其每一项拆开再重新组合得 3

Sn= 2

?
k ?1
3

n

k 3 ? 3? k 2 ? ? k
k ?1 k ?1

n

n

(分组)

= 2(1

? 23 ? ? ? ? ? n3 ) ? 3(12 ? 22 ? ? ? ? ? n 2 ) ? (1 ? 2 ? ? ? ? ? n)
(分组求和)



n 2 (n ? 1) 2 n(n ? 1)( 2n ? 1) n(n ? 1) ? ? 2 2 2 n(n ? 1) 2 (n ? 2) 2



五、裂项法求和 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解,然后重新组合,使之能 消去一些项,最终达到求和的目的. 通项分解(裂项)如: (1) a n

? f (n ? 1) ? f (n)

(2)

sin1? ? tan(n ? 1)? ? tan n ? ? ? cos n cos(n ? 1) ? ( 2n) 2 1 1 1 ? 1? ( ? ) (2n ? 1)( 2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

(3) a n

?

1 1 1 ? ? n(n ? 1) n n ? 1

(4) an

(5) an

?

1 1 1 1 ? [ ? ] n(n ? 1)( n ? 2) 2 n(n ? 1) (n ? 1)( n ? 2)
n?2 1 2(n ? 1) ? n 1 1 1 1 ? n ? ? n ? ? , 则S n ? 1 ? n ?1 n n(n ? 1) 2 n(n ? 1) 2 n?2 (n ? 1)2 (n ? 1)2 n

(6)

an ?

[例 9]

求数列

1 1? 2 ?

,

1 2? 3 1

,? ? ?,

1 n ? n ?1

,? ? ? 的前 n 项和.

解:设 a n

n ? n ?1 1 ?

? n ?1 ? n 1 1 n ? n ?1

(裂项)



Sn ?

1? 2

2? 3

? ??? ?

(裂项求和)

=( =

2 ? 1) ? ( 3 ? 2 ) ? ? ? ? ? ( n ? 1 ? n )

n ? 1 ?1

[例 10]

在数列{an}中, an

?

2 1 2 n ,又 bn ? ? ? ??? ? a n ? a n?1 n ?1 n ?1 n ?1

,求数列{bn}的前 n 项的和.

解:



an ?

1 2 n n ? ? ??? ? ? n ?1 n ?1 n ?1 2
4



bn ?

2 1 1 ? 8( ? ) n n ?1 n n ?1 ? 2 2

(裂项)



数列{bn}的前 n 项和

1 1 1 1 1 1 1 S n ? 8[(1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ? ? ( ? )] 2 2 3 3 4 n n ?1 1 8n = 8(1 ? ) = n ?1 n ?1
[例 11] 求证:

(裂项求和)

1 1 1 cos1? ? ? ??? ? ? cos 0 ? cos1? cos1? cos 2 ? cos88 ? cos89 ? sin 2 1?

解:设 S

?

1 1 1 ? ? ??? ? ? ? ? ? cos 0 cos1 cos1 cos 2 cos88 cos89 ?
?



sin1? ? tan(n ? 1)? ? tan n ? cos n? cos(n ? 1)?

(裂项)

∴S

1 1 1 (裂项求和) ? ? ??? ? ? ? ? ? cos 0 cos1 cos1 cos 2 cos88 cos89 ? 1 = {(tan1? ? tan 0 ? ) ? (tan 2 ? ? tan1? ) ? (tan 3? ? tan 2 ? ) ? [tan 89 ? ? tan 88 ? ]} ? sin1 ?
?

cos1? 1 1 ? ? ? = (tan 89 ? tan 0 ) = ? cot1 = 2 ? sin 1 sin1? sin1?
∴ 原等式成立

六、合并法求和 针对一些特殊的数列,将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质,因此,在求数列的和时,可将这些项放在一起先求 和,然后再求 Sn. [例 12] 求 cos1°+ cos2°+ cos3°+··+ cos178°+ cos179°的值. · 解:设 Sn= cos1°+ cos2°+ cos3°+··+ cos178°+ cos179° · ∵

cos n? ? ? cos( ? ? n? ) 180
+(cos89°+ cos91°)+ cos90° = 0

(找特殊性质项)

∴Sn= (cos1°+ cos179°)+( cos2°+ cos178°)+ (cos3°+ cos177°)+·· ·

(合并求和)

[例 13]

数列{an}: a1

? 1, a2 ? 3, a3 ? 2, an? 2 ? an?1 ? an ,求 S2002. ? a 2 ? a3 ? ? ? ? ? a 2002

解:设 S2002= a1 由 a1

? 1, a2 ? 3, a3 ? 2, an? 2 ? an?1 ? an 可得

a 4 ? ?1, a5 ? ?3, a6 ? ?2,

5

a7 ? 1, a8 ? 3, a9 ? 2, a10 ? ?1, a11 ? ?3, a12 ? ?2,
……

a6 k ?1 ? 1, a6 k ? 2 ? 3, a6 k ?3 ? 2, a6 k ? 4 ? ?1, a6 k ?5 ? ?3, a6 k ?6 ? ?2
∵ ∴

a6 k ?1 ? a6 k ? 2 ? a6 k ?3 ? a6 k ? 4 ? a6 k ?5 ? a6 k ?6 ? 0
S2002= a1

(找特殊性质项) (合并求和)

? a 2 ? a3 ? ? ? ? ? a 2002

= (a1

? a 2 ? a3 ? ? ? ?a6 ) ? (a7 ? a8 ? ? ? ?a12 ) ? ? ? ? ? (a6 k ?1 ? a6 k ? 2 ? ? ? ? ? a6 k ?6 )

? ? ? ? ? (a1993 ? a1994 ? ? ? ? ? a1998 ) ? a1999 ? a2000 ? a2001 ? a2002
= a1999 = a6 k ?1 =5 [例 14] 在各项均为正数的等比数列中,若 a5 a6 解:设 S n

? a2000 ? a2001 ? a2002 ? a6 k ? 2 ? a6 k ?3 ? a 6 k ? 4

? 9, 求 log 3 a1 ? log 3 a2 ? ? ? ? ? log 3 a10 的值.

? log 3 a1 ? log 3 a 2 ? ? ? ? ? log 3 a10
m ? n ? p ? q ? am an ? a p aq
(找特殊性质项)


由等比数列的性质

和对数的运算性质

log a M ? log a N ? log a M ? N

S n ? (log 3 a1 ? log 3 a10 ) ? (log 3 a2 ? log 3 a9 ) ? ? ? ? ? (log 3 a5 ? log 3 a6 )
= (log 3

(合并求和)

a1 ? a10 ) ? (log 3 a 2 ? a9 ) ? ? ? ? ? (log 3 a5 ? a6 )

= log 3 9 ? log 3 9 ? ? ? ? ? log 3 9 =10

七、利用数列的通项求和 先根据数列的结构及特征进行分析, 找出数列的通项及其特征, 然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前 n 项和, 是一个重要的方法.

[例 15]

求 1 ? 11 ? 111 ? ? ? ? ? 111 ? ? 之和. ??? ?1
n个1

解:由于 111 ? ? ? 1 ? ???
k个1

1 1 ? 999 ??9 ? (10 k ? 1) ? ??? 9 ? ? 9 k个1

(找通项及特征)

6



1 ? 11 ? 111 ? ? ? ? ? 111 ? ? ??? ?1
n个1



1 1 1 1 1 (10 ? 1) ? (10 2 ? 1) ? (10 3 ? 1) ? ? ? ? ? (10 n ? 1) 9 9 9 9
1 1 1 (10 ? 10 2 ? 10 3 ? ? ? ? ? 10 n ) ? (1 ?? 1 ??? ? 1) 1?? ?? ? 9 9 ? ?个1 ? n

(分组求和)





1 10(10 n ? 1) n ? ? 9 10 ? 1 9



1 (10 n?1 ? 10 ? 9n) 81
?
? 8 , 求? (n ? 1)( a n ? a n ?1 ) 的值. (n ? 1)( n ? 3) n ?1

[例 16]

已知数列{an}: a n

解:∵

(n ? 1)( a n ? a n ?1 ) ? 8(n ? 1)[

1 1 ? ] (n ? 1)( n ? 3) (n ? 2)( n ? 4)

(找通项及特征)

= 8 ?[

1 1 ? ] (n ? 2)( n ? 4) (n ? 3)( n ? 4)

(设制分组)

=4?(
? ?

1 1 1 1 ? ) ? 8( ? ) n?2 n?4 n?3 n?4
? 1 1 1 1 ? ) ? 8? ( ? ) n?2 n?4 n?4 n ?1 n ? 3

(裂项)



? (n ? 1)(an ? an?1 ) ? 4? (
n ?1 n ?1

(分组、裂项求和)

=4?( =

1 1 1 ? ) ? 8? 3 4 4

13 3
2014-1-1

7


相关文章:
专题--数列求和的基本方法和技巧习题
专题--数列求和的基本方法和技巧习题_数学_高中教育_教育专区。一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求...
专题--数列求和的基本方法和技巧
专题--数列求和的基本方法和技巧_高三数学_数学_高中教育_教育专区。专题--数列求和的基本方法和技巧,希望有所帮助。数列求和的基本方法和技巧数列是高中代数的重要...
专题--数列求和的基本方法和技巧
专题--数列求和的基本方法和技巧_数学_高中教育_教育专区。高中数学数列就和方法大综合诺成教育 数列求和的基本方法 一、利用常用求和公式求和: 利用下列常用求和公式...
专题--数列求和的基本方法和技巧
专题--数列求和的基本方法和技巧_高三数学_数学_高中教育_教育专区。数列求和的基本方法和技巧数列是高中代数的重要内容,又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学...
专题--数列求和的基本方法和技巧(师)
高中数学新课标讲义——数列专题 ——数列求和的基本方法和技巧 专题讲座——数列求和的基本方法和技巧 数列在高考中的要求: ★数列在高考中的要求: 1.等差数列与...
专题--数列求和的基本方法和技巧(师)
专题讲座——数列求和的基本方法和技巧★数列在高考中的要求: 1.等差数列与等比数列是两种最基本、最重要及应用最广泛的数列,其他数列问题的解决往往借助 它们完成,...
专题--数列求和的基本方法和技巧 一三
专题--数列求和的基本方法和技巧 一三 数列求和数列求和隐藏>> 数列求和的基本方法和技巧数列是高中代数的重要内容,又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛...
2 专题--数列求和的基本方法和技巧
下面,就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧. 一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、...
专题--数列求和的基本方法和技巧
总结非常全面的数列求和方法!隐藏>> 数列求和的基本方法和技巧一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列...
数列求和的基本方法和技巧与大题
数列求和的基本方法和技巧与大题_数学_高中教育_教育专区。高考数列问题 ...n个1 4 数列大题专题训练 1、设 {an } 是公比为正数的等比数列, a1 ? ...
更多相关标签:
数列求和专题 | 数列求和基本方法归纳 | 数列求和的方法和技巧 | 数列求和的基本方法 | 等比数列求和公式 | 等差数列求和公式 | 等比数列求和 | 数列求和 |