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高二数学测试题及答案


新博士教育高二数学摸底试卷
姓名: 得分:

第Ⅰ卷(选择题,共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是
符合题目要求的.
7 7 y 1.若 C x ? C11 ? C11 ,则 x, y 的值分别是

( C. x ? 11

, y ? 6 D. x ? 12, y ? 7



A. x ? 12, y ? 6

B. x ? 11, y ? 7

2.已知直线 m ? 平面? ,直线 n ? 平面? ,给出下列四个命题: ①若 ? // ? ,则 m ? n ; ③若 m // n ,则 ? ? ? ; 其中正确的命题有 A.③④ B.①③ C.②④ D.①② ) ②若 ? ? ? ,则 m // n ; ④若 m ? n ,则 ? // ? . ( )

3.5 个人排成一排,若 A、B、C 三人左右顺序一定(不一定相邻) ,那么不同排法有(
5 A. A5 3 3 B. A3 ? A3

C. A53
A3

5

3 D. A3

4.某校高三年级举行一次演讲赛共有 10 位同学参赛,其中一班有 3 位,二班有 2 位,其它班有 5 位,若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序,则一班有 3 位同学恰好被排在一起(指演讲序号 相连) ,而二班的 2 位同学没有被排在一起的概率为 A. ( D. )

1 10

B.

1 20

C.

1 40

1 120

5.一颗骰子的六个面上分别标有数字 1、2、3、4、5、6,若以连续掷两次骰子分别得到的 点数 m、n 作为 P 点坐标,则点 P 落在圆 x 2 ? y 2 ? 16 内的概率为 A. 1
9





B. 2
9

C. 1
3

D. 4
9

6.坛子里放有 3 个白球,2 个黑球,从中进行不放回摸球. 表示第二次摸得白球,则 A1 与 A2 是 A.互斥事件 B.独立事件 C.对立事件

A1 表示第一次摸得白球,A2 ( D.不独立事件 )

7.从 6 种小麦品种中选出 4 种,分别种植在不同土质的 4 块土地上进行试验,已知 1 号、2 号小麦品种不能在试验田甲这块地上种植,则不同的种植方法有 A.144 种 8.在( B.180 种 C.240 种 D.300 种 ( ) ( )

x 1 ? 3 )8 的展开式中常数项是 2 x

A.-28

B.-7

C.7

D.28

9.甲、乙两人独立地解同一问题,甲解决这个问题的概率是 P1,乙解决这个问题的概率是 P2,那么其中至少有 1 人解决这个问题的概率是 A.P1+P2 B. P1·P2 C.1-P1·P2 ( )

D.1-(1- P1) (1- P2)

10.袋中有 6 个白球,4 个红球,球的大小相同,则甲从袋中取 1 个是白球,放入袋中,乙 再取 1 个是红球的概率为 A. 2 45 B. 4
15

( C.
8 25



D. 6
25

第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分。将正确答案填在题中横线上
11.乒乓球队的 10 名队员中有 3 名主力队员,派 5 名队员参加比赛,3 名主力队员要排在第一、 三、五位置,其余 7 名队员选 2 名安排在第二,四位置,那么不同的出场安排共有 __________________种(用数字作答) . 12.已知斜三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,侧面 BB1C1C 的面积为 S,侧棱 AA1 与侧面 BB1C1C 的距离 为 d,则斜三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的体积 V=______________. 13.已知一个简单多面体的各个顶点都有三条棱,那么 2F-V=
9



9 14.已知 ? a ? x ? 的展开式中, x 3 的系数为 ,则常数 a 的值为__________________. ? ?
?x ? 2? ?

4

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 76 分.
15. (本题满分 12 分)第 17 届世界杯足球赛小组赛在 4 支球队中进行.赛前,巴西队、士 耳其队、中国队等 8 支球队抽签分组,求中国队与巴西队被分在同一组的概率.

16. (本题满分 12 分)如图,ABCD 为矩形,PA⊥平面 ABCD,M、N 分别是 AB、PC 的中点, (1)求证:MN//平面 PAD; (2)求证:MN⊥AB; (3)若平面 PDC 与平面 ABCD 所成的二面角为 ? , 试确定 ? 的值,使得直线 MN 是异面直线 AB 与 PC 的公垂线.

17. (本题满分 12 分)某单位 6 个员工借助互联网开展工作,每个员工上网的概率都是 0.5 (相互独立) . (1)求至少 3 人同时上网的概率; (2)至少几人同时上网的概率小于 0.3?

18. (本小题满分 12 分)某人有 5 把钥匙,1 把是房门钥匙,但忘记了开房门的是哪一把, 于是,他逐把不重复地试开,问: (1)恰好第三次打开房门锁的概率是多少? (2)三次内打开的概率是多少? (3)如果 5 把内有 2 把房门钥匙,那么三次内打开的概率是多少?

19. (本题满分 12 分)已知 (1 ? 3x) n 的展开式中,末三项的二项式系数的和等于 121,求展开式中 二项式系数的最大的项及系数最大项.

20. (本小题满分 12 分)如图,在正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AB ? 3,AA1 ? 4 ,M 为 AA1 的 中点,P 是 BC 上一点,且由 P 沿棱柱侧面经过棱 CC1 到 M 的最短路线长为 29 ,设这条最 短路线与 CC1 的交点为 N.求: (1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长; (2)PC 和 NC 的长; (3)平面 NMP 与平面 ABC 所成二面角(锐角)的大小 (用反三角函数表示).

高二数学测试题参考答案
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 题号 答案 1 A 2 B 3 C 4 B 5 B 6 D 7 C 8 C 9 D 10 D

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分) 11.252 12. dS
1 2

13. 4

14.4

三、解答题(本大题共 6 题,共 76 分) 15. 分) 解一: (12 记事件 A 为 “中国队与巴西队被分在同一小组” 则事件 A 的对立事件; A为“中 , 国队与巴西队被分在两个小组” . 8 支球队分为两组共有 C84 种方法, 即基本事件总数为 C84 ,
? P( A ) ?
1 3 C2 C6 4 ? 7 C84

1 3 其中中国队与巴西队被分在两个小组有 C2 C6 种可能,

根据对立事件的概率加法公式

? P( A) ? 1 ? P( A ) ? 1 ?

4 3 ? 7 7

解二:设巴西队已被分在某组,中国队此时面临 7 种可能位置,其中与巴西同组的位置有 3 种, 故两队同组的概率为 3 .
7

答:中国队与巴西队被分在同一组的概率为 3 .
7

16.(12 分) 证明: (1)取 PD 中点 E,连接 NE、AE,则四边形 MNEA 是平行四边形,所以 MN//AE,所以 MN//平面 PAD (2)连接 AC、BD 交于 O,连接 OM、ON,因为 ON//PA,所以 ON⊥平面 ABCD,因为 OM⊥ AB,由三垂线定理知,MN⊥AB; (3) ∵PA⊥面 AC, 是 PD 在面 AC 内的射影, AD CD⊥AD ∴CD⊥PD ∴∠PDA 是二面角 P-CD-B 的平面角θ .当θ =45°时, AE⊥PD, AE⊥CD, ∴AE⊥面 PCD ∵MN∥AE ∴MN⊥面 PCD, ∵PC ? 面 PCD, ∴MN⊥PC,又由(2)知 MN⊥AB,∴MN 是 AB 与 PC 的公垂线.

17.(12 分) 解:每个人上网的概率为 0.5,作为对立事件,每个人不上网的概率也为 0.5, 在 6 个人需上网的条件下,r 个人同时上网这个事件(记为 Ar)的概率为:
r r r 1 P(Ar)= C6 ? 0.5r ? (1 ? 0.5)6?r = C6 ? 0.56 = 64 C6 式中 r=0,1,2,?,6

第(1)问的解法一

应用上述记号,至少 3 人同时上网即为事件 A3+A4+A5+A6,因为 A3、

A4 、A5 、A6 为彼此互斥事件,所以可应用概率加法公式,得至少 3 人同时上网的概率为 P=P(A3+A4+A5+A6)= P(A3)+P(A4)+P(A5)+P(A6)
4 1 1 21 = 64 ( C3 ? C6 ? C5 ? C6 )= 64 (20+15+6+1)= 32 6 6 6

解法二 “至少 3 人同时上网”的对立事件是“至多 2 人同时上网” ,即事件 A0+A1+A2,因为 A0,A1,A2 是彼此互斥的事件,所以至少 3 人同时上网的概率为
2 1 1 21 P=1-P(A0+A1+A2)=1-[P(A0)+P(A1)+P(A2)]=1- 64 ( C0 ? C1 ? C6 )=1- 64 (1+6+15)= 32 6 6

第(2)问的解法:记“至少 r 个人同时上网”为事件 Br,则 Br 的概率 P(Br)随 r 的增加而减
1 少,依题意是求满足 P(Br)<0.3 的整数 r 的值,因为 P(B6)=P(A6)= 64 <0.3, 7 1 P(B5)=P(A5+A6)= P(A5)+P(A6)= 64 ( C5 ? C6 )= 64 <0.3 6 6
4 1 1 P(B4)=P(A4+A5+A6)= P(A4)+P(A5)+P(A6)= 64 ( C6 ? C5 ? C6 )= 64 (15+6+1)= 11 >0.3 6 6 32

因为至少 4 人同时上网的概率大于 0.3,所以至少 5 人同时上网的概率小于 0.3.

18.(12 分) 解:5 把钥匙,逐把试开有 A5 种等可能的结果. 5 (1)第三次打开房门的结果有 A4 种,因此恰好第三次打开房门的概率 P(A)= A5 = 1 . 4 5 5
3 (2)三次内打开房门的结果有 3 A4 种,因此所求概率 P(A)= A5 = 5 . 4 5

A4 4

3A4 4

(3)解法一

因 5 把内有 2 把房门钥匙,故三次内打不开的结果有 A3 · A2 种,从而三次内 3 2
A 5 - A3 ? A2 5
3 2

打开的结果有 A5 — A3 · A2 种,所求概率 P(A)= 5 3 2

A

5 5

9 = 10 .

解法二 三次内打开的结果包括:三次内恰有一次打开的结果有 C1 A1 A1 A3 种; 2 3 2 3
2 2 三次内恰有 2 次打开的结果有 A3 A3 种,因此,三次内找开的结果有 C1 A1 A1 A3 + A3 A3 ,所求概率 3 3 2 3 2 3

1 2 C1 A3 A1 A3? A3 A3 2 3 3 2 9 P(A)= = 10 . A5 5

19. (14 分)解:末三项的二项式系数分别为: C n ? 2 , C nn ? 2 , C nn ,由题设得: C nn ? 2 + C nn ?1 + C n =121 n

n

即 C 2n + C 1n + C 0n =121,∴n2+n-240=0

∴n=15 (n=-16) (n=-16 舍去)
7 15

当 n=15 时,二项式系数最大的为中间项第 8、9 项. 分别为 C ∵展开式通项 Tr+1= C
r r-1 C 3 ≥C 3
r
r ?1

37x7 与 C

8 15

38x8

r 15

(3x)r= C

r 15

3r· xr

设 Tr+1 项系数最大,则有

15

15

r r ?1 r+1 C 3 ≥ C 15 3
r 15

解得 11≤r≤12, ∴展开式中系数最大的项为 T12= C

11 15

311x11,T13= C

12 15

312x12

20.(14 分) 解: (1)正三棱柱 ABC—A1B1C1 的侧面展开图是一个长为 9,宽为 4 的矩形,其对角 线的长为 9 2 ? 4 2 ? 97 (2)如图 1,将侧面 BB1C1C 绕棱 CC1 旋转 120°使其与侧面 AA1C1C 在同一平面上,点 P 运动到
A1 B1 M N C1

点 P1 的位置,连结 MP1,则 MP1 就是由点 P 沿棱柱侧面经过棱 CC1 到点 M 的最短路线. 设 PC=x,则 P1C=x 在 Rt?MAP 中,由勾股定理得: ?3 ? x ? 2 ? 2 2 ? 29 1 解得: x ? 2
? NC P1C 2 ? ? MA P1 A 5

? PC ? P1C ? 2

? NC ?

4 5

(3)如图 2,连接 PP ,则 PP 就是平面 NMP 与平面 ABC 的交线. 1 1 作 NH?PP 于 H,又 CC1 ⊥平面 ABC,连结 CH 1 由三垂线定理得: CH ? PP 1 ∴∠NHC 就是平面 NMP 与平面 ABC 所成二面角的平面角(锐角) 在 Rt?PHC 中,? ?PCH ? 1 ?PCP1 ? 60?
2
? CH ? 1 PC ? 1 2
4 在 Rt?NCH 中, tan ?NHC ? NC ? 5 ? 4 CH 1 5
B1 M N A P B 图2 C P1 A1 C1

H

故平面 NMP 与平面 ABC 所成二面角(锐角)的大小为 arctan 4 5


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