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创新设计浙江专用2017届高考数学二轮复习专题一函数与导数不等式第2讲不等式问题练习


专题一 函数与导数、不等式 第 2 讲 不等式问题练习
一、选择题
4 2 1

1.(2016·全国Ⅲ卷)已知 a=23,b=33,c=253,则( A.b<a<c C.b<c<a B.a<b<c D.c<a<b

)

4 2 1 3 3 3 解析 a=23= 16,b=33= 9,c=253= 25,所以 b<a<c.

答案 A
?x +2x,x≥0, ? 2.(2016·杭州模拟)已知函数 f(x)=? 2 若 f(-a)+f(a)≤2f(1),则实数 a ?x -2x,x<0, ?
2

的取值范围是( A.[0,1] C.[-1,1]

) B.[-1,0] D.[-1,0]
?a≥0, ?
2 2

解析 f(-a)+f(a)≤2f(1)??

? ?(-a) -2×(-a)+a +2a≤2×3



?a<0, ? ? 2 2 ?(-a) +2×(-a)+a -2a≤2×3 ? ? ?a≥0,
2

即?

? ?a<0, 或? 2 ?a +2a-3≤0 ? ?a -2a-3≤0, ?

解得 0≤a≤1,或-1≤a<0.故-1≤a≤1. 答案 C 3.(2016·浙江卷)已知 a,b>0 且 a≠1,b≠1,若 logab>1,则( A.(a-1)(b-1)<0 C.(b-1)(b-a)<0 B.(a-1)(a-b)>0 D.(b-1)(b-a)>0 )

解析 由 a,b>0 且 a≠1,b≠1,及 logab>1=logaa 可得: 当 a>1 时,b>a>1,当 0<a<1 时,0<b<a<1, 代入验证只有 D 满足题意. 答案 D 4.已知当 x<0 时,2x -mx+1>0 恒成立,则 m 的取值范围为( A.[2 2,+∞) B.(-∞,2 2]
2

)

1

C.(-2 2,+∞) 解析 由 2x -mx+1>0,得 mx<2x +1, 2x +1 1 因为 x<0,所以 m> =2x+ .
2 2 2

D.(-∞,-2 2)

x

x

1 ? 1 ? 而 2x+ =-?(-2x)+ ≤ (-x)? x ? ? -2 1 (-2x)× =-2 2. (-x)

1 2 当且仅当-2x=- ,即 x=- 时取等号, x 2 所以 m>-2 2. 答案 C

x+2y-2≥0, ? ? 2 2 5.(2016·珠海模拟)若 x,y 满足不等式组?x-y+1≥0, 则 x +y 的最小值是( ? ?3x+y-6≤0,
A. C. 2 3 5 4 5 B. 2 5 5

)

D.1

解析 不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示,

x2+y2表示原点(0,0)到此区域内的点 P(x,y)的距离.
显然该距离的最小值为原点到直线 x+2y-2=0 的距离. |0+0-2| 2 5 故最小值为 = . 2 2 5 1 +2 答案 B

二、填空题

?log3x,x>0, ? 6.已知函数 f(x)=??1?x 那么不等式 f(x)≥1 的解集为________. ?3? ,x≤0, ? ?? ?
x ?1? 解析 当 x>0 时,由 log3x≥1 可得 x≥3,当 x≤0 时,由? ? ≥1 可得 x≤0, ?3?
∴不等式 f(x)≥1 的解集为(-∞,0]∪[3,+∞).
2

答案 (-∞,0]∪[3,+∞)

x+2y≥0, ? ? 7.设目标函数 z=x+y,其中实数 x,y 满足?x-y≤0, 若 z 的最大值为 12,则 z 的最小 ? ?0≤y≤k.
值为________. 解析 作出不等式组所表示的可行域如图阴影所示,平移直线

x+y=0,显然当直线过点 A(k,k)时,目标函数 z=x+y 取得
最大值,且最大值为 k+k=12,则 k=6,直线过点 B 时目标函 数 z=x+y 取得最小值, 点 B 为直线 x+2y=0 与 y=6 的交点, 即 B(-12,6),所以 zmin=-12+6=-6. 答案 -6 2 1 2 8.(2016·大同模拟)已知 x>0,y>0,且 + =1,若 x+2y>m +2m 恒成立,则实数 m

x y

的取值范围为________. 解析 记 t=x+2y,由不等式恒成立可得 m +2m<tmin. 2 1 4y x ?2 1? 因为 + =1,所以 t=x+2y=(x+2y)? + ?=4+ + .
2

x y

?x y?

x

y

4y x 而 x>0,y>0,所以 + ≥2

x

y

4y x 4y x · =4(当且仅当 = ,即 x=2y 时取等号).

x

y

x

y

4y x 所以 t=4+ + ≥4+4=8,即 tmin=8.

x

y

故 m +2m<8,即(m-2)(m+4)<0.解得-4<m<2. 答案 (-4,2)

2

三、解答题 9.已知函数 f(x)= 2x . x +6
2

(1)若 f(x)>k 的解集为{x|x<-3,或 x>-2},求 k 的值; (2)对任意 x>0,f(x)≤t 恒成立,求 t 的取值范围. 解 (1)f(x)>k?kx -2x+6k<0.
2 2

由已知{x|x<-3,或 x>-2}是其解集,得 kx -2x+6k=0 的两根是-3, -2.

3

2 2 由根与系数的关系可知(-2)+(-3)= ,即 k=- . k 5 (2)因为 x>0, f(x)= 2x 2 2 6 = ≤ = , 当且仅当 x= 6时取等号.由已知 f(x)≤t x2+6 6 2 6 6 x+ x 6 ? 6 ? ,即 t 的取值范围是? ,+∞?. 6 ?6 ?

对任意 x>0 恒成立,故 t≥
2

10.(1)解关于 x 的不等式 x -2mx+m+1>0; (2)解关于 x 的不等式 ax -(2a+1)x+2<0. 解 (1)原不等式对应方程的判别式 Δ =(-2m) -4(m+1)=4(m -m-1).
2 2 2

1+ 5 1- 5 2 2 当 m -m-1>0,即 m> 或 m< 时,由于方程 x -2mx+m+1=0 的两根是 2 2

m± m2-m-1,所以原不等式的解集是{x|x<m- m2-m-1,或 x>m+ m2-m-1};
1± 5 当 Δ =0,即 m= 时,不等式的解集为{x|x∈R,且 x≠m}; 2 1- 5 1+ 5 当 Δ <0,即 <m< 时,不等式的解集为 R. 2 2 综上,当 m> 1+ 5 1- 5 2 或 m< 时,不等式的解集为{x|x<m- m -m-1,或 x>m+ 2 2 1± 5 1- 5 1+ 5 时,不等式的解集为{x|x∈R,且 x≠m};当 <m< 2 2 2

m2-m-1};当 m=

时,不等式的解集为 R. (2)原不等式可化为(ax-1)(x-2)<0.

? 1? ①当 a>0 时,原不等式可以化为 a(x-2)?x- ?<0,根据不等式的性质,这个不等式等 ?
a?
1 ? 1? ? 1? 价于(x-2)·?x- ?<0.因为方程(x-2)?x- ?=0 的两个根分别是 2, ,所以当 0<a

?

a?

?

a?

a

? 1? 1 1 1 < 时,2< ,则原不等式的解集是?x|2<x< ?;当 a= 时,原不等式的解集是?;当 a a? 2 a 2 ? ? ?1 ? 1 1 > 时, <2,则原不等式的解集是?x? <x<2?. 2 a ? ?a ?

②当 a=0 时,原不等式为-(x-2)<0,解得 x>2,即原不等式的解集是{x|x>2}.

? 1? ③当 a<0 时,原不等式可以化为 a(x-2)?x- ?<0,根据不等式的性质,这个不等式等 ?
a?
? ? ? 1 1 ? 1? 价于(x-2)?x- ?>0,由于 <2,故原不等式的解集是?x?x< 或x>2?.

?

a?

a

?

?

a

?

1 1 ? 1? 综上,当 a=0 时不等式解集为(2,+∞);当 0<a< 时,不等式解集为?2, ?;当 a= 2 2 ? a? 1? 1 ?1 ? 当 a<0 时, ? 时, 不等式解集为?; 当 a> 时, 不等式解集为? ,2?, 不等式解集为?-∞, ? a? 2 ?a ? ? ∪(2,+∞).
4

11.已知函数 f(x)=x +bx+c(b,c∈R),对任意的 x∈R,恒有 f′(x)≤f(x). (1)证明:当 x≥0 时,f(x)≤(x+c) ; (2)若对满足题设条件的任意 b, c, 不等式 f(c)-f(b)≤M(c -b )恒成立, 求 M 的最小值. (1)证明 易知 f′(x)=2x+b.由题设,对任意的 x∈R,2x+b≤x +bx+c,即 x +(b- 2)x+c-b≥0 恒成立,所以(b-2) -4(c-b)≤0,从而 c≥ +1,于是 c≥1, 4 且 c≥2
2 2 2 2 2 2

2

b2

b2
4

×1=|b|,因此 2c-b=c+(c-b)>0.
2 2

故当 x≥0 时,有(x+c) -f(x)=(2c-b)x+c(c-1)≥0.即当 x≥0 时,f(x)≤(x+c) . (2)解 由(1)知 c≥|b|.当 c>|b|时,有 M≥ 令 t= ,则-1<t<1, 而函数 g(t)=2-

f(c)-f(b) c2-b2+bc-b2 c+2b = = . c2-b2 c2-b2 b+c

b c

c+2b 1 =2- . b+c 1+t

3? 1 ? (-1<t<1)的值域是?-∞, ?. 2? 1+t ?

?3 ? 因此,当 c>|b|时,M 的取值范围为? ,+∞?. ?2 ?
当 c=|b|时,由(1)知 b=±2,c=2.此时 f(c)-f(b)=-8 或 0,c -b =0,从而 f(c) 3 2 2 -f(b)≤ (c -b )恒成立. 2 3 综上所述,M 的最小值为 . 2
2 2

5


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