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高考立体几何解题方法与技巧


新 课 标 高 考 数 学 分 析 及 解 题 技 巧 汇 编

第三篇:立体几何题型与方法(向量法)
? ? ? ? a ?b ? ? 空间两个向量的夹角公式 cos ? a , b ?? ? | a |?|b |
(a= (a1 , a2 , a3 ) ,b= (b1 , b2 , b3 ) )。 ②空间两点的距离公式: d ? ( x

2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2 ? ( z 2 ? z1 ) 2 . b.法向量:若向量 a 所在直线垂直于平面 ? ,则称这个向量垂直于平面 ? ,记作 a ? ? , 如果 a ? ? 那么向量 a 叫做平面 ? 的法向量. c.向量的常用方法: ①利用法向量求点到面的距离定理:设 n 是平面 ? 的法向量,AB 是平面 ? 的一条射线, 其中 A ?? ,则点 B 到平面 ? 的距离为

a1b1 ? a 2 b2 ? a3b3
2 2 2 a12 ? a 2 ? a3 ? b12 ? b2 ? b32

| AB ? n | |n|

.

②.异面直线间的距离 d ?

CD ? n n

( l1 , l2 是两异面直线,其公垂向量为 n ,C、D 分

别是 l1 , l2 上任一点, d 为 l1 , l2 间的距离). ③.利用法向量求二面角的平面角定理: 设 n1 , n 2 分别是二面角 ? ? l ? ? 中平面 ? , ? 的法 向量,则 n1 , n 2 所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小( n1 , n 2 方向相同,则为补 角, n1 , n 2 反方,则为其夹角). 二面角 ? ? l ? ? 的平面角 ? ? arc cos

m?n m? n n 为平面 ? , 或 ? ? arc cos (m, | m || n | | m || n |

? 的法向量).
A n


B

B

?
C A



n1

C

D E

? n2

?

?

注意:夹角的范围及向量平行和垂直的条件!!
?
1

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经典例题剖析
(2009)(19)(本小题满分 12 分)
w.w.w.k.s.5. u.c .o.m

如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB⊥AC,D、E 分别为 AA1、B1C 的中点,DE⊥平 面 BCC1 (Ⅰ)证明:AB=AC
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

(Ⅱ)设二面角 A-BD-C 为 60° ,求 B1C 与平面 BCD 所成的角的大小 B1

A1

C1

D A B (2009)(19)(本小题满分 12 分)

E

C

如图,四棱锥 S ? ABCD 中,底面 ABCD 为矩形, SD ? 底面 ABCD , AD ? 2 ,

DC ? SD ? 2 ,点 M 在侧棱 SC 上, ?ABM ? 60
(Ⅰ)证明: M 是侧棱 SC 的中点; (Ⅱ)求二面角 S ? AM ? B 的大小。(同理 18)

(2010 全国 1)(20)(本小题满分 12 分)

如图,四棱锥 S-ABCD 中,SD ? 底面 ABCD,AB//DC, AD ? DC, AB=AD=1, DC=SD=2, E 为棱 SB 上的一点, 平面 EDC ? 平面 SBC . (Ⅰ)证明:SE=2EB; (Ⅱ)求二面角 A-DE-C 的大小 .

?

2

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(2011)(20)如图,四棱锥 S-ABCD 中,AB//CD,BC ? CD,侧面 SAB 为等边

三角形, AB=BC=2,CD=SD=1 (1) 证明:SD ? 平面 SAB (2) 求 AB 与平面 SBC 所成角的大小.

(2012)(19)(本小题满分 12 分)

1 如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧棱垂直底面,∠ACB=90° ,AC=BC=2AA1, D 是棱 AA1 的中点。 (I) 证明:平面 BDC1⊥平面 BDC (Ⅱ)平面 BDC1 分此棱柱为两部分,求这两部分体 积的比。
C1 A1

B1

D C A
[来源:学§科§网]

B

19.(2013 课标全国Ⅰ,文 19)(本小题满分 12 分)如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,CA=

CB,AB=AA1,∠BAA1=60°. (1)证明:AB⊥A1C; (2)若 AB=CB=2,A1C= 6 ,求三棱柱 ABC-A1B1C1 的体
积.

?

3

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D , E 分别是 AB , BB1 的 (2013 全国 2)(18)如图,直三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 中,

中点, AA1 ? AC ? CB ?

2 AB 。 2

(Ⅰ)证明: BC1 / / 平面 ACD 1 1; (Ⅱ)求二面角 D ? AC 1 ? E 的正弦值。

(2014 文科,理科)18. (本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PA⊥平面 ABCD,E 为 PD 的中点. (Ⅰ)证明:PB∥平面 AEC; (Ⅱ)设 AP=1,AD= 3 ,三棱锥 P-ABD 的体积 V=

3 ,求 A 到平面 PBD 的距离。 4

19.(2013 山东,文 19)(本小题满分 12 分)如图,四棱锥 P-ABCD 中,AB⊥AC,AB

⊥PA,AB∥CD,AB=2CD,E,F,G,M,N 分别为 PB,AB,BC,PD,PC 的中点. (1)求证:CE∥平面 PAD; (2)求证:平面 EFG⊥平面 EMN.

?

4


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