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概率、组合、二项式定理和杨辉三角


概率 2.1 离散型随机变量及其分布列 一、离散型随机变量 在射击比赛中, 选手击中靶上的圆形或环形区域内得分, 得分值由靶心往外依次可记为: 10 环,9 环,8 环,…,1 环,0 环。那么射击选手射击一次,可以出现的结果为:10 环,9 环,8 环,…,1 环,0 环。 例如抛一枚硬币,所有可能的结果是: “正面向上”“反面向上” , 。 1、 随机变量:在这些试验中,试验

可能出现的结果可以用一个变量 X 来表示,并且 X 是 随着试验的结果的不同而变化的,我们把变量 X 叫做一个随机变量。 随机变量常用大写字母 X,Y…表示。 例如:设某射击选手每次射击所得的环数是 X,那么 X 是一个随机变量。X 的取值范围是 {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}。 例:100 件产品中,含有 5 件次品,从中取出 4 件,那么可能出现的“次品件数” 。设 X 是 一个随机变量,X={ }。 练习 1:写出下列各离散型随机变量可能取的值: (1)从 10 张已编号的卡片(1—10 号)中任取一张,被取出的卡片的号数; (2)抛掷一个骰子得到的点数; (3)一个袋子里装有 5 个白球和 5 个黑球,从中任取 3 个,其中所含白球的个数; 练习 2:把一枚硬币先后抛掷两次,如果出现两个正面得 5 分,出现两个反面得-3 分,其他 结果得 0 分,列表写出可能出现的结果与对应的分值。

2、离散型随机变量:如果随机变量 X 的所有可能的取值都能一一列举出来,则称 X 为离 散型随机变量。 二、离散型随机变量的分布列 1、 离散型随机变量 X 的概率分布(或离散型随机变量 X 的分布列) 概率分布表需要列出: (1) X 所有可能的值; (2) X 取每一个值的概率。如下表: X P x1 p1 x2 p2 … … xi pi … … xn pn

2、 离散型随机变量的分布列有下面两条性质: (1) pi≥0,i=1,2,3…. ,n; (2) p1+p2+…+pn=1. 3、 两点分布:如果随机变量 X 的分布列为 其中 0<p<1,p+q=1,则称离散型随机变量 X 服 为 p 的两点分布。

X P

1 p

0 q 从参数

例 1 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得 1 分,不中得 0 分,已知某运动员罚球命中的概 率为 0.7,求他罚球一次的得分的分布列。

三、超几何分布 某校组织一次认识大自然夏令营活动,有 10 名同学参加,其中有 6 名男生、4 名女生,为 了活动的需要,要从这 10 名同学中随机抽取 3 名同学去采集自然标本,那么其中恰有 1 名 女生的概率有多大?采集标本的同学都是女生的概率有多大呢?

超几何分布:设有总数为 N 件的两类物品,其中一类有 M 件,从所有物品中任取 n 件,这 n 件中所含这类物品件数 X 是一个离散型随机变量,它取值为 m 时的概率为
m n CM CN?m ?M P( X ? m) ? (0 ? m ? l , l为n和M中较小的一个) n CN

例 1 在一个口袋中装 30 个球,其中有 10 个红球,其余为白球,这些球除颜色外完全相同。 游戏者一次从中摸出 5 个球, 摸到且只能摸到 4 个红球就中一等奖。 那么获一等奖的概率有 多大?

例 2 盒中有 16 个白球和 4 个黑球,从中任意取出 3 个,设 X 表示其中黑球的个数,求出 X 的分布列。

练习:一批产品共 100 件,次品率为 4%,从中任意抽取 10 件检查,求抽得的次品数的分 布列。

2.2 条件概率与事件的独立性 一、条件概率 1、条件概率的定义:事件 B 在“事件 A 已发生”这个附加条件下的概率与没有这个附加条 件的概率是不同的。对于任何两个事件 A 和 B,在已知事件 A 发生的条件下,事件 B 发生 的概率叫做条件概率。用符号“ 2、条件概率的公式

P ( B A)

”来表示。

P( B A)=

P ? B) (A ,P (A) 0 ? P (A)

例 1 甲乙两地都位于长江下游,根据一百多年的气象记录,知道甲乙两地一年中雨天占的 比例分别为 20%和 18%,两地同时下雨的比例为 12%,问: (1)乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是多少? (2)甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是多少?

例 2 设某种动物由出生算起活到 20 岁的概率为 0.8, 活到 25 岁的概率为 0.4, 现有一个 20 岁的这种动物,问它能活到 25 岁的概率是多少?

例 3 一个家庭中有两个小孩,假定生男、生女是等可能的,已知这个家庭有一个是女孩, 问这时另一个小孩是男孩的概率是多少?

二、事件的独立性 问题:在大小均匀的 5 个鸡蛋中有 3 个红皮蛋,2 个白皮蛋,每次取一个,有放回地取两次, 求在已知第一次取到红皮蛋的条件下,第二次取到红皮蛋的概率。

1、 相互独立事件:事件 A 是否发生对事件 B 发生的概率没有影响,即

P( B A)=P( B)

,这

时,我们称两个事件 A、B 相互独立,并把这两个事件叫做相互独立事件。 2、 相互独立事件的性质: 两个相互独立事件都发生的概率, 等于每个事件发生的概率的积。 即 P( A ? B)=P(A)P( B) 同理,如果事件 A1,A2,?,An 相互独立,那么这 n 个事件都发生的概率,等于每个 事件发生的概率的积, 即

P( A1 ?A2 ??? An )=P(A1 ) ? P( A2 ) ??? P( An )

例 1 甲乙两名篮球运动员分别进行一次投篮,如果两人投中的概率都是 0.6,计算 (1) 两人都投中的概率 (2) 其中恰有一人投中的概率 (3) 至少有一人投中的概率


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