当前位置:首页 >> 高三数学 >>

山西省忻州一中等四校联考2015届高三下学期第四次模拟数学(理)试卷


山西省忻州一中等四校联考 2015 届高考数学四模试卷(理科)
一、选择题(5×12=60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的, 请将正确选项用 2B 铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号) 1.设全集 U=R,集合 A= (?UB)∩A=( ) A.{0,1,2,3,4} B.{1,2,3} <1,x∈Z\},B={x|(x﹣3) (x+1)≥0,x∈Z},则

C.{0,1,2}

D.{1,2} )

2.复数 z 为纯虚数,若(3﹣i)z=a+i(i 为虚数单位) ,则实数 a 的值为( A.﹣3 B.3 C.﹣ D.

3.已知双曲线



=1 过点(﹣1,2) ,则该双曲线的渐近线方程为(

)

A.y=±

B.y=±x

C.y=±

x

D.y=±

x

4.执行如图所示的算法,则输出的结果是(

)

A.1

B.2

C .3 的图象向左平移 对称,则 C.

D.4 个单位,得到函数 g(x) =( D. )

5.把函数 f(x)=sin(2x+?) 的图象,若 g(x)的图象关于 A. B.

6.从 4 名男生和 6 名女生中各选 2 人参加跳绳比赛,则男生甲和女生乙至少有一个被选中 的概率是( )

A.

B.

C.

D.

7.在三棱锥 S﹣ABC 中,△ ABC 是边长为 1 的正三角形,SC⊥面 ABC,SC=2,则三棱锥 S﹣ABC 外接球的表面积为( ) A.6π B. C. D.

8.已知 ( A. ) B. C.



,则有

D.

9.某四面体的三视图如图所示,该四面体的六条棱长中,长度最大的是(

)

A.

B.

C.

D.2

10.设椭圆

=1(a>b>0)的左右焦点分别为 F1、F2,点 P(a,b)满足|F1F2|=|PF2|, )

设直线 PF2 与椭圆交于 M、N 两点,若|MN|=16,则椭圆的方程为( A. B.

C.

D.

11.已知定义在[0,+∞)上的函数 f(x)满足 f(x)=2f(x+2) ,当 x∈[0,2)时,f(x)= 2 * ﹣2x +4x.设 f(x)在[2n﹣2,2n)上的最大值为 an(n∈N ) ,且{an}的前 n 项和为 Sn,则 Sn=( ) A. B. C. D.

12.设函数 f(x)=x lnx,

2

,若存在 x1∈[e,e ],x2∈[1,2],使得 e (k ﹣2) )

2

3

2

g(x2)≥kf(x1)成立(其中 e 为自然对数的底数) ,则正实数 k 的取值范围是( A.k≥2 B.0<k≤2 C. D.

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题纸的相应位置上) 13. (1﹣x) (x + ) 的展开式中 x 的系数是__________.
2 6 4

14.已知实数 x,y 满足

,则目标函数 z=3y﹣2x 的最大值为__________.

15. 已知

?

=0, 且|

|=3, |

|=4, M 为线段 BC 上一点, 且

(λ,

μ∈R) ,则 λμ 的最大值为__________. 16.在△ ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,a(4﹣2 则 cosC 的最小值为__________. cosB)=b(2 cosA﹣5) ,

三、解答题(本大题 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,并把 解答写在答卷纸的相应位置上) 17.已知等差数列{an}的公差 d= b2b4b6=512,n∈N . (1)求数列{an}和{bn}的通项公式;
*

,a4 ﹣a2 =56;等比数列{bn}满足:b1=1,

2

2

(2)设{an}的前 n 项和为 Sn,令 cn=

,求 c1+c2+c3+…+c2n.

18.如图,三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,侧棱 AA1⊥平面 ABC,△ ABC 为等腰直角三角形, ∠BAC=90°,且 AB=AA1,E、F 分别是 CC1,BC 的中点. (1)求证:平面 AB1F⊥平面 AEF; (2)求二面角 B1﹣AE﹣F 的余弦值.

19.某工厂生产某种零件,每天生产成本为 1000 元,此零件每天的批发价和产量均具有随 机性,且互不影响.其具体情况如下表: 日产量 400 500 批发价 8 10 概 率 0.4 0.6 概 率 0.5 0.5 (1)设随机变量 X 表示生产这种零件的日利润,求 X 的分布列及期望; (2)若该厂连续 3 天按此情况生产和销售,设随机变量 Y 表示这 3 天中利润不少于 3000 的天数,求 Y 的数学期望和方差,并求至少有 2 天利润不少于 3000 的概率. (注:以上计 算所得概率值用小数表示) 20.已知抛物线 C:y =2px(p>0) ,过焦点且斜率为 1 的直线 m 交抛物线 C 于 A,B 两点, 以线段 AB 为直径的圆在 y 轴上截得的弦长为 . (1)求抛物线 C 的方程; (2)过点 P(0,2)的直线 l 交抛物线 C 于 F、G 两点,交 x 轴于点 D,设 ,试问 λ1+λ2 是否为定值?若是,求出该定值;若不是,说明理 由.
2

21.已知函数 f(x)=lnx﹣ax+

+1

(1)当 a= 时,求函数 y=f(x)的极值; (2)当 时,若对任意实数 b∈[2,3],当 x∈(0,b]时,函数 f(x)的最小

值为 f(b) ,求实数 a 的取值范围.

请考生在(22).(23).(24)三题中任选一题作答,如果多答,则按做的第一题记分.作 答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑. 【选修 4-1: 几何证明选讲】 22.如图,已知 PA 与圆 O 相切于点 A,经过点 O 的割线 PBC 交圆 O 于点 B,C,∠APC 的平分线分别交 AB,AC 于点 D,E. (Ⅰ)证明:∠ADE=∠AED; (Ⅱ)若 AC=AP,求 的值.

【选修 4-4:坐标系与参数方程】 23.在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 ,直线 l

的参数方程为

.以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极

坐标系. (1)求曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的极坐标方程; (2)若 P(x,y)为曲线 C 上的动点,求点 P 到直线 l 的距离 d 的最大值和最小值.

【选修 4-5:不等式选讲】 24.已知关于 x 的不等式 m﹣|x﹣2|≥1,其解集为[0,4]. (Ⅰ)求 m 的值; 2 2 (Ⅱ)若 a,b 均为正实数,且满足 a+b=m,求 a +b 的最小值.

山西省忻州一中等四校联考 2015 届高考数学四模试卷 (理科)
一、选择题(5×12=60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的, 请将正确选项用 2B 铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号) 1.设全集 U=R,集合 A= <1,x∈Z\},B={x|(x﹣3) (x+1)≥0,x∈Z},则

(?UB)∩A=( ) A.{0,1,2,3,4} B.{1,2,3} C.{0,1,2} 考点:交、并、补集的混合运算. 专题:集合. 分析:分别求出集合 A,?UB 中的元素,从而求出其交集.

D.{1,2}

解答: 解:∵集合 A=

<1,x∈Z}

={1,2,3,4}, B={x|(x﹣3) (x+1)≥0,x∈Z} ={x|x≥3 或 x≤﹣1,x∈Z}, ∴?UB={0,1,2}, ∴(?UB)∩A={1,2}. 故选:D. 点评:本题考察了集合的运算,考察指数函数的性质,不等式的解法,是一道基础题. 2.复数 z 为纯虚数,若(3﹣i)z=a+i(i 为虚数单位) ,则实数 a 的值为( A.﹣3 B.3 C.﹣ D. )

考点:复数相等的充要条件. 专题:数系的扩充和复数. 分析:设出复数 z,然后利用复数相等的充要条件,求解即可. 解答: 解:设复数 z=bi,b≠0, ∴(3﹣i)z=a+i,化为(3﹣i)bi=a+i,即 b+3bi=a+i, ∴b=a= , 故选:D. 点评:本题考查复数的基本运算,复数相等的充要条件的应用,考查计算能力.

3.已知双曲线



=1 过点(﹣1,2) ,则该双曲线的渐近线方程为(

)

A.y=±

B.y=±x

C.y=±

x

D.y=±

x

考点:双曲线的简单性质. 专题:圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:求出双曲线方程,然后求出渐近线的方程即可. 解答: 解:双曲线 ﹣ =1 过点(﹣1,2) ,

可得

,解得 a=1,

双曲线

﹣x =1 的渐近线方程为:y=±

2

x.

故选:C. 点评:本题考查双曲线方程的简单性质的应用,考查计算能力.

4.执行如图所示的算法,则输出的结果是(

)

A.1

B.2

C .3

D.4

考点:程序框图. 专题:图表型;算法和程序框图. 分析:模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的 M,S 的值,由对数的运算性质可知, 当 S 的值为 1,满足条件,输出 S 的值为 1. 解答: 解:模拟执行程序框图,可得 S=0,n=2 n=3,M= ,S= 不满足条件 S∈Z,n=4,M= ,S= 不满足条件 S∈Z,n=5,M= ,S= + + + =log24﹣log23+log25﹣log24+log26

﹣log25=log26﹣log23=1 满足条件 S∈Z,退出循环,输出 S 的值为 1. 故选:A. 点评:本题主要考查了循环结构的程序框图,考查了对数的运算法则,属于基础题.

5.把函数 f(x)=sin(2x+?) 的图象,若 g(x)的图象关于 A. B. C.

的图象向左平移 对称,则 D.

个单位,得到函数 g(x) =( )

考点:函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题:三角函数的图像与性质.

分析:由条件根据 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,可得 g(x)=sin(2x+ 用正弦函数的图象的对称性,求得 ? 的值,可得 解答: 解:把函数 f(x)=sin(2x+?) 得到函数 g(x)=sin[2(x+ 由 g(x)的图象关于 结合 ?∈(﹣ 则 , )可得 ?= )+?]=sin(2x+ 的值. 的图象向左平移 +?)的图象. )=0,?﹣

+?) ,再利

个单位,

对称,可得 sin(?﹣ ,f(x)=sin(2x+ =﹣ , )

=kπ,k∈z.

=sin(π+

)=﹣sin

故选:C. 点评:本题主要考查 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,正弦函数、余弦函数的图象的对称 性,属于基础题. 6.从 4 名男生和 6 名女生中各选 2 人参加跳绳比赛,则男生甲和女生乙至少有一个被选中 的概率是( ) A. B. C. D.

考点:古典概型及其概率计算公式. 专题:概率与统计. 分析:求出选 2 人的总数,甲乙都没有旋转的方法数,然后求解概率即可. 解答: 解:从 4 名男生和 6 名女生中各选 2 人参加跳绳比赛,选法总数为: 甲乙都没有旋转的方法数, =30. =90.

从 4 名男生和 6 名女生中各选 2 人参加跳绳比赛, 则男生甲和女生乙至少有一个被选中的概 率是: = .

故选:C. 点评:本题考查古典概型的概率的求法,对立事件的应用,考查计算能力. 7.在三棱锥 S﹣ABC 中,△ ABC 是边长为 1 的正三角形,SC⊥面 ABC,SC=2,则三棱锥 S﹣ABC 外接球的表面积为( ) A.6π B. C. D.

考点:球的体积和表面积;球内接多面体. 专题:空间位置关系与距离.

分析:由已知结合三棱锥和正三棱柱的几何特征,可得此三棱锥外接球,即为以△ ABC 为 底面以 PA 为高的正三棱柱的外接球,分别求出棱锥底面半径 r,和球心距 d,代入 R= ,可得球的半径 R,然后求解表面积.

解答: 解:根据已知中底面△ ABC 是边长为 2 的正三角形,SC⊥面 ABC,SC=2, 可得此三棱锥外接球,即为以△ ABC 为底面以 SC 为高的正三棱柱的外接球, ∵△ABC 是边长为 1 的正三角形, ∴△ABC 的外接圆半径 r= ,球心到△ ABC 的外接圆圆心的距离 d=1,

故球的半径 R=

=

=



三棱锥 S﹣ABC 外接球的表面积为:4π 故选:B.

=



点评:本题考查的知识点是球内接多面体,熟练掌握球的半径 R 公式 R= 的关键. 8.已知 ( A. ) B. C. D. ,

,是解答

,则有

考点:三角函数的化简求值. 专题:三角函数的求值. 分析:直接利用二倍角公式以及同角三角函数的基本关系式化简已知条件,然后求解即可. 解答: 解:由 可得 cosα= 可得 cosα=sin2β, 即 sin( ∵ ∴ ∴ ∴ . , , )=sin2β. , , , ,

故选:A. 点评:本题考查二倍角公式以及同角三角函数的基本关系式的应用,三角方程的求法,考查 计算能力. 9.某四面体的三视图如图所示,该四面体的六条棱长中,长度最大的是( )

A.

B.

C.

D.2

考点:简单空间图形的三视图;点、线、面间的距离计算. 专题:空间位置关系与距离. 分析: 由已知的中三视图画出该几何体的直观图, 并利用勾股定理求出各棱的长度, 比较后, 可得答案. 解答: 解:由已知可得该几何体的直观图如下图所示:

且 VA⊥平面 ABC,BD⊥CD,VA=AC=AD=1,BD=2 则 AB= ,BC=2 ,VC= ,VB= 四面体的六条棱长中,长度最大的是 BC=2 , 故选 D 点评:本题考查的知识点是简单空间图形的三视图,空间两点之间距离的计算,其中由已知 的中三视图画出该几何体的直观图,是解答的关键.

10.设椭圆

=1(a>b>0)的左右焦点分别为 F1、F2,点 P(a,b)满足|F1F2|=|PF2|, )

设直线 PF2 与椭圆交于 M、N 两点,若|MN|=16,则椭圆的方程为( A. B.

C.

D.

考点:椭圆的标准方程. 专题:计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:先确定 a=2c,b= c,可得椭圆方程为 3x +4y =12c ,直线 PF2 的方程为 y= (x ﹣c) ,代入椭圆方程,消去 y 并整理,求出 M,N 的坐标,利用|MN|=16,可求椭圆的方程. 解答: 解:因为点 P(a,b)满足|F1F2|=|PF2|,所以 整理得 2e +e﹣1=0, 所以 e= . 所以 a=2c,b= c,可得椭圆方程为 3x +4y =12c , 直线 PF2 的方程为 y= (x﹣c) , 代入椭圆方程,消去 y 并整理,得 5x ﹣8cx=0,解得 x=0 或 c, 得 M(0,﹣ 所以|MN|= 所以 c=5, 所以椭圆方程为 . c) ,N( c, c=16, c) ,
2 2 2 2 2 2 2 2

=2c,

故选:B. 点评:本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆的位置关系,考查了推理能力 与计算能力,属于中档题. 11.已知定义在[0,+∞)上的函数 f(x)满足 f(x)=2f(x+2) ,当 x∈[0,2)时,f(x)= ﹣2x +4x.设 f(x)在[2n﹣2,2n)上的最大值为 an(n∈N ) ,且{an}的前 n 项和为 Sn,则 Sn=( ) A. B. C. D.
2 *

考点:数列与函数的综合. 专题:综合题. 分析:根据定义在[0,+∞)上的函数 f(x)满足 f(x)=2f(x+2) ,可得 f(x+2)= f(x) , 从而 f(x+2n)= f(x) ,利用当 x∈[0,2)时,f(x)=﹣2x +4x,可求(x)在[2n﹣2,
2

2n)上的解析式,从而可得 f(x)在[2n﹣2,2n)上的最大值为 an,进而利用等比数列的求 和公式,即可求得{an}的前 n 项和为 Sn. 解答: 解:∵定义在[0,+∞)上的函数 f(x)满足 f(x)=2f(x+2) ,

∴f(x+2)= f(x) , ∴f(x+4)= f(x+2)= f(x) ,f(x+6)= f(x+4)= f(x) ,…f(x+2n)= f(x)

设 x∈[2n﹣2,2n) ,则 x﹣(2n﹣2)∈[0,2) 2 ∵当 x∈[0,2)时,f(x)=﹣2x +4x. 2 ∴f[x﹣(2n﹣2)]=﹣2[(x﹣(2n﹣2)] +4[x﹣(2n﹣2)]. ∴
1﹣n

=﹣2(x﹣2n+1) +2
2

2

∴f(x)=2 [﹣2(x﹣2n+1) +2],x∈[2n﹣2,2n) , 2﹣n ∴x=2n﹣1 时,f(x)的最大值为 2 2﹣n ∴an=2 ∴{an}表示以 2 为首项, 为公比的等比数列

∴{an}的前 n 项和为 Sn=

=

故选 B. 点评:本题以函数为载体,考查数列的通项与求和,解题的关键是确定函数的解析式,利用 等比数列的求和公式进行求和. 12.设函数 f(x)=x lnx,
2

,若存在 x1∈[e,e ],x2∈[1,2],使得 e (k ﹣2) )

2

3

2

g(x2)≥kf(x1)成立(其中 e 为自然对数的底数) ,则正实数 k 的取值范围是( A.k≥2 B.0<k≤2 C. D.

考点:导数在最大值、最小值问题中的应用. 专题:计算题;导数的综合应用. 2 分析:求出 f(x)的导数,求得 f(x)在[e,e ]的最小值,求出 g(x)的导数,判断 g(x) 3 2 在[1,2]的单调性,求得最大值,由存在性的结论可得 e (k ﹣2)g(x2)max≥kf(x1)min, 解不等式即可得到所求范围. 解答: 解:f(x)=x lnx 的导数为 f′(x)=2xlnx+x, 2 2 当 x∈[e,e ],f′(x)>0,f(x)在[e,e ]递增, 2 即有 f(e)为最小值,且为 e ; 的导数为 g′(x)= ,
2

当 x∈[1,2],g′(x)≤0,g(x)在[1,2]递减, 即有 g(1)取得最大值,且为 .

由题意可得 e (k ﹣2)g(x2)max≥kf(x1)min, 2 2 2 即为 e (k ﹣2)≥ke , 2 由 k ﹣k﹣2≥0, 结合 k>0,可得 k≥2. 故选 A. 点评:本题考查导数的运用:求最值,主要考查函数的单调性的运用,注意不等式存在性问 题转化为求函数的最值,考查运算能力,属于中档题和易错题. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题纸的相应位置上) 13. (1﹣x) (x + ) 的展开式中 x 的系数是﹣20.
2 6 4

3

2

考点:二项式系数的性质. 专题:二项式定理. 3 分析:求出第二个二项式展开后含有 x 的项,与第一个括号中的﹣x 作积后得答案. 解答: 解:对于(x + ) ,展开后的通项 由 12﹣3r=4,得 r= ,不合题意; 由 12﹣3r=3,得 r=3. ∴(1﹣x) (x + ) 的展开式中 x 的系数是﹣1×
2 6 4 2 6





故答案为:﹣20. 点评:本题考查了二项式系数的性质,关键是对二项式通项的记忆与运用,是基础题.

14.已知实数 x,y 满足

,则目标函数 z=3y﹣2x 的最大值为 9.

考点:简单线性规划. 专题:不等式的解法及应用. 分析:由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,联 立方程组求出最优解的坐标,代入目标函数得答案.

解答: 解:由约束条件

作出可行域如图,

化目标函数 z=3y﹣2x 为 由图可知,当直线

, 过 C(0,3)时,直线在 y 轴上的截距最大,z 有最大值,等于

3×3﹣2×0=9. 故答案为:9. 点评:本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题.

15. 已知

?

=0, 且|

|=3, |

|=4, M 为线段 BC 上一点, 且

(λ,

μ∈R) ,则 λμ 的最大值为



考点:平面向量的基本定理及其意义;平面向量数量积的运算. 专题:平面向量及应用. 分析:由题意 = ,根据共线向量基本定理存在 x,使

成立,利用向量相等,即可得到关于 λ,μ 的等式,求 λμ 最大值即 可 解答: 解:由已知 所以 ? =0,且| = |=3,| |=4,得到 AB⊥BC,所以 AC=5,

,根据共线向量基本定理存在 x,使

成立,

所以

,所以

,所以

,当且仅当

时等号成立,

所以 λμ≤

;即 λμ 的最大值为



故答案为:



点评:本题考查向量的加法运算,共线向量基本定理,共面向量基本定理,利用基本不等式 求乘积的最大值.属于中档题. 16.在△ ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,a(4﹣2 则 cosC 的最小值为﹣ . cosB)=b(2 cosA﹣5) ,

考点:余弦定理. 专题:解三角形. 分析:第一步:将原式变形,利用余弦定理,将角化为边; 第二步:用 a,b 表示 c; 第三步:写出 cosC 的表达式,并用 a,b 表示; 第四步:利用基本不等式放缩,即可获取定值. 解答: 解:a(4﹣2 cosB)=b(2 cosA﹣5)?4a+5b=2 由余弦定理,得 cosA= ,cosB= ,

(bcosA+acosB) ,

∴4a+5b=2

(b?

+a?

)=2

c,

即 4a+5b=2

c,得 c =

2



从而 cosC= 故答案为:﹣ .

=





点评:本题考查了余弦定理在解三角形中的运用,涉及最值问题,应善于利用基本不等式进 行处理. 三、解答题(本大题 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,并把 解答写在答卷纸的相应位置上) 17.已知等差数列{an}的公差 d= b2b4b6=512,n∈N . (1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)设{an}的前 n 项和为 Sn,令 cn= ,求 c1+c2+c3+…+c2n.
*

,a4 ﹣a2 =56;等比数列{bn}满足:b1=1,

2

2

考点:数列的求和;定积分;等差数列的性质. 专题:等差数列与等比数列;点列、递归数列与数学归纳法. 分析: (1)通过定积分的计算可得 ,通过 可得 a3=7,进而可得 a1=3,即得 an=2n+1; 设等比数列{bn}的公比为 q, 通过等比中项的性质及 进而可得 q=2,即得 ; , 可得 b4=8,

(2)通过 a1=3、an=2n+1 得

,利用并项相加法计算即可.

解答: 解: (1)公差 ∵ ∴a3=7, ∴a1+2d=7,∴a1=3, ∴an=3+2(n﹣1)=2n+1; 设等比数列{bn}的公比为 q, ∵
3

, ,



∴b4=8,即 b1q =8,∴q=2, 即 ;

(2)由 a1=3,an=2n+1 得:Sn=n(n+2) , ∴ ,





∴c1+c2+c3+…c2n=(c1+c3+…c2n﹣1)+(c2+c4+…c2n) =

=



点评:本题考查求数列的通项及前 n 项和,涉及到定积分的计算等知识,考查分类讨论的思 想,利用并项相加法是解决本题的关键,注意解题方法的积累,属于中档题. 18.如图,三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,侧棱 AA1⊥平面 ABC,△ ABC 为等腰直角三角形, ∠BAC=90°,且 AB=AA1,E、F 分别是 CC1,BC 的中点. (1)求证:平面 AB1F⊥平面 AEF; (2)求二面角 B1﹣AE﹣F 的余弦值.

考点:与二面角有关的立体几何综合题;平面与平面垂直的判定. 专题:空间位置关系与距离;空间角. 分析: (1)连结 AF,由已知条件推导出面 ABC⊥面 BB1C1C,从而 AF⊥B1F,由勾股定理 得 B1F⊥EF.由此能证明平面 AB1F⊥平面 AEF. (2)以 F 为坐标原点,FA,FB 分别为 x,y 轴建立直角坐标系,利用向量法能求出二面角 B1﹣AE﹣F 的余弦值. 解答: (1)证明:连结 AF,∵F 是等腰直角三角形△ ABC 斜边 BC 的中点, ∴AF⊥BC. 又∵三棱柱 ABC﹣A1B1C1 为直三棱柱, ∴面 ABC⊥面 BB1C1C, ∴AF⊥面 BB1C1C,AF⊥B1F.… 设 AB=AA1=1,则 ∴ = ,EF= ,∴B1F⊥EF. , .

又 AF∩EF=F,∴B1F⊥平面 AEF.… 而 B1F?面 AB1F,故:平面 AB1F⊥平面 AEF.… (2)解:以 F 为坐标原点,FA,FB 分别为 x,y 轴建立直角坐标系如图, 设 AB=AA1=1, 则 F(0,0,0) ,A( , ) ,B1(0,﹣ =(﹣ , ,1) ,E(0,﹣ ,1) .… , ) ,

由(1)知,B1F⊥平面 AEF,取平面 AEF 的法向量: =(0, ,1) .…

设平面 B1AE 的法向量为







取 x=3,得 设二面角 B1﹣AE﹣F 的大小为 θ,

.…

则 cosθ=|cos<

>|=|

|=



由图可知 θ 为锐角, ∴所求二面角 B1﹣AE﹣F 的余弦值为 .…

点评:本题考查平面与平面垂直的证明,考查二面角的余弦值的求法,解题时要认真审题, 注意向量法的合理运用. 19.某工厂生产某种零件,每天生产成本为 1000 元,此零件每天的批发价和产量均具有随 机性,且互不影响.其具体情况如下表: 日产量 400 500 批发价 8 10 概 率 0.4 0.6 概 率 0.5 0.5 (1)设随机变量 X 表示生产这种零件的日利润,求 X 的分布列及期望; (2)若该厂连续 3 天按此情况生产和销售,设随机变量 Y 表示这 3 天中利润不少于 3000 的天数,求 Y 的数学期望和方差,并求至少有 2 天利润不少于 3000 的概率. (注:以上计 算所得概率值用小数表示) 考点:离散型随机变量的期望与方差;离散型随机变量及其分布列. 专题:概率与统计. 分析: (1)确定随机变量 X 可以取:4000,3000. ,2200 求解概率得出分布列,根据数学 期望公式求解即可. (2) 根据分布列得出该厂生产 1 天利润不少于 3000 的概率为: P=0.8, 判断出二项分布 Y~ B(3,0.8) ,根据数学期望,方差公式求解即可.

解答: 解: (1)∵500×10﹣1000=4000,400×10﹣1000=500×8﹣1000=3000,400×8﹣ 1000=2200 随机变量 X 可以取:4000,3000. ,2200 P(X=4000)=0.6×0.5=0.3 P(X=2200)=0.4×0.5=0.2 P(X=3000)=0.6×0.5+0.4×0.5=0.5 X 4000 3000 2200 P 0.3 0.5 0.2 ∴X 的分布列为: EX=4000×0.3+3000×0.5+2200×0.2=3140 (2)由(1)知:该厂生产 1 天利润不少于 3000 的概率为:P=0.8 ∴Y~B(3,0.8) ∴EY=3=2.4 DY=3×0.8×0.2=0.48 至少有 2 天利润不少于 3000 的概率为: 点评:本题综合考查了概率在实际问题中的应用,关键是准确求解概率,判断概率的类型, 准确求解即可. 20.已知抛物线 C:y =2px(p>0) ,过焦点且斜率为 1 的直线 m 交抛物线 C 于 A,B 两点, 以线段 AB 为直径的圆在 y 轴上截得的弦长为 . (1)求抛物线 C 的方程; (2)过点 P(0,2)的直线 l 交抛物线 C 于 F、G 两点,交 x 轴于点 D,设 ,试问 λ1+λ2 是否为定值?若是,求出该定值;若不是,说明理 由. 考点:抛物线的简单性质. 专题:综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)直线 m 的方程为 y=x﹣ ,代入 y =2px,利用韦达定理,结合以线段 AB 为直径 的圆在 y 轴上截得的弦长为 ,求出 p,即可求抛物线 C 的方程; 2 2 2 (2)设直线 l:y=kx+2 与 y =4x,联立得 k x +(4k﹣4)x+4=0,利用韦达定理,结合 ,可得 λ1+λ2 为定值. 解答: 解: (1)由已知:直线 m 的方程为 y=x﹣ ,代入 y =2px, 得:x ﹣3px+
2 2 2 2

=0.

设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 x1+x2=3p,|AB|=x1+x2+p=4p 且线段 AB 的中点为( 由已知 7+ =4p ,
2

,p) ,…

解得 p=2 或 p=﹣2(舍去) , 2 所以抛物线 C 的方程为:y =4x;…

(2)设直线 l:y=kx+2 与 y =4x,联立得 k x +(4k﹣4)x+4=0 设 F(x3,y3) ,G(x4,y4) 则 …

2

2 2

所以

,…







代入上式得﹣1<x<0,

即∠APC 为定值﹣1.… 点评:本题考查抛物线的方程,考查直线与抛物线的位置关系,考查韦达定理的运用,考查 学生分析解决问题的能力,属于中档题.

21.已知函数 f(x)=lnx﹣ax+

+1

(1)当 a= 时,求函数 y=f(x)的极值; (2)当 时,若对任意实数 b∈[2,3],当 x∈(0,b]时,函数 f(x)的最小

值为 f(b) ,求实数 a 的取值范围. 考点:利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的 最值. 专题:导数的综合应用. 分析: (1)分别解出 f′(x)>0,f′(x)<0,即可得出函数 f(x)的单调性与极值. (2)由已知 .比较 1 与 的

大小关系,对 a 分类讨论,利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出. 解答: 解: (1)当 a= 时, ,





∴当 x∈(0,1)或 x∈(3,+∞)时,f′(x)<0,f(x)单调递减;

当 x∈(1,3)时,f′(x)>0,f(x)单调递增; ∴当 x=1 时,f(x)有极小值为 , 当 x=3 时,f(x)有极大值为 .

(2)由已知 ①当 ∴x∈(0,1)和 时, ,



时,f′(x)<0,f(x)单调递减; 时,f′(x)>0,f(x)单调递增;

又∵

,要对任意实数 b∈[2,3],当 x∈(0,b]时,函数 f(x)的最小值为 f(b) ,

只需要 f(2)≤f(1) , 即 ∵ ,∴ ,解得 a≥2ln2﹣1, .

②当

时,



,在 x∈(0,+∞)上,恒有 f'(x)≤0,

且仅有 f′(x)=0,故 f(x)在(0,+∞)上单调递减.显然成立. ③当 于是 时, , 和 x∈ (1, +∞) 时,f′ (x)<0,f (x) 单调递减;

时,f′(x)>0,f(x)单调递增; 要对任意实数 b∈[2,3],当 x∈(0,b]时,函数 f(x)的最小值为 f(b) ,只需要 , 即 令 , ;

, ∴g(a)在 上单调递减, ,所以此时 .

综上所述:a∈[2ln2﹣1,1) .

点评:本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论思想方法,考查了推理 能力与计算能力,属于难题. 请考生在(22).(23).(24)三题中任选一题作答,如果多答,则按做的第一题记分.作 答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑. 【选修 4-1: 几何证明选讲】 22.如图,已知 PA 与圆 O 相切于点 A,经过点 O 的割线 PBC 交圆 O 于点 B,C,∠APC 的平分线分别交 AB,AC 于点 D,E. (Ⅰ)证明:∠ADE=∠AED; (Ⅱ)若 AC=AP,求 的值.

考点:弦切角;相似三角形的性质. 专题:证明题. 分析: (Ⅰ)根据弦切角定理,得到∠BAP=∠C,结合 PE 平分∠APC,可得 ∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE,最后用三角形的外角可得∠ADE=∠AED; (Ⅱ) 根据 AC=AP 得到∠APC=∠C, 结合 (I) 中的结论可得∠APC=∠C=∠BAP, 再在△ APC 中根据直径 BC 得到∠PAC=90°+∠BAP,利用三角形内角和定理可得 .利用直角三角形中正切的定义,得到 通过内角相等证明出△ APC∽△BPA,从而 解答: 解: (Ⅰ)∵PA 是切线,AB 是弦, ∴∠BAP=∠C. 又∵∠APD=∠CPE, ∴∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE. ∵∠ADE=∠BAP+∠APD,∠AED=∠C+∠CPE, ∴∠ADE=∠AED.… (Ⅱ) 由(Ⅰ)知∠BAP=∠C, ∵∠APC=∠BPA, ∵AC=AP, ∴∠APC=∠C ∴∠APC=∠C=∠BAP. 由三角形内角和定理可知,∠APC+∠C+∠CAP=180°. ∵BC 是圆 O 的直径, ∴∠BAC=90°. ∴∠APC+∠C+∠BAP=180°﹣90°=90°. ∴ . . ,最后

在 Rt△ ABC 中, ∴ .

,即



∵在△ APC 与△ BPA 中 ∠BAP=∠C,∠APB=∠CPA, ∴△APC∽△BPA. ∴ ∴ . . …

点评:本题综合考查了弦切角、三角形的外角定理、直角三角形中三角函数的定义和相似三 角形的性质等知识点,属于中档题.找到题中角的等量关系,计算出 Rt△ ABC 是含有 30 度的直角三角形,是解决本题的关键所在. 【选修 4-4:坐标系与参数方程】 23.在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 ,直线 l

的参数方程为

.以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极

坐标系. (1)求曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的极坐标方程; (2)若 P(x,y)为曲线 C 上的动点,求点 P 到直线 l 的距离 d 的最大值和最小值. 考点:参数方程化成普通方程. 专题:坐标系和参数方程. 分析: (1)由曲线 C 的参数方程为 ,利用 cos α+sin α=1 可得
2 2

曲线 C 的直角坐标方程. 由直线 l 的参数方程为

. 消去参数 t 可得:

直线 l 的直角坐标方程,把

代入可得极坐标方程.

(2)设 P(2cosα,sinα) ,直线 l 为 4x﹣3y+12=0,利用点到直线的距离公式、三角函数的 单调性即可得出.

解答: 解: (1)由曲线 C 的参数方程为 可得:曲线 C 的直角坐标方程为 .

,利用 cos α+sin α=1

2

2

由直线 l 的参数方程为

.消去参数 t 可得:直线 l 的直角坐标方程

为 4x﹣3y+12=0, 把 代入可得:极坐标方程为 4ρcosθ﹣3ρsinθ+12=0.

(2)设 P(2cosα,sinα) ,直线 l 为 4x﹣3y+12=0, 则 ∴最大值为 ,最小值为 . ,

点评:本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程与直角坐标方程互化、椭圆的参数方 程、点到直线的距离公式、三角函数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 【选修 4-5:不等式选讲】 24.已知关于 x 的不等式 m﹣|x﹣2|≥1,其解集为[0,4]. (Ⅰ)求 m 的值; (Ⅱ)若 a,b 均为正实数,且满足 a+b=m,求 a +b 的最小值. 考点:二维形式的柯西不等式;绝对值不等式的解法. 专题:选作题;不等式. 分析: (Ⅰ)去掉绝对值,求出解集,利用解集为[0,4],求 m 的值; (Ⅱ)利用柯西不等式,即可求 a +b 的最小值. 解答: 解: (Ⅰ)不等式 m﹣|x﹣2|≥1 可化为|x﹣2|≤m﹣1,… ∴1﹣m≤x﹣2≤m﹣1,即 3﹣m≤x≤m+1,… ∵其解集为[0,4],∴ ,∴m=3.…
2 2 2 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 a+b=3, 2 2 2 2 2 2 ∵(a +b ) (1 +1 )≥(a×1+b×1) =(a+b) =9, ∴a +b ≥ ,∴a +b 的最小值为 .… 点评:本题考查不等式的解法,考查柯西不等式,正确运用柯西不等式是关键.
2 2 2 2


赞助商链接
相关文章:
山西省忻州一中等四校联考2015届高三下学期第四次模拟...
山西省忻州一中等四校联考2015届高三下学期第四次模拟数学(理)试卷_高三数学_数学_高中教育_教育专区。山西省忻州一中等四校联考 2015 届高考数学四模试卷(理科)...
...二中四校联考2015届高三下学期第三次模拟物理试卷
暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档山西省临汾一中、康杰中学、忻州一中、长治二中四校联考2015届高三下学期第次模拟物理试卷_理化生_高中教育_教育专区。山西省...
山西省忻州一中等四校2014-2015学年高三第四次联考数学...
山西省忻州一中等四校2014-2015年高三第四次联考数学(理)试题带答案_数学_高中教育_教育专区。山西省忻州一中等四校2014-2015年高三第四次联考数学(理)试题...
山西省忻州一中等四校2014-2015学年高三第四次联考数学...
山西省忻州一中等四校2014-2015年高三第四次联考数学理试题 Word版含答案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。山西省忻州一中等四校2014-2015年高三第四次联考...
山西省忻州一中等四校2014-2015学年高三第四次联考数学...
山西省忻州一中等四校2014-2015学年高三第四次联考数学理试题_高中教育_教育专区。试题类型:A 2015 届高三年级第四次四校联考 数学试题(理) (满分 150 分,...
山西省2015届高三第三次四校联考数学(理)试卷带答案
山西省2015届高三第次四校联考数学(理)试卷带答案_高考_高中教育_教育专区。...临汾一中 康杰中学 长治二中 忻州一中(满分 150 分,考试时间 120 分) 第Ⅰ卷...
山西省忻州一中等四校2014-2015学年高三第四次联考数学...
暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档山西省忻州一中等四校2014-2015学年高三第四次联考数学理试题_学科竞赛_高中教育_教育专区。试题类型:A 2015 届高三年级第四...
...2016届高三下学期第三次四校联考 数学(理)
山西省忻州一中、长治二中、康杰中学、临汾一中2016届高三下学期第次四校联考 数学(理)_数学_高中教育_教育专区。HLLYBQ 整理 供“高中试卷网(http://sj.fj...
山西省忻州一中等四校2014-2015学年高三第四次联考理综...
山西省忻州一中等四校2014-2015年高三第四次联考理综试题_数学_高中教育_教育...在模拟细胞大小与物质运输的关系时,琼脂块表面积与体积之比是自变量,NaOH 扩散...
山西省忻州一中等四校2015届高三第一次联考文科数学试...
暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 山西省忻州一中等四校2015届高三第次联考文科数学试卷(解析版)_数学_高中教育_教育专区。今日...
更多相关标签: