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广东省陆丰市碣石中学12-13学年高二上学期期末数学理试题


碣石中学

2012-2013 学年高二上学期期末数学理试题
) D.4

一、选择题 (每题 5 分,共 40 分)
1.已知等差数列 {an } 中, a7 ? a9 ? 16, 则a8 的值是( A.16 B.8 C.7 ) B. ?x ? R, x 2 ? x ? 0 D. ?x ? R, x 2 ? x ? 0



2.命题 ?x ? R, x 2 ? x ? 0 的否定( A. ?x ? R, x 2 ? x ? 0 C. ?x ? R, x 2 ? x ? 0

3.已知命题 p、q,“非 p 为真命题”是“p 或 q 是假命题”的( A.充分而不必要条件 C.充要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

4.已知△ABC 中,AB= 3,AC=1 且 B=30°,则△ABC 的面积等于( A. 3 2 B. 3 4 C. 3 或 3 2 D. 3 3 或 4 2



?2x+y≥4 ? 5.设 x,y 满足?x-y≥-1 ?x-2y≤2 ?
A.有最小值 2,最大值 3 C.有最大值 3,无最小值 6.函数 y=x+ A.5 1

,则 z=x+y(



B.有最小值 2,无最大值 D.既无最小值,也无最大值 ) D.8

x-1

+5(x>1)的最小值为( C.7

B.6

7.设 P 是双曲线

x2 y2 ? ? 1 上一点,该双曲线的一条渐近线方程是 3x ? 4 y ? 0 , 9 a2


F1 , F2 分别是双曲线的左、右焦点,若 PF ? 10 ,则 PF2 等于( 1
A.2 B.18
2

C.2 或 18

D.16

8.已知曲线 C:y=2x ,点 A(0,-2)及点 B(3,a),从点 A 观察点 B,要使视线不被曲线 C 挡住, 则实数 a 的取值范围是( A.(4,+∞) C.(10,+∞) ) B.(-∞,4] D.(-∞,10]

二、填空题(每题 5 分,共 30 分)

9.椭圆

x2 ? y 2 ? 1 的离心率为________. 4
? ?

10.向量 a ? (1,2,?2),b ? (?2, x, y), 且 a// b ,则 x ? y =________. 11.两灯塔 A, B 与海洋观察站 C 的距离都等于 2km ,灯塔 A 在 C 北偏东 45 处, 灯塔 B 在 C 南 偏东 15 处, 则 A, B 之间的距离为________. 12.已知点 ?1,1? 是椭圆
0 0

x2 y2 ? ? 1 某条弦的中点,则此弦所在的直线方程为:________. 4 2

13.已知正项数列{an}的首项 a1=1,前 n 项和为 Sn,若以(an,Sn)为坐标的点在曲线

y= x(x+1)上,则数列{an}的通项公式为________.
14.已知 F 是抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点, A, B 是抛物线上两点, ?AFB 是正三角形,则该正三角形的 边长为________.

1 2

三、解答题(本题共 6 小题,共 80 分)
15.(本题满分 12 分)若 a ? (2, ?3,5), b ? (?3,1, ?4) . 求 (1) a ? b (2) a ? b (3) | a ? 2 b | 16.(本题满分 12 分)已知 ?an ? 是等差数列,其中 a1 ? 25, a4 ? 16 . (1)求通项公式 an ; (2)数列 ?an ? 从哪一项开始小于 0; (3)求 a1 ? a3 ? a5 ? ?? a19 值. 17. (本题满分 14 分) 在△ ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a, b, c ,已知 b ? 5, c ? 3,
? ? ? ? ? ? ? ?

sin( B ? C ) ? 2sin B .
(1)求边 a 的长; 18. (本题满分 14 分) 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ? 2
n ?1

(2)求 cos( B ?

π ) 的值. 6

? 2 ,数列 ?bn ? 是公差不为 0 的等差数列,其中

b2 、 b4 、 b9 依次成等比数列,且 a2 ? b2 .

(1)求数列 ?an ? 和 ?bn ? 的通项公式; (2)设 cn ? 19. (本题满分 14 分)

bn ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn . an

已知四棱锥 P ? ABCD 的底面为直角梯形, AB ∥ DC , ?DAB ? 90? , PA ? 底面 ABCD ,且
PA ? AD ? DC ? 1 , AB ? 2 , M 是 PB 的中点.

(1)证明:面 PAD ? 面 PCD ; (2)求平面 AMC 与平面 ABC 夹角的余弦值.

20. (本题满分 14 分)

x2 y2 6 如图,已知椭圆 2 ? 2 =1(a>b>0)的离心率 e ? , a b 3
过点 A(0,-b)和 B(a,0)的直线与原点的距离为 (1)求椭圆的方程. (2)已知定点 E(-1,0) ,若直线 y=kx+2(k≠0)与椭圆交于 C、D 两点. 问:是否存在 k 的值,使以 CD 为直径的圆过 E 点?请说明理由.

3 . 2

碣石中学高二上学期期末考试理科数学参考答案
一、选择题(每题 5 分,共 40 分)
题号 答案 1 B 2 B 3 B 4 D 5 B 6 D 7 C 8 D

二、填空题(每题 5 分,共 30 分)

17. 解: (I)在△ ABC 中,由正弦定理得

a b ? . sin A sin B
?????????3 分

由 sin( B ? C ) ? 2sin B 及 B ? C ? π ? A 得 sin A ? 2sin B . 所以 a ?

b sin A 2b sin B ? ? 2b ? 2 5 . sin B sin B

????????????????6 分

(II)在△ ABC 中,由余弦定理得 cos B ?

a 2 ? c 2 ? b2 (2 5)2 ? 32 ? ( 5)2 2 5 . ? ? 2ac 5 2 ? 3? 2 5

???????????????????????9 分

所以 sin B ? 1 ? cos B ?
2

5 . 5

?????????????????????11 分

因此, cos( B ? ) ? cos B cos

π 6

π π 2 5 3 5 1 2 15 ? 5 . ? sin B sin ? ? ? ? ? 6 6 5 2 5 2 10
?????????????????????14 分

19、略 20、解:解析: (1)直线 AB 方程为:bx-ay-ab=0.

?c 6 , ? ? 3 ?a 依题意 ? 3 ? ab ? ? a2 ? b2 2 ?
∴ 椭圆方程为

解得

?a ? 3 , ? ?b ? 1

x2 ? y2 ? 1 . 3

????????????????5 分

(2)假若存在这样的 k 值,由 ? ∴

? y ? kx ? 2, ?x ? 3 y ? 3 ? 0
2 2

2 得 (1 ? 3k ) x ? 12kx ? 9 ? 0 .
2

? ? (12k )2 ? 36(1 ? 3k 2 ) ? 0



????????????7 分

12k ? ? x1 ? x2 ? ? 1 ? 3k 2 , ? 设 C (x1 , y1 ) 、 D(x2 , y 2 ) ,则 ? ?x ? x ? 9 ? 1 2 1 ? 3k 2 ?
而 y1 ? y2 ? (kx1 ? 2)(kx2 ? 2) ? k 2 x1 x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4 .



????????10 分

要使以 CD 为直径的圆过点 E(-1,0) ,当且仅当 CE⊥DE 时,则

y1 ? y2 ? ?1 ,即 x1 ? 1 x2 ? 1


y1 y2 ? ( x1 ? 1)(x2 ? 1) ? 0 ∴ (k 2 ? 1) x1 x2 ? 2(k ? 1)(x1 ? x2 ) ? 5 ? 0
将②式代入③整理解得 k ? 综上可知,存在 k ?

7 7 .经验证, k ? ,使①成立. 6 6
????????14 分

7 ,使得以 CD 为直径的圆过点 E. 6


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