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2017年高考数学文二轮复习课件:考前冲刺攻略 第3步 应试技能专训 一 客观题专练3-3-1


第三编 考前冲刺攻略
第三步 应试技能专训

一、 客观题专练

(一) 一、选择题
? ? ?x-1 ? ? >0? , B = {x ∈ 1. 设 U = R , 集 合 A = ?x∈R? ? ? ?x-2 ? ?

R|0<x<2},则(?UA)∩B=( A.(1,2] C.(1,2)
解析

)

B.[1,2) D.[1,2]
依 题 意 得 ? UA = {x|1≤x≤2} , ( ? UA)∩B =

{x|1≤x<2}=[1,2),选 B.

2 2.设 z=1+i(i 是虚数单位),则 z - z =( A.i C.1-i
解析

)

B.2-i D.0
2?1-i? 2 2 因为 z - z = -1+i= -1+i =1 1+i ?1+i??1-i?

-i-1+i=0,故选 D.

3.[2016· 沈阳监测]下列函数中,在其定义域内是增函数 而且又是奇函数的是( A.y=2x C.y=2x-2-x ) B.y=2|x| D.y=2x+2-x

解析 A 虽为增函数却是非奇非偶函数,B、D 是偶函 数,对于选项 C,由奇偶函数的定义可知是奇函数,由复 合函数单调性可知在其定义域内是增函数(或 y′=2xln 2+ 2 ln 2>0),故选 C.
-x

4.已知数列{an}是公差为 3 的等差数列,且 a1,a2, a5 成等比数列,则 a10 等于( A.14 57 C. 2
解析

)

53 B. 2 D.32
2 由题 意可得 a 2 = a · a , 即 ( a + 3) = a1(a1 + 2 1 5 1

3 3 57 4×3),解之得 a1= ,故 a10= +(10-1)×3= ,故选 2 2 2 C.

?x+y-1≤0, ? 5.已知变量 x,y 满足约束条件?3x-y+1≥0, ? ?x-y-1≤0,

则 z=

2x+y 的最大值为( A.1 C.3

) B.2 D.4

解析 画出可行域得知, 当直线 y=z-2x 过点(1,0)时, z 取得最大值 2.

6.已知函数 f(x)的图象如图所示, 则 f(x)的解析式可能是 ( )

A.f(x)=e1-x2 C.f(x)=ex2-1

B.f(x)=ex2-1 D.f(x)=ln (x2-1)

解析

A 中,令 f(x)=eu,u=1-x2,易知当 x<0 时,u

为增函数,当 x>0 时,u 为减函数,所以当 x<0 时,f(x)为 增函数,当 x>0 时,f(x)为减函数,故 A 可能是;B、C 中 同理可知,当 x<0 时,f(x)为减函数,当 x>0 时,f(x)为增函 数,故 B、C 不是;D 中,当 x=0 时,无意义,故 D 不是, 选 A.

7.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)的图象如图所示,则该函 数的解析式可能是( ) π? 3 ? ?3 A.f(x)=4sin?2x+6? ? ? ? 1? 4 ? ?4 B.f(x)= sin?5x+5? ? 5 ? ?
? 5 π 4 ? ? x + C.f(x)= sin? 6? 5 ? ?6 ? ? 2 1 4 ? ? x - D.f(x)= sin? 5? 5 ? ?3 ? 解析 由图可以判断 |A|<1 , T>2π ,则 |ω|<1 , f(0)>0 ,

f(π)>0,f(2π)<0,只有选项 B 满足上述条件.

8.已知一个算法的程序框图如图所示,当输出的结果为 0 时,输入的 x 值为( )

A.-2 C.1 或-3

B.-2 或-1 1 D.-2 或 3
?1? ?x y=? ? ? -4=0 ?2?

解析 当 x≤0 时,由

得 x=-2;

1 当 x>0 时,由 y=log3x+1=0 得 x= . 3

9.高为 4 的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体, 它的直观图和三视图中的侧视图、俯视图如图所示,则该几 何体的体积是原直三棱柱的体积的( 3 A.4 1 C. 2 1 B.4 3 D. 8 )

解析

由侧视图、俯视图知该几何体是高为 2、底面积

1 为 ×2×(2+4)=6 的四棱锥,其体积为 4.易知直三棱柱的 2 4 1 体积为 8,则该几何体的体积是原直三棱柱的体积的8=2, 故选 C.

x2 y2 10.[2016· 贵阳监测]已知双曲线a2-b2=1(a>0, b>0)与函 数 y= x的图象交于点 P,若函数 y= x的图象在点 P 处的 切线过双曲线左焦点 F(-2,0),则双曲线的离心率是( 5+1 A. 2 3+1 C. 2 B. 2 3 D.2 )

解析 1

设 P(x0, x0),因为函数 y= x的导数为 y′=

1 , 所以切线的斜率为 .又切线过双曲线的左焦点 F(- 2 x 2 x0 1 x0 2,0),所以 = ,解得 x0=2,所以 P(2, 2).因为 x + 2 2 x0 0 4 2 点 P 在双曲线上, 所以 2- 2=1 ①.又 c2=22=a2+b2 a b ②,

c 2 联立①②解得 a= 2或 a=2 2(舍),所以 e= = = 2, a 2 故选 B.

11.[2015· 山西四校联考]在正三棱锥 S-ABC 中,M 是 SC 的中点,且 AM⊥SB,底面边长 AB=2 2,则正三棱锥 S -ABC 的外接球的表面积为( A.6π B.12π )

C.32π D.36π 解析 如图,取 CB 的中点 N,连接 MN,AN,则 MN
∥SB.由于 AM⊥SB,所以 AM⊥MN.由正三棱锥的性质易知 SB⊥AC,结合 AM⊥SB 知 SB⊥平面 SAC,所以 SB⊥SA, SB⊥SC.又正三棱锥的三个侧面是全等的三角形,所以 SA ⊥SC,所以正三棱锥 S-ABC 为正方体的一个角,所以正

三棱锥 S-ABC 的外接球即为正方体的外接球.由 AB= 2 2,得 SA=SB=SC=2,所以正方体的体对角线为 2 3, 所以所求外接球的半径 R= 3,其表面积为 4πR2=12π,故 选 B.

12.[2016· 重庆质检]设 f′(x)是函数 f(x)的导函数,且
?1? ? f′(x)>2f(x)(x∈R),f? ? ?=e(e ?2?

为自然对数的底数),则不等式

f(ln x)<x2 的解集为(
? ? e ? 0 , A.? ? 2? ? ? ?1 e? ? C.?e ,2? ? ? ?

) B.(0, e)
?e D.? ? , ?2 ? e? ? ?

解析

f ?x ? 依题意,记 g(x)= e2x ,则有

f′?x?e2x-f?x?e2x×2 f′?x?-2f?x? g′(x) = = >0 ,因此函 e 4x e 2x 数 g(x)在 R 上是增函数,且
?1? ? g? ? ?= ?2? ?1? ? f? ? ? ?2? 2 = 1. 不等式 f (ln x )< x , e

?1? f?ln x? f?ln x? f?ln x? 1 ? ? 即 x2 <1, 又 g(ln x)= e2ln x = x2 <1=g?2?, 所以 ln x<2= ? ?

ln

e,0<x< e.因此,不等式 f(ln x)<x2 的解集是(0, e),

选 B.

二、填空题
π b 的夹角是________ . 3

13.若向量 a,b 满足:|a|=1,|b|=2,(a-b)⊥a,则 a,

解析

依题意得(a-b)· a=0, 即 a2-a· b=0,1-2cos 〈a,

1 b〉=0,cos〈a,b〉= ;又〈a,b〉∈[0,π],因此〈a, 2 π π b〉= ,即向量 a,b 的夹角为 . 3 3

14.若不等式 x2+y2≤2 所表示的平面区域为 M,不等
?x-y≥0 ? 式组?x+y≥0 ? ?y≥2x-6

表示的平面区域为 N,现随机向区域 N 内

π 24 抛一粒豆子,则豆子落在区域 M 内的概率为________ .

解析

作出不等式组与不等式表示的可行域如图所

1 示,平面区域 N 的面积为2×3×(6+2)=12,区域 M 在区 π 2 1 π π 2 域 N 内的面积为 π( 2) = ,故所求概率 P= = . 4 2 12 24

15.在锐角△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a, b,c,bcosC+ccosB= 3R(R 为△ABC 外接圆半径)且 a=2, 3 b+c=4,则△ABC 的面积为________ .
解析 因为 bcosC+ccosB= 3R, 得 2sinBcosC+2sinCcosB= 3, 3 3 sin(B+C)= 2 ,即 sinA= 2 . 由余弦定理得:a2=b2+c2-2bccosA,

即 4=b2+c2-bc,∴4=(b+c)2-3bc, ∵b+c=4,∴bc=4, 1 ∴S△ABC= bcsinA= 3. 2

16.存在实数 φ,使得圆面 x2+y2≤4 恰好覆盖函数 y
?π ? ? =sin? k x+φ? 则正数 ?图象的最高或最低点共三个, ? ?? ?

k 的取值范

3 ? , 3 ? 围是_________________ . 2 ?
? ? ?

解析

当函数

?π ? ? y=sin?k x+φ? ?的图象取到最高或最低点 ? ?

π π k k 时,k x+φ=2+nπ(n∈Z)?x=2+kn-πφ(n∈Z),由圆面 x2 +y2≤4 覆盖最高或最低点,可知- 3≤x≤ 3,再令- 3 - 3 φ 1 k k 3 φ 1 ≤ +kn- φ≤ 3,得 + - ≤n≤ + - ,分析题 2 π k π 2 k π 2

- 3 φ 1 3 φ 1 意可知存在实数 φ, 使得不等式 + - ≤n≤ + - k π 2 k π 2 的整数解有且只有 3 个, 3 φ 1 ?- 3 φ 1? 3 ? ? ∴2≤ k + π -2- <4? 2 <k≤ 3,即实 + - π 2? ? k 数k
? 的取值范围是? ? ? ? 3 ? , 3?. 2 ?

(二) 一、选择题 2 1.在复平面内,复数 +2i2 对应的点位于( 1-i A.第一象限 C.第三象限 B.第二象限 D.第四象限 )

2 解析 +2i2=-1+i,故选 B. 1-i

2.已知集合 A={x|-2≤x≤3},B={x|x2+2x-8>0}, 则 A∪B=( B.(2,3] C.(-∞,3]∪(4,+∞) D.[-2,2)
解析 因为 B={x|x>2 或 x<-4},所以 A∪B={x|x<- 4 或 x≥-2},故选 A.

)

A.(-∞,-4)∪[-2,+∞)

3.设 x,y∈R,则“x≥1 且 y≥1”是“x2+y2≥2”的 ( ) A.既不充分又不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.充分不必要条件
解析 当 x≥1, y≥1 时, x2≥1, y2≥1, 所以 x2+y2≥2; 而当 x=-2,y=-4 时,x2+y2≥2 仍成立,所以“x≥1 且 y≥1”是“x2+y2≥2”的充分不必要条件,故选 D.

4. 据我国西部各省(区, 市)2013 年人均地区生产总值(单 位:千元)绘制的频率分布直方图如图所示,则人均地区生 产总值在区间[28,38)上的频率是( A.0.3 C.0.5 B.0.4 D.0.7 )

解析

依题意,由图可估计人均地区生产总值在区间

[28,38)上的频率是 1-(0.08+0.06)×5=0.3,选 A.

5. 如图,在三棱锥 P-ABC 中,不能证明 AP⊥BC 的 条件是( )

A.AP⊥PB,AP⊥PC B.AP⊥PB,BC⊥PB C.平面 BPC⊥平面 APC,BC⊥PC D.AP⊥平面 PBC
解析 A 中,因为 AP⊥PB,AP⊥PC,PB∩PC=P, 所以 AP⊥平面 PBC,又 BC?平面 PBC,所以 AP⊥BC, 故 A 正确;C 中,因为平面 BPC⊥平面 APC,BC⊥PC, 所以 BC⊥平面 APC,AP?平面 APC,所以 AP⊥BC,故 C 正确;D 中,由 A 知 D 正确;B 中条件不能判断出 AP⊥ BC,故选 B.

6.执行如下程序框图,则输出结果为(

)

A.2 C.4

B.3 D.5

解析 依次执行框图中的语句:n=1,S=0,T=20; 5 T=10,S=1,n=2;T=5,S=3,n=3;T= ,S=6,n 2 =4,跳出循环,输出的 n=4,故选 C.

7.已知 的值为( 1 A.- 5 7 C.-5 )

?π ? π? π? 1 ? ? ? ? α∈?4,2?,tan?2α+4?= ,那么 7 ? ? ? ?

sin2α+cos2α

7 B. 5 3 D.4

? tan2α+1 1 π? 1 ? ? 解析 由 tan?2α+4?=7,知 =7, 1-tan2α ? ? ?π ? 3 3 4 ? ? ∴tan2α=-4.∵2α∈?2,π?,∴sin2α=5,cos2α=-5. ? ?

1 ∴sin2α+cos2α=-5,故选 A.

8.甲、乙两个几何体的正视图和侧视图相同,俯视图 不同, 如图所示, 记甲的体积为 V 甲, 乙的体积为 V 乙, 则( A.V 甲<V 乙 B.V 甲=V 乙 C.V 甲>V 乙 D.V 甲、V 乙大小不能确定 )

解析

由三视图知, 甲几何体是一个以俯视图为底面的

四棱锥,乙几何体是在甲几何体的基础上去掉一个角,即去 掉一个三个面是直角三角形的三棱锥后得到的一个三棱锥, 所以 V 甲>V 乙,故选 C.

9.[2015· 江西南昌调研]设两条直线的方程分别为 x+y +a=0,x+y+b=0,已知 a,b 是方程 x2+x+c=0 的两个 1 实根,且 0≤c≤ ,则这两条直线之间的距离的最大值和最 8 小值分别是( 2 1 A. 2 ,2 1 C. 2,2 ) 2 B. 2, 2 2 1 D. 4 ,4

解析

因为 a, b 是方程 x2+x+c=0 的两个实根, 所以

ab=c,a+b=-1.又直线 x+y+a=0,x+y+b=0 的距离
2 2 ?|a-b|? |a-b| ? a + b ? - 4 ab ? - 1 ? -4c 1 2 2 ?= d= ,所以 d =? = = 2 2 2 2 ? 2 ?

1 1 1 1 1 1 1 -2c, 因为 0≤c≤8, 所以2-2×8≤2-2c≤2-2×0, 得4≤2 1 1 2 -2c≤2,所以2≤d≤ 2 ,故选 A.

4 10.[2016· 郑州质检]已知函数 f(x)=x+x,g(x)=2x+a,
?1 ? ? 若?x1∈?2,1? ?,?x2∈[2,3],使得 ? ?

f(x1)≥g(x2),则实数 a 的

取值范围是( A.a≤1 C.a≤2
解析

) B.a≥1 D.a≥2
? ?1 ?? ? ? ? f(x)min?x∈?2,1? 因为 ??≥g(x)min(x∈[2,3]), ? ? ??

由题意知

f(x)min=5,g(x)min=4+a,所以 5≥4+a,即 a≤1,故选 A.

x2 y2 11. 已知椭圆a2+b2=1(a>b>0)的左焦点 F(-c,0)关于直 线 bx+cy=0 的对称点 P 在椭圆上, 则椭圆的离心率是( 2 A. 4 3 B. 4 )

3 2 C. D. 3 2 解析 设焦点 F(-c,0)关于直线 bx+cy=0 的对称点为 P(m,n),
? ? n ? b ? ? ? · ?- ?=-1 ?m+c ? c ? 则? ? m-c n ?b· 2 +c· 2=0, ?

? n c ? =b 所以?m+c ? ?bm-bc+nc=0,

b2c-c3 ?a2-2c2?c 所以 m= 2 2 = =(1-2e2)c, 2 a b +c c2b+bc2 2bc2 n= 2 2 = 2 =2be2. a b +c ?1-2e2?2c2 4b2e4 因为点 P(m,n)在椭圆上,所以 + 2 =1 , a2 b 即(1-2e2)2e2+4e4=1,即 4e6+e2-1=0,将各选项代入知 2 e= 2 符合,故选 D.

12.[2016· 武昌调研]已知函数 f(x)=sinx-xcosx.现有下列 结论: ①?x∈[0,π],f(x)≥0; x1 sinx1 ②若 0<x1<x2<π,则x <sinx ; 2 2

? π? sinx 2 ? ? ③若 a< <b,对?x∈?0,2?恒成立,则 a 的最大值为 , x π ? ?

b 的最小值为 1. 其中正确结论的个数为( A.0 C.2 B.1 D.3 )

解析

因为 f′(x)=cosx-cosx+xsinx=xsinx, 当 x∈[0,

π]时,f′(x)≥0,故 f(x)在[0,π]上是增函数,所以 f(x)≥f(0) xcosx-sinx sinx =0,所以①正确;令 g(x)= x ,则 g′(x)= , x2 由①知,当 x∈(0,π)时,g′(x)≤0,所以 g(x)在[0,π]上是 sinx1 sinx2 x1 sinx1 减函数,所以 x > x ,即x <sinx ,所以②正确; 1 2 2 2 sinx 当 x>0 时,“ x >a”等价于“sinx-ax>0”, 令 g(x)=sinx-cx,则 g′(x)=cosx-c,

当 c≤0 时,g(x)>0 对 当 c ≥1

? ? π ? 0 , x∈? ? ?恒成立; 2 ? ?

? π? ? 时,因为对?x∈?0,2? ?. ? ?

g′(x)=cosx-c<0, 所以
? π? ? g(x)在区间?0,2? ?上单调递减, ? ? ? π? ? 对?x∈?0,2? ?恒成立; ? ? ? π? ? x0∈?0,2? ?使得 ? ?

从而,g(x)<g(0)=0

当 0<c<1 时, 存在唯一的 -c=0 成立,

g′(x0)=cosx0

若 x∈(0,x0)时,g(x0)>0,g(x)在(0,x0)上单调递增,且 g(x)>g(0)=0; 若
? ? π? π? ? ? ? x∈?x0,2?时,g′(x0)<0,g(x)在?x0,2? ?上单调递减, ? ? ? ? ? ? π ? 0 , 在? ? ?上恒成立, 2 ? ?

要使 g(x)=sinx-cx>0 必须使

?π? π π π ? ? g?2?=sin - c=1- c≥0 2 2 2 ? ?

2 恒成立,即 0<c≤ . π

? π? 2 ? 综上所述,当 c≤ 时,g(x)>0 对?x∈?0,2? ?恒成立; π ? ?

当 c ≥1

? π? ? 时,g(x)<0,对?x∈?0,2? ?恒成立, ? ?

? ? π sinx ? 0 , 所以若 a< x <b 对?x∈? ? ?上恒成立, 2 ? ? 2 则 a 的最大值为π,b 的最小值为 1,所以③正确,故选

D.

二、填空题 13.从编号为 001,002,?,500 的 500 个产品中用系 统抽样的方法抽取一个样本, 已知样本编号从小到大依次为
482 . 007,032,?,则样本中最大的编号应该为________

解析 由题意可知, 系统抽样的每组元素个数为 32-7 =25 个,共 20 个组,故样本中最大的编号应该为 500-25 +7=482.

1 14. [2016· 辽宁五校联考]抛物线 x =2y 在第一象限内图
2

象上一点(ai,2a2 i )处的切线与 x 轴交点的横坐标记为 ai+1,其 42 中 i∈N*,若 a2=32,则 a2+a4+a6 等于________ .
解析 令 y=f(x)=2x2,则切线斜率 k=f′(ai)=4ai,切 线方程为 y-2a2 i =4ai(x-ai),令 1 y=0 得 x=ai+1= ai,由 2

a2=32 得 a4=8,a6=2,所以 a2+a4+a6=42.

15.已知 a,b 是正数,且满足 2<a+2b<4,那么 a2+ b2 的取值范围是________.
解析 作出不等式表示的平
?4 ? ? ? , 16 ? ? ?5 ?

面区域,如图阴影部分所示( 不包 括边界),O 到直线 a+2b=2 的距 2 离 d= ,|OB|=4,显然 d2<a2+ 5 4 2 2 b <|OB| ,即 <a +b <16. 5
2 2

16. [2016· 湖南长郡模拟] 如图, 在△ABC 中, 三内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a2=b2+c2+bc,a= 3,S 为△ABC 的面积,圆 O 是△ABC 的外接圆,P 是圆 O 上一 → → 动点,当 S+ 3cosBcosC 取得最大值时,PA· PB的最大值为
3 3+ 2 . ________

解析

本题考查余弦定理、正弦定理、平面向量的运

算.在△ABC 中,由 a2=b2+c2+bc 得 b2+c2-a2=-bc, b2+c2-a2 1 3 则 cosA= 2bc =-2,所以 sinA= 2 ,则由正弦定理 1 a 1 3 得△ABC 的外接圆的半径为 r=2×sinA=2× =1,则 b 3 2 =2rsinB=2sinB,c=2rsinC=2sinC,所以 S+ 3cosBcosC 1 3 =2bcsinA+ 3cosBcosC= 4 ×2sinB×2sinC+ 3cosBcosC

π = 3cos(B-C),则当 B=C= 时,S+ 3cosBcosC 取得最 6 大值.以 O 为原点,OA 所在的直线为 y 轴,过 O 点垂直 于 OA 的直线为 x 轴建立平面直角坐标系,则 A(0,1),
? B? ?- ?

3 1? ? ,设 P(cosθ,sinθ), , 2 2? ?

? ? 3 1 → → ? ? 则PA· PB=(-cosθ,1-sinθ)· - - cos θ , - sin θ ? ?= 2 2 ? ? ?π ? 3 1 3 3 ? ? 2 2 cosθ+cos θ+ - sinθ+sin θ= 3sin?6-θ?+ ,所以当 2 2 2 2 ? ? ?π ? 3 → → ? ? sin?6-θ?=1 时,PA· PB取得最大值 3+2. ? ?

(三) 一、选择题 1.设全集 U=R,A={x|x(x-2)<0},B={x|1-x>0}, 则 A∩(?UB)等于( A.{x|x≥1} C.{x|0<x≤1}
UB)=[1,2).

) B.{x|1≤x<2} D.{x|x≤1}

解析 由题意可得 A=(0,2),B=(-∞,1),则 A∩(?

2.已知实数 a,b 满足(a+i)(1-i)=3+bi,则复数 a+ bi 的模为( A. 2 C. 5
解析

) B.2 D.5
依题意,(a+i)-(a+i)i=3+bi,因此

? ?a+1=3 ? 解得 a=2,b=-1,所以 a+bi=2-i,|a ? ?1-a=b,

+bi|=|2-i|= 22+?-1?2= 5,选 C.

3.下列函数为奇函数的是( A.y=x3+3x2 C.y=xsinx
解析

)
-x

ex+e B.y= 2

3-x D.y=log2 3+x

依题意,对于选项 A,注意到当 x=-1 时,y
-x

=2; 当 x=1 时, y=4, 因此函数 y=x3+3x2 不是奇函数. 对 ex+e 于选项 B, 注意到当 x=0 时, y=1≠0, 因此函数 y= 2

π π 不是奇函数.对于选项 C,注意到当 x=- 时,y= ;当 x 2 2

π π =2时,y=2,因此函数 y=xsinx 不是奇函数.对于选项 D, 3-x 3-x 由 >0 得-3<x<3 ,即函数 y= log2 的定义域是 ( - 3+x 3+x 3-?-x? 3,3) ,该数集是关于原点对称的集合,且 log2 + 3+?-x? 3-x 3-?-x? 3-x log2 =log21=0, 即有 log2 =-log2 , 因此函 3+x 3+?-x? 3+x 3-x 数 y=log2 是奇函数.综上所述,选 D. 3+x

4.设 M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点,O 为平行 → → → 四边形 ABCD 所在平面内的任意一点,则OA+OB+OC+ → OD等于( → A.OM ) → B.2OM

→ → C.3OM D.4OM 解析 因为 M 是平行四边形 ABCD 对角线 AC、BD 的
→ → → → → → → → 交点, 所以OA+OC=2OM, OB+OD=2OM, 所以OA+OB → → → +OC+OD=4OM,故选 D.

x2 y2 x2 y2 5.若双曲线 C1:2 - 8 =1 与 C2:a2-b2=1(a>0,b>0) 的渐近线相同,且双曲线 C2 的焦距为 4 5,则 b=( A.2 C.6 B.4 )

D.8 b 解析 由题意得,a=2?b=2a,C2 的焦距 2c=4 5?

c= a2+b2=2 5?b=4,故选 B.

2014 6.运行下面的程序,如果输出的 S=2015,那么判断 框内是( ) A.k≤2013? B.k≤2014? C.k≥2013? D.k≥2014?

解析

1 1 当判断框内是 k≤n?时,S= + +?+ 1×2 2×3

1 1 2014 =1- ,若 S= ,则 n=2014. 2015 n×?n+1? n+1

7. [2016· 郑州质检]将函数

? π? ? f(x)=sin?2x-2? ?的图象向右平 ? ?

π 移 个单位后得到函数 g(x)的图象,则 g(x)具有性质( 4 π A.最大值为 1,图象关于直线 x= 对称 2
? ? π ? B.在? ?0, ?上单调递减,为奇函数 4? ? ? 3π π? ? C.在?- 8 ,8? ?上单调递增,为偶函数 ? ?

)

D.周期为

?3π ? ? π,图象关于点? 8 ,0? ?对称 ? ?

解析

? ? π? π? ? ? ? ? x - 2 - 由题意得, g(x)=sin? ? 4? 2?=sin(2x-π)=- ? ? ? ? ?π? ? g? ? ?=0,图象不关于 ?2?

sin2x,对于 A,最大值为 1 正确,而

? π? π ? 直线 x=2对称,故 A 错误;对于 B,当 x∈?0,4? ?时,2x∈ ? ? ? ? π ? ? 0 , ? ?,满足单调递减,显然 2 ? ?

g(x)也是奇函数,故 B 正确;

?3π? 2π 2 ? ? C 显然错误;对于 D,周期 T= 2 =π,g? 8 ?=- 2 ,故图 ? ? ?3π ? ? 象不关于点? 8 ,0? ?对称,故选 ? ?

B.

8.[2016· 重庆测试]某几何体的三视图如图所示,则该 几何体的体积为( 3 3 A. 2 B.2 3 5 3 C. 2 D.3 3 )

解析 依题意,如图所示,题中的几何体是从正三棱柱 ABC-A1B1C1 中截去一个三棱锥 B-A1B1E(其中点 E 是 B1C1 的中点)后剩余的部分,其中正三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面 是一个边长为 2 的正三角形、高为 3,因此该几何体的体积
? ? 为? ?

1 ? 5 3 3 2? 3 2? ? ?1 ? ×3-3×? × ×2 ?×3= 2 ,选 C. 4 ×2 ? 4 ? ?2 ?

9.[2016· 福建质检]若椭圆上存在三点,使得这三点与 椭圆中心恰好是一个正方形的四个顶点, 则该椭圆的离心率 为( ) 5-1 A. 2 2 C. 2 3 B. 3 6 D. 3

解析

x2 y2 设椭圆的方程为a2+b2=1(a>b>0), 根据椭圆与正

方形的对称性, 可画出满足题意的图象, 如图所示, 因为|OB|
?a ? a 2 ? , =a,所以|OA|= 2 a,所以点 A 的坐标为? ? ?,又点 A 在 2 2 ? ? a2 a2 椭圆上,所以4a2+4b2=1,所以 a2

=3b2,所以 a2=3(a2-c2),所以 3c2 c 6 =2a , 所以椭圆的离心率 e=a= 3 ,
2

故选 D.

10.[2016· 河南八市质检]已知 a>0,x,y 满足约束条件
?x≥1, ? ?x+y≤3, ? ?y≥a?x-3?,

若 z=3x+2y 的最小值为 1,则 a=( 1 B.2 D.1

)

1 A.4 3 C.4

解析

根据约束条件画出可行域,将 z=3x+2y 的最小

值转化为在 y 轴上的截距,当直线 z=3x+2y 经过点 B 时, z 最小,又 B 点坐标为(1,-2a),代入 3x+2y=1,得 3- 1 4a=1,得 a=2,故选 B.

11.已知在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a, π b,c,若 b= 3a,C= ,S△ABC= 3sin2A,则 S△ABC=( 6 3 A. 4 3 B. 2 )

C. 3 D.2 π 1 解析 解法一:由 b= 3a,C=6,得 S△ABC=2absinC
2 1 1 3 2 a a 2 2 = a· 3a·= a , 又 S△ABC= 3sin A, 则 =sin A, 故 = 2 2 4 4 2

a a c c sinA, 即 =2, 由 = , 得 =2, 所以 c=2sinC sinA sinA sinC sinC

= 1 ,由余弦定理 a2+ b2 -c2= 2abcosC ,得 a2+ 3a2 - 1= 3 2· a· 3a· , 整理得 4a2-1=3a2, a2=1, 所以 a=1, 故 S△ABC 2 3 = . 4 解法二: 由余弦定理 a2+b2-c2=2abcosC, 得 a2+( 3a)2 π π 2 2 -c =2a· 3a· cos ,即 a =c ,故 a=c,从而有 A=C= , 6 6
2

3 所以 S△ABC= 3sin A= 3×sin = ,故选 A. 6 4
2



12.若 P 为曲线 y=ln x 上一动点,Q 为直线 y=x+1 上一动点,则|PQ|min 等于( A.0 2 B. 2 C. 2 D.2 )

解析

如图所示,直线 l 与 y=ln x 相切且与 y=x+1 平

行时, 切点 P 到直线 y=x+1 的距离|PQ|即为所求最小值. (ln 1 1 x)′= ,令 =1,得 x=1. x x

2 故 P(1,0).故|PQ|min= = 2. 2

二、填空题 13.[2015· 广东高考]已知样本数据 x1,x2,?,xn 的均 值 x =5,则样本数据 2x1+1,2x2+1,?,2xn+1 的均值为 11 . ________
解析 x1+x2+?+xn 由条件知 x = =5, n

2x1+1+2x2+1+?+2xn+1 则所求均值 x 0= n 2?x1+x2+?+xn?+n = =2 x +1=2×5+1=11. n

14.已知{an}为等差数列,公差为 1,且 a5 是 a3 与 a11
54 的等比中项,Sn 是{an}的前 n 项和,则 S12 的值为________ .

解析

2 由题意得,a2 = a a ,即 (a + 4) =(a1+2)(a1+ 5 3 11 1

12×11 10),a1=-1,∴S12=12×(-1)+ 2 ×1=54.

15. 设函数 f(x)在[1, +∞)上为增函数, f(3)=0, 且 g(x) =f(x+1)为偶函数, 则不等式 g(2-2x)<0 的解集为_______ (0,2) .
解析 依题意得 f(-x+1)=f(x+1), 因此 f(x)的图象关 于直线 x=1 对称. 又 f(x)在[1, +∞)上为增函数, 因此 f(x) 在(-∞,1]上为减函数.又 g(x)=f(x+1)为偶函数,因此 g(x)在[0,+∞)上为增函数,在 (-∞,0]上为减函数,且 g(2)=f(2+1)=f(3)=0,g(-2)=0,不等式 g(2-2x)<0,即 g(|2-2x|)<g(2),所以|2-2x|<2,-2<2-2x<2,0<x<2,所 以不等式 g(2-2x)<0 的解集是(0,2).

16.[2016· 陕西质检]已知曲线 y=x+ln x 在点(1,1)处的 切线为 l,若 l 与曲线 y=ax2+(a+2)x+1 相切,则 a= 8 ________.
解析 本题考查导数的几何意义、数形结合思想的应 1 用.函数 f(x)=x+ln x 的导函数为 f′(x)=1+ ,则 f′(1) x 1 =1+1=2,所以切线 l 的方程为 y-1=2(x-1),即 y=2x -1,因为直线 l 与曲线 y=ax2+(a+2)x+1 相切,所以方 程 ax2+(a+2)x+1=2x-1,即 ax2+ax+2=0 有两个相等 的实数根,显然 a≠0,则 Δ=a2-4×2a=0,解得 a=8.

(四) 一、选择题 1.已知( z -1+3i)(2-i)=4+3i(其中 i 是虚数单位, z 是 z 的共轭复数),则 z 的虚部为( A.1 C.i B.-1 D.-i )

4+3i ?4+3i??2+i? 解析 因为 z = +1-3i= +1-3i=1 2-i ?2-i??2+i? +2i+1-3i=2-i,所以 z=2+i,z 的虚部为 1,故选 A.

2. 若集合 A={x|(x+1)(3-x)>0}, 集合 B={x|1-x>0}, 则 A∩B 等于( A.(1,3) C.(-1,3) ) B.(-∞,-1) D.(-1,1)

解析 ∵A=(-1,3), B=(-∞, 1), ∴A∩B=(-1,1).

3. 一次数学考试后,某老师从自己所带的两个班级中 各抽取 5 人,记录他们的考试成绩,得到如图所示的茎叶 图.已知甲班 5 名同学成绩的平均数为 81,乙班 5 名同学 成绩的中位数为 73,则 x-y 的值为( A.2 C.3 B.-2 D.-3 )

72+77+80+x+86+90 解析 由题意得, 5 =81?x=0,易知 y=3,∴x-y=-3, 故选 D.

4.已知 l,m,n 为不同的直线,α,β,γ 为不同的平 面,则下列判断正确的是( ) A.若 m∥α,n∥α,则 m∥n B.若 m⊥α,n∥β,α⊥β,则 m⊥n C.若 α∩β=l,m∥α,m∥β,则 m∥l D.若 α∩β=m,α∩γ=n,l⊥m,l⊥n,则 l⊥α
解析 A 项,m,n 可能的位置关系为平行,相交,异 面,故 A 错误;B 项,根据面面垂直与线面平行的性质可 知 B 错误;C 项,根据线面平行的性质可知 C 正确;D 项, 若 m∥n,根据线面垂直的判定可知 D 错误,故选 C.

5.△ABC 的角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,若 7 cosA= ,c-a=2,b=3, ,则 a=( 8 A.2 C.3
解析
2

)

5 B. 2 7 D.2
由余弦定理可知,a2=b2+c2-2bccosA?a2=9

7 +(a+2) -2×3×(a+2)×8?a=2,故选 A.

6.[2016· 东 北 三 省 联 考 ] 如 图 , 在 正 方 体 ABCD - A1B1C1D1 中,P 是线段 CD 的中点,则三棱锥 P-A1B1A 的 侧视图为( )

解析 图为 D.

如图,画出原正方体的侧视图,显然对于三棱锥

P-A1B1A,B(C)点均消失了,其余各点均在,从而其侧视

7.[2016· 合肥质检]执行下面的程序框图,则输出的 n 的值为( )

A.10 C.1024
解析

B.11 D.2048
该程序框图共运行 10 次, S=1+2+22+?+210

=2047,输出的 n=210=1024,选项 C 正确.

? ?xy≥0 8.[2016· 河南六市一联]实数 x,y 满足? 使 ? ?|x+y|≤1,

z=ax+y 取得最大值的最优解有 2 个,则 z1=ax+y+1 的 最小值为( A.0 C.1 ) B.-2 D.-1

解析

画出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所

示,∵z=ax+y 取得最大值的最优解有 2 个,∴-a=1,a =-1,∴当 x=1,y=0 或 x=0,y=-1 时,z=ax+y=- x+y 有最小值-1,∴ax+y+1 的最小值是 0,故选 A.

9.已知 a,b 都是实数,命题 p:a+b=2;命题 q:直 线 x+y=0 与圆(x-a)2+(y-b)2=2 相切, 则 p 是 q 的( A.充分但不必要条件 C.充要条件 B.必要但不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

解析 由直线 x+y=0 与圆(x-a)2+(y-b)2=2 相切, |a+b| 得 = 2, 即 a+b=± 2, ∴p 是 q 的充分但不必要条件. 2

10.[2016· 山西质检]若函数

? π? ? f(x)=sin(2x+φ)?|φ|<2? ?的图 ? ?

? π π? π ? 象关于直线 x= 对称,且当 x1,x2∈?-6,3? ?,x1≠x2 时, 12 ? ?

f(x1)=f(x2),则 f(x1+x2)=( 1 2 A. B. 2 2 3 C. 2 D.1

)

解析

π π 由题意得,2×12+φ=2+kπ,k∈Z,

π π π ∴φ=3+kπ,k∈Z,∵|φ|<2,∴k=0,φ=3, 又
? π π? π π ? ? x1,x2∈?-6,3?,∴2x1+3,2x2+3∈(0,π), ? ?

π π 2x1+3+2x2+3 π π ∴ =2,解得 x1+x2=6, 2
? ? π π ? ∴f(x1+x2)=sin? ?2× + ?= 6 3? ?

3 2 ,故选 C.

11.[2016· 云南统检]已知双曲线 M 的焦点 F1、F2 在 x 轴上,直线 7x+3y=0 是双曲线 M 的一条渐近线,点 P 在 → → 双曲线 M 上,且PF1· PF2=0,如果抛物线 y2=16x 的准线经 → → 过双曲线 M 的一个焦点,那么|PF1|· |PF2|=( A.21 C.7
解析

)

B.14 D.0
x2 y2 设双曲线方程为a2+b2=1(a>0,b>0),

∵直线 7x+3y=0 是双曲线 M 的一条渐近线,

b 7 ∴ = ①,又抛物线的准线为 x=-4,∴c=4②, a 3 又 a2+b2=c2③, ∴由①②③得 a=3. 设点 P 为双曲线右支上一点, → → ∴由双曲线定义得||PF1|-|PF2||=6④, → → → → → 2 又PF1· PF2=0,∴PF1⊥PF2,∴在 Rt△PF1F2 中|PF1| → → → +|PF2|2=82⑤,联立④⑤,解得|PF1|· |PF2|=14.

12.已知函数 f(x)=2x+x,g(x)=log2x+x,h(x)=log2x -2 的零点依次为 a,b,c,则( A.a<b<c C.c<a<b B.c<b<a D.b<a<c )

解析

在同一平面直角坐标系中分别画出函数 y=2x,

y=-x,y=log2x 的图象,结合函数 y=2x 与 y=-x 的图象 可知其交点横坐标小于 0,即 a<0;结合函数 y=log2x 与 y =-x 的图象可知其交点横坐标大于 0 且小于 1, 即 0<b<1; 令 log2x-2=0,得 x=4,即 c=4.因此有 a<b<c,选 A.

二、填空题 3π 13. 已知向量 a, b 的夹角为 , |a|= 2, |b|=2, 则 a· (a 4 6 -2b)=________.

解析 a· (a-2b)=a2-2a· b=2-2×

? 2×2×? ?- ?

2? ? =6. 2? ?

14.[2016· 山西四校二联]抛物线 x2=2py(p>0)的焦点为 F,其准线与双曲线 x2-y2=1 相交于 A,B 两点,若△ABF 2 3 为等边三角形,则 p=________.
解析 由题意可知,抛物线的焦点为
? p? ? F?0,2? ?,准线方 ? ?

? p ? y=-2, p 程为 y=-2,联立? ? 2 2 ?x -y =1,

解得 x=±

p2 1+ 4 .
2? ? p ? ? 2 1 + p +? ? 4 ? ?

∵△ABF 为等边三角形, ∴ p2+x2=2|x|, 即
2? ? p ? 1 + =4? ? ?,解得 4 ? ?

p=2 3或-2 3(舍去).

15. [2016· 海口调研]半径为 2 的球 O 中有一内接正四棱 柱(底面是正方形,侧棱垂直底面).当该正四棱柱的侧面积 16(π - 2) 最大时, 球的表面积与该正四棱柱的侧面积之差是 ________
解析 依题意,设球的内接正四棱柱的底面边长为 a、

高为 h,则有 16=2a2+h2≥2 2ah,即 4ah≤16 2,该正四 棱柱的侧面积 S=4ah≤16 2,当且仅当 h= 2a=2 2时取 等号.因此,当该正四棱柱的侧面积最大时,球的表面积与 该正四棱柱的侧面积之差是 4π×22-16 2=16(π- 2).

16.已知数列{an}的首项 a1=1,前 n 项和为 Sn,且 Sn =2Sn-1+1(n≥2,且 n∈N*),数列{bn}是等差数列,且 b1 1 =a1,b4=a1+a2+a3.设 cn= ,数列{cn}的前 n 项和为 bnbn+1
10 Tn,则 T10=________. 21

解析

解法一:数列{an}的首项 a1=1,前 n 项和为 Sn,

且 Sn=2Sn-1+1(n≥2,且 n∈N*),∴当 n=2 时,a1+a2= 2a1+1,∴a2=2,当 n≥3 时,an=Sn-Sn-1=2Sn-1-2Sn-2 =2an-1, 又 a2=2a1, ∴an=2an-1(n≥2, 且 n∈N*), 数列{an} 为首项为 1,公比为 2 的等比数列,∴an=2
n-1

,a3=22=4.

设数列{bn}的公差为 d,又 b1=a1=1,b4=1+3d=7,∴d 1 1 =2, bn=1+(n-1)×2=2n-1, c n= = bnbn+1 ?2n-1??2n+1? 1 1 ? 1? ? ? - =2?2n-1 2n+1?, ? ?
? 1 1 1? 1 1 1 ? ∴T10=2?1-3 +3-5+?+ - 2×10+1? ?= 2×10-1 ? ?

1? 1? 10 ? ? 1- ? = . 21? 21 2? ?

解法二:∵数列{an}的首项 a1=1,前 n 项和为 Sn,且 Sn=2Sn-1+1(n≥2,且 n∈N*),∴当 n=2 时,a1+a2=2a1 +1,∴a2=2,当 n=3 时,a1+a2+a3=2a1+2a2+1, ∴a3=4.设数列{bn}的公差为 d,又 b1=a1=1,b4=1+ 1 3d = 7,∴d =2 , bn= 1+ (n- 1)×2= 2n- 1, cn= = bnbn+1 ? 1 1 1 1? ? - = ? ? ?, 2 2 n - 1 2 n + 1 ?2n-1??2n+1? ? ? ? 1 1 1 1 1 1? 1 ? ? ∴ T10 = 2 ?1-3+3-5+?+2×10-1-2×10+1? = 2 ? ? ? 1? 10 ? ? . ?1- ?= 21? 21 ?


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