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重庆一中2015届高三上学期第一次月考文科数学试卷(解析版)


怒吼着、奋斗着根本停不下来之 nq-plan

重庆一中 2015 届高三上学期第一次月考

数 学 试 题 卷(文科)2014.9
一、选择题: (每小题 5 分,共计 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. ) 1、已知为虚数单位,若 A. 0 B.
x

1? i ? a ? bi (a, b ? R ) ,则 a ? b ? ( 1? i
D. 2
x



C. ?1

2、命题“若函数 f ( x) ? e ? mx 在 [0,??) 上是减函数,则 m ? 1 ”的否命题是( A.若函数 f ( x) ? e ? mx 在 [0,??) 上不是减函数,则 m ? 1 B.若函数 f ( x) ? e x ? mx 在 [0,??) 上是减函数,则 m ? 1
x C.若 m ? 1 ,则函数 f ( x) ? e ? mx 在 [0,??) 上是减函数



甲组

乙组

D.若 m ? 1 ,则函数 f ( x) ? e ? mx 在 [0,??) 上不是减函数 3、如图所示茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试 中的成绩(单位:分) ,已知甲组数据的中位数为 15,乙组数据的平均 数为 16.8,则 x, y 的值分别为( ) A. 5,2 B. 5,5 C. 8,5 D.8,8
x

9 0 9 y 2 1 5x 8 74 2 4

4、下列函数中,既是偶函数又在区间 ( ??, 0) 上单调递增的是( A. f ( x ) ? 2 ? x B. f ( x) ? x2 ? 1 C. f ( x) ? x3 D. f ( x ) ?



1 x2

5、阅读右边程序框图,为使输出的数据为 31 ,则判断框中应填入的条

件为( A. i ? 4

) B. i ? 5 C. i ? 6 D. i ? 7 )

0.5 6、设 x ? 3 , y ? log3 2 , z ? cos 2 ,则(

A. z ? y ? x C. y ? z ? x 它的一条对称轴为 x ?

B. z ? x ? y D. x ? z ? y

7、若函数 f ( x) ? a sin? x ? cos? x 的相邻两个零点的距离为 ? ,且

A. 2 D. ?2 8、某几何体的三视图如下图所示,则该几何体的体积为( A.30 B.24 C.18 D.12

? 2 ? ,则 f ( ? ) 等于( 3 3 B. ? 3 C. 3



4


3 3 2

3 9、已知函数 f ( x) ? a sin x ? bx ? cx ? 1(a, b, c ? R) , f (lg(lg 3)) ? 3 ,

正视图 3

左视图

则 f (lg(log3 10)) ? ( A. 3 B. ?1

) C. ? 3 D. 2014

俯视图

1

怒吼着、奋斗着根本停不下来之 nq-plan

? x 2 ? 2, x ? 0 10、已知函数 f ( x) ? ? ,且方程 f ( x) ? mx ? 1在区间 [?2? ,? ] 内有两个 4 x ? cos x ? 1, x ? 0 ?
不等的实根, 则实数 m 的取值范围为( )

A. [ ?4, 2]

B. (?4,3)

C. (?4, 2) {4}

D.[2,4]

二、填空题: (每小题 5 分,共计 25 分,把答案填在答题卡的相应位置. )
2 11、已知集合 A ? {x y ? } , B ? { y y ? x } ,则 A

1 x

B?

12、若两个非零向量 a, b 满足 a ? b ? a ? b ,则向量 a 与 b 的夹角为

?x ? y ?1 ? 0 ? 13、在不等式组 ? x ? y ? 2 ? 0 所表示的平面区域内随机地取一点 P ,则点 P 恰好落在第二 ?y ? 0 ?
象限的概率为 14、已知直线 l1 : 4 x ? 3 y ? 6 ? 0 和直线 l2 : x ? ?

p 2 ,若抛物线 C : y ? 2 px( p ? 0) 上的点 2

到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值为 2,则抛物线 C 的方程为 15 、给出定义:设 f ?( x ) 是函数 y ? f ( x) 的导数, f ??( x) 是函数 f ?( x ) 的导数,若方程

f ??( x) ? 0 有实数解 x0 ,则称点 ( x0 , f ( x0 )) 为函数 y ? f ( x) 的“拐点”.重庆武中高 2015 级
某学霸经探究发现:任何一个一元三次函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d (a ? 0) 都有“拐点” ,
3 且该“拐点”也为该函数的对称中心.若 f ( x) ? x ?

3 2 1 x ? x ? 1,则 2 2

f(

1 2 )? f ( )? 2015 2015

? f(

2014 )? 2015

三、解答题: (本大题共 6 小题,共计 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 16、 (本小题满分 13 分,第(Ⅰ)问 6 分,第(Ⅱ)问 7 分) 城市公交车的数量太多容易造成资源的浪费,太少又难以满足乘客的需求,为此,重庆 市公交公司在某站台的 60 名候车乘客中随机抽取 15 人,将他们的候车时间作为样本分成 5 组,如图所示(单位:min) ,回答下列问题. 组别 一 二 三 候车时间 人数 2 6 4

[0,5) [5,10) [10,15)

2

怒吼着、奋斗着根本停不下来之 nq-plan 四 五

[15, 20)

2 1

[20, 25]

(Ⅰ)估计这 60 名乘客中候车时间少于 10min 的人数; (Ⅱ)若从表中的第三、四组中任选两人作进一步的问卷调查,求抽到的两人恰好来自不同 组的概率.

17、 (本小题满分 13 分,第(Ⅰ)问 6 分,第(Ⅱ)问 7 分) 在 ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a , b, c ,若向量 m ? (b ? c, a2 ? bc) ,

n ? (b ? c, ?1) ,且 m n ? 0 . (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 a ? 3 ,求 ABC 的面积的最大值.

18、 (本小题满分 13 分,第(Ⅰ)问 6 分,第(Ⅱ)问 7 分) 已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0,0 ? ? ? ? ) 为偶函数,且其图象上相邻的一个最高 点和最低点间的距离为 4 ? ? 2 .

(Ⅰ)求 f ( x) 的解析式;

2 sin(2? ? ) ? 1 2 4 (Ⅱ)若 f (? ) ? sin ? ? ,求 的值. 3 1 ? tan ?

?

19、 (本小题满分 12 分,第(Ⅰ)问 5 分,第(Ⅱ)问 7 分) 已知函数 f ? x ? ? x ? a ln x(a ? R) . (I)若 a ? ?1 时,求曲线 y ? f ? x ? 在点 x ? 1 处的切线方程; 3

怒吼着、奋斗着根本停不下来之 nq-plan (II)若 a ? 0 ,函数 f ? x ? 没有零点,求 a 的取值范围.

D

C

M
20、 (本小题满分 12 分,第(Ⅰ)问 5 分,第(Ⅱ)问 7 分) 如图,正方形 ABCD 所在平面与直角三角形 ABE 所在的平面互相垂 直, AE ? AB ,设 M , N 分别是 DE, AB 的中点,已知 AB ? 2 , AE ? 1 (Ⅰ)求证: MN / / 平面 BEC ; (Ⅱ)求点 E 到平面 BMC 的距离.

A

N

B

E

21、 (本小题满分 12 分, (Ⅰ)小问 5 分, (Ⅱ)小问 7 分) 中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆的离心率为

3 2 3 ) .若分别过椭 ,且经过点 Q(1, 3 3

圆的左、右焦点 F1 , F2 的动直线 l1 , l2 相交于点 P ,且与椭圆分别交于 A、B 与 C、D 不同四 点,直线 OA、OB、OC、OD 的斜率 k1 , k2 , k3 , k4 满足 k1 ? k2 ? k3 ? k4 . (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)是否存在定点 M、N,使得 PM ? PN 为定值?若存在,求出点 M、N 的坐标;若 不存在,说明理由.

4

怒吼着、奋斗着根本停不下来之 nq-plan

重庆一中 2015 届高三上学期第一次月考

数 学 试 题 卷(文科)2014.9
【试卷综析】这套试题基本符合高考复习的特点,稳中有变,变中求新,适当调整了试卷难度, 体现了稳中求进的精神.,重视学科基础知识和基本技能的考察,同时侧重考察了学生的学习 方法和思维能力的考察,有相当一部分的题目灵活新颖,知识点综合与迁移.以它的知识性、思 辨性、灵活性,基础性充分体现了考素质,考基础,考方法,考潜能的检测功能. 一、选择题: (每小题 5 分,共计 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. ) 1、已知为虚数单位,若

1? i ? a ? bi (a, b ? R ) ,则 a ? b ? ( 1? i



A. 0 B. C. ?1 D. 2 【知识点】复数相等的充要条件.L4 【答案解析】B 解析:∵a+bi= 故选:D. 【思路点拨】利用复数的运算法则和复数相等即可得出. 2、命题“若函数 f ( x) ? e x ? mx 在 [0,??) 上是减函数,则 m ? 1 ”的否命题是( A.若函数 f ( x) ? e ? mx 在 [0,??) 上不是减函数,则 m ? 1
x

=

=

=i,∴a=0,b=1.∴a+b=1.



B.若函数 f ( x) ? e ? mx 在 [0,??) 上是减函数,则 m ? 1
x x C.若 m ? 1 ,则函数 f ( x) ? e ? mx 在 [0,??) 上是减函数

D.若 m ? 1 ,则函数 f ( x) ? e ? mx 在 [0,??) 上不是减函数
x

【知识点】四种命题.A2 【答案解析】A 解析:否定命题的条件作条件,否定命题的结论作结论,即可得到命题的 否命题.
x 命题“若函数 f ( x) ? e ? mx 在 [0,??) 上是减函数,则 m ? 1 ”的否命题是:若函数

f ( x) ? e x ? mx 在 [0,??) 上不是减函数,则 m≤1.
故选:A. 【思路点拨】直接写出命题的否命题,即可得到选项. 3、如图所示茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的 成绩(单位:分) ,已知甲组数据的中位数为 15,乙组数据的平均数为 16.8,则 x, y 的 值分别为( ) 甲组 乙组 A. 5,2 B. 5,5 C. 8,5 D.8,8 9 0 9 【知识点】茎叶图.I2 【答案解析】C 解析:∵ 甲组数据的中位数为 15,∴ 10+y=15,∴ y=5;又∵ 乙组数据的平均数为 16.8,∴ 9+15+(10+x)+18+24=16.8×5,∴ x=8;∴ x,y 的值分别为 8,5; 5

y 2 1 5x 8 74 2 4

怒吼着、奋斗着根本停不下来之 nq-plan 故选:C. 【思路点拨】由甲组数据的中位数求出 y 的值,乙组数据的平均数求出 x 的值. 4、下列函数中,既是偶函数又在区间 ( ??, 0) 上单调递增的是( A. f ( x ) ? 2 ? x B. f ( x) ? x2 ? 1 C. f ( x) ? x3 )

D. f ( x ) ?

1 x2

【知识点】函数奇偶性的判断;函数单调性的判断与证明.B3 B4

1 , f ( x) ? x2 ? 1 是偶函数, 而函数 f ( x) ? x3 是 x2 1 奇函数, f ( x) ? 2? x 不具有奇偶性.而函数 f ( x ) ? 2 , f ( x) ? x2 ? 1 中,只有函数 x 1 f ( x ) ? 2 在区间 (??, 0) 上单调递增的. x
【答案解析】 D 解析: 只有函数 f ( x ) ? 综上可知:只有 D 正确.故选:D. 【思路点拨】利用函数函数的奇偶性和单调性即可判断出.
5、阅读右边程序框图,为使输出的数据为 31 ,

则判断框中应填入的条件为( A. i ? 4 C. i ? 6 【知识点】程序框图.L1



B. i ? 5 D. i ? 7

【答案解析】A 解析:程序在运行过程中各变量的值如下表示: S i 是否继续循环 循环前 1 1 第一圈 3 2 是 第二圈 7 3 是 第三圈 15 4 是 第四圈 31 5 否 所以当 i≤4 时.输出的数据为 31, 故选 A. 【思路点拨】析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知该程序的作 用是利用循环求 S 的值, 我们用表格列出程序运行过程中各变量的值的变化情况, 不难给出 答案.
0.5 6、设 x ? 3 , y ? log3 2 , z ? cos 2 ,则(



A. z ? y ? x B. z ? x ? y C. y ? z ? x D. x ? z ? y 【知识点】对数值大小的比较.B7 【答案解析】A 解析:∵ x=3 = ∴ z<y<x.故选:A.
0.5

>1,0=log31<y=log32<log33=1,z=cos2<0,

6

4
怒吼着、奋斗着根本停不下来之 nq-plan 【思路点拨】利用指数函数、对数函数、三角函数的性质求解. 7、若函数 f ( x) ? a sin ? x ? cos ? x 的相邻两个零点的距离为 ? ,且它的

3 3 2

? 2 一条对称轴为 x ? ? ,则 f ( ? ) 等于( 3 3 A. 2 B. ? 3 C. 3
【知识点】两角和与差的正弦函数.C5

正视图 3 俯视图

左视图

) D. ?2

【答案解析】 D 解析: ∵ 函数 f ( x) ? a sin ? x ? cos ?x 的相邻两个零点的 距离为 π,∴ ? =π,求得 ω=1.

再根据函数的一条对称轴为 x ? =0,求得 a= 则 f(x)= sinx﹣cosx=2( ﹣

2 ? ,可得 asin 3

﹣cos



,平方可得

. sinx﹣cosx)=2sin(x﹣ )=﹣2sin ) ,

f ( ? ) =2sin(﹣ 3
故选:D. 【思路点拨】

?

)=2sin(﹣

=﹣2,

根据函数 f ( x) ? a sin ? x ? cos ? x 的相邻两个零点的距离为 π,求得 ω=1.再根据函数的 一条对称轴为 x=π,可得 asin 解析式,从而求得 f ( ? ﹣cos =± ,平方求得 a= ,可得函数 f(x)的

? ) 的值 3
) B.24 D.12

8、某几何体的三视图如下图所示,则该几何体的体积为( A.30 C.18

【知识点】由三视图求面积、体积.G2 【答案解析】B 解析:由三视图知该几何体是高为 5 的三棱柱截去同底且高为 3 的三棱锥 所得几何体,棱柱的体积等于 故组合体的体积 V=30﹣6=24,故选:B. 【思路点拨】 由已知中的三视图, 可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱柱载去一个同 底不等高的三棱锥所得,求出棱柱及棱锥的底面面积和高,代入棱柱和锥体体积公式,相减 可得答案. 9、已知函数 f ( x) ? a sin x ? bx ? cx ? 1(a, b, c ? R) ,
3

=30,所截棱锥的体积为:

=6,

7

怒吼着、奋斗着根本停不下来之 nq-plan

f (lg(lg 3)) ? 3 ,则 f (lg(log3 10)) ? (
A. 3 B. ?1 【知识点】函数的值.B1 C. ? 3

) D. 2014

【答案解析】B 解析:∵f ( x) ? a sin x ? bx3 ? cx ? 1(a, b, c ? R) , f (lg(lg 3)) ? 3 , ∴ asin(lg(lg3) )+b(lg(lg3) ) +c(lg(lg3) )+1=3, 3 ∴ asin(lg(lg3) )+b(lg(lg3) ) +c(lg(lg3) )=2, 3 ∴ f(lg(log310) )=f[﹣( (lg(lg3) )]=﹣[asin(lg(lg3) )+b(lg(lg3) ) +c(lg(lg3) )]+1 =﹣2+1=﹣1.故选:B. 【思路点拨】利用对数性质和函数性质求解. 10、已知函数 f ( x) ? ?
3

? x 2 ? 2, x ? 0 ?4 x ? cos x ? 1, x ? 0

,且方程 f ( x) ? mx ? 1在区间 [?2? ,? ] 内有两个


不等的实根, 则实数 m 的取值范围为(

A. [ ?4, 2]

B. (?4,3)

C. (?4, 2) {4}

D.[2,4]

【知识点】分段函数的应用.B9 【答案解析】C 解析:直线 y=mx+1 过定点(0,1) ,

作出函数 f(x)的图象如图: 由图象可知,当直线 y=mx+1y 与 f(x)=x +2 在第一象限相切时,满足方程 f(x)=mx+1 在区间[﹣2π,π]内有三个不等的实根, 2 2 2 此时 x +2=mx+1,即 x ﹣mx+1=0,则判别式△ =m ﹣4=0,解得 m=2 或 m=﹣2(舍去) . 当直线 y=mx+1 在 x=0 时与 f(x)=4xcosx+1 相切时,有两个不等的实根, 此时 f′ (x)=4cosx﹣4sinx,m=f′ (0)=4,此时满足条件. 当 m<0,由 4xcosx+1=mx+1, 即 m=4cosx,当此时方程 m=4cosx 在[﹣2π,0)只有一个解时,即 m=﹣4,此时方程 f(x) =mx+1 在区间[﹣2π,π]内有 1 个实根, 8
2

怒吼着、奋斗着根本停不下来之 nq-plan 此时不满足条件. 综上满足条件的 m 的取值范围为﹣4<m<2 或 m=4,故选:C 【思路点拨】作出函数 f(x)的图象,利用数形结合即可得到结论. 二、填空题: (每小题 5 分,共计 25 分,把答案填在答题卡的相应位置. )
2 11、已知集合 A ? {x y ? } , B ? { y y ? x } ,则 A

1 x

B?

【知识点】交集及其运算.A1 【答案解析】 (0, ??) 解析:∵ 集合 A={x|y=}={x|x≠0},B={y|y=x }={y|y≥0}, ∴ A∩ B={x|x>0}=(0,+∞) .故答案为: (0,+∞) . 【思路点拨】利用交集定义求解. 12、若两个非零向量 a, b 满足 a ? b ? a ? b ,则向量 a 与 b 的夹角为 【知识点】数量积表示两个向量的夹角.F3 【答案解析】 ∴
2

? 2 2 解析:∵ ,为非零向量,且|+|=|﹣|,∴ |+| =|﹣| , 2
= ,即 ,∴ 与夹角为
2 2

.故答案为:

. ,从而得到与

【思路点拨】由,为非零向量,且|+|=|﹣|,知|+| =|﹣| ,由此得到 夹角为 .

?x ? y ?1 ? 0 ? 13、在不等式组 ? x ? y ? 2 ? 0 所表示的平面区域内随机地取一点 P ,则点 P 恰好落在第二 ?y ? 0 ?
象限的概率为 【知识点】几何概型;简单线性规划.E5 K3

2 【答案解析】 9
积为

?x ? y ?1 ? 0 ? 解析:不等式组 ? x ? y ? 2 ? 0 所表示的平面区域为一直角三角形,其面 ?y ? 0 ?
=,

=,点 P 恰好落在第二象限平面区域为一直角三角形,其面积为

∴ 点 P 恰好落在第二象限的概率为=.故答案为: .

9

怒吼着、奋斗着根本停不下来之 nq-plan

【思路点拨】先根据不等式组画出平面区域,然后求出区域的面积,以及点 P 恰好落在第二 象限区域内的面积,最后利用几何概型的概率公式解之即可. 14、已知直线 l1 : 4 x ? 3 y ? 6 ? 0 和直线 l2 : x ? ?

p 2 ,若抛物线 C : y ? 2 px( p ? 0) 上的点 2

到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值为 2,则抛物线 C 的方程为 【知识点】抛物线的简单性质.H7 【答案解析】 y2 ? 4 x x=﹣的距离 d2=a +; P 到直线 l1 : 4 x ? 3 y ? 6 ? 0 的距离 d1= ,
2

解析:设抛物线上的一点 P 的坐标为(a ,2a) ,则 P 到直线 l2:

2

则 d1+d2=

+a +=

2

a ﹣a++,

2

当 a=时,P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值为 2, ∴ p=2, ∴ 抛物线 C 的方程为 y =4x 2 故答案为:y =4x. 【思路点拨】 设出抛物线上一点 P 的坐标, 然后利用点到直线的距离公式分别求出 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离 d1 和 d2,求出 d1+d2,利用二次函数求最值的方法,求出距离之和的最小 值,即可得出结论. 15 、给出定义:设 f ?( x ) 是函数 y ? f ( x) 的导数, f ??( x) 是函数 f ?( x ) 的导数,若方程
2

f ??( x) ? 0 有实数解 x0 ,则称点 ( x0 , f ( x0 )) 为函数 y ? f ( x) 的“拐点”.重庆武中高 2015 级
3 2 某学霸经探究发现:任何一个一元三次函数 f ( x) ? ax ? bx ? cx ? d (a ? 0) 都有“拐点” ,

10

怒吼着、奋斗着根本停不下来之 nq-plan
3 且该“拐点”也为该函数的对称中心.若 f ( x) ? x ?

3 2 1 x ? x ? 1,则 2 2

f(

1 2 )? f ( )? 2015 2015

? f(

2014 )? 2015
3 2 1 2 x ? x ? 1,∴ f′ (x)=3x ﹣3x﹣, 2 2

【知识点】利用导数研究函数的单调性.B12
3 【答案解析】 2014 解析:由 f ( x) ? x ?

∴ f (x)=6x﹣3,由 f (x)=6x﹣3=0,得 x=,∴ f()=1, ∴ f(x)的对称中心为(,1) ,∴ f(1﹣x)+f(x)=2, ∴ f( ∴ 故答案为:2014 【思路点拨】求出原函数的导函数,再求出导函数的导函数,由导函数的导函数等于 0 求出 x 的值,可得 f(1﹣x)+f(x)=2,从而得到则 f ( )+f( )=f( )+f( )=…=f( =2014 )+f( )=2

′ ′

′ ′

1 2 )? f ( )? 2015 2015

? f(

2014 ) 的值. 2015

三、解答题: (本大题共 6 小题,共计 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 16、 (本小题满分 13 分,第(Ⅰ)问 6 分,第(Ⅱ)问 7 分) 城市公交车的数量太多容易造成资源的浪费,太少又难以满足乘客的需求,为此,重庆 市公交公司在某站台的 60 名候车乘客中随机抽取 15 人,将他们的候车时间作为样本分成 5 组,如图所示(单位:min) ,回答下列问题. 组别 一 二 三 四 五 候车时间 人数 2 6 4 2 1

[0,5) [5,10) [10,15) [15, 20)

[20, 25]

(Ⅰ)估计这 60 名乘客中候车时间少于 10min 的人数; (Ⅱ)若从表中的第三、四组中任选两人作进一步的问卷调查,求抽到的两人恰好来自不同 组的概率. 【知识点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率;古典概型及其概率计算公式.K2 【答案解析】(Ⅰ) 32(Ⅱ)

8 15

解析:(Ⅰ)候车时间少于 10min 的概率为

2?6 8 ? , 15 15
11

怒吼着、奋斗着根本停不下来之 nq-plan 故候车时间少于 10min 的人数为 60 ?

8 ? 32 . 15

(Ⅱ)将第三组乘客分别用字母 a, b, c, d 表示,第四组乘客分别用字母 A, B 表示,则随机 选取的 2 人所有可能如 ab, ac, ad , aA, aB, bc, bd , bA, bB, cd , cA, cB, dA, dB, AB ,共有 15 种不同的情况,其中两人恰好来自不同组包含 8 种情况,故所求概率为 【思路点拨】 (Ⅰ)候车时间少于 10 分钟的人数所占的比例为

8 . 15

,用 60 乘以此比例,即

得所求. (Ⅱ)从这 6 人中选 2 人作进一步的问卷调查,① 用列举法列出上述所有可能情况共 有 15 种, ② 用列举法求得抽到的两人恰好来自不同组的情况共计 8 种, 由此求得抽到的两人 恰好来自不同组的概率. 17、 (本小题满分 13 分,第(Ⅰ)问 6 分,第(Ⅱ)问 7 分) 在 ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a , b, c ,若向量 m ? (b ? c, a2 ? bc) ,

n ? (b ? c, ?1) ,且 m n ? 0 . (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 a ? 3 ,求 ABC 的面积的最大值.
【知识点】正弦定理;余弦定理. C8
菁优

【答案解析】 (Ⅰ) A ?

2? 3 . (Ⅱ) . 3 4 2 2 2 2 2 解析: (Ⅰ)因为 m n ? 0 ,所以 (b ? c) ? a ? bc ? 0 ,即 b ? c ? a ? ?bc.
故 cos A ?

b2 ? c 2 ? a 2 ?bc 1 ? ?? . 2bc 2bc 2
2 2

又 A ? (0, ? ) ,所以 A ?

2? . 3

(Ⅱ)由(Ⅰ)及 a ? 3 ,得 b ? c ? 3 ? bc. 又 b ? c ? 2bc (当且仅当 b ? c 时取等号) ,故 3 ? bc ? 2bc ,即 bc ? 1.
2 2

故S

ABC

1 1 2? 3 ? bc sin A ? ?1sin ? . 2 2 3 4

【思路点拨】 (Ⅰ )由两向量的坐标及两向量数量积为 0,列出关系式,再利用余弦定理表示 出 cosA,将得出关系式代入求出 cosA 的值,即可确定出角 A 的大小; (Ⅱ )利用余弦定理列出关系式,把 cosA 与 a 的值代入,并利用基本不等式求出 bc 的最大 值,即可确定出三角形 ABC 面积的最大值. 18、 (本小题满分 13 分,第(Ⅰ)问 6 分,第(Ⅱ)问 7 分) 已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0,0 ? ? ? ? ) 为偶函数,且其图象上相邻的一个最高 点和最低点间的距离为 4 ? ? 2 .

12

怒吼着、奋斗着根本停不下来之 nq-plan

(Ⅰ)求 f ( x) 的解析式;

2 sin(2? ? ) ? 1 2 4 (Ⅱ)若 f (? ) ? sin ? ? ,求 的值. 3 1 ? tan ?

?

【知识点】 由 y=Asin (ωx+φ) 的部分图象确定其解析式; 同角三角函数基本关系的运用. C2 C4 【答案解析】 (Ⅰ) f ( x) ? cos x (Ⅱ) ?

5 9

解析:(Ⅰ)因为 f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0,0 ? ? ? ? ) 为偶函数,故 ? ?

?
2



?x? 从而 f ( x) ? sin(
离为 4 ? ? 2 ,知

?
2

) ? cos? x . 再由 f ( x) 图象上相邻的一个最高点和最低点间的距
所以 f ( x) ? cos x .

T ? ? ,从而 T ? 2? ,故 ? ? 1 . 2

sin 2? ? cos 2? ? 1 2sin ? cos ? ? 2sin 2 ? ? ? 2sin ? cos ? . (Ⅱ) 原式 ? sin ? cos ? ? sin ? 1? cos ? cos ?
由条件知 cos ? ? sin ? ?

2 4 5 ,平方得 1 ? 2sin ? cos ? ? ,从而 2sin ? cos ? ? ? . 3 9 9

【思路点拨】 (1)函数 f(x)=sin(ωx+? ) (ω>0,0≤?≤π)为偶函数,其图象上相邻的一 个最高点和最低点之间的距离,确定函数的周期,求出 ω,确定 ? 的值,求出 f(x)的解析 式; (2)把上一问求出的结果代入函数的解析式,得到角的正弦与余弦的和,用诱导公式和 二倍角公式把所给的式子进行整理,根据同角的三角函数之间的关系得到结果. 19、 (本小题满分 12 分,第(Ⅰ)问 5 分,第(Ⅱ)问 7 分) 已知函数 f ? x ? ? x ? a ln x(a ? R) . (I)若 a ? ?1 时,求曲线 y ? f ? x ? 在点 x ? 1 处的切线方程; (II)若 a ? 0 ,函数 f ? x ? 没有零点,求 a 的取值范围. 【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程;函数零点的判定定理; 利用导数研究函数的单调性. B12


D

C

M A N B

【答案解析】 (Ⅰ) y ? 1 (Ⅱ) ? e ? a ? 0 解析: (I) f '( x) ? 程为 y ? 1 . (II)当 a ? 0 时, f ( x) ? x 在定义域 (0, ??) 上没有零点,满足题意; 当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 与 f '( x ) 在定义域上的情况如下表:

x?a ( x ? 0) ,切点为 (1,1) , f / (1) ? 0 ,故切线方 x

E

x

(0, ?a )

?a
0 13

( ?a, ??)
+

f '( x )

?

怒吼着、奋斗着根本停不下来之 nq-plan

f ( x)



极小值



f (?a) 是函数 f ( x) 的极小值,也是函数 f ( x) 的最小值, 所以,当 f ( ?a ) ? a(ln( ?a ) ? 1) ? 0 ,即 a ? ?e 时,函数 f ( x) 没有零点. 综上所述,当 ? e ? a ? 0 时, f ( x) 没有零点.
【思路点拨】 (I)求出 a=﹣1 时,函数 f(x)和导数,求得切点和切线的斜率,即可得到切 线方程; (II)讨论当 a=0 时,当 a<0 时,求出函数的单调区间和极值,判断也是最值,且 与 0 的关系,即可判断零点的情况. 20、 (本小题满分 12 分,第(Ⅰ)问 5 分,第(Ⅱ)问 7 分) 如图,正方形 ABCD 所在平面与直角三角形 ABE 所在的平面互相垂直, AE ? AB , 设 M , N 分别是 DE, AB 的中点,已知 AB ? 2 , AE ? 1 (Ⅰ)求证: MN / / 平面 BEC ; (Ⅱ)求点 E 到平面 BMC 的距离. 【知识点】直线与平面平行的判定;点、线、面间的距离计算.G4 G11 【答案解析】 (Ⅰ)见解析(Ⅱ)

解析:(Ⅰ)证明:取 EC 中点 F ,连接 MF , BF .由于 MF 为 ?CDE 的中位线,所以

2 17 17

1 1 MF / / CD, MF ? CD ;又因为 NB / / CD, NB ? CD ,所以 NB / / MF , NB ? MF 2 2 所以四边形 NBFM 为平行四边形, 故 MN / / BF , 而 BF ? 平面 BEC ,MN ? 平面 BEC , 所以 MN / / 平面 BEC ; (Ⅱ)因为 MN / / 平面 BEC ,所以: 1 1 1 1 VE ? BMC ? VM ? BEC ? VN ? BEC ? VC ? BEN ? S?BEN ? CB ? ? ? 2 ? 3 3 2 3 因为 AB ? AD, AB ? AE ,所以 AB ? 平面 EAD ,故 AB ? AM ,从而:

1 5 21 MB ? MA2 ? AB2 ? ( DE )2 ? AB2 ? ( )2 ? 22 ? 2 2 2 因为 CD / / AB ,所以 CD ? 平面 EAD ,故 CD ? DM ,从而: 1 5 21 MC ? MD2 ? DC 2 ? ( DE)2 ? DC 2 ? ( )2 ? 22 ? 2 2 2 21 , BC ? 2 , 在 ?BMC 中, MB ? MC ? 2 1 1 1 21 17 2 2 所以 ?BMC 的面积 S?BMC ? ? BC ? MB ? ( BC ) ? ? 2 ? ?1 ? 2 2 2 4 2 1 1 所以 VE ? BMC ? S ?BMC ? h ? (其中 h 表示点 E 到平面 BMC 的距离) , 3 3 1 17 1 2 17 ? h ? ,解出 h ? 即 ? , 3 2 3 17 2 17 . 所以点 E 到平面 BMC 的距离为 17
14

怒吼着、奋斗着根本停不下来之 nq-plan 【思路点拨】 (Ⅰ )取 EC 中点 F,连接 MF,BF.由线线平行证明线面平行, (Ⅱ )将体积等价 转化,求出体积,再求出底面面积,从而求高,得距离. 21、 (本小题满分 12 分, (Ⅰ)小问 5 分, (Ⅱ)小问 7 分) 中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆的离心率为

3 2 3 ,且经过点 Q(1, ) .若分别过椭 3 3

圆的左、右焦点 F1 , F2 的动直线 l1 , l2 相交于点 P ,且与椭圆分别交于 A、B 与 C、D 不同四 点,直线 OA、OB、OC、OD 的斜率 k1 , k2 , k3 , k4 满足 k1 ? k2 ? k3 ? k4 . (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)是否存在定点 M、N,使得 PM ? PN 为定值?若存在,求出点 M、N 的坐标;若 不存在,说明理由. 【知识点】直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程. H5 H8
所有

【答案解析】 (Ⅰ)

x2 y 2 ? ? 1(Ⅱ)存在定点M、N为 (0, ?1) ,使得点P满足 PM ? PN 3 2

为定值 2 2 。

?c 3 ? ? 3 ?a 2 ? 3 ?a 2 2 ? x y 4 ?1 解析:(Ⅰ) 设椭圆的方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,则 ? 2 ? 2 ? 1 ? ?b 2 ? 2 a b ? a 3b ?c 2 ? 1 ? ?a 2 ? b 2 ? c 2 ? ?
故椭圆的方程为

x2 y 2 ? ? 1。 3 2

(Ⅱ)当 l1或l2 斜率不存在时,易知 P 点为(-1,0)或(1,0) ; 当 l1 , l2 斜率存在时,设斜率分别为 m1 , m2 ,设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,联立

? ?6m12 x ? x ? ? 1 2 3m 2 ? 2 ? y ? m1 ( x ? 1) ? 1 2 2 2 2 ,故 ? (3m1 ? 2) x ? 6m1 x ? 3m1 ? 6 ? 0 ,则 ? ? 2 2 2 ?2 x ? 3 y ? 6 ? 0 ? x x ? ?3m1 ? 6 1 2 ? 3m12 ? 2 ?

y1 y2 x1 ? 1 x2 ? 1 x1 ? x2 2m12 ?4m k1 ? k2 ? ? ? m1 ( ? ) ? m1 (2 ? ) ? m1 (2 ? 2 )? 2 1 。 x1 x2 x1 x2 x1 x2 m1 ? 2 m1 ? 2
15

怒吼着、奋斗着根本停不下来之 nq-plan 同理

k3 ? k4 ?

?4m2 ?4m ?4m2 。因为 k1 ? k2 ? k3 ? k4 ,所以 2 1 ? ,即 2 m2 ? 2 m1 ? 2 m2 2 ? 2

(m1m2 ? 2)(m2 ? m1 ) ? 0 。又 m1 ? m2 ,故 m1m2 ? 2 ? 0 。
设点 P ( x, y ) ,则

y y y2 ? ? 2 ? 0 ,即 ? x 2 ? 1( x ? ?1) 。 x ?1 x ?1 2

由当 l1或l2 斜率不存在时,P 点为(-1,0)或(1,0) 也满足在椭圆上。 故存在定点M、N为 (0, ?1) ,使得点P满足 PM ? PN 为定值 2 2 。

【思路点拨】 (1) 设椭圆方程为

, 则由题意

解得即可;

(2)当直线 l1 或 l2 斜率不存在时,P 点坐标为(﹣1,0)或(1,0) .当直线 l1、l2 斜率存 在时,设斜率分别为 m1,m2.可得 l1 的方程为 y=m1(x+1) ,l2 的方程为 y=m2(x﹣1) .设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,C(x3,y3) ,D(x4,y4) ,与椭圆方程联立即可得出根与系数的关 系,再利用斜率计算公式和已知即可得出 m1 与 m2 的关系,进而得出答案.

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