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广东省惠阳高中08-09学年高一上学期期末(数学)


2008-2009 学年度第一学期高一年级期末考试

数学试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分 150 分。考试用时 120 分钟

第Ⅰ卷(选择题 共 50 分)
一.本题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。 (在四个选项中只有一个是正确的) 1.设全集 U={1,2,3,4,5}

集合 A={1,2} , ,B={2,3} ,则 A∩CUB=( )
m

A. ?4, 5? 2.下列命题中正确的是 ( A.共线向量都相等

B. ?2, 3? )

C . ?1?

D. ?2?

B.单位向量都相等 D.模为零的向量与任一向量平行 )

C.平行向量的方向相同

3.下列四组函数,表示同一函数的是( A.f(x)= x2 ,g(x)=x C. f ( x) ? lnx , g ( x) ? 2ln x
2

B.f(x)=x,g(x)=

x2 x
3

x D. f ( x) ? log a a (a ? ?? ? ? ?), g ( x ) ?

x3

4.函数 y ? cos x( x ? R) 的图像向左平移 解析式为( A. ? sin x ) B. sin x

? 个单位后,得到 y ? g ( x) 的图像,则 g ( x) 的 2
D. cos x ) D. x ? ?

5.函数 y ? sin(2 x ? A. x ? ?

?

C. ? cos x

?
6

3

) 图像的对称轴方程可能是(

B. x ?

?
12

C. x ?

?
6

?
12

6.已知 f ( x) ? a x , g ( x) ? log a x(a > 0且a ? 1) ,若 f (3) g(3) <0 ,那么 f ( x ) 与 g ( x) 在 同一坐标系内的图像可能是( )

7.下列各式中,值为
?

3 的是( 2
?

) B. cos 15 ? sin 15
2 ? 2

A. 2sin15 cos15

?

2 tan
C.2(sin35?cos25?+cos35?sin25?) D.

?
6

1 ? tan2

?
6

8.如图,在平面直角坐标系 xoy 中,以 ox 轴为始边做两个锐角

? ,? ,

它们的终边分别与单位圆相交于 A,B 两点, 已知 A,B 的

横坐标分别为 A.-1

2 2 5 .则 tan( ? ? ? )=( , 10 5
B.1 C.3 D.-3



9. 设 平 面 上 有 四 个 互 异 的 点 A 、 B 、 C 、 D , 已 知 ( DB ? DC ? 2DA) ? ( AB ? AC) ? 0, 则△ABC 的形状是( ) A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形

10.设 f ( x ) 是连续的偶函数,且当 x>0 时 f ( x ) 是单调函数,则满足 f ( x) ? f ? 所有 x 之和为( ) A. ?3 B. 3 C. ?8 D. 8 二.本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。

? x?3? ?的 ? x?4?

b 11.若向量 a , b 满足 a ? 1, ? 2 且 a 与 b 的夹角为
2 0 12.计算: ? 9 ? ? ? log3 25? ? ? 27 ? ? ? ? ? ?4? ? 8 ? 1

?

?

?

?

?

?

? ? ? ,则 a ? b ? 3

?2 3

?2 ? ?1.5? =

13.已知函数 f ( x ) , g ( x) 分别由下表给出

则 f [ g (1)] 的值为

;当 g[ f ( x)] ? 2 时, x ?

14.函数 f ( x) ? sin x ? a,( x ? R) 存在零点,则实数 a 的取值范围是

2008-2009 学年度第一学期高一年级期末考试

数学学科答卷纸
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分 150 分。考试用时 120 分钟。

第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分)
卷别 题号 得分 二.本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 11 。 12 。

第Ⅰ卷
一 二 15 16

第Ⅱ卷
三 17 18 19 20

合计

13 ; 。 14 。 三.解答题(本题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x ) ? x ?

m , 且函数 y ? f ( x) 的图象经过点(1,2). x

(1)求 m 的值; (2)证明函数 f (x) 在(1, ? ? )上是增函数.

16.(本小题满分 12 分) 已知向量 a ? (1, y ), b ? (1,?3) ,且满足 ? 2 a ? b ? ? b 。
? ? ?

?

?

? ?

?

?

? ?

?

(1)求向量 a 的坐标; (2)求向量 a 与 b 的夹角。

17. (本小题满分 14 分)定义行列式运算

a1 a2 a3 a4

= a1a4 - a2 a3 . 若

1 ?2

? cos A ?0 sin A

(1)求 tan A 的值; (2)求函数 f ( x) ? cos 2 x ? tan A sin x( x ? R) 的值域。

18. (本小题满分 14 分))已知函数 f ( x) ? A sin(x ? ? )( A ? 0,0 ? ? ? ? ) , x ? R 的最大值 是 1,其图像经过点 M ?

?? 1? , ?. ? 3 2?

(1)求 f (x) 的解析式,并判断函数 f (x) 的奇偶性. (2)已知 ? , ? ? ? 0,

3 12 ? ?? ? ,且 f (? ) ? , f ( ? ) ? ,求 f (? ? ? ) 的值. 5 13 ? 2?

19. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? sin

x x x cos ? cos 2 ? 2. 2 2 2 (1)将函数 f ( x ) 化简成 A sin(? x ? ? ) ? B( A ? 0, ? ? 0, ? ?[0, 2? )) 的形式,并求出 f ( x) 的最小正周期; 17? ] 上的最小值 (2)求函数 f ( x )在[? , 12

20. (本小题满分 14 分)
( x ? 0) ? f ( x) 已知函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? 1 (a, b为实数), x ?R, F ( x) ? ? ? ? f ( x) ( x ? 0)

(1)若 f (?1) ? 0, 且函数 f ( x) 的值域为 [0, ? ?) ,求 F (x ) 的表达式; (2)在(1)的条件下, 当 x ? [?2, 2] 时, g ( x) ? f ( x) ? kx 是单调函数, 求实数 k 的取值范围; (3)设 m ? 0, n ? 0 , m ? n ? 0, a ? 0 且 f (x ) 为偶函数, 判断 F (m) + F (n) 能否 大于零?请说明理由。

2008-2009 学年度第一学期高一年级期末考试

数学学科答案
一.CDDAB

CBDAC
1 2

二.本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 11

7
1 ; 1



12



13

14

[-1,1]



三.解答题(本题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x ) ? x ?

m , 且函数 y ? f ( x) 的图象经过点(1,2). x

(1)求 m 的值; (2)证明函数 f (x) 在(1, ? ? )上是增函数. 解:(1) m=1………………4 分

(2)设 1 ? x1 ? x2 , 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) = ( x1 ?

( x ? x )( x x ? 1) 1 1 ) ? ( x2 ? ) ? 1 2 1 2 x1 x2 x1 x2

? x1 ? x2 ? 0, x1x2 ?1 ? 0, x1x2 ? 0
∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ∴ y ? f ( x) 在(1, ? ? )上为增函数……………12 分
? ?

16.(本小题满分 12 分) 已知向量 a ? (1, y ), b ? (1,?3) ,且满足 ? 2 a ? b ? ? b 。
? ? ?

? ?

?

?

? ?

?

(1)求向量 a 的坐标; (2)求向量 a 与 b 的夹角。 解: (1)∵ 已知 b ? ?1, ?3? ,且 ? 2 a ? b ? ? b
? ?

?

? ?

?

?

? ?

?

2 a ? b ? 2(1, y) ? (1, ?3) ? (3, 2 y ? 3)


(3, 2 y ? 3) ? (1, ?3) ? 3 ? (2 y ? 3) ? (?3) ? 0
( 2) ∴ a ? 1, …………………6 分
? ?
?

解得: y ? 2

(2)设向量 a 与 b 的夹角 ?

? ? a ?b ∵ cos ? ? ? ? | a || b |

? ? a ?b (1, 2) ? (1, ?3) 2 ?? ∴ cos ? ? ? ? ? 2 2 2 | a || b | 1 ? 2 1 ? (?3)
∵0 ?? ?? ∴向量 a 与 b 的夹角 ? ?
? ?

3? ……………..12 分 4
1 ?2 ? cos A ?0 sin A

17.(本小题满分 14 分) 定义行列式运算

a1 a2 a3 a4

= a1a4 - a2 a3 . 若

(1)求 tan A 的值; (2)求函数 f ( x) ? cos 2 x ? tan A sin x( x ? R) 的值域。 解: (1)由

1 ?2

? cos A ? 0 得 sin A ? 2cos A ? 0 ? cos A ? 0 ? tan A ? 2 …………….6 分 sin A

(2) f ( x) ? cos 2 x ? 2sin x ? ?2(sin x ? ) ?
2

? x ? R,?sin x ?[?1,1] 1 3 当 sin x ? , f ( x ) 有最大值 ;当 sin x ? ?1 , f ( x ) 有最小值 ?3 。 2 2 3 所以,值域为 [ ?3, ] ………………………14 分 2 18.(本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? A sin(x ? ? )( A ? 0,0 ? ? ? ? ) , x ? R 的最大 ?? 1? 值是 1,其图像经过点 M ? , ? . ? 3 2? (1)求 f (x) 的解析式,并判断函数 f (x) 的奇偶性. 3 12 ? ?? (2)已知 ? , ? ? ? 0, ? ,且 f (? ) ? , f ( ? ) ? ,求 f (? ? ? ) 的值. 5 13 ? 2? 解:(1)因为 ? 1 ? sin( x ? ? ) ? 1 ,又 A>0,所以 ? f ( x)?max ? A ? 1 ,

1 2

3 2

? ?? 1? ?? ? 1 , ? ,所以 f ( ) ? sin? ? ? ? ? 3 ? 3 2? ?3 ? 2 ? ? 4? ? 5? ? 由 0 ? ? ? ? ,得 ? ? ? ? ,所以 ? ? ? ,解得 ? ? . 3 3 3 3 6 2 ?? ? 所以 f ( x) ? sin ? x ? ? ? cos x ……………………6 分 2? ? 因为 f (? x) ? cos ? ? x ? ? cos x ? f ( x) ? 函数 f ( x) 是偶函数.……………………8 分 3 12 3 12 ? ?? (2)由 f (? ) ? , f ( ? ) ? ,得 cos ? ? , cos ? ? ,又 ? , ? ? ? 0, ? , 5 13 5 13 ? 2? 4 5 2 2 所以 sin ? ? 1 ? cos ? ? , sin ? ? 1 ? cos ? ? , 5 13
因为,f(x)的图像经过点 M ? 所以

f (? ? ? ) ? cos( ? ? ? ) ? cos ? ? cos ? ? sin ? ? sin ? ?

3 12 4 5 56 ? ? ? ? …14 分 5 13 5 13 65

19. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? sin

x x x cos ? cos 2 ? 2. 2 2 2

(1)将函数 f ( x ) 化简成 A sin(? x ? ? ) ? B( A ? 0, ? ? 0, ? ?[0, 2? )) 的形式,并求出

f ( x) 的最小正周期; 17? ] 上的最小值 (2)求函数 f ( x )在[? , 12 1 1 ? cos x 1 3 2 ? 3 解:(1)f(x)= sinx+ ? 2 ? (sin x ? cos x) ? ? sin(x ? ) ? ……6 分 2 2 2 2 2 4 2
17 5 ? 5 π ,得 ? ? x ? ? ? . 4 4 3 12 5? 5? 17? 2 ? 3 , 因为 f(x)= ]上是减函数,在[ ]上是增函数. sin(x ? ) ? 在[ ? , 4 4 12 2 4 2 5? 3? 2 故当 x= 时,f(x)有最小值- ……………14 分 4 2
(2)由π ≤x≤ 20.(本小题满分 14 分)
( x ? 0) ? f ( x) 已知函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? 1 (a, b为实数), x ?R, F ( x) ? ? ? f ( x) ( x ? 0) ?

故 f(x)的最小正周期为 2π …………………………….8 分

(1)若 f (?1) ? 0, 且函数 f ( x) 的值域为 [0, ? ?) ,求 F (x ) 的表达式; (2)在(1)的条件下, 当 x ? [?2, 2] 时, g ( x) ? f ( x) ? kx 是单调函数, 求实数 k 的取值 范围; (3)设 m ? 0, n ?0 , m ? n ? 0, a ? 0 且 f (x ) 为偶函数, 判断 F (m) + F (n) 能否大于零? 请说明理由。 解: (1) ∵ f (?1) ? 0 , ∴ a ? b ? 1 ? 0 ①

又函数 f ( x) 的值域为 [0, ? ?) , 所以 a ? 0 且由 y ? a( x ? 由①②得

b 2 4a ? b2 4a ? b2 知 ) ? ? 0 即 4a ? b 2 ? 0 2a 4a 4a a ? 1, b ? 2



∴ f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 1 ? ( x ? 1) 2 .
? ∴ F ( x) ? ?( x ? 1)
2 ( x ? 0) ? ?? ( x ? 1) 2 ( x ? 0) ?

……5 分
2 2

(2) 由(1)知 g ( x) ? f ( x) ? kx ? x ? 2x ? 1 ? kx ? x ? (2 ? k ) x ? 1
? (x ? 2?k 2 (2 ? k )2 , ) ?1? 2 4

k ?2 k ?2 ?2或 ? ?2 时, 2 2 即 k ? 6 或 k ? ?2 时, g ( x) 是具有单调性. (3) ∵ f ( x) 是偶函数


……10 分

∴ f ( x) ? ax2 ? 1,

?ax 2 ? 1 ( x ? 0) ∴ F ( x) ? ? , ? 2 ??ax ? 1 ( x ? 0) ?

∵ m ? 0, n ? 0, 又 m ? n ? 0, 则 m ? ?n ? 0, ∴ | m | ? | ?n | ∴ F (m) + F (n) ? f (m) ? f (n) ? (am2 ? 1) ? an2 ? 1 ? a(m2 ? n2 ) ? 0 , ∴ F ( m) + F (n) 能大于零. ………14 分


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