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吉林省长白山一高2012-2013学年上学期高二数学必修5第二章数列综合素质能力检测试题


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吉林省长白山一高 2012-2013 上学期高二数学必修 5 第二章 数列综合素质能力检测试题
一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每 小题给出的四个选项中,只有一项是符号题目要求的.) 1. (2010~2011· 河南汤阴县一中高二期中)等比数列{an}中, 7·11 a a a20 =6,a4+a14=5,则a =( ) 10 2 3 2 A.3或2 B.3 3 1 1 C.2 D.3或-2 2.已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,且满足 Sn,Sn+2, Sn+1 成等差数列,则 a3 等于( ) 1 1 A.2 B.-2 1 1 C.4 D.-4 3.(2012· 辽宁理,6)在等差数列{an}中,已知 a4+a8=16,则该 数列前 11 项和 S11=( ) A.58 B.88 C.143 D.176 4.已知-1,a1,a2,8 成等差数列,-1,b1,b2,b3,-4 成等 a1a2 比数列,那么 b 的值为( ) 2 A.-5 B.5 5 5 C.-2 D.2 5.等差数列{an}中,a1=-8,它的前 16 项的平均值是 7,若从 中抽取一项,余下的 15 项的平均值为 7.2,则抽取的是( ) A.第 7 项 B.第 8 项 C.第 15 项 D.第 16 项 6.(2012· 新课标全国理, 5)已知{an}为等比数列, 4+a7=2, 5a6 a a =-8,则 a1+a10=( ) A.7 B.5 C.-5 D.-7 7.(2011· 北京朝阳区期末)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn =2an-2,则 a2 等于( ) A.4 B.2 C.1 D.-2
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8.某工厂去年产值为 a,计划今后 5 年内每年比上年产值增加 10%,则从今年起到第 5 年,这个厂的总产值为( ) 4 5 A.1.1 a B.1.1 a 5 C.11×(1.1 -1)a D.10(1.16-1)a 9.一个等差数列共有 10 项,其中奇数项的和为 26,偶数项的 和为 15,则这个数列的第 6 项是( ) A.3 B.4 C.5 D.6 10. (2010· 江西文, 7)等比数列{an}中, 1|=1, 5=-8a2, 5>a2, |a a a 则 an=( ) A.(-2)n-1 B.-(-2)n-1 C.(-2)n D.-(-2)n 11. 已知数列{an}中,1=3,2=6,n+2=an+1-an, a2009=( a a a 则 ) A.6 B.-6 C.3 D.-3 1 12.等比数列{an}中,a1=512,公比 q=-2,用 Mn 表示它的前 n 项之积,即 Mn=a1·2·3…an,则数列{Mn}中的最大项是( a a ) A.M11 B.M10 C.M9 D.M8 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.将正确答 案填在题中横线上) 13.(2012· 辽宁文,14)已知等比数列{an}为递增数列,若 a1>0, 且 2(an+an+2)=5an+1,则数列{an}的公比 q=________. 14.在等比数列{an}中,前 n 项和 Sn=3n+a,则通项公式为 __________. 15.有三个数成等比数列,其和为 21,若第三个数减去 9,则它 们成等差数列,这三个数分别为__________. 16.等差数列{an}前 n 项和 Sn,若 S10=S20,则 S30=__________. 三、 解答题(本大题共 6 个小题, 74 分, 共 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤) 17.(本题满分 12 分)若{an}是公差 d≠0 的等差数列,通项为 an, {bn}是公比 q≠1 的等比数列,已知 a1=b1=1,且 a2=b2,a6=b3. (1)求 d 和 q. (2)是否存在常数 a,b,使对一切 n∈N*都有 an=logabn+b 成立, 若存在求之,若不存在说明理由. 18.(本题满分 12 分)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=10n-n2(n∈ N*),又 bn=|an|(n∈N*),求{bn}的前 n 项和 Tn.
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[分析] 本题求数列{bn}的前 n 项和,应首先确定数列{bn}的特 性,由题意可得{bn}是由一个首项为正值,而公差为负的一个等差数 列,{an}的各项取绝对值后得到的一个新数列,因此求{bn}的前 n 项 和可转化为求数列{an}的和的问题. 19.(本题满分 12 分)一个等差数列前 12 项的和为 354,前 12 项 中偶数项的和与奇数项的和的比为 32?27 ,求公差 d. 20.(本题满分 12 分)在 4 月份(共 30 天),有一新款服装投放某 专卖店销售,日销售量(单位:件)f(n)关于时间 n(1≤n≤30,n∈N*) 的关系如图所示,其中函数 f(n)图象中的点位于斜率为 5 和-3 的两 条直线上,两直线的交点的横坐标为 m,且第 m 天日销售量最大. (1)求 f(n)的表达式,及前 m 天的销售总数; (2)按规律,当该专卖店销售总数超过 400 件时,社会上流行该 服装, 而日销售量连续下降并低于 30 件时, 该服装的流行会消失. 试 问该服装在社会上流行的天数是否会超过 10 天?并说明理由.

21.(本题满分 12 分)已知数列{an}是等差数列,且 a1=2,a1+ a2+a3=12. (1)求数列{an}的通项公式; (2)令 bn=anxn(x∈R),求数列{bn}的前 n 项和. 22.(本题满分 14 分)已知正项数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 an 和 Sn 满足:4Sn=(an+1)2(n=1,2,3……), (1)求{an}的通项公式; 1 (2)设 bn= ,求{bn}的前 n 项和 Tn; an·n+1 a m (3)在(2)的条件下,对任意 n∈N*,Tn>23都成立,求整数 m 的最 大值.

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吉林省长白山一高 2012-2013 上学期高二数学必修 5 第二章 数列综合素质能力检测试题答案
1[答案] A [解析] 在等比数列{an}中,a7·11=a4·14=6,又 a4+a14=5,∴ a a ? ? ?a4=2 ?a4=3 ? 或? ,又 a14=a4·10, q ?a14=3 ?a14=2 ? ? 2 3 a20 2 3 ∴q10=3或2,∴a =q10=3或2. 10 2[答案] C [解析] ∵Sn、Sn+2、Sn+1 成等差数列,∴Sn+2-Sn=Sn+1-Sn+2. a n +2 1 ∴an+2+an+1=-an+2,∴ =-2. a n +1 1 又 a1=1,∴a3=4. 3[答案] B [解析] 本题主要考查等差数列的性质及求和公式. 11?a1+a11? 11×16 由条件知 a4+a8=a1+a11=16,S11= = 2 =88. 2 [点评] 注意等差数列的性质应用:若 m,n,p,q∈N*,且 m +n=p+q,则 am+an=ap+aq. 4[答案] A [解析] ∵-1,a1,a2,8 成等差数列,设公差 d, ∴8-(-1)=3d,∴d=3, ∴a1=2,a2=5, ∵-1,b1,b2,b3,-4 成等比数列,b2=4, 2 a1a2 又 b2=-1·2<0,∴b2=-2,∴ b =-5. q 2 5[答案] A ?a1+a16?×16 [解析] S16= =7×16,7×16-x=7.2×15,∴x=4, 2 1 又 a1=-8,∴a16=22,d=15(a16-a1)=2,∴an=-8+(n-1)· 2=4, ∴n=7. 6[答案] D [解析] 本题考查了等比数列的性质及分类讨论思想. a4+a7=2,a5a6=a4a7=-8?a4=4,a7=-2 或 a4=-2,a7=4, a4=4,a7=-2?a1=-8,a10=1?a1+a10=-7, a4=-2,a7=4?a10=-8,a1=1?a1+a10=-7.
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7[答案] A [解析] S1=2a1-2=a1,∴a1=2,S2=2a2-2=a1+a2,∴a2= 4. 8[答案] C [解析] 设从去年开始,每年产值构成数列为{an},则 a1=a, an=a(1+10%)n-1(1≤n≤6),从今年起到第 5 年是求该数列 a2 到 a?1.16-1? a6 的和,应为 S6-a1= -a=11×(1.15-1)a. 1.1-1 9[答案] A 10?a5+a6? [解析] 由题意,S 偶-S 奇=5d,∴d=-2.2,S10= = 2 5(a5+a6)=5(2a6+2.2)=41,∴a6=3. 10[答案] A [解析] ∵|a1|=1,∴a1=1 或-1,∵a5=-8a2=a2q3,a2≠0, ∴q3=-8,∴q=-2, 又 a5>a2,∴a2q3>a2,∴a2<0, ∵a2=a1q<0,∴a1>0,∴a1=1,∴an=(-2)n-1. 11[答案] B [解析] 由条件 an+2=an+1-an 可得: n+6=an+5-an+4=(an+4-an a +3)-an+4=-an+3=-(an+2-an+1)=-[(an+1-an)-an+1]=an,于是可 知数列{an}的周期为 6,∴a2009=a5,又 a1=3,a2=6,∴a3=a2-a1 =3,a4=a3-a2=-3,a5=a4-a3=-6. 12[答案] C 1 [解析] 由题设 an=512· 2)n-1.∴Mn=a1·2·3…an=[512×(- (- a a 10 1 1 1 ) ]×[512×(-2)1]×[512×(-2)2]×…×[512×(-2)n-1] 2 1 =512n×(-2)1+2+3+…+(n-1)

[点评] 此题若直接用列举法可很简明求解: a1=512,a2=-256,a3=128,a4=-64,a5=32,a6=-16,
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a7=8,a8=-4,a9=2,a10=-1, 当 n≥11 时,|an|<1,又 M9>0,M10<0,∴M9 最大. 13[答案] 2 [解析] 本题考查了等比数列的通项公式. ∵{an}是递增的等比数列,且 a1>0, ∴q>1, 又∵2(an+an+2)=5an+1, ∴2an+2anq2=5anq, ∵an≠0, ∴2q2-5q+2=0, 1 ∴q=2 或 q=2(舍去), ∴公比 q 为 2. [点评] 一定要注意数列{an}是递增数列且 a1>0,则公比 q 大于 1. 14[答案] an=2×3n-1 [解析] an=Sn-Sn-1=(3n+a)-(3n-1+a)=2×3n-1,∴a1=2.又 a1=S1=3+a,∴3+a=2,∴a=-1. 15[答案] 16,4,1 [解析] 设三个数为 a,b,c,由题意可知

?a+b+c=21 ? ?2b=a+?c-9? ?b2=ac ?



解之得:b=4,a=1,c=16 或 b=4,a=16,c=1. 16[答案] 0 10×9 20×19 [解析] ∵S10=S20,∴10a1+ 2 d=20a1+ 2 d,∴2a1= -29d. 10×29 ∴S30=30a1+ 2 d=15×(-29d)+15×29d=0. [点评] 既可以运用一般方法求解,也可以充分利用等比数列的 性质求解, 设数列{an}第一个 10 项的和为 b1, 第二个 10 项的和为 b2, 第三个 10 项的和为 b3,则∵S10=S20,∴b2=0,由条件知 b1,b2,b3 成等差,∴2b2=b1+b3,∴b3=-b1,∴S30=b1+b2+b3=0. 17[解析] (1)a2=1+d=b2=q,a6=1+5d=b3=q2,∴q=4,d =3. (2)假设存在常数 a、b 满足等式,由 an=1+(n-1)d=3n-2,bn n-1 =q =4n-1 及 an=logabn+b 得(3-loga4)n+loga4-b-2=0, 第 6 页 共 8 页 金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com

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?3-loga4=0 ? 3 ∵n∈N ,∴? ,∴a= 4,b=1,故存在. ? ?loga4-b-2=0

18[解析] 由 Sn=10n-n2 可得, an=11-2n,故 bn=|11-2n|. 显然 n≤5 时,bn=an=11-2n,Tn=10n-n2. n≥6 时,bn=-an=2n-11, Tn=(a1+a2+…+a5)-(a6+a7+…+an) =2S5-Sn=50-10n+n2 2 ? ?n≤5?, ?10n-n 故 Tn=? 2 ? ?n≥6?. ?50-10n+n 19[解析] 设首项为 a1,公差为 d,则由题意:

?S ? ?S ? ?S



+S偶=354,

27 =32. 偶


?S偶=192, ? ∴? ? ?S奇=162.

又 S 偶-S 奇=6d,∴d=5. 57-2 20[解析] (1)由题意 =5 解得:m=12. m-1
?5n-3 ?1≤n≤12,n∈N*?, ? f(n)=? * ? ?93-3n ?12<n≤30,n∈N ?.

12?2+57? 前 m 天的销售总数 Sm=S12= =354. 2 (2)∵S12=354<400,∴前 12 天不流行. ∵S13=354+f(13)=408, 且 f(21)=30,f(22)=27. ∴从第 13 天到第 21 天,服装销售总数超过 400 件,日销售量不 低于 30 件, ∴该服装在社会上流行不会超过 10 天. 21[解析] (1)设数列{an}的公差为 d,则 ? ?a1+a2+a3=3a1+3d=12, ? 解得:d=2. ?a1=2. ? ∴an=a1+(n-1)d=2n. (2)令 Sn=b1+b2+…+bn,其中 bn=2nxn, 则 Sn=2x+4x2+…+(2n-2)xn-1+2nxn.① 当 x=0 时,Sn=0. 当 x=1 时,Sn=n(n+1).
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当 x≠0 且 x≠1 时,xSn=2x2+4x3+…+(2n-2)xn+2nxn+1② ①-②得:(1-x)Sn=2(x+x2+…+xn)-2nxn+1. 2x?1-xn? 2nxn+1 ∴Sn= - . ?1-x?2 1-x 22[解析] (1)∵4Sn=(an+1)2, ① ∴4Sn-1=(an-1+1)2(n≥2), ② ①-②得 4(Sn-Sn-1)=(an+1)2-(an-1+1)2. ∴4an=(an+1)2-(an-1+1)2. 化简得(an+an-1)· n-an-1-2)=0. (a ∵an>0,∴an-an-1=2(n≥2). ∴{an}是以 1 为首项,2 为公差的等差数列. ∴an=1+(n-1)· 2=2n-1. 1 1 1 1 1 (2)bn= = =2( - ). an·n+1 ?2n-1??2n+1? a 2n-1 2n+1 1 1 1 1 1 1 ?1- ?+? - ?+…+? - ? ∴Tn=2 3 3 4 2n-1 2n+1 1 1 n =2(1- )= . 2n+1 2n+1 1 1 (3)由(2)知 Tn=2(1- ), 2n+1 1 1 1 1 Tn+1-Tn=2(1- )-2(1- ) 2n+3 2n+1 1 1 1 =2( - )>0. 2n+1 2n+3 ∴数列{Tn}是递增数列. 1 ∴[Tn]min=T1=3. m 1 23 ∴23<3,∴m< 3 . ∴整数 m 的最大值是 7.





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