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广东省廉江市第一中学2016届高三上学期第一次月考(开学摸底)数学(理)试题


廉江一中 2016 届高三第一次月考理科数学试题 一. 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的。 1.设集合 S ? {x | x ? ?2}, T ? {x | x 2 ? 3x ? 4 ? 0}, 则 (CR S ) ? T ? ( A. (?2,1] 2.函数 y ? B. (??,?4] ) C. (?1,1) ? (1,??) ) D.[?1,1) ? (1,??) C. (??,1] ) D. [1,??)

lg( x ? 1) 的定义域是( x ?1

A. (?1,??)

B.[?1,??)

3.设命题 P: ? n ? N, n2 > 2n ,则 ? P 为( (A) ? n ? N, n2 > 2n

(B) ? n ? N, n2 ≤ 2n

(C) ? n ? N, n2 ≤ 2n (D) ? n ? N, n2 = 2n 4. 设集合 A ? {1,2,3}, B ? {4,5}, M ? {x | x ? a ? b, a ? A, b ? B}, 则 M 中元素的个数为 ( ) A.3 B.4 C .5 D.6 )
1 D. y ? ( ) x 2

5.下列函数中,是奇函数且在区间 (0,??) 上为减函数的是( A. y ? 3 ? x B. y ? x3 C. y ? x ?1

6.函数 y ? 3 ? loga (2x ? 3) 的图象必经过定点 P 的坐标为( A. (?1,3) B. (?1,4) C. (0,1) ) D.12

) D. (2,2)

1 x ? ? x?3 则 f (l) 的值是( 7.已知函数 f ( x) ? ? ( 2 ) , ? ? f ( x ? 1) x ? 3 1 1 A. B. C.24 12 8

8.已知 f1 ( x) ? a x , f 2 ( x) ? x a , f3 ( x) ? loga x(a ? 0 且 a ? ? 1), 在同一坐标系中画出其 中两个函数的是( )

A.

B.

C.

D.

1 9. 函数 f ( x) 是定义在 (?2,2) 上的奇函数, 当 x ? (0,2) 时, f ( x) ? 2 x ? 1, 则 f (log 2 ) 3 的值为( ) 2 A. ? 2 B. ? C. 7 D. 3 2 ? 1 3

?1 x?0 ? 10.函数 f ( x ) ? ? 0 x ? 0 , g ( x) ? x 2 ? f ( x ? 1), 则函数 g ( x) 的递减区间是( ?? 1 x ? 0 ?

)

A. [0,??)

B. [0,1)

C. (??,1)

D. (?1,1)

11. 设函数 f(x)=x|x|+bx+c,给出下列四个命题: ①c=0 时,y=f(x)是奇函数.②b=0,c>0 时,方程 f(x)=0 只有一个实数根; ③y=f(x)的图象关于点(0,c)对称; 其中正确的命题是 ( A.①② ) B.②④ B C.①②③ D.①②④ ④方程 f(x)=0 最多有两个实根.

12.已知函数 f(x)=cos x (x∈(0,2π))有两个不同的零点 x1,x2,且方程 f(x)=m 有两 个不同的实根 x3,x4.若把这四个数按从小到大排列构成等差数列,则实数 m 的值 为 ( 1 A.2 ) 1 B.-2 3 C. 2 3 D.- 2

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分
1 13.已知集合 A ? { y | y ? }, B ? { y | y ? x 2 }, 则 A ? B ? ___ x

14.设 a ? 0.32 , b ? 20.3 , c ? log 2 5, d ? log 2 0.3, 则 a, b, c, d 的大小关系是____. (从小 到大排列) 15 若函数 f ( x) ? x ln( x ? a ? x 2 ) 为偶函数,则 a ? .

16.设函数 y ? f ( x) 在 (??,??) 内有定义,对于给定的正数 K,若定义函数

? f ( x) f K ( x) ? ? ? K

f ( x) ? K 取函数 f ( x) ? K
.

f ( x) ? 2?|x|.

当K ?

1 时,函数 f K ( x) 的单 2

调递增区间为____.

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

17. (本小题满分 10 分)已知集合 M ? {a ? 3,2a ? 1, a 2 ? 4}, 且 ? 3 ? M , 求实数 a 的取值集合.

1 1 18. (本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=a- x(a>0,x>0). (1)求证:f(x)在(0,+∞)上是 单调递增函数; 1 1 (2)若 f(x)在[2,2]上的值域 是[2,2],求 a 的值.

19. (本小题满分 12 分)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)有最小正周期 2, 2x 且当 x∈(0,1)时,f(x)= x . 4 +1 (1)求 f(1)和 f(-1)的值; (2)求 f(x)在上的解析式.

20. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x ) ?

2?x ? x ?1

(1)证明:函数 f ( x) 在区间 (?1,??) 上为减函数; (2)是否存在负数 x0 , 使得 f ( x0 ) ? 3x0 成立?若存在,求出 x0 , 若不存在,请说 明理由.

21. (本小题满分 12 分)已知函数 g ( x) ? ax2 ? 2ax ? 1 ? b(a ? ? 0, b ? 1) 在区间 [2,3] 上 有最大值 4,最小值 1. g ( x) ? 设函数 f ( x) ? x (1)求 a、b 的值及函数 f ( x) 的解析式; (2)若不等式 f (2x ) ? k ? 2x ? 0 在 x ?[?1,1] 时恒成立,求实数 k 的取值范围.

22. (本小题满分 12 分) 定义在 R 上的函数 f ( x) ?

mx x , 若函数 g ( x) ? f ( x) ? 1? x x ?1
2

在区间 (?1,1) 上有且仅有两个不同的零点,求实数 m 的取值范围.

廉江一中 2016 届高三第一次月考理科数学试题答案 1C 2C 3C 4B 5C 6A 7B 8B 9A 10B

11C 解析

当 c=0 时,f(x)=x|x|+bx,

此时 f(-x)=-f(x),故 f(x)为奇函数.①正确; 当 b=0,c>0 时,f(x)=x|x|+c,若 x≥0,f(x)=0 无解,若 x<0, f(x)=0 有一解 x=- c,②正确;结合图象知③正确,④不正确. 12 答案 解析 D

假设方程 f(x)=m 的两个实根 x3<x4.由函数 f(x)=cos x(x∈(0,2π))的零点

π 3π π 3π 为2, 2 , 又四个数按从小到大排列构成等差数列,可得2<x3<x4< 2 , π 3π π 由题意得 x3+x4=2+ 2 =2π, 2x3=2+x4, 5π 由①②可得 x3= 6 , 5π 3 所以 m=cos 6 =- 2 .

13, (0,+∞).14. d ? a ? b ? c. 15.1 16. (??,?1] . 17.因为 ? 3 ? M , 所以 a ? 3 ? ?3, 或 2a ? 1 ? ? 3, 或 a 2 ? 4 ? ?3, 解得 a ? 0, 或 a ? ?1 或 a ? 1. -------------------------6 分 当 a ? 0 时, M ? {?3,?1,?4}, 符合题意;-------------------------7 分 当 a ? ?1 时, M ? {?4,?3,?3}, 这与元素的互异性矛盾,故舍去;--------8 分 当 a ? 1 时, M ? {?2,1,?3}, 符合题意.-----------------9 分 综上所述,实数 a 的取值集合为 {0,1}. ---------------------------------10 分。 18.解:(1)证明:设 x2>x1>0,则 x2-x1>0,x1x2>0.----------------------2 分 1 1 1 1 ∵f(x2)-f(x1)=(a-x )-(a-x ) 2 1 1 1 x2-x1 =x -x = x x >0,-----------------------------------------------4 分 1 2 1 2 ∴f(x2)>f(x1),--------------------------------------------------------------5 分 ∴f(x)在(0,+∞)上是单调递增函数.---------------------------------------6 分 1 1 (2)∵f(x)在[2,2]上的值域是[2,2],----------------------8 分 1 又 f(x)在[2,2]上单调递增,-------------------------------------10 分 1 1 2 ∴f(2)=2,f(2)=2,易得 a=5.----------------------------------------------12 分。 19 解:(1)∵f(x)是周期为 2 的奇函数, ∴f(1)=f(1-2)=f(-1)=-f(1),----------------2 分 ∴f(1)=0,f(-1)=0.-------------------------------------------5 分

(2)由题意知,f(0)=0. 当 x∈(-1,0)时,-x∈(0,1).-----------------------------------------6 分 2-x 2x 由 f(x)是奇函数,∴f(x)=-f(-x)=- -x =- x ,----------------8 分 4 +1 4 +1 综上,在上, x∈?0,1?, ? ? 2 f(x)=? - , x∈?-1,0?, 4 +1 ? ?0, x∈{-1,0,1}.
x x x

2x , 4 +1

--------------------12 分

20.(1)任取 x1, x2 ? (?1,??), 且 x1 ? x2 . -------- -------------------------------2 分 2 ? x1 2 ? x 2 3x2 ? 3x1 ? ? 0, --------------------4 分 ? 因为 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? x1 ?1 x 2 ?1 ( x1?1)( x2 ?1) 所以函数 f ( x) 在 (?1,??) 上为减函数. -------------------------------------------6 分 3 , 由 x0 ? 0 得: f ( x0 ) ? ?1 或 f ( x0 ) ? 2, --------9 分 (2)解法 1: f ( x) ? ?1 ? x ?1 但 0 ? 3x0 ? 1, 所 以 不 存 在 x0 , 使 f ( x0 ) ? 3x0 成 立.--------------------12 分。 解法 2:假设存在负数 x0 , 使得 f ( x0 ) ? 3x0 成立,---------------7 分 则因为 x0 ? 0, 故 0 ? 3x0 ? 1, 即 0 ? f ( x0 ) ? 1. -------------------8 分
? ? ? 1 ? x0 ? 2 ? ? 1 ? x0 ? 2 2 ? x0 ? ? ? 1, ? 故0 ? -----------10 分 ? ? 2x ? 1 ? ? x ? ?1或x ? 1 0 x0 ?1 ? ?0 0 0 ? ? 2 ? x0 ? 1 ? ? 1 ? ? x 0 ? 2, 与 x0 ? 0 矛盾,--------------------------分 11 2 所以不存在负数 x0 , 使得 f ( x0 ) ? 3x0 成立.------------------------------------12 分

21.(1) g ( x) ? ax2 ? 2ax ? 1 ? b, 对称轴 x=1.----------------------------------2 分
?a ? 0 ?a ? 0 ? ? 由题意得: ? g (2) ? 1 ? b ? 1 ,或 ? g (2) ? 1 ? b ? 4 -----------5 分 ? g (3) ? 3a ? b ? 1 ? 4 ? g (3) ? 3a ? b ? 1 ? 1 ? ?

?a ? 1 ?a ? ?1 解得 ? 或? (舍去) .------------------------------6 分 ?b ? 0 ?b ? 3 ? 1
故 a ? 1, b ? 0. 所以 g ( x) ? x 2 ? 2 x ? 1, f ( x) ? x ? (2)不等式 f (2x ) ? k ? 2x ? 0, 即 2 x ?
1 ? 2. --------------------7 分 x

1 ? 2 ? k ? 2 x , -------------------------------- 8 分 x 2

1 2 1 ) ? 2 ? ( x ) ? 1, ----------------------------------------------10 分 x 2 2 1 1 设 t ? x ? [ ,2], 所以 k ? (t ? 1) 2 , 又因 (t ? 1) 2 min ? 0, 故 k ? 0. ---------12 分。 2 2

即k ? (

22.因为 f ( x) ?

x mx x ? ? 0. -------------------------2 分 , 令 g ( x) ? 0, 即 2 x ?1 1? x x ?1
2

化简得 x(mx2 ? x ? m ? 1) ? 0. 所以 x ? 0 或 mx2 ? x ? m ? 1 ? 0. 若 0 是方程 mx2 ? x ? m ? 1 ? 0 的根,则 m ? ? 1, ----------------------------------4 分 此时方程为 ? x 2 ? x ? 0 的另一根为 1 ,不满足 g ( x) 在 (?1,1) 上有两个不同的零 点.------------------6 分 所以函数 g ( x) ? f ( x) ?
mx 在区间 (?1,1) 上有且仅有两个不同的零点等价于方程 1? x

m x2 ? x ? m ? 1 ? 0 (*)在区间 (?1,1) 上有且仅有一个非零的实根.

(1)当 m ? 0 时 ,得方程 (*)的根为 x ? ?1, 不符合题意.-----------------------7 分 (2)当 m ? ? 0 时,则 ①当 ? ? 12 ? 4m(m ? 1) ? 0 时,得 m ? 则方程(*)的根 为 x ? ? 若m ?
?1? 2 ?1? 2 ?若 m ? , 2 2

1 1 ?? ? 2 ? 1 ? (?1,1), 符合题意,--------8 分 2m ?1 ? 2

1 1 ?1? 2 , 则方程(*)的根为 x ? ? ?? ? ? 2 ? 1 ? (?1,1), 2 2m ?1? 2
?1? 2 ? ------------------------- ------------------------9 分 2

不符合题意.所以 m ? ②当 ? ? 0 时, m ?

?1? 2 ?1? 2 ? 或m ? 2 2

?? (?1) ? ? (1) ? 0 令 ? ( x) ? mx2 ? x ? m ? 1, 由 ? ,得 ? 1 ? m ? 0. ------------------11 分 ?0 ?? (0) ?
综上所述,所求实数 m 的取值范围是 (?1,0) ? {
?1? 2 }. ----------------------12 分。 2


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