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浙江省2013届高三高考密破仿真预测卷(六)数学理试题(解析版)


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浙江省 2013 届高三高考密破仿真预测卷(六)数学理试题 (解析版)
考试时间:120 分钟满分:150 分 注意事项: 1.答题前,务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号,并认真核对 答题卡上所粘贴的条形码中姓名、 座位号与本人姓名、 座位号是否一致务必在答题卡背

面规定的地方填写姓名和座位号后两位 2.答第 1 卷时,每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号黑。如 需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号 3.答第Ⅱ卷时,必须使用 0 5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写,要求字体工整、 ...... 笔迹清晰作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出, 确认后再用 0 5 毫米的黑色墨水 签字笔描清楚必须在题号所指示的答题区域作答, ................ 超出答题区域书写的答案无效, 在试 题卷、草稿纸上答题无效. ............ 4.考试结束,务必将试题卷和答题卡一并上交

第Ⅰ卷(共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.

2.

5 3 ? 4i

的共轭复数是( B.
3 5 ? 4 5 i

). C. 3 ? 4 i D.
3 5 ? 4 5 i

A. 3 ? 4 i 【答案】D

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【解析】解:因为
5 3 ? 4i ?

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? 3 ? 4i 5

5 (3 ? 4 i) (3 ? 4 i)(3 ? 4 i)

,故选 D

1? ? 2 4. 若二项式 ? 3 x ? ? 的展开式中各项系数的和是 512,则展开式中的常数项为 x? ?

n

A. ? 27 C 9

3

B. 27 C 9

3

C. ? 9 C 9

4

D.

9C 9

4

?x ? 4 y ? 3 ? 0 ? 5.目标函数 z ? 2 x ? y ,变量 x , y 满足 ? 3 x ? 5 y ? 25 ,则有 ?x ? 1 ?





A. z max ? 12 , z min ? 3 C. z max ? 12 , z 无最小值

B. z min ? 3 , z 无最大值 D. z 既无最大值,也无最小值

【答案】B
?x ? 4 y ? 3 ? 0 ? 【解析】因为目标函数 z ? 2 x ? y ,变量 x , y 满足 ? 3 x ? 5 y ? 25 ,那么可知作图得到目 ?x ? 1 ?

标函数平移法得到由最小值 3,没有最大值故选 B. 6.若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积是(



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2 2 2 2 2 正视图 侧视图

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4 俯视图 A.36 cm
3

B.48 cm

3

C.60 cm

3

D.72 cm

3

7 执行右面的程序框图,如果输入的 N 是 6,那么输出的 p 是(

)

A.120

B.720

C.1440

D.5040

【答案】B 【 解 析 】 因 为 退 出 循 环 体 时 k=6,所 以 p ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7 2 0 . 8. 防疫站有 A、B、C、D 四名内科医生和 E、F 两名儿科医生,现将他们分成两个 3 人小组 分别派往甲、乙两地指导疾病防控.两地都需要既有内科医生又有儿科医生,而且 A 只能去 乙地.则不同的选派方案共有( ) A. 6 种 B. 8 种 C. 12 种 D. 16 种
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【答案】A

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【 解 析 】 不同的选派方案共有 C 3 C 2 A 2 ? 6 种.
1 2 2

2 2 10.设 ? ? ? 0, ? ? ,则方程 x sin ? ? y co s ? ? 1 不能表示的曲线为(

)

A、椭圆

B、双曲线

C、抛物线

D、圆

11.方程

| s in x | x

? k ( k ? 0 ) 有且仅有两个不同的实数解 ? , ? (? ? ? ) ,则以下有关两根关系

的结论正确的是 A. sin ? ? ? co s ? C. co s ? ? ? sin ? B. sin ? ? ? ? co s ? D. sin ? ? ? ? sin ?

【答案】B 【解析】依题意可知 x>0(x 不能等于 0) 令 y1=|sinx|,y2=kx,然后分别做出两个函数的图象.

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因为原方程有且只有两个解,所以 y2 与 y1 仅有两个交点,而且第二个交点是 y1 和 y2 相切的 点, 即点(θ ,|sinθ |)为切点,因为(-sinθ )′=-cosθ ,所以切线的斜率 k=-cosθ .而 且点(φ ,sinφ )在切线 y2=kx=-cosθ x 上. 于是将点(φ ,sinφ )代入切线方程 y2=xcosθ 可得:sinφ =-φ cosθ . 故选 B. 12、过点 A(2,1)作曲线 f(x)=x -x 的切线的条数最多是( A ,3 B ,2 C , 1 D, 0
3



第Ⅱ卷
二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分。 13、已知 x>0,y>0,x,a,b,y 成等差数列,x,c,d,y 成等比数列,则 ___________________. 【答案】4 【解析】解:∵x、a、b、y 成等差数列 ∴a+b=x+y ∵x、c、d、y 成等比数列,∴cd=xy 则

?a ? b ?
cd

2

的最小值是

?a ? b ?
cd

2

?

(x ? y) xy

2

?

y x

?

x y

? 2 ≥4(x>0,y>0)

故答案为 4. 14. 已知点 A ( ? 2 , 0 ) , B ( 3 , 0 ) ,动点 P ( x , y ) 满足 PA ? PB ? x ? 6 ,则动点 P 的轨迹
2


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【答案】抛物线

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【解析】 :∵动点 P(x,y)满足 PA ? PB ? x ? 6
2

∴(-2-x,y)?(3-x,y)=x -6,∴点 P 的轨迹是 y =x.故为抛物线.

2

2

16. 对于三次函数 f ( x ) ? ax ? bx ? cx ? d , 定义 y ? f ' ' ( x ) 是函数 y ? f ' ( x ) 的导函数。
3 2

若方程 f ' ' ( x ) ? 0 有实数解 x 0 ,则称点 ( x 0 , f ( x 0 )) 为函数 y ? f ( x ) 的“拐点” 。有同学发 现:任何一个三次函数既有拐点,又有对称中心,且拐点就是对称中心。根据这一发现,对 于函数 g ( x ) ? 则g(
1 2012 1 3 ) ? g( 2 2012 x ?
3

1 2

x ? 3x ?
2

1 12


2011 2012 ) 的值为

) ? g(

3 2012

) ? ? ? g(



三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x ) ? cos
x 4 ? cos(

?
2

?

x 4

) ? cos( ? ?

x 2

) ,将函数

f ( x ) 在 (0, ? ? ) 的所有极值点从小到大排成一数列,记为 { a n } .
1 a n ? a n ?1
) ? ? 1 2

(1)求数列 { a n } 的通项公式; (2)令 b n ?
x 4 x 4 x 2

,求数列 { b n } 前 n 项和 T n .
x 2 x 2 1 4

【答案】解: (1) f ( x ) ? cos 分 由 sin x ? ? 1 分 得
x ? k? ?

? sin

( ? cos

sin

? cos

? ?

sin x ·· 2

?
2

···················· 4
3? 2 5? 2 ( 2 n ? 1) ? 2

? 所以函数 f ( x ) 在 (0, ? ? ) 的所有极值为: ?
2
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,

,

,? ? ,

,? ?

· 6

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? 数列 { a n }的通项公式为 an ?

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( 2 n ? 1) ? 2

················· 7


? (2)由(1)得 b n ? a ? a ? n n ?1 1 4
2

?

1 ( 2 n ? 1)( 2 n ? 1)

?

2

?

2

(

1 2n ? 1

?

1 2n ? 1

) ·· 10


? Tn ? 2

?

2

1 1 1 1 1 1 2 1 4n ( ? ? ? ? ?? ? ? ) ? 2 (1 ? ) ? 2 1 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 ? ? ( 2 n ? 1)

13



18.(本题满分 10 分)在 1,2,3?,9,这 9 个自然数中,任取 3 个数. (Ⅰ)求这 3 个数中,恰有一个是偶数的概率; (Ⅱ)记 X 为这三个数中两数相邻的组数, (例如:若取出的数 1、2、3,则有两组相邻的 数 1、2 和 2、3,此时 X 的值是 2) 。求随机变量 X 的分布列及其数学期望 EX. 【答案】解析: (I)记“这 3 个数恰有一个是偶数”为事件 A,则 P ( A ) ? (II)随机变量 X 的取值为 0 ,1, 2 , ? 的分布列为 X P 0
5 12 5 12 1 2

C 4C 5 C9
3

1

2

?

10 21



1
1 2 ? 1? ? 2? 1 12 ? 2 3

2
1 12

所以 ? 的数学期望为 E X ? 0 ?

【解析】 本试题主要是考查了古典概型概率的计算, 以及分布列的求解和数学期望值的综合 运用。 (1)这 3 个数恰有一个是偶数”为事件 A,则 P ( A ) ?
C 4C 5 C9
3 1 2

?

10 21

(2)因为随机变量 X 的取值为 0,1, 2, ,则各个取值的概率利用概率公式求解得到,从而得 到分布列和数学期望值。
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19.(本题满分为 12 分) 在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 底面 ABCD , AB ? AD , AC ? CD , ? ABC ? 60 ? , PA ? AB ? BC , E 是 PC 的中点. (1) 证明: CD ? AE ; (2) 证明: PD ? 平面 ABE ; (3) 求二面角 B ? PC ? D 的余弦值.

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z P

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E D C B x

A

y

?x ? 3y ? 2z ? 0 ? PC ? n ? 0 ? ? 即? 4 取y ? ? y ? 2z ? 0 ? PD ? n ? 0 ? ? 3 ?
cos ? m , n ?? m ?n | m || n | ? 3? 3?6 21 8 ? 42 7

3 则 x ? 1 , z ? 2 即 n ? (1 ,

3 ,2 )

由图可知二面角 B ? PC ? D 的余弦值为 ?

42 7



(12 分)

【解析】 本试题主要考查了空间立体几何中线线的垂直关系以及二面角的平面角的求解,和 线面垂直的判定定理的综合运用。 (1)根据已知中线面的垂直的性质定理来判定线线垂直。 (2)利用线面得到线线垂直,再结合线线得到线面的垂直的判定。 (3)建立空间直角坐标系,来表示平面的法向量,进而求解二面角的平面角的求解的综合
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运用。 20. (本小题满分 12 分) 已知公差不为零的等差数列 { a n } 的前 4 项和为 10,且 a 2 , a 3 , a 7 成等比数列. (Ⅰ)求通项公式 a n ; (Ⅱ)设 b n ? 2 a ,求数列 ?b n ? 的前 n 项和 S n .
n

【解析】本试题主要考查了等差数列的通项公式和等比数列的通项公式的 运用,以及数列 的求和的综合运用。 (1)由题意知
? 4 a 1 ? 6 d ? 10 , ? 2 ? ( a 1 ? 2 d ) ? ( a 1 ? d )( a 1 ? 6 d ). ,

可得到通项公式。
a (2)因为 b n ? 2 ? 2 3 n ? 5 ?
n

1 4

?8

n?1

数列{bn}是首项为

1 4

,公比为 8 的等比数列,从而得到公式。
1 2 a x ? ( 2 a ? 1) x ? 2 ln x ( a ? R )
2

21.(本题满分 12 分)已知函数 f ( x ) ?

(Ⅰ)若曲线 y ? f ( x ) 在 x ? 1 和 x ? 3 处的切线互相平行,求 a 的值; (Ⅱ)求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅲ)设 g ( x ) ? x ? 2 x ,若对任意 x1 ? (0, 2 ] ,均存在 x 2 ? (0 , 2 ] ,使得 f ( x1 ) ? g ( x 2 ) ,求
2

a

的取值范围.
2 x
( x ? 0)

【答案】解: f ? ( x ) ? a x ? ( 2 a ? 1) ? (Ⅰ) f ? (1) ? f ? (3) ,解得 a ?
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.

---------2 分

2 3

.

---------3 分

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(Ⅲ)由已知,在 ( 0 , 2 ] 上有 f ( x ) m ax ? g ( x ) m ax . 分 由已知, g ( x ) m a x ? 0 ,由(Ⅱ)可知,

---------10

【解析】 本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用, 导数的几何意义的运用和函数单调 性的判定,以及不等式的恒成立问题的综合运用。 (1)根据已知条件函数在给定两点出的切线平行说明导数值相等,然后得到参数的值。 (2)进而求解导数,分析导数的正负,得到不等式的解集,即为函数的单调增减区间的求 解, (3)要满足 f(x)得最大值小于 g(x)函数的最大值即可。
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22. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 C :
x a
2 2

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?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 )

的离心率为

2 2

,其中左焦点 F(-2,0).

(1) 求椭圆 C 的方程; 2 2 (2) 若直线 y=x+m 与椭圆 C 交于不同的两点 A,B,且线段 AB 的中点 M 在圆 x +y =1 上, 求 m 的值.

【解析】本试题主要是考查了椭圆方程的求解,以及直线与椭圆的位置关系的运用。
?c 2 , ? ? a 2 ? ? (1)由题意,得 ? c ? 2 , 得到 ? 2 2 2 a ?b ?c . ? ? ?

a,b,c 的值。得到椭圆的方程。

(2)设点 A、B 的坐标分别为(x1,y1),(x2, y2),线段 AB 的中点为 M(x0,y0),
2 ? x2 y ? ? 1, ? 由? 8 消 4 ? y ? x ? m. ?

y 得,3x +4mx+2m -8=0 结合韦达定理,和判别式得到参数 m 值。

2

2

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