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1.2.1任意角的三角函数(1)


1.2.1 任意角的三角函数(1) 【课前预习】阅读教材 p11--13

一、知识归纳: r ? x 2 ? y 2
y ? 叫做 ? 的正弦,记作: s i n ? r x ? 比值 叫做 ? 的余弦,记作: c o s ? r y ? 比值 叫做 ? 的正切,记作: t a n ? x 二、例题讲解:
比值

P (x, y)
y ; r x ; r y ; x
r

?

例 1、已知角 ? 的终边经过下列各点,求 ? 的三个三角函数值: (1) P ? 2, ?3? ; (2) Q ? 0, ?3? 。

例 2、求下列各角的三个三角函数值: (1) 0 (2) π (3)

3? 2

(4)

? 2

例 3、填表: ? 弧度 sin ? cos? 0? 30? 45? 60? 90? 120? 135? 150? 180? 270? 360?

sec? csc?
例 4、⑴ 已知角?的终边经过 P(4,?3),求 2sin?+cos?的值; ⑵已知角?的终边经过 P(4a,?3a),(a?0)求 2sin?+cos?的值。

1

三、针对训练:
1.已知角 ? 的终边过点 P(- 4,?3) ,则 sin a =_______, cos a =_______, tan a =_______。 1、 2.若角 θ 的终边经过 P(0,a),a≠0,那么下列各式中不存在的是( ) A.sinθ B.cosθ C.tanθ 3、如果角 ? 的顶点在原点,始边与 x 轴的正半轴重合,终边在函数 y=-5x(x<0)的图像上, 那么 cosα 的值为( ) A.±

26 26

B.

26 26

C. -

26 26

D.-

1 5


4、若点 P(-3,y)是角 ? 终边上一点,且 sin ? ? ?

2 ,则y的值是 3

5、角 θ 的终边上一点 P 的坐标是(x,–2)(x≠0),且 cos ? ?

x ,求 sinθ 和 tanθ 的值。 3

6、角 ? 的终边上一个点 P 的坐标为(5a,

-12a) (a≠0),求 sin ? +2cos ? 的值。

7.已知角 ? 的终边过点 P(a, ?2a)(a ? 0) ,求: (1) tan ? ; (2) sin ? ? cos ? 。

四、课堂小结: 1、任意角的三角函数的定义:设 ? 是一个任意角, P( x, y ) 是 ? 终边上的任一异于原点的 点,则 sin ? ? , cos? ? 2、任意角的三角函数的定义域: 函 数 定 义 域 , tan ? ? 。

y ? sin ? y ? cos ?
y ? tan ?
五.作业 P 20

R R

{? | ? ?

?
2

? k? , k ? Z }
2 . 3. 4. 5
2

习题 1.2 A 组

1.2.1 任意角的三角函数(2) 一、知识归纳:
1.、三角函数在各象限内的符号规律:一全正、二正弦、三正切、四余弦。

2、终边相同的角的同名三角函数值相等 诱导公式一(其中 k ? Z ) :

sin(? ? k ? 360?) ? sin ? cos(? ? k ? 360?) ? cos? tan( ? k ? 360?) ? tan? ? 二、例题讲解:
(1)cos250° (2) sin( ?

sin(? ? 2k? ) ? sin ? cos(? ? 2k? ) ? cos? tan( ? 2k? ) ? tan? ?

例 1、确定下列三角函数值的符号:

?
4

)

(3)tan(-672° )

(4) tan(

11? ) 3

例 2、求下列三角函数的值: (1) sin 1485
?

(2) cos

9? 4

(3) tan( ?

11? ) .? 6

例 3、求值:sin(-1380° )cos1110° +cos(-1020° )sin750° +tan4860° .

例 4、求函数的值域。

例 5、设?是第二象限的角,且 | cos

?
2

|? ? cos

?
2

,求

?
2

的范围。

3

三、针对训练:
1、确定下列各式的符号 (1)sin100°cos240° · ; (2)sin5+tan5。

2、x 取什么值时,

sin x ? cos x 有意义? tan x

3、若三角形的两内角?,?满足 sin?cos? ? 0,则此三角形必为……( ) A 锐角三角形 B 钝角三角形 C 直角三角形 D 以上三种情况都可能

4、求函数 y ?

cos x cos x

?

tan x 的值域; tan x

5、已知?是第三象限角且 cos

?
2

? 0 ,问

? 是第几象限角? 2

四、课堂小结:

4

1.2.1 任意角的三角函数(3) 一、知识归纳:
1、有向线段: 2、三角函数线: 正弦线、余弦线、正切线

设任意角 ? 的顶点在原点 O ,始边与 x 轴非负半轴重合,终边与单位圆相交与点

P ( x, y ) ,过 P 作 x 轴的垂线,垂足为 M ;过点 A(1, 0) 作单位圆的切线,它与角 ? 的终边 或其反向延长线交与点 T . y y y y T T P

P

o

A
M

x

M

o

A T

x

M
P

o

A

x

o

M A

x

P T

(Ⅱ) (Ⅰ) (Ⅲ) (Ⅳ) 由四个图看出: 当角 ? 的终边不在坐标轴上时,有向线段 OM ? x, MP ? y ,于是有

sin ? ?

y y ? ? y ? MP MP r 1

cos ? ?

x x ? ? x ?OM OM r 1

tan ? ?

y MP AT ? ? ? AT x OM OA

我们就分别称有向线段 MP, OM , AT 为正弦线、余弦线、正切线。 我们把这三条与单位圆有关的有向线段 MP、OM 、AT ,分别叫做角 ? 的正弦线、余弦 线、正切线,统称为三角函数线.

二、例题选讲:
例 1、做出下列各角的正弦线、余弦线、正切线: ⑴

5? 6

⑵?

13? 6

例 2、在单位圆中画出适合下列条件的角的终边: ⑴

sin ? ?

1 2

⑵ cos ? ? ?

3 2

⑶ tan ? ? 1

例 3、⑴在 0 到 2? 内,求使 sin ? ? ?

2 的 ? 的取值范围。 2 2 的 ? 的取值范围。 2

⑵ 在任意角的范围内,求使 sin ? ? ? 四、课堂小结: 正弦线、余弦线、正切线

5

1.2.2

同角三角函数的基本关系

一、知识归纳: 同角三角函数的求值化简与证明: 二、例题讲解:
2 ? 例 1、化简: 1 ? sin 440 。

例 2、已知 ?是第三象限角,化简

1 ? sin ? 1 ? sin ? 。 ? 1 ? sin ? 1 ? sin ?

练习:化简

1 ? cos? 1 ? cos? ( ? 为第四象限角) ? 1 ? cos? 1 ? cos?

例 3、求证:

cos ? 1 ? sin ? ? 。 1 ? sin ? cos ?

6

1.2.2

同角三角函数的基本关系

【课前预习】阅读教材 P18-20 完成下面填空: 1、 同角三角函数关系的基本关系式: (1) 平方关系: (? ? ) 2) ( ; 商数关系: 【课初 5 分钟】 例 1.若 sin ? ? ?0.4 ( ? 是第四象限角) 则 cos? = ,

(? ? , tan ? =

) ; 。

练习(自主落实,未懂则问:) 1.已知 cos ? ? 则 sin ? 的值是

1 , 且 tan ? ? 0 , 5


2.已知 tan ? ?

则 sin ? 的值为___________;

1 3 , 且 ? ? (? , ? ) , 2 2

3.若 ? 是第四象限角,且 tan ?

??

5 , 则sin ? ? 12



例 2.若 sin ? ? cos? ?

2 ,则 sin ? cos ? ?



练习:2.已知 sin ? cos ? ?

1 ? ? , 且 ? ? ? ,求 cos? - sin ? 的值。 8 4 2

例 3. 0 ? 2 x ? 2? , 若 则使 1 ? sin 2 2x ? cos2x 成立的 x 的取值范围是





A、 (0,

?
4

)

3 B、 ( ? , ? ) 4

? 5 C、 ( , ? ) 4 4

D、 [0,

?
4

]U[ ?,?]

3 4

7

【课后 15 分钟检测】 1、已知 sin ? ?

4 ,并且 ? 是第二象限角,求 ? 的其他三角函数值. 5

2、已知 cos? ? ?

8 ,求 sin ? 、tan ? 的值. 17

3、已知 tan ? 为非零实数,用 tan ? 表示 sin ? ,cos ? .

4、已知 sin ? ? cos ? ? ① sin ? ? cos ? ;

1 ,求下列各式的值 ? 2
王新敞
奎屯 新疆

② sin ? ? cos ? 。
4 4

5 已知 sin ? ? cos ? ? ? (0 ? ? ? ? ) ,则 tan ? ?

1 5



6 已知 sin ? ? cos ? ? ?

5 , 则 sin ? ? cos ? ? 4



m?3 4 ? 2m ? ( ? ? ? ? ), , cos ? ? m?5 m?5 2 求(1)m 的值; (2) tan ? 的值。

7 已知 sin ? ?

8

1.2.2 同角三角函数的基本关系
一、知识归纳:
同角三角函数基本关系式:平方关系是: , 商数关系是: 。

二、针对训练: 1、 (1)已知 sin ? ?

1 ,且 ? 为第一象限角,求 cos a , tan a 的值; 2

(2)已知 cos ? ? ?

4 且 ? 为第三象限角,求 sin a , tan a 的值; 5

2、已知 cos ? ?

1 ,求 sin a , tan a 的值; 。 2

3、已知 tan ? ? ? 3 ,求 sin a , cos a , tan a 的值。

9

例、已知 sin ? ? 2 cos ? , 求

sin ? ? 4 cos ? 及 sin 2 ? ? 2 sin ? cos ?的值。 5 sin ? ? 2 cos ?

三、针对训练:
1、已知 tan ? =3,求下列各式的值:

(1)

4 sin ? ? cos? 3 sin ? ? 5 cos?

(2)

sin 2 ? 2 sin ? ? cos? ? cos2 ? 4 cos2 ? 3 sin 2 ?

3 1 (3) sin 2 ? ? cos2 ? 4 2

(4) sin ? ? cos?

(5) sin ? ? cos?

(6) sin ? ? cos?

(7 )

1 1 ? sin ? cos?

(8) sin 6 ? ? cos6 ?

2 已知 tan? ? 2, 求下列各式的值: (1)

2 sin ? ? 3 cos ? ; 4 sin ? ? 9 cos ?

2 2 (2) sin ? cos ? ; (3)2 sin ? ? 3 sin ? cos? ? 4 cos ? 。

3 已知 tan? ?

2 ,求(1)

cos ? ? sin ? 2 2 ; (2) sin ? ? sin? ? cos? ? 2cos ? 。 cos ? ? sin ?

【课末 5 分钟】 知识整理、理解记忆要点: 1.

2.
10

11


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