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吉林省延边二中2010~2011学年度高三数学第二次阶段性测试【会员独享】


延边二中 2010-2011 学年度高三第二次阶段性测试数 学 试 卷
一、选择题(本大题共 12 小题, ,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,选出 一个符合题目要求的选项) 1.设全集 U ? {x | x ? 0}, 集合A ? {x | x ? 1}, 则CU A 等于 A. {x | 0 ? x ? 1} B. {x | x ? 1} C. {x | x ? 1} ( )

D. {x | 0 ? x ? 1}

2.函数 y ? A.[1,2]

log 2 (2 x ? 1) 的定义域是
3

( C. ( ,1]



B. [1, 2)

1 2

D. [ ,1]

1 2

3.若函数 f ( x) ? a? x (a ? 0, a ? 1) 是定义域为 R 的增函数,则函数 f ( x) ? loga ( x ? 1) 的图 像大致是 ( )

4.下列命题中的假命题是 A. ?x ? 0且x ? 1, 都有 x ?

(

)

1 ?2 x

B. ?a ? R, 直线ax ? y ? a恒过定点 (1,0) C. ?m ? R, 使f ( x) ? (m ? 1) ? x m ?4m?3是幂函数 , 且在(0,??) 上单调递减
2

D. ?? ? R,函数y ? sin(2 x ? ? ) 都不是偶函数

5.若函数 f ( x) ? x ? 2 x ? cx ? c在x ? 2 处有极值,则函数 f ( x)的图象x ? 1 处的切线的
2

?

斜率为( A.1

) B.—3 C.—5 D.—12





??? ? ??? ? 6.已知 a 、 b 是不共线的向量, AB ? ?a ? b , AC ? a ? ?b(?, ? ? R) ,则 A、B、C 三点共线 的充要条件是( ) (A) ? ? ? ? 1 (B) ? ? ? ? 1 (C) ?? ? ?1 (D) ?? ? 1 b a ? b 7.对任意非零实数 a 、 ,规定 的运算原理如图 1 ?1 1 ?( 所示,则 ( ) 3 ? log 0.5 ) 27 16

1 2 5 (B) 3
(A) (C)1 (D) ?1 8.要得到函数 y ? 2 cos( x ? ( )

?
6

) sin(

?

? x) ? 1 的图象,只需将函数 y ? cos(2 x ? ) 的图象 3 6

?

? ? 个单位 B.向右平移 个单位 8 2 ? ? C.向右平移 个单位 D.向左平移 个单位 3 4 1 x 9.函数 f ( x) ? ( ) ? sin x在区间[0,2? ]上的零点个数为 ( 2
A.向左平移



A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 10.已知一个几何体是由上下两部分构成的组合体,其三视图如下,若图中圆的半径为 1 ,等 腰三角形的腰长为 5 ,则该几何体的体积是 A. ( )

4? 3

B. 2?

C.

8? 3

D.

10? 3

?x ? y ? 2 ? 0 ? 11.已知点 ( x, y ) 满足约束条件 ?3x ? y ? 2 ? 0 ,若函数 f ( x) ? log a ( x 2 ? 1) ( a ? 0 且 a ? 1 )图象 ?x ? 2 ?
通过的定点是 ( m, n ) ,则 A.1

y?n 的最大值为( ) x?m 3 B. C.2 2

D.4

12 . 已 知 f ( x) 、 g ( x) 都 是 定 义 在 R 上 的 函 数 , g ( x) ? 0 , f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) , , f ( x) ? a x g ( x)(a>0 且 a ≠1)

? f ( n) ? f (1) f (?1) 5 ? ? ,在有穷数列 ? ? ( n =1,2,…,10)中, g (1) g (?1) 2 ? g (n) ?
63 的概率是 64
( )

任意取前 k 项相加,则前 k 项和大于

A.

1 5
?
6

B.

2 5
?

C.

3 5

D.

4 5

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.已知 tan(? ?

) ? 2 , tan(

0 2 14. (理科)已知△ABC 的内角 A,B 0,C 的对边分别为 a,b,c,且 cos C ? , AC ? CB ? ?2 9 且 a ? b ? 26, 则 c 等于 。 0 5 0 x ?1 ? 2 e , x ? 2, ? 7 (文科)设 f ( x) ? ? 2

2 ?2 ? ) ? ,则 tan(? ? ? ) ? 6 5



3

? ?log 3 ( x ? 1), x ? 2,

则f ( f (2)) 的值为



15 . 已 知 函 数 f ( x) ? sin x ?

x 的导数为f ?( x), 且f ?( x) 的 最 大 值 为 b , 若 2


g ( x) ?

2 lx ? n

2

上单调递减,则实数 k 的取值范围是 b2x ?在 k x ? [? 1, )

16.关于函数 f ( x) ?

2x ( x ? R) 的如下结论:① f ( x) 是偶函数;②函数 f ( x) 的值域为 1? | x |

(?2,2) ; ③若 x1 ≠ x2 , 则一定有 f ( x1 ) ≠ f ( x2 ) ④函数 | f ( x ? 1) | 的图象关于直线 x ? 1
对称;其中正确结论的序号有_________。 (请将你认为正确的结论的序号都填上) 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ? 2a cos x ? b sin x cos x ?
2

3 3 ? 1 , 且f (0) ? , f( )? . 2 2 4 2

(1)求 f ( x ) 的最小正周期; (2)求 f ( x ) 的单调递增区间。 18. (本小题满分 12 分) 如图, 在三棱锥 P ? ABC 中,PA ? AC ,PA ? AB ,PA ? AB ,?ABC ? 点 D , E 分别在棱 PB, PC 上,且 DE // BC , (Ⅰ)求证: BC ? 平面 PAC (Ⅱ)当 D 为 PB 的中点时,求 AD 与平面 PAC 所成的角的正弦值; (Ⅲ)是否存在点 E 使得二面角 A ? DE ? P 为直二面角?并说明理由.

?
3

,?BCA ?

?
2



19. (本题满分 12 分) 等差数列 {an } 的各项均为正数, a1 ? 3 ,前 n 项和为 Sn , {bn } 为等比数列, b1 ? 2 , 且 b2 S2 ? 32, b3 S3 ? 120 . (1)求 an 与 bn ; (2)求数列 ?anbn ? 的前 n 项和 Tn 。

20. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ? x3 ? ax2 ? bx ? c在(??,0) 上是减函数,在(0,1)上是增函数, 函数 f ( x ) 在 R 上有三个零点,且 1 是其中一个零点。 (1)求 b 的值; (2)求 f (2) 的取值范围。

21. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? ka ? a (a ? 0且a ? 1) 是定义域为 R 上的奇函数。
x ?x

(1)若 f (1) ? 0, 试求不等式f ( x ? 2 x) ? f ( x ? 4) ? 0 的解集;
2

(2)若 f (1) ?

3 , 且g ( x) ? a 2 x ? a ?2 x ? 2mf ( x)在[1, ??) 上的最小值为—2,求 m 的值。 2

22. (本题满分 12 分)

x2 y 2 3 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,右焦点 F 也是抛物线 y 2 ? 4 x a b 3
的焦点。 (1)求椭圆方程; (2)若直线 l 过点 F 且与 C 相交于 A 、 B 两点。 ①若 AF ? 2 FB ,求直线 l 的方程;

??? ?

??? ?

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岚呷夻

②若动点 P 满足 OP ? OA ? OB ,问动点 P 的轨迹能否与椭圆 C 存在公共点?若存 在,求出点 P 的坐标;若不存在,说明理由。

??? ?

??? ? ??? ?

第二次阶段性测试参考答案
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分. 1—6DCDDCD 7—12CDBACB 二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.12 14. (理科)4; (文科)2 15.K≥0; 16.②③

三、解答题: 17.解: (1)由 , ………………3 分

? f ( x) ? 3 cos 2 x ? sin x cos x ?
? sin(2 x ?

3 3 1 ? cos 2 x ? sin 2 x 2 2 2

?
3

).

………………6 分 ………………7 分

故最小正周期 T ? ? . (2)由 2k? ? 得 k? ?

?
2

? 2x ?

?
3

? 2k ? ?

?
2

(k ? Z),

5? ? ? x ? k? ? (k ? Z). ………………9 分 12 12 5? ? , k? ? ](k ? Z). ………………10 分 故 f ( x ) 的单调递增区间为 [k? ? 12 12 18.解: (法 1) (Ⅰ)∵ PA ? AC , PA ? AB , AC ? AB ? A ,∴PA⊥底面 ABC,∴PA⊥
BC.又 ?BCA ? 90 ,∴AC⊥BC.∴BC⊥平面 PAC.(4 分) (Ⅱ)∵D 为 PB 的中点,DE//BC,∴ DE ?
?

1 BC , 2

又由(Ⅰ)知,BC⊥平面 PAC,∴DE⊥平面 PAC,垂足为点 E. ∴∠DAE 是 AD 与平面 PAC 所成的角,∵PA⊥底面 ABC, ∴PA⊥AB,又 PA=AB,∴△ABP 为等腰直角三角形, ∴ AD ?

1 1 AB ,∴在 Rt△ABC 中, ?ABC ? 60? ,∴ BC ? AB . 2 2

∴在 Rt△ADE 中, sin ?DAE ?

DE BC 2 , ? ? AD 2 AD 4 2 .(8 分) 4

∴ AD 与平面 PAC 所成的角的大小 arcsin

(Ⅲ)∵AE//BC,又由(Ⅰ)知,BC⊥平面 PAC,∴DE⊥平面 PAC, 又∵AE ? 平面 PAC,PE ? 平面 PAC,∴DE⊥AE,DE⊥PE, ∴∠AEP 为二面角 A ? DE ? P 的平面角,∵PA⊥底面 ABC, ∴PA⊥AC,∴ ?PAC ? 90 .∴在棱 PC 上存在一点 E,使得 AE⊥PC, 这时 ?AEP ? 90 ,故存在点 E 使得二面角 A ? DE ? P 是直二面角.(12 分) (法 2)如图,以 A 为原煤点建立空间直角坐标系 A ? xyz ,设 PA ? a , 由已知可得 P(0,0, a) , A(0, 0, 0) , B(?
? ?

1 3 3 a, a, 0) , C (0, a, 0) . 2 2 2

(Ⅰ)∵ AP ? (0,0, a) , BC ? ( a, 0, 0) ,∴ AP ? BC ? 0 , ∴BC⊥AP.又∵ ?BCA ? 90 ,∴BC⊥AC,∴BC⊥平面 PAC.(4 分) (Ⅱ)∵D 为 PB 的中点,DE//BC,∴E 为 PC 的中点, ∴ D( ?
?

??? ?

??? ?

1 2

??? ? ??? ?

1 3 1 3 1 a, a, a) , E (0, a, a) ,∴又由(Ⅰ)知,BC⊥平面 PAC, 4 4 2 4 2

∴DE⊥平面 PAC,垂足为点 E.∴∠DAE 是 AD 与平面 PAC 所成的角,

? ? ? 1 3 1 ? ??? 3 1 ? a , a , a , AE ? 0, ? ? ? 4 ? 4 a, 2 a ? ?, 4 2 ? ? ? ? ? ???? ??? ? AD ? AE 14 ∴ cos ?DAE ? ???? ??? , ? ? 4 AD ? AE
∵ AD ? ? ?

????

∴ AD 与平面 PAC 所成的角的大小 arccos

14 。 (8 分) 4

(Ⅲ)∵AE//BC,又由(Ⅰ)知,BC⊥平面 PAC,∴DE⊥平面 PAC, 又∵AE ? 平面 PAC,PE ? 平面 PAC,∴DE⊥AE,DE⊥PE, ∴∠AEP 为二面角 A ? DE ? P 的平面角,∵PA⊥底面 ABC, ∴PA⊥AC,∴ ?PAC ? 90 .∴在棱 PC 上存在一点 E, 使得 AE⊥PC,这时 ?AEP ? 90 , 故存在点 E 使得二面角 A ? DE ? P 是直二面角.(12 分)
? ?

19. 【解析】 (1)设 {an } 的公差为 d , {bn } 的公比为 q ,则 d 为正整数,

an ? 3 ? (n ?1)d , bn ? 2qn?1
? S3b3 ? (9 ? 3d )2q 2 ? 120 ?(9 ? 3d )q 2 ? 60 依题意有 ? ,即 ? , (3 分) ? S 2b2 ? (6 ? d )2q ? 32 ? (6 ? d )q ? 16

6 ? d ?? ? d ? 2 ? ? 5 解得 ? (舍去) , , 或者 ? ?q ? 8 ? q ? 10 ? 3 ?
故 an ? 3 ? 2(n ?1) ? 2n ? 1, bn ? 2 。 (6 分)
n

(2) anbn ? (2n ? 1) ? 2 。
n

Tn ? 3 ? 2 ? 5 ? 22 ? ?? (2n ?1) ? 2n?1 ? (2n ? 1) ? 2n ,
(8 分) 2Tn ? 3 ? 22 ? 5 ? 23 ? ?? (2n ?1) ? 2n ? (2n ?1) ? 2n?1 , 两式相减得 ?Tn ? 3 ? 2 ? 2 ? 22 ? 2 ? 23 ? ?? 2 ? 2n ? (2n ? 1)2n?1

? 2 ? 22 ? 23 ? ?? 2n?1 ? (2n ?1)2n?1 ? 2n?2 ? 2 ? (2n ?1)2n?1 ? (1 ? 2n)2n?1 ? 2 ,
所以 Tn ? (2n ?1) ? 2n?1 ? 2 。 (12 分)

21.解: (1)? f ( x) 是定义域为 R 上的奇函数,

? f (0) ? 0,? k ? 1 ? 0,? k ? 1
? f (1) ? 0,? a ?

(1 分)

1 ? 0, 又a ? 0且a ? 1,? a ? 1. ………2 分 a
………3 分

易知 f ( x ) 在 R 上单调递增
2

原不等式化为: f ( x ? 2 x) ? f (4 ? x)

? x2 ? 2 x ? 4 ? x ,即 x2 ? 3x ? 4 ? 0

? x ? 1或x ? ?4,?不等式的解集为 {x | x ? 1或x ? ?4} …………6 分
(2)? f (1) ?
2

3 1 3 ,? a ? ? 2 a 2

即 2a ? 3a ? 2 ? 0,? a ? 2或a ? ?

1 (舍去)………7 分 2

? g ( x) ? 22 x ? 2?2 x ? 2m(2x ? 2? x ) ? (2x ? 2? x )2 ? 2m(2x ? 2? x ) ? 2. ………8 分
令 t ? f ( x) ? 2x ? 2? x

? x ? 1,? t ? f (1) ?
当m ?

3 ,? g (t ) ? t 2 ? 2mt ? 2 ? (t ? m) 2 ? 2 ? m 2 …………9 分 2

3 时,当 t ? m 时, g (t )min ? 2 ? m2 ? ?2,? m ? 2 2 3 3 17 ? 3m ? ?2 , 当 m ? 时,当 t ? 时, g (t ) min ? 2 4 2 25 3 ? ,舍去…………11 分 解得 m ? 12 2 综上可知 m ? 2. …………12 分
22. 【解析】 (1)根据 F (1, 0) ,即 c ? 1 ,据

c 3 得 a ? 3 ,故 b ? 2 ,所以所求的椭圆 ? a 3

方程是

x2 y 2 ? ? 1。 (2 分) 3 2
??? ? ??? ?

(2)①当直线 l 的斜率为 0 时,检验知 AF ? 2 FB 。设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 )., 根据 AF ? 2 FB 得 (1 ? x1 , ? y1 ) ? 2( x2 ?1, y2 ) 得 y1 ? ?2 y2 。 设直线 l : x ? my ? 1,代入椭圆方程得 (2m ? 3) y ? 4my ? 4 ? 0 ,
2 2

??? ?

??? ?

故 y1 ? y2 ? ?

4m 4 8m 4m , y1 y2 ? ? y2 ? ,得 y1 ? ? , 2 2 2 2m ? 3 2m ? 3 2m ? 3 2m 2 ? 3 4

8m2 8m ?? 4m ? 4 ? ? 1, 代入 y1 y2 ? ? 得 ? ,即 ?? 2 ??? 2 2 2m 2 ? 3 ? 2m 2 ? 3 2m ? 3 ? 2m ? 3 ?? 2m ? 3 ?
解得 m ? ?

2 2 y ? 1 。 (7 分) ,故直线 l 的方程是 x ? ? 2 2

②问题等价于是不是在椭圆上存在点 P 使得 OP ? OA ? OB 成立。 当直线 l 是斜率为 0 时,可以验证不存在这样的点,

??? ?

??? ? ??? ?

故设直线方程为 l : x ? my ? 1。 (8 分) 用①的设法,点 P 点的坐标为 ,若点 P 在椭圆 C 上, (x1 ? x2 , y1 ? y2)



( x1 ? x2 )2 ( y1 ? y2 )2 x 2 ? 2 x1 x2 ? x2 2 y12 ? 2 y1 y2 ? y2 2 ? ? 1 ,即 1 ? ? 1, 3 2 3 2
2x x x12 y12 x2 y2 ? ? 1, 2 ? 2 ? 1 ,上式即 1 2 ? y1 y2 ? 1 ? 0 , 3 3 2 3 2

又点 A, B 在椭圆上,故

即 2 x1 x2 ? 3 y1 y2 ? 3 ? 0 ,


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