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高中数学 1.2.3三角函数的诱导公式课件 苏教版必修4


1.2.3 三角函数的诱导公式 栏 目 链 接 1.借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式. 2.掌握诱导公式二至公式六及其应用. 典 例 剖 析 栏 目 链 接 用诱导公式求三角函数式的值 1 已知 cos(75°+α)= ,其中 α 为第三象限角.求 cos(105°-α) 3 +sin(α-105°)的值. 分析:从被求式和已知式的角度看,关键是寻求到 75°+α与 105°-α 之间的关系,我们发现(75°+α)+(105°-α)=180°,这 样有关系式 105°-α=180°-(75°+α),就可以用诱导公式了. 解析:cos(105°-α)= cos[180°-(75°+α)]=-cos(75°+α) 1 =- . 3 sin(α-105°)=-sin(105°-α)=-sin[180°-(75°+α)]=- sin(75°+α). 1 又 cos(75°+α)= >0,α为第三象限角,可知角 75°+α为第 3 四象限角,则有 sin(75°+α)=- 1-cos2(75°+α) =- =- 2 2 . 3 ? 1?2 1-?-3? ? ? 1 2 2 2 2-1 ∴cos(105°-α)+sin(α-105°)=- + = . 3 3 3 方法指导:(1)解答本题的关键是发现 105°-α 与 75°+α 之间 的关系,即(105°-α)+(75°+α)=180°.这为应用诱导公式化简本 题找到入手之处. (2)使用平方关系,出现开方运算时,需由角所在象限来确定根 号前的“± ”号.而对于其他形式的公式就不必考虑符号问题. (3) 已知一个角的某个三角函数值,求这个角的其他三角函数 值.若给定具体数值,但未指定角 α 所在象限,就需要进行分类讨 论. 变式训练 1.设 f(x)=asin(π x+α)+bcos(π x+β),其中 a,b,α ,β 都 是非零实数,若 f(2 013)=-1,则 f(2 014)等于( A.-1 B.0 C.1 ) D.2 解析: 用诱导公式寻求 f(2 013)和 f(2 014)的关系是解决本题的关 键. ∵f(2 013)=asin(2 013π+α)+bcos(2 013π+β)=asin(π+α)+ bcos(π+β)=-(asin α+bcos β)=-1,∴f(2 014)=asin(2 014π +α)+bcos(2 014π+β)=asin α+bcos β=1. 答案:C 栏 目 链 接 利用诱导公式化简三角函数 ? 2 ? ? π? 化简:sin?kπ +3π ?cos?kπ - ?(k∈Z). 6? ? ? ? 分析:分 k 为奇数和偶数进行讨论. 解析:(1)当 k=2n(n∈Z)时, ? ? 2 ? π? ? ? ? 原式=sin 2nπ+3π ·cos 2nπ- ? 6? ? ? ? 栏 目 链 接 π π π 2 3 3 3 =sin πcos =sin cos = × = . 3 6 3 6 2 2 4 (2)当 k=2n+1(n∈Z)时, ? 2π? ? π? ? ? ? 原式=sin 2nπ+π+ cos 2nπ+π- ? 3 6? ? ? ? ? π? ? π? =sin?2π- ?cos?π- ? 3? ? 6? ? ? π?? π? =?-sin ??-cos ? 3 ?? 6? ? ? 3? ? 3? =?- ?×?- ? 2? ? 2? ? 栏 目 链 接 3 = . 4 3 综合(1)(

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