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广东省揭阳市2013届高三(上)期末数学试卷(文科)


【解析版】广东省揭阳市 2013 届高三(上) 期末数学试卷(文科)
参考答案与试题解析
一、选择题:本题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一个选项符合题 目要求. 1. (5 分) A.﹣2﹣i =( ) B.﹣2+i C.2﹣i D.2+i

考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 计算题.

分析: 两个复数相除,分子和分母同时乘以分母的共轭复数,运算求得结果. 解答: 解: = = =2﹣i, 故选 C. 点评: 本题主要考查两个复数代数形式的乘除法,虚数单位 i 的幂运算性质,属于基础题. 2. (5 分)集合 A=[0,4],B={x|x +4x≤0},则 A∩ B=( ) {x|x ≠ 0} R {0} A. B. C.
2

D.?

考点: 交集及其运算. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 解元二次不等式求得 B,再根据两个集合的交集的定义求得 A∩ B. 2 解答: 解:∵ 集合 A=[0,4],B={x|x +4x≤0}={x|﹣4≤x≤0}=[﹣4,0], ∴ A∩ B={0}, 故选 C. 点评: 本题主要考查两个集合的交集的定义和求法,一元二次不等式的解法,属于基础题. 3. (5 分)若抛物线 y =2px 的焦点与双曲线 x ﹣y =2 的右焦点重合,则 p 的值为( A.﹣2 B .2 C.﹣4 D.4
2 2 2



考点: 双曲线的简单性质;抛物线的简单性质. 专题: 计算题. 分析: 将双曲线化成标准方程,求得 a2=b2=2 的值,从而得到双曲线的右焦点为 F(2,0) ,该点也是抛物 线的焦点,可得 解答: 解:∵ 双曲线 x ﹣y =2 的标准形式为: ∴ a =b =2,可得 c=
2 2 2 2

=2,所以 p 的值为 4.

=1

=2,双曲线的右焦点为 F(2,0)

∵ 抛物线 y =2px(p>0)的焦点与双曲线 x ﹣y =2 的右焦点重合, ∴ =2,可得 p=4 故选 D. 点评: 本题给出抛物线与双曲线右焦点重合,求抛物线的焦参数的值,着重考查了双曲线的标准方程和抛 物线简单几何性质等知识点,属于基础题. 4. (5 分)不等式 x﹣1>0 成立的充分不必要条件是( ) A.﹣1<x<0 或 x>1 B.0<x<1 C.x>1

2

2

2

D.x>2

考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 计算题. 分析: 由 x﹣1>0,得 x>1,综合选项可得 x>2?x>1,而 x>1 不能推出 x>2. 解答: 解:由 x﹣1>0,得 x>1, 显然 x>2?x>1,而 x>1 不能推出 x>2. 故 x>2 是 x﹣1>0 成立的充分不必要条件, 故选 D 点评: 本题考查充要条件的判断,属基础题. 5. (5 分)对于平面 α 和共面的两直线 m、n,下列命题中是真命题的为( ) A.若 m⊥ α,m⊥ n,则 n∥ α B. 若 m∥ α,n∥ α,则 m∥ n C. 若 m⊥ α,n⊥ α,则 m∥ n D.若 m?β,n?β,m∥ α,n∥ α,则 α∥ β 考点: 空间中直线与平面之间的位置关系;空间中直线与直线之间的位置关系. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 逐个验证:选项 A,可得 n∥ α,或 n?α,故错误;选项 B,可得 m∥ n,或 mn 相交,异面均有可能, 故错误; 选项 C, 由同垂直于一个平面的直线平行, 故正确; 选项 D, 需满足 mn 相交, 才可推出 α∥ β, 故错误. 解答: 解:选项 A,若 m⊥ α,m⊥ n,则 n∥ α,或 n?α,故 A 错误; 选项 B,若 m∥ α,n∥ α,则可能 m∥ n,或 mn 相交,异面均有可能,故 B 错误; 选项 C,由同垂直于一个平面的直线平行,可知若 m⊥ α,n⊥ α,则必有 m∥ n,故 C 正确; 选项 D,若 m?β,n?β,m∥ α,n∥ α,需满足 mn 相交,才可推出 α∥ β,故 D 错误. 故选 C 点评: 本题考查空间中线、面的平行与垂直的位置关系的判断,属基础题.

6. (5 分)平面四边形 ABCD 中 A.矩形 B.菱形

, C.正方形

,则四边形 ABCD 是( D.梯形



考点: 向量在几何中的应用;平面向量数量积的运算. 专题: 计算题;平面向量及应用. 分析: 根据 ,得线段 AB、CD 平行且相等,所以四边形 ABCD 是平行四边形.再由 ,得 对角线 AC、BD 互相垂直,即可得到四边形 ABCD 是菱形.

解答:

解:∵ ∴ 即

, ,可得线段 AB、CD 平行且相等

∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 又∵ ∴ ⊥ ,即 , ⊥ ,四边形 ABCD 的对角线互相垂直

因此四边形 ABCD 是菱形 故选:B 点评: 本题给出向量条件,判断四边形 ABCD 的形状,着重考查了平面向量的线性运算、数量积运算及其 性质,考查了菱形的判定方法,属于中档题. 7. (5 分)等比数列{an}中 a1=512,公比 之积) , , , A.1 , 中值为正数的个数是( B .2 ,记 ) C.3 D.4 (即 表示数列{an}的前 n 项

考点: 数列的应用;等比数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 等比数列{an}中 a1>0,公比 q<0,故奇数项为正数,偶数项为负数,利用新定义,即可得到结论. 解答: 解:等比数列{an}中 a1>0,公比 q<0,故奇数项为正数,偶数项为负数.∴ , , , . 故选 B. 点评: 本题考查等比数列,考查新定义,考查学生的计算能力,属于基础题.

8. (5 分) (2013?河东区二模)给出计算 入的条件是( )

的值的一个程序框图如图,其中判断框内应填

A.i>10

B.i<10

C.i>20

D.i<20

考点: 循环结构. 专题: 压轴题;图表型. 分析: 结合框图得到 i 表示的实际意义, 要求出所需要的和, 只要循环 10 次即可, 得到输出结果时“i”的值, 得到判断框中的条件. 解答: 解:根据框图,i﹣1 表示加的项数 当加到 时,总共经过了 10 次运算,则不能超过 10 次,

i﹣1=10 执行“是” 所以判断框中的条件是“i>10” 故选 A 点评: 本题考查求程序框图中循环结构中的判断框中的条件:关键是判断出有关字母的实际意义,要达到 目的,需要对字母有什么限制. 9. (5 分)已知回归直线的斜率的估计值是 1.23,样本中心点为(4,5) ,若解释变量的值为 10,则预报变 量的值约为( ) A.16.3 B.17.3 C.12.38 D.2.03 考点: 回归分析的初步应用;线性回归方程. 专题: 概率与统计. 分析: 先确定回归方程,再将 x=10 代入,即可得出结论. 解答: 解:设回归方程为 y=1.23x+b, ∵ 样本中心点为(4,5) , ∴ 5=4.92+b ∴ b=0.08 ∴ y=1.23x+0.08 x=10 时,y=12.38 故选 C. 点评: 本题考查回归方程,考查学生的计算能力,属于基础题. 10. (5 分)定义域 R 的奇函数 f(x) ,当 x∈(﹣∞,0)时 f(x)+xf'(x)<0 恒成立,若 a=3f(3) ,b=f (1) ,c=﹣2f(﹣2) ,则( ) A.a>c>b B.c>b>a C.c>a>b D.a>b>c 考点: 利用导数研究函数的单调性. 专题: 导数的综合应用. 分析: 先构造函数 g(x)=xf(x) ,依题意得 g(x)是偶函数,且 g'(x)<0 恒成立,从而故 g(x)在 x∈ (﹣∞,0)单调递减,根据偶函数的对称性得出 g(x)在(0,+∞)上递增,即可比较 a,b,c 的 大小. 解答: 解:设 g(x)=xf(x) ,依题意得 g(x)是偶函数, 当 x∈(﹣∞,0)时,f(x)+xf'(x)<0, 即 g'(x)<0 恒成立,故 g(x)在 x∈(﹣∞,0)单调递减, 则 g(x)在(0,+∞)上递增, 又 a=3f(3)=g(3) ,b=f(1)=g(1) ,c=﹣2f(﹣2)=g(﹣2)=g(2) , 故 a>c>b.

故选 A. 点评: 本小题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、利用导数研究函数的单调性等基础知识, 考查运算求解能力,考查化归与转化思想.属于中档题. 二、填空题:本题共 4 小题,满分共 20 分,把答案填在答题卷相应的位置上. 11. (5 分) 高一 高二 高三 600 y 650 女生 x z 750 男生 某校有 4000 名学生,各年级男、女生人数如表,已知在全校学生中随机抽取一名奥运火炬手,抽到高一男 生的概率是 0.2,则高二的学生人数为 1200 . 考点: 分层抽样方法. 专题: 概率与统计. 分析: 依表可知 x+y+z=4000﹣600﹣650﹣750=2000,再由 人数 y+z 的值. 解答: 解:依表知 x+y+z=4000﹣600﹣650﹣750=2000,再由 =0.2,于是 x=800,

=0.2,求得 x 的值,即可求得高二的学生

故高二的学生人数为 y+z=2000﹣800=1200, 故答案为 1200. 点评: 本题主要考查分层抽样的定义和方法,利用各个个体被抽到的概率相等,属于基础题.

12. (5 分) (2011?朝阳区三模)如果实数 x,y 满足条件

那么 2x﹣y 的最大值为

1 .

考点: 简单线性规划. 专题: 图表型. 分析: 先根据约束条件画出可行域,再利用几何意义求最值,z=2x﹣y 表示直线在 y 轴上的截距,只需求 出可行域直线在 y 轴上的截距最大值即可. 解答: 解:先根据约束条件画出可行域, 当直线 2x﹣y=t 过点 A(0,﹣1)时, t 最大是 1, 故答案为:1.

点评: 本题主要考查了简单的线性规划,以及利用几何意义求最值,属于基础题. 13. (5 分)一个正三棱柱的三视图如图所示,则这个正三棱柱的体积是 .

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题. 分析: 由已知中的三视图,我们易判断出三棱柱的底面上的高和棱柱的高,进而求出底面面积,代入棱柱 体积公式,即可得到答案. 解答: 解:由已知中三视图,可得这是一个正三棱柱 底面的高为 2 ,则底面面积 S= =4

棱柱的高 H=2 则正三棱柱的体积 V=SH=8 故答案为:8 点评: 本题考查的知识点是由三视图求体积,其中根据已知中的三视图判断出几何的形状,并分析出棱长, 高等关键几何量是解答本题的关键,本题易将 2 当成底面的棱长,而错解为 12 . 14. (5 分)在△ ABC 中角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c,若(2b﹣c)cosA=acosC,则 cosA= .

考点: 余弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 由条件利用正弦定理可得 2sinBcosA﹣sinCcosA=sinAcosC,利用两角和的正弦公式化简求得 cosA 的值. 解答: 解:在△ ABC 中,∵ (2b﹣c)cosA=acosC,由正弦定理可得 2sinBcosA﹣sinCcosA=sinAcosC, 化简可得 2sinBcosA=sin(A+C) ,化简求得 cosA= , 故答案为 .

点评: 本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用,两角和的正弦公式,属于中档题. 三.解答题(本大题共 6 小题,共 80 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (12 分)已知函数 f(x)=sinx+cosx,f′ (x)是 f(x)的导函数. (1)求函数 g(x)=f(x)?f'(x)的最小值及相应的 x 值的集合; (2)若 f(x)=2f′ (x) ,求 的值.

考点: 利用导数研究函数的极值;两角和与差的正切函数.

专题: 综合题;导数的综合应用. 分析: (1)求出导数 f′ (x) ,表示出 g(x)并化简,由余弦函数的性质可求其最小值及相应 x 的值的集 合; (2)由 f(x)=2f′ (x)可求得 tanx 值,利用和角正切公式可求得 解答: 解: (1)∵ f(x)=sinx+cosx,故 f'(x)=cosx﹣sinx, ∴ g(x)=f(x)?f'(x)=(sinx+cosx) (cosx﹣sinx)=cos x﹣sin x=cos2x, ∴ 当 2x=﹣π+2kπ(k∈Z) ,即 相应的 x 值的集合为 时,g(x)取得最小值﹣1, .
2 2

的值;

(2)由 f(x)=2f′ (x) ,得 sinx+cosx=2cosx﹣2sinx, ∴ cosx=3sinx,故 ,





点评: 本题考查导数的运算法则及两角和差的正切函数,考查学生的运算求解能力. 16. (12 分)设事件 A 表示“关于 x 的方程 x +2ax+b =0 有实数根”. (1)若 a、b∈{1,2,3},求事件 A 发生的概率 P(A) ; (2)若 a、b∈[1,3],求事件 A 发生的概率 P(A) . 考点: 古典概型及其概率计算公式;几何概型. 专题: 概率与统计. 分析: (1)先求出关于 x 的方程 x2+2ax+b2=0 有实数根的条件,求出数对(a,b)的所有可能事件,再求 出求出事件 A 包含的事件,根据公式计算即可; (2)先判断为几何概型,利用面积比计算即可. 2 2 解答: 解: (1)由关于 x 的方程 x +2ax+b =0 有实数根,得△ ≥0. 2 2 2 2 ∴ 4a ﹣4b ≥0,故 a ≥b ,当 a>0,b>0 时,得 a≥b. 若 a、b∈{1,2,3},则总的基本事件数(即有序实数对(a,b)的个数) 为 3×3=9.事件 A 包含的基本事件为: (1,1) , (2,1) , (2,2) , (3,1) , (3,2) , (3,3) ,共有 6 个. ∴ 事件 A 发生的概率 .
2 2

(2)若 a、b∈[1,3],则总的基本事件所构成的区域 Ω={(a,b)|1≤a≤3,1≤b≤3},是平面直角坐标 系 aOb 中的一个正方形

如图:

其面积



事件 A 构成的区域是 A={(a,b)|1≤a≤3,1≤b≤3,a≥b}, 是平面直角坐标系 aOb 中的一个等腰直角三角形,如图

的阴影部分, 其面积 .

故事件 A 发生的概率



点评: 本题考查古典概型的概率计算及几何概型的概率计算.

17. (14 分)已知点 M(4,0) 、N(1,0) ,若动点 P 满足 (1)求动点 P 的轨迹 C; (2)在曲线 C 上是否存在点 Q,使得△ MNQ 的面积 明理由.



?若存在,求点 Q 的坐标,若不存在,说

考点: 圆锥曲线的综合;圆锥曲线的轨迹问题. 专题: 综合题;圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (1)设动点坐标,利用 ,可得轨迹方程,从而可得动点 P 的轨迹 C; (2)利用面积求得点 Q 的纵坐标,代入椭圆方程,即可求得点 Q 的坐标. 解答: 解: (1)设动点 P(x,y) ,又点 M(4,0) 、N(1,0) , ∴ 由 , ,得 , . …(3 分)

,…(4 分)
2 2 2

∴ (x ﹣8x+16)=4(x ﹣2x+1)+4y ,故 3x +4y =12,即 ∴ 轨迹 C 是焦点为(±1,0) 、长轴长 2a=4 的椭圆; (2)设曲线 C 上存在点 Q(x0,y0)满足题意,则 ∴ , …(11 分) .

2

2

. …(7 分) …(9 分)

又|MN|=3,故|y0|=1.

∵ ∴

,∴ .



…(12 分) …(13 分)

∴ 曲线 C 上存在点

使得△ MNQ 的面积

.…(14 分)

点评: 本题考查向量知识的运用,考查轨迹方程,考查三角形面积的计算,考查学生的计算能力,属于中 档题.

18. (14 分)已知梯形 ABCD 中 AD∥ BC,

,AB=BC=2AD=4,E、F 分别是 AB、CD 上

的点,EF∥ BC,AE=x.沿 EF 将梯形 ABCD 翻折,使平面 AEFD⊥ 平面 EBCF(如图) .G 是 BC 的中点. (1)当 x=2 时,求证:BD⊥ EG; (2)当 x 变化时,求三棱锥 D﹣BCF 的体积 f(x)的函数式.

考点: 直线与平面垂直的性质;棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1)利用面面垂直的性质证线面垂直,由线面垂直?线线垂直,再由线线垂直证线面垂直,由线面 垂直的性质证得线线垂直; (2)根据题意先求得棱锥的高,再根据体积公式求三棱锥的体积即可. 解答: 解: (1)证明:作 DH⊥ EF,垂足 H,连结 BH,GH, ∵ 平面 AEFD⊥ 平面 EBCF,交线 EF,DH?平面 EBCF, ∴ DH⊥ 平面 EBCF,又 EG?平面 EBCF,故 EG⊥ DH. ∵ ,EF∥ BC,∠ ABC=90°.

∴ 四边形 BGHE 为正方形,∴ EG⊥ BH. 又 BH、DH?平面 DBH,且 BH∩ DH=H,故 EG⊥ 平面 DBH. 又 BD?平面 DBH,∴ EG⊥ BD. (2)∵ AE⊥ EF,平面 AEFD⊥ 平面 EBCF,交线 EF,AE?平面 AEFD. ∴ AE⊥ 面 EBCF.又由(1)DH⊥ 平面 EBCF,故 AE∥ GH, ∴ 四边形 AEHD 是矩形,DH=AE,故以 F、B、C、D 为顶点的三 棱锥 D﹣BCF 的高 DH=AE=x. 又 ∴ 三棱锥 D﹣BCF 的体积 f(x)= = . = .

点评: 本题考查线面垂直的性质及棱锥的体积.

19. (14 分) (2013?浙江模拟)数列{an}的前 n 项和 (1)求数列{an}的前 n 项和 Sn; (2)求数列{an}的通项公式; (3)设 ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

,若





考 数列递推式;数列的求和. 点: 专 等差数列与等比数列. 题: 分 (1)利用数列{an}的前 n 项和 析: 的前 n 项和 Sn; (2)利用





,建立方程,求出 a,b 的值,即可求数列{an}

,再写一式,两式相减,即可求数列{an}的通项公式;

(3)求得数列{bn}的通项,利用裂项法即可求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 解 解: (1)由 答: ∴ ,解得 ,得 ,由 ,得 .

,故



…(4 分)

(2) 当 n≥2 时, (7 分) 由于 也适合 . …(8 分)

. …





…(9 分)

(3) ∴ 数列{bn}的前 n 项和



…(10 分)

=



…(14 分) 点 本题考查数列的通项与求和,考查裂项法的运用,考查学生的计算能力,属于中档题. 评:

20. (14 分)二次函数 f(x)满足 f(0)=f(1)=0,且最小值是



(1)求 f(x)的解析式; 2 2 (2)实数 a≠0,函数 g(x)=xf(x)+(a+1)x ﹣a x,若 g(x)在区间(﹣3,2)上单调递减,求实数 a 的取值范围. 考点: 二次函数的性质;函数解析式的求解及常用方法. 专题: 导数的综合应用. 分析: (1)由题意可设 f(x)=ax(x﹣1) (a≠0) ,又由最小值是

,联合解之即可;

(2)表示出 g(x) ,求导数,令导函数小于 0 得到函数的单调减区间,让区间(﹣3,2)为函数的 单调递减区间的子集即可. 解答: 解: (1)由二次函数 f(x)满足 f(0)=f(1)=0.设 f(x)=ax(x﹣1) (a≠0) , 则 又 f(x)的最小值是
2

. ,故 .解得 a=1.

∴ f(x)=x ﹣x; …(4 分) 2 2 3 2 2 2 2 3 2 2 (2)g(x)=xf(x)+(a+1)x ﹣a x=x ﹣x +ax +x ﹣a x=x +ax ﹣a x. 2 2 ∴ g'(x)=3x +2ax﹣a =(3x﹣a) (x+a) . …(6 分) 由 g'(x)=0,得 当 ,或 x=﹣a,又 a≠0,故 .…(7 分) . …(8 分)

,即 a>0 时,由 g'(x)<0,得

∴ g(x)的减区间是

,又 g(x)在区间(﹣3,2)上单调递减,



,解得

,故 a≥6(满足 a>0) ; .

…(10 分)



,即 a<0 时,由 g'(x)<0,得

∴ g(x)的减区间是

,又 g(x)在区间(﹣3,2)上单调递减,



,解得

,故 a≤﹣9(满足 a<0) .

…(13 分)

综上所述得 a≤﹣9,或 a≥6. ∴ 实数 a 的取值范围为(﹣∞,﹣9]∪ [6,+∞) . …(14 分) 点评: 本题考查二次函数的性质,涉及函数由函数的导数来研究单调性问题,属中档题.


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