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高一数学人教A版必修1课后强化作业:1.3.2 第1课时《函数的奇偶性》


第一章

1.3

1.3.2

第一课时

一、选择题 1.下列图象表示的函数具有奇偶性的是( )

[答案] B 2.下列命题中错误的是( )

①图象关于原点成中心对称的函数一定为奇函数; ②奇函数的图象一定过原点; ③偶函数的图象与 y 轴一定相交; ④图象关于 y 轴对称的函数一定为偶函数. A.①② C.①④ [答案] D
? x≥1 ?x-1 1 [解析] f(x)= 为奇函数,其图象不过原点,故②错;y=? 为偶函数, x ?-x-1 x≤-1 ?

B.③④ D.②③

其图象与 y 轴不相交,故③错. 3.(2013~2014 山东冠县武训中学月考试题)下列函数中是偶函数的是( A.y=x4-3 3 C.y=- x [答案] A 4.若 f(x)=ax2+bx+c(c≠0)是偶函数,则 g(x)=ax3+bx2+cx( A.是奇函数但不是偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 [答案] A [解析] ∵f(-x)=f(x), ∴a(-x)2-bx+c=ax2+bx+c 对 x∈R 恒成立. ∴b=0. ∴g(x)=ax3+cx. ) B.y=x2 x∈(-3,3] )

D.y=2(x-1)2+1

B.是偶函数但不是奇函数 D.既非奇函数又非偶函数

∴g(-x)=-g(x). 5.已知 f(x)=x7+ax5+bx-5,且 f(-3)=5,则 f(3)=( A.-15 C.10 [答案] A [解析] 解法 1:f(-3)=(-3)7+a(-3)5+(-3)b-5=-(37+a· 35+3b-5)-10=-f(3) -10=5, ∴f(3)=-15. 解法 2:设 g(x)=x7+ax5+bx,则 g(x)为奇函数, ∵f(-3)=g(-3)-5=-g(3)-5=5, ∴g(3)=-10,∴f(3)=g(3)-5=-15. 6.(2011· 辽宁)若函数 f(x)= 1 A. 2 3 C. 4 [答案] A [分析] 因为已知函数为奇函数,所以其定义域应关于原点对称,由此求 a. 1 [解析] 要使函数式有意义,则 x≠- ,x≠a,而函数为奇函数,所以其定义域应关于 2 1 1 原点对称,由此得 a= .经验证当 a= 时,函数 f(x)是奇函数. 2 2 二、填空题 7.若函数 f(x)是奇函数,则 f(1+ 2)+f( [答案] 0 [解析] 1 1 =-(1+ 2),∴f(1+ 2)+f( )=f(1+ 2)-f(1+ 2)=0. 1- 2 1- 2 1 )=________. 1- 2 x 为奇函数,则 a=( ?2x+1??x-a? 2 B. 3 D.1 ) B.15 D.-10 )

8.已知 f(x)为奇函数,g(x)=f(x)+9,g(-2)=3,则 f(2)=________. [答案] 6 [分析] 将 x=-2 代入 g(x)=f(x)+9,利用 f(-2)=-f(2)求 f(2). [解析] 根据已知条件,得 g(-2)=f(-2)+9,又 f(x)为奇函数,所以 f(-2)=-f(2), 则 3=-f(2)+9,即 f(2)=6. 9.(2013~2014 河南安阳一中月考试题)若函数 f(x)=(x+a)(bx+2a)(常数 a,b)是偶函 数,它的值域为(-∞,4],则该函数的解析式 f(x)=________. [答案] -2x2+4

[解析] 由于 f(x)=(x+a)(bx+2a)=bx2+(ab+2a)x+2a2, 所以 f(-x)=bx2-(ab+2a)x+2a2, ∴ab+2a=0,∴a=0 或 b=-2. 又 f(x)最大值 4.所以 b=-2, 且 f(0)=2a2=4,∴a=± 2, ∴f(x)=-2x2+4. 三、解答题 ax+b ?1?=2,求函数 f(x)的解析式. 10.函数 f(x)= 2 是定义在(-1,1)上的奇函数,且 f ?2? 5 1+x [解析] 因为 f(x)是奇函数且定义域为(-1,1), 所以 f(0)=0,即 b=0. 1 a 2 1 2 2 ? ? 又 f?2?= ,所以 = , 5 1 ?2 5 1+? ?2? x 所以 a=1,所以 f(x)= . 1+x2 11.已知 f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且 f(x)+g(x)=x2+x-2,求 f(x),g(x)的表达式. [解析] f(-x)+g(-x)=x2-x-2,由 f(x)是偶函数,g(x)是奇函数得,f(x)-g(x)=x2-x -2 又 f(x)+g(x)=x2+x-2,两式联立得: f(x)=x2-2,g(x)=x. 12.已知 f(x)是定义在 R 上的函数,对任意的 x,y∈R 都有 f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y), 且 f(0)≠0. (1)求证:f(0)=1. (2)判断函数的奇偶性. [解析] (1)令 x=y=0,2f(0)=2f(0)2, 因 f(0)≠0,则 f(0)=1. (2)令 x=0,有 f(y)+f(-y)=2f(0)f(y),则 f(-y)=f(y), ∴f(x)是偶函数.


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