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【名师一号】(学习方略)2015-2016学年高中数学 2.2.1等差数列课件 新人教A版必修5


第二章 数列

§2.2 等差数列

第一课时

等差数列

课前预习目标

课堂互动探究

课前预习目标
梳理知识 夯实基础

自学导引 1.理解等差数列的概念. 2.掌握等差数列的通项公式和等差中项的概念,并能应用 公式解决一些问题.

课前热身 1.等差数列. (1)定义:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它 的前一项的差都等于________,那么这个数列就叫做等差数 列,这个常数就叫做等差数列的________,通常用字母d表 示. (2)等差中项:如果三个数a,A,b成等差数列,那么 ________叫做________的等差中项.

2.通项公式. 等差数列{an}的首项是a1,公差是d,则通项公式是an= ________.

自 我 校 对

1.同一个常数 公差 A a与b

2.a1+(n-1)d

名师讲解 1.等差数列 (1)等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d,要理解公式中 an,a1,n,d的含义并掌握以下几点: ①确定a1和d是确定通项的一般方法; ②由方程思想,根据an,a1,n,d中任何三个量可求解另 一个量,即知三求一;

③若通项公式变形为an=dn+(a1-d),可把an看作自变量n 的一次函数,从而等差数列{an}的图象为分布于一条直线上的 一群孤立的点.

(2)对于选择题或填空题还可以直接用以下结论: ①如果数列{an}的通项公式是an=pn+q(p,q是常数),那 么数列{an}是等差数列; ②如果数列{an}满足2an=an-1+an+1(n∈N*,n≥2),那么 数列{an}是等差数列.

(3)要证明数列{an}为等差数列,就要用定义证明an-an-1= d(n≥2,n∈N*)成立.由定义易知,在等差数列中,从第二项 起每一项为其前后两项的等差中项(有穷数列末项除外),即an= an-1+an+1 . 2

2.等差中项的性质 (1)A是a与b的等差中项,则 a+b A= ,或2A=a+b,即等差中项仅有一个. 2 (2)当2A=a+b时,A是a与b的等差中项.

课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通



典 例 剖 析 通项公式的应用
(1)若{an}为等差数列,a15=8,a60=20,则a75=

【例1】

____________. (2)若x是a,b的等差中项,x2是a2,-b2的等差中项,则a 与b的关系是( A.a=b=0 C.a=3b ) B.a=-b D.a=-b或a=3b

分析

(1)先求出a1和d,确定通项公式an,从而得出a75.(2)

利用等差中项的定义,列方程组求解.

【解】

(1)∵a15=a1+14d,a60=a1+59d,

64 ? ? ?a1=15, ?a1+14d=8, ∴? 解得? ? ?a1+59d=20, ?d= 4 . 15 ? 64 4 故a75=a1+74d= +74× =24,∴应填24. 15 15

? ?2x=a+b, (2)依题意得 ? 2 2 2 ? 2 x = a - b ?

2 2 2 ? a + b ? a - b ?x2= 4 = 2 ?3b2+2ab

-a2=0?(a+b)(a-3b)=0?a=-b或a=3b.故选D.

答案

(1)24

(2)D

规律技巧

在等差数列{an}中,首项a1与公差d是两个最基

本的元素;有关等差数列的问题,如果条件与结论间的联系不 明显,则均可化成有关a1,d的关系列方程组求解,但是,要注 意公式的变形及整体计算,以减少计算量.



等差数列的应用

【例2】

成等差数列的四个数之和为26,第二个数与第三

个数之积为40,求这四个数. 【分析】 此题常规方法是利用已知条件,先求出首项和

公差,进而求出这四个数.其实,因这里成等差数列的四个数 之和已知,故可设此四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d,这 样求解更为便利,但必须注意这时的公差应为2d.

【解】

设这四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d,则由

? ??a-3d?+?a-d?+?a+d?+?a+3d?=26, 题设,得? ? ??a-d??a+d?=40.

13 ? ? ?a= 2 , ?4a=26, ?? 2 解得? 2 ? ?a -d =40, ?d=3, 2 ?

13 ? ?a= 2 , 或? ?d=-3. 2 ?

∴所求四个数为2,5,8,11,或11,8,5,2.

规律技巧

已知三数成等差数列时,求这三个数,可设为a

-d,a,a+d使运算简便.若四个数成等差数列,可设为a- 3d,a-d,a+d,a+3d,其中公差为2d.



等差数列的判定
4 an-1 (n>1),记bn

【例3】 已知数列{an}满足a1=4,an=4- 1 = . an-2 (1)求证:数列{bn}是等差数列; (2)求数列{an}的通项公式. 【分析】

(1)要证{bn}是等差数列,只需证bn+1-bn=常

数或bn-bn-1=常数(n≥2). (2)先求bn,再求an.

【解】

1 1 (1)证明:∵bn+1-bn= - an+1-2 an-2

1 1 =? - 4? an-2 ?4- ?-2 an? ? an-2 an 1 1 = - = = , 2?an-2? an-2 2?an-2? 2 1 1 又b1= = , a1-2 2 1 1 ∴数列{bn}是首项为2,公差为2的等差数列.

1 1 1 (2)解:由(1)知bn= +(n-1)× = n. 2 2 2 1 ∵bn= , an-2 1 2 ∴an=b +2=n+2.
n

规律技巧 骤:

定义法判断或证明数列{an}是等差数列的步

(1)作差an+1-an,将差变形; (2)当an+1-an是一个与n无关的常数时,数列{an}是等差数 列;当an+1-an不是常数,是与n有关的代数式时,数列{an}不 是等差数列.

易错探究 已知数列{an},a1=a2=1,an=an-1+2(n≥3). (1)判断数列{an}是否为等差数列?说明理由; (2)求{an}的通项公式.

【错解】

(1)∵an=an-1+2,

∴an-an-1=2(为常数), ∴{an}是等差数列. (2)由上述,可知an=1+2(n-1)=2n-1.

【错因分析】

忽视首项与所有项之间的整体关系,而判

断特殊数列的类型是初学者易犯的错误.事实上,数列{an}从 第2项起,以后各项组成等差数列,而{an}不是等差数列,an= f(n)应该表示为“分段函数”型.

【正解】

(1)当n≥3时,an=an-1+2,

即an-an-1=2,而a2-a1=0不满足an-an-1=2, ∴数列{an}不是等差数列.

(2)当n≥3时,∵an=an-1+2, ∴数列{an}以第三项起为等差数列. 又a1=a2=1,∴a3=3,d=2, ∴an=3+(n-3)×2=2n-3. 当n=2时,a2=2×2-3=1也适合,
? ?1 ?n=1?, ∴an=? ? ?2n-3 ?n≥2?.

随堂训练 1.已知{an}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6= 99,则a20等于( A.-1 ) B.1 C.3 D.7

解析

设公差为d,

? ?a1+a1+2d+a1+4d=105, 则? ? ?a1+d+a1+3d+a1+5d=99,

解得a1=39,d=-2, ∴a20=a1+(20-1)×d=1.

答案 B

2.已知{an}为等差数列,a3+a8=22,a6=7,则a5= ________________.
? ?a3+a8=22, 由? ? ?a6=7, ? ?2a1+9d=22, ?? ? ?a1+5d=7, ? ?a1=47, ?? ? ?d=-8.

解析

∴a5=a1+4d=47-32=15.

答案

15

3.在等差数列{an}中,已知a5=11,d=-2,an=1,求n.
?a1+4d=11, ? 依题意,得?a1+?n-1?d=1, ?d=-2, ?



?a1=19, ? 解得?n=10, ?d=-2. ?

∴n=10.

4.已知数列{an}的通项公式为an=3n 2.求证:数列{lgan}是


等差数列.
证明 设bn=lgan.

则bn+1-bn=lgan+1-lgan=lg3n+3-lg3n+2 =(n+3)lg3-(n+2)lg3=lg3为常数. ∴数列{bn}是等差数列. 即数列{lgan}是等差数列.


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