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1.2.3 简单复合函数的导数


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1.2.3
江苏省泰兴中学 教学目标:

简单复合函数的导数
吴卫东 邵艳 郭红梅 潘翠萍

1.掌握求复合函数 f (ax+b) 的导数的法则; 2.熟练求简单复合函数的导数.

教学重点: 复合函数的求导法则.

教学过程: 一、问题情境 1.问题情境:什么是简单复合函数? 引例 函数 y=(3x- 2 是由哪两个函数复合而成的?函数 y=sin 2 x 呢? 1)

2.探究活动:怎么样求简单复合函数的导数? 以函数 y=(3x- 2 和 y=sin 2 x 为例. 1) 二、建构数学 1.与一次函数复合的函数的导函数公式.
一般地,若函数 y=f ( μ) , μ=ax+b ,则 y?=y? ? u? ,即 y?=y? ? a . x μ x x μ

2.推广:
一般地, 设函数 u= φ (x)在点 x 处有导数 μ?=φ?( x) , 函数 y=f (u ) 在点 x 的对应点 u x 处有导数 y?=f ?( μ) , 则复合函数 y=f (φ( x)) 在点 x 处也有导数, y 'x =y'u ? u 'x 或 且 μ

f x?(φ( x))=f ?( μ) ? φ?( x) .
注 1.复合函数的求导法则:复合函数对自变量的导数,等于已知函数对

中间变量的导数,乘以中间变量对自变量的导数; 2.复合函数求导的基本步骤是:分解——求导——相乘——回代.

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三、数学运用 例1 求下列函数的导数: (2) y=ln(5x+ . 1)

(1) y=(2 x-3)3 ; 例2 求下列函数的导数:
1 ; 3x-1

(1) y= 点评

(2) y=cos(1-2 x) .

求复合函数的导数, 关键在于搞清楚复合函数的结构, 明确复合次数,

由外层向内层逐层求导, 直到关于自变量求导,同时应注意不能遗漏求导环节并 及时化简计算结果. 例3 点评 例4 点评 求 y=
x-a x 2-2ax

的导数.

本题练习商的导数和复合函数的导数,求导数后要予以化简整理. 求 y=sin 4 x+cos4 x 的导数. 可先化简变形,简化求导数运算,要注意变形准确;也可利用复合函

数求导数,应注意不漏步. 练习:课本第 24 页第 2,3,4 题. 四、回顾小结 (1)复合函数的求导,要注意分析复合函数的结构,引入中间变量,将复合 函数分解成为较简单的函数,然后再用复合函数的求导法则求导; (2)复合函数求导的基本步骤是:分解—求导—相乘—回代. 五、课外作业 1.见课本P26习题1.2第8~10题.
x x 5π 2.补充:已知函数 f ( x)=3cos 2 +sin 2 -2 ,求 f ?( ) . 2 2 6


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