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2007年全国高中数学联赛广西赛区预赛


32

中 等 数 学

2007 年全国高中数学联赛广西赛区预赛
, 一 选择题 ( 每小题 6 分 ,共 36 分) 1. 若点 P ( x , y ) 在直线 x + 3 y = 3 上移 x y 动 ,则函数 f ( x , y ) = 3 + 9 的最小值等于 ( . )
27 (A) 5 4 16

( C) 7 9
1 5

27 (B) 7 9 5 (D) 3 2

1 7

1 7

1 3

2. 满足 y = x + 3 + x + 2 007 的正整 ) 数数对 ( x , y ) ( . (A) 只有一对 (B) 恰有两对 ( C) 至少有三对 (D) 不存在 3. 设集合 M = { - 2 ,0 ,1} , N = {1 ,2 ,3 ,4 ,5} , 映射 f : M →N 使对任意的 x ∈M , 都有 x + f ( x ) + xf ( x ) 是奇数 . 则这样的映射 f 的个 ) 数是 ( . (A) 45 (B) 27 ( C) 15 (D) 11 =1所 2 007 sin ( 19 ) ° cos ( 19 ) ° ) 表示的曲线是 ( . (A) 双曲线 (B) 焦点在 x 轴上的椭圆 ( C) 焦点在 y 轴上的椭圆 (D) 以上答案都不对
2 007

二, 填空题 ( 每小题 9 分 ,共 54 分) 1. 已知三个正整数 x , , 的最小公倍 y z x + 3 y - 2z = 0 , 数是 300 , 并且 则方程组 2 2 2 2 x - 3 y + z = 0. 的解 ( x , y , z ) = . 2 2. 已知关于 x 的方程 x - 2 x + 2 = 0 和 2 x + 2 mx + 1 = 0 的四个不同的根在复平面上 对应 的 点 共 圆 . 则 实 数 m 的 取 值 范 围 是 . 3. 设平面上的向量 a , , , 满足关系 b x y a = x - y , b = 2 x + y , 又设 a 与 b 的模均为 1 ,且互相垂直 . 则 x 与 y 的夹角为 . 4. 设函数 f 0 ( x ) = | x | , f 1 ( x ) = | f 0 ( x )
- 1| , f 2 ( x ) = | f 1 ( x ) - 2| . 则函数 f 2 ( x ) 的图

4. 方程

x

2

+

y

2

像与 x 轴所围成图形中的封闭部分的面积 是 . 5. 已知单位正方体 ABCD - EFCH 棱 AD 与直线 BC 上分别有动点 Q , . 若 △PQG 与 P △BDE 相截得到的线段 MN 长度为 y ,设 AQ = x ( 0 ≤x ≤ ) . 则 y 的最小值写成关于 x 的 1 函数关系式是 . 6. 设 a1 , a2 , …, a2 007 均 为 正 实 数 , 且
1 1 1 1 + + …+ = . 2 + a1 2 + a2 2 + a2 007 2

5. 将一个三位数的三个数字顺序颠倒 , 将所得到的数与原数相加 , 若和中没有一个 数字是偶数 , 则称这个数为 "奇和数" 那么 , . ( 个 . ) 所有的三位数中 ,奇和数有 (A) 100 (B) 120 ( C) 160 (D) 200 5 3 2 6. 设 a1 = 6 , an + 1 = a + an - 2 4 n 4 ( n ∈N+ ) ,其中 ,[ x ] 表示不超过 x 的最大整

则 a1 a2 …a2 007 的最小值是 . ( 20 分 ) 如图 1 , 已知 ⊙O1 与 ⊙O2 交 三, 于 两 不 同 点 A, B , 点 P ,E 在 ⊙O1 上 , 点 Q , F 在 ⊙O2 上 , 且
EF 为 两 圆 的 公

数 . 则 a1 + a2 + … + a2 007 的 个 位 数 字 为 ( . ) (A) 1 (B) 2 ( C) 3 (D) 4

切 线 , PQ ‖ EF , PE 与 QF 交于点 R . 证明 : ∠PBR = ∠QBR .

图1

2008 年第 4 期

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( 四 ,20 分) 已知 △ABC 的三边长分别为 a , , ,且满足 b c abc = 2 ( a - 1) ( b - 1) ( c - 1) . ( 1) 是否存在边长均为整数的 △ABC ? 若存在 ,求出三边长 ; 若不存在 ,说明理由 . (2) 若 a > 1 , b > 1 , c > 1 , 求出 △ABC 周 长的最小值 .

解得
3. A.

a = 500 , b = 502



a = 164 , b = 170.

五, 已知椭圆

x y 2 + 2 = 1 过定点 A ( 1 , a b

2

2

0) ,且焦点在 x 轴上 , 椭圆与曲线 | y | = x 的 交点为 B , . 现有以 A 为焦点 , C 过点 B 和 C 且开口向左的抛物线 , 抛物线的顶点坐标为 2 2 M ( m ,0) . 当椭圆的离心率 e 满足 < e < 1 3 时 ,求实数 m 的取值范围 .

参考答案
一 , A. 1.
f ( x) = 3 + 9 = 3 + 9
x y x

当 x = - 2 时 , x + f ( x ) + xf ( x ) = - 2 f ( - 2) 为奇数 ,则 f ( - 2) 可取 1 ,, , 有三种 3 5 ( x ) + xf ( x ) = f ( 0 ) 为 取法 ; 当 x = 0 时 , x + f 奇数 ,则 f ( 0) 可取 1 ,, ,有三种取法 ; 当 x = 3 5 1 时 , x + f ( x ) + xf ( x ) = 1 + 2 f ( 1) 为奇数 , 则 f ( 1) 可取 1 ,,,, , 有五种取法 . 由乘法原 2 3 4 5 理知 ,共有 3 × × = 45 个映射 . 3 5 4. C. 2 007 2 1 003 1 003 19 = 19 ×( 19 ) = 19 ×( 360 + 1) = 19 ×( 360 n + 1) ( n ∈N+ ) . 2 007 故 sin (19 )° sin (360 × n + 19)° sin 19° = . = 19 2 007 同理 ,cos ( 19 ) ° cos 19° = . 而 cos 19° sin 19° 0 ,故选 ( C) . > > 5. A. 设三位数是 a1 a2 a3 . 则
a1 a2 a3 + a3 a2 a1

3- x 3 2 2x 3 12 x 3 12 x 3

=3 +3 =

x

2

1-

x

3

=3 +3

x

= 100 ( a1 + a3 ) + 10 ( a2 + a2 ) + ( a1 + a3 ) . +3

1 x 1 x 1· + · +3 3 3 2 2
5

2 x 3

+3

若 a1 + a3 不进位 ,则和数的十位数必为 偶数 ,不符合题意 . 所以 , a1 + a3 = 11 ,13 ,15 ,17. 因 11 = 9 + 2 = 8 + 3 = 7 + 4 = 6 + 5 ,所以 , 2 a1 ,3 取值有 4A2 种可能 ; a 因 13 = 9 + 4 = 8 + 5 = 7 + 6 , 所以 , a1 , 3 a 取值有 3A2 种可能 ; 因 15 = 9 + 6 = 8 + 7 ,所以 , a1 , 3 取值有 a
2A 种可能 ;
2 2 2

≥· 5
5

1 x 1 x ·· ·· 3 3 3 2 2 1 3 27 · =5 3 4 4
2 x 3

2 1x 3

· 3

2 1x 3

· 3

2 1x 3

= 5·

1 5

,

1 x 1当且仅当 · = 3 3 2

3 , 即 x = ( 1 + log3 2 ) 5
1 5

时 ,上式等号成立 . 故 f ( x , y ) 的最小值是 5
2. B.
2 2

27 4

.

因 17 = 9 + 8 , 所以 , a1 , 3 取值有 A2 种 a 可能 . 又 a2 + a2 不能进位 ,所以 , a2 只能取 0 ,
1 ,,, 2 3 4.

2

设 a = x + 3 , b = x + 2 007 , 其中 , a , b 均为自然数 . 则 y= a+ b, 2 2 b - a = ( b - a ) ( b + a) 2 = 2 004 = 2 × × 3 167. 因为 b + a 与 b - a 的奇偶性相同 , 且 b + a > b - a ,所以 , b + a = 1 002 , b + a = 334 , 或 b- a =2 b - a = 6.

因此 ,满足条件的数共有 2 2 2 2 5 ( 4A2 + 3A2 + 2A2 + A2 ) = 100 ( 个) .
6. B.

由 a1 = 6 = 5 × 2

1- 1

+ 1 , a2 = 11 = 5 × 2
n- 1

2- 1

+ 1 , …… 猜想 : an = 5 × 2

+ 1.

由已知递推关系式 , 易用数学归纳法证 明 ( 略) .

34

中 等 数 学

于是 ,当 n > 1 时 , an ≡ ( mod 10) . 1 故 a1 + a2 + …+ a2 007 ≡ + 2 006 ≡ (mod 10) . 6 2 二 , ( 20 ,60 ,100) . 1. 2 2 将 x + 3 y - 2 z = 0 变形后代入 2 x - 3 y 2 + z = 0 ,消去 x 得 2 2 5 y - 8 yz + 3 z = 0 , 即 ( 5 y - 3 z ) ( y - z ) = 0. 故 5y - 3z = 0 , ① 或 y - z = 0. ② 由方程 ① x + 3 y - 2 z = 0 ,得 y = 3 x , z 及 = 5 x ,即 x : : = 1:: y z 3 5. 于是 ,由已知条件必有 x = 20 , y = 60 , z = 100. 由方程 ② x + 3 y - 2 z = 0 , 得 x = - y 及 = - z ,与已知条件矛盾 . 3 2. { m | - 1 < m < 1 或 m = - }. 2 2 易知方程 x - 2 x + 2 = 0 的两根为 x1 = 1 + i , x2 = 1 - i . 2 当Δ = 4 m - 4 < 0 , 即 - 1 < m < 1 时 , 方 2 程 x + 2 mx + 1 = 0 有两个共轭的虚根 x3 ,
x4 ,且 x3 ,4 的实部为 - m ≠ ,此时 , x1 ,2 , x 1 x x3 ,4 在复平面内对应的点构成等腰梯形或 x

cos θ=

x· y

| x | · y| |

= 10 . 10

10 . 10

故 θ=π - arcos
4. 7.

函数 y = f 2 ( x ) 的图像如图 2 的实线部 分所示 . 所求的封闭部分的面积为 S 梯形ABCD - S △CDE 1 1 = ( 2 + 6) × × × = 7. 2 1 2 2 2

图2

6 6 . 2 3- x 当 AQ = x 时 , 设 GQ 与面 BDE 交于点 N ,作 NM ⊥BD 于点 M , 联结 QM 交直线 BC 于点 P′取点 P′ P , 知此时 y = | MN | 最 , 为 小. 5. y =

矩形 ,它们共圆 . 2 当Δ = 4 m - 4 > 0 , 即 m < - 1 或 m > 0 2 时 ,方程 x + 2 mx + 1 = 0 有两个不等的实根 x3 ,4 ,则 x1 ,2 对应的点在以 x3 ,4 对应的 x x x 点为直径端点的圆上 ,该圆的方程为 ( x - x 3 ) ( x - x4 ) + y2 = 0 ,
2 2 即 x + y - ( x3 + x4 ) x + x3 x4 = 0.

将 x3 + x4 = - 2 m , x3 x4 = 1 及 x1 ,2 对 x 应点的坐标 ( 1 , ± ) 代入方程 ,得 m = 1 故 m 的取值范围是
{ m| - 1 < m < 1 或 m = 3.π - arcos 3 }. 2 3 . 2

10 . 10 a+ b b - 2a 由已知得 x = ,y = . 3 3 设 x 与 y 的夹角为θ,则

建立如图 3 的空间直角 坐 标 系, 则 Q (0 , x , 1 ) 且 △BDE 所在平 面上的点 ( x , y , z ) 满足 x + y = z. 故可令 N ( x0 , y0 , x0 + 图3 y0 ) . 由点 N 在 QG 上 , 知在 ( 0 ,1 ) 内存在 λ, 使 QN = λ . QG 代入消去 λ得 2 x 0 + y 0 = 1 , x0 ( x - 1) + y 0 = x . 1- x 1+ x 从而 , x0 = ,y = . 3- x 0 3- x 1- x 1+ x 2 于是 , N = , , . 3- x 3- x 3- x 而点 M 在 BD 上 ,故令 M ( x1 ,1 - x1 ,1) . 3 1- x 由 MN · = 0 ,知 x1 = BD . 2 3- x

2008 年第 4 期

35

故 y = | MN| =
6. 4 012
2 007

6 1- x 6 6 = . 2 3- x 2 3- x

. 2 设 xi = ,则 2 + ai
ai = 2·

1 - xi
xi

2 007

,且

i =1

∑x

i

= 1.

故 a1 a2 …a2 007
=2
2 007

·

1 1
2 007

2 007

1 ≤1 ≤1 ≤1 . a b c 5 由 abc = 2 ( a - 1) ( b - 1) ( c - 1) ,可得 3 1 1 1 1 ≥ 4 = 111. 2 a b c 5 矛盾 . 故 c 只能取 2 ,, 3 4. 当 c = 2 时 , ab = ( a - 1) ( b - 1) ,有 a + b = 1.

若 c ≥ ,此时 , 5

x1 x2 …x2 007 x1 x2 …x2 007

i =1

x ∏( ∑ )
j j ≠i

2 007

≥ 2 007 · 2
=2
2 007

i =1



2 006
2 007

j ≠i



xj

1 2 006

× 006 2 = 4 012 . 三, 图 如 4 ,过点 B 作 GH ‖ EF , 分 别 交 ⊙O1 , ⊙O2 于点 G , H. 设 ⊙O1 的 半 径 为 r1 , BR ∩ PQ = Z , BG ∩ EP 图4 = X , BH ∩ FQ = Y , PQ ∩ EO1 = N 1 , PQ ∩ FO2 = N 2 , BG ∩EO1 = M1 , B H ∩ FO2 = M2 , EM1 = FM2 =
a , EN 1 = FN 2 = b .

易知 EG =
EX = a EP = b

2 r1 a , EP =

2 r1 b ,

又 a ≥b ≥ ,故无解 . 2 当 c = 3 时 ,3 ab = 4 ( a - 1) ( b - 1) ,即 ( a - 4) ( b - 4) = 12. 又 a ≥b ≥ ,故 3 a - 4 = 12 , a - 4 =6, a - 4 =4, 或 或 b- 4 =1 b- 4 =2 b - 4 = 3. a = 16 , a = 10 , a =8, 解得 或 或 b=5 b=6 b = 7. 能构成三角形的只有 a = 8 , b = 7 , c = 3. 当 c = 4 时 ,同理解得 a = 9 , b = 4 或 a = 6 , b = 5. 而能构成三角形的只有 a = 6 , b = 5 , c = 4. 因此 , 存在三边长均为整数的 △ABC , 其三边长分别为 4 ,, 或 3 ,, 5 6 7 8. ( 2) 由 abc = 2 ( a - 1) ( b - 1) ( c - 1) ,得 1 1 1 1 = 1112 a b c 1 1 1 3 1+ 1+ 1a b c ≤ . 3
1 ≤ 3 3- 3 . c 2 1 1 1 又 ( a + b + c) + +

a · 2 r1 a . b



1

a

+

1

b

+



EX = EG

a . b a . b a . b

a

b

c

≥ ,则 9

由 △EGX ∽ △B PX ,知
EX BX = = EG B P BY 同理 , = BQ

a+ b+ c≥

1

≥ 9 3 + + 3- 3 a b c 2
1

9 1

3 2 =3 . 2- 1

3



BX B Y B P BX = ,即 = . B P BQ BQ B Y PZ BX B P = = . ZQ B Y BQ

故 △ABC 的周长最小值为 3
3

3 2 , 当且 2- 1

3

由 PQ ‖XY ,知

所以 , ∠PBR = ∠QBR . ( 四 ,1) 不妨设 a ≥b ≥c . 显然 , c ≥ 2.

仅当 a = b = c = 3

2 时 ,取得此最小值 . 2- 1 五, 椭圆过定点 A ( 1 ,0) ,则

36

中 等 数 学

课外训练

数学奥林匹克初中训练题 ( 107)
第一试
一, 选择题 ( 每小题 7 分 ,共 42 分) 1. 已知 x , , 是不全相等的实数 ,且 y z 1 1 1 x+ =y+ =z+ = k.
y z x

(A) (B) ( C) (D)

5 +2 3 5- 2 2 3+ 5 3 3- 5 2

) 则 k 的所有可能值为 ( . 1 (A) ± (B) ± 1 2 ( C) ± (D) 不能确定 2 2. 如 图 1 , 在 边 长 为 1 的 正 方 形 A 1 A 2 A 3 A 4 的边 A 2 A 3 , 3 A 4 上分别取点 A 5 , A
A 6 , 使得 A 3 A 5 = A 3 A 6 = p , 且直线 A 1 A 2 与 A4 A5 , A1 A4 与 A2 A6 , A1 A5 与 A4 A3 , A1 A6 与 A 2 A 3 的交点 B 1 , 2 , 3 , 4 共线 . 则 p 的值 B B B

) 为 ( .

3. 已知 方 程 2 2 x + px + q = 0 的两根之差等于方程 x + qx 2 + p = 0 的两根之差 . 那么 , 除去 p - 4 q > 0 2 与 q - 4 p > 0 之外 , p , 还应具有的关系式 q ) 为 ( . (A) p + q = 4 (B) p = - q ( C) p + q = - 4 或 p = q

图1

a = 1 , c = 因为

1 - b ,e =

2

1- b .

2

将 y= x x∈0,
2

1 2

代入得

2 3 2 < e < 1 ,所以 ,0 < b < . 3 3 由对称性知 , 所求抛物线只要过椭圆与

x + 4 ( m - 1) x - 4 m ( m - 1) = 0.
2 令 f ( x ) = x + 4 ( m - 1 ) x - 4 m ( m - 1) 1 m > 1 ,0 < x < . 2 1 因为 f ( x ) 在 0 , 内有根且单调递增 , 2 所以 , f ( 0 ) = - 4 m ( m - 1) < 0 ,

射线 y = x ( x ≥ ) 的交点 ,就必过椭圆与射线 0 y = - x ( x ≥ ) 的交点 . 0
y = x(x ≥) , 0

解方程组

x + x= y= b

2

2 得 y 2 =1 , b

1+ b

2

.

f

1 2

=

1 + 2 ( m - 1) - 4 m ( m - 1) > 0. 4

1 又 b ∈ 0 , 3 ,则 0 < x < . 2 3 设抛物线方程为 2 y = - 2 p ( x - m ) ( p > 0 , m > 1) .

m >1 或 m <0 , 因此 , 3 - 2 3+ 2 < m< . 4 4

因为
2

p

2 y = 4 ( 1 - m ) ( x - m ) ( m > 1) .

= m - 1 ,所以 ,

故1< m<

3+ 2 . 4 ( 刘金国 提供)

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