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2014届高三数学一轮复习《函数的奇偶性与周期性》理 新人教B版


A

[第 6 讲

函数的奇偶性与周期性]

(时间:35 分钟 分值:80 分)

基础热身 1. [2013·东北师大附中模拟] 奇函数 f(x)在(0, +∞)上的解析式是 f(x)=x(1-x), 则在(-∞,0)上 f(x)的函数解析式是( ) A.f(x)=-x(1-x) B.f(x)=

x(1+x) C.f(x)=-x(1+x) D.f(x)=x(x-1) a2x-1 2.函数 f(x)= x (a>0,a≠1)的图象( )

a

A.关于原点对称 B.关于直线 y=x 对称 C.关于 x 轴对称 D.关于 y 轴对称 3.[2013·哈尔滨师大附中月考] 设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≤0 时,f(x)= 2 2x -x,则 f(1)=( ) A.-3 B.-1 C.1 D.3 4.[2013·上海卷] 已知 y=f(x)是奇函数,若 g(x)=f(x)+2 且 g(1)=1,则 g(-1) =________.

能力提升

? 13? 5.设 f(x)是周期为 2 的奇函数,当 0≤x≤1 时,f(x)= x,则 f?- ?=( ? 4?
A.

)

3 3 1 1 B.- C. D.- 2 2 2 2 6.[2013·长春外国语学校月考] 已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 f(x+2) =-f(x),若 f(1)=1,则 f(3)-f(4)=( ) A.-1 B.1 C.-2 D.2 |x-2|+a a 7.[2013·保定摸底] 若函数 f(x)= 的图象关于原点对称,则 f =( ) 2 2 4-x 3 3 B.- C.1 D.-1 3 3 8.已知定义在 R 上的奇函数 f(x)是一个减函数,且 x1+x2<0,x2+x3<0,x3+x1<0, 则 f(x1)+f(x2)+f(x3)的值( ) A.大于 0 B.小于 0 C.等于 0 D.以上都有可能 9. [2013·银川一中月考] 已知 f(x)是定义在 R 上的函数, 且满足 f(x+1)+f(x)=3, 当 x∈[0,1]时,f(x)=2-x,则 f(-2 005.5)=________. 2-m 2 10.[2013·青岛二中月考] 已知函数 f(x)=x 是定义在区间[-3-m,m -m]上的奇 函数,则 f(m)=________. A.

? ?x -2x,x≥0, 11.[2013·南京三模] 若函数 f(x)=? 是奇函数,则满足 f(x)>a 的 2 ? ?-x +ax,x<0

2

x

的取值范围是________. 2 7 m 12.(13 分)[2013·衡水中学一调] 已知函数 f(x)=x - 且 f(4)= . x 2 (1)求 m 的值; (2)判定 f(x)的奇偶性; (3)判断 f(x)在(0,+∞)上的单调性,并给予证明.

难点突破 13.(12 分)已知函数 f(x)=

ax2+1 (a,b,c∈Z)是奇函数,又 f(1)=2,f(2)<3,求 a, bx+c

b,c 的值.

B

[第 6 讲 函数的奇偶性与周期性]

(时间:35 分钟 分值:80 分)

基础热身 1 .[2013·佛山质检 ] 下列函数中既是奇函数,又在区间 ( - 1 , 1) 上 是增函数的为 ( ) A.y=|x| B.y=sinx x -x 3 C.y=e +e D.y=-x 2 2.已知 f(x)=ax +b x 是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么 a+b 的值是( ) 1 1 1 1 A.- B. C. D.- 3 3 2 2 2 ? ?x -x+1(x>0), 3.已知 f(x)=? 2 则 f(x)为( ) ? ?-x -x-1(x<0), A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.不能确定奇偶性 4.[2013·浙江卷] 设函数 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的偶函数,当 x∈[0,1]时, ?3? f(x)=x+1,则 f? ?=________. ?2?

能力提升 2 ,x<0, ? ? 5. [2013·郑州模拟] 设函数 f(x)=?0,x=0, 且 f(x)为奇函数, 则 g(3)=( ? ?g(x),x>0,
x

)

1 1 A.8 B. C.-8 D.- 8 8 6.已知 y=f(x)是定义在 R 上的偶函数,且 f(x)在(0,+∞)上是增函数,如果 x1<0, x2>0,且|x1|<|x2|,则有( ) A.f(-x1)+f(-x2)>0 B.f(x1)+f(x2)<0 C.f(-x1)-f(-x2)>0 D.f(x1)-f(x2)<0 7.已知函数 f(x)是(-∞,+∞)上的偶函数,若对于 x≥0,都有 f(x+2)=f(x),且 当 x∈[0,2)时,f(x)=log2(x+1),则 f(-2 012)+f(2 011)的值为( ) A.1 B.2 C.-2 D.-1 x 8.[2013·忻州一中月考] 命题 p: ? x∈R,使得 3 >x;命题 q:若函数 y=f(x-1)

为奇函数,则函数 y=f(x)的图象关于点(1,0)成中心对称. 以下说法正确的是( ) A.p∨q 真 B.p∧q 真 C.綈 p 真 D.綈 q 假 9.[2013·山东师大附中期中] 函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且 f(x+2)=- 1

f(x)

,当 2≤x≤3 时,f(x)=x,则 f(2 013)=________.

? 3? 10.[2013·枣庄二模] 已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f?x+ ?=-f(x),且函数 y ? 2? ? 3? ? 3 ? =f?x- ?为奇函数,给出三个结论:①f(x)是周期函数;②f(x)的图象关于点?- ,0?对 ? 4? ? 4 ? 称;③f(x)是偶函数.其中正确结论的个数为________. 2 11.设定义在[-2,2]上的奇函数 f(x)在[0,2]上单调递减,若 f(3-m)≤f(2m ),则 实数 m 的取值范围是________. 1+x 12.(13 分)[2013·吉林一模] 已知函数 f(x)=lg . 1-x ? a+b ?; (1)求证:对于 f(x)的定义域内的任意两个实数 a,b,都有 f(a)+f(b)=f? ? ?1+ab? (2)判断 f(x)的奇偶性,并予以证明.

难点突破 13. (12 分)函数 f(x)的定义域为 D={x|x≠0}, 且满足对于任意 x1, x2∈D, 有 f(x1· x2) =f(x1)+f(x2). (1)求 f(1)的值; (2)判断 f(x)的奇偶性并证明你的结论; (3)如果 f(4)=1,f(3x+1)+f(2x-6)≤3,且 f(x)在(0,+∞)上是增函数,求 x 的 取值范围.

课时作业(六)A 【基础热身】 1.B [解析] 当 x∈(-∞,0)时,-x∈(0,+∞),由于函数 f(x)是奇函数,故 f(x) =-f(-x)=x(1+x). 1 -x x -x 2.A [解析] 因为 f(-x)=a - -x=-(a -a )=-f(x),所以 f(x)是奇函数,其

a

图象关于原点对称.故选 A. 2 3.A [解析] 依题意当 x>0 时,f(x)=-f(-x)=-(2x +x),所以 f(1)=-3.故选 A. 4.3 [解析] 考查函数的奇偶性和转化思想,解此题的关键是利用 y=f(x)为奇函数. 已知函数 y=f(x)为奇函数,由已知得 g(1)=f(1)+2=1, ∴f(1)=-1, 则 f(-1)=-f(1)=1,所以 g(-1)=f(-1)+2=1+2=3. 【能力提升】 13 5 3 3 5.A [解析] 依题意 f- =f- =f = .故选 A. 4 4 4 2 6.A [解析] 由 f(x+2)=-f(x)得 f(x+4)=-f(x+2)=f(x),根据 f(x)为 R 上的 奇函数,得 f(0)=0,所以 f(3)=f(-1)=-f(1)=-1,f(4)=f(0)=0,所以 f(3)-f(4) =-1.故选 A. 7.A [解析] 函数 f(x)定义域为 {x|-2<x<2},依题意函数 f(x)为奇函数,所以 f(0) a |-1-2|-2 3 =0,得 a=-2,所以 f =f(-1)= = .故选 A. 2 3 4-1 8.A [解析] 由 x1+x2<0,得 x1<-x2. 又 f(x)为减函数,所以 f(x1)>f(-x2), 又 f(x)为 R 上的奇函数,所以 f(x1)>-f(x2). 所以 f(x1)+f(x2)>0. 同理 f(x2)+f(x3)>0,f(x1)+f(x3)>0, 所以 f(x1)+f(x2)+f(x3)>0.故选 A. 9. 1.5 [解析] 由 f(x+1)+f(x)=3 得 f(x)+f(x-1)=3, 两式相减得 f(x+1)=f(x -1),所以 f(x+2)=f(x),所以函数 f(x)是周期为 2 的周期函数,所以 f(-2 005.5)= f(-1.5)=f(-2+0.5)=f(0.5)=1.5. 2 2 10.-1 [解析] 由已知必有 m -m=3+m,即 m -2m-3=0, -1 ∴m=3 或 m=-1.当 m=3 时,函数 f(x)=x ,x∈[-6,6], 3 ∴f(x)在 x=0 处无意义,故舍去;当 m=-1 时,函数 f(x)=x ,此时 x∈[-2,2], 3 ∴f(m)=f(-1)=(-1) =-1. 11.(-1- 3,+∞) [解析] 由函数 f(x)为奇函数,所以当 x<0 时,-x>0,f(-x) 2 2 2 =(-x) -2(-x)=x +2x=-f(x)=x -ax,所以 a=-2. 2 2 2 当 x≥0 时,f(x)>a 即 x -2x>-2 恒有 x -2x+2>0; 当 x<0 时,f(x)>a 即-x -2x> 2 -2? x +2x-2<0,解得-1- 3<x<0. 综上,满足 f(x)>a 的 x 的取值范围是(-1- 3,+∞). 7 2 7 m 12.解:(1)因为 f(4)= ,所以 4 - = ,所以 m=1. 2 4 2 (2)因为 f(x)的定义域为{x|x≠0}, 2 2 又 f(-x)=-x- =-x- =-f(x), -x x 所以 f(x)是奇函数. 2 2 2 (3)设 x1>x2>0,则 f(x1)-f(x2)=x1- -x2- =(x1-x2)1+ ,

x1

x2

x1x2

因为 x1>x2>0,所以 x1-x2>0,1+

2

x1x2

>0,

所以 f(x1)>f(x2), 所以 f(x)在(0,+∞)上为单调递增函数.(或用求导数的方法) 【难点突破】 13.解:由 f(x)是奇函数,知 f(-x)=-f(x), a(-x)2+1 ax2+1 从而 =- ,即-bx+c=-(bx+c),c=-c,∴c=0. b(-x)+c bx+c 2 a·1 +1 又由 f(1)=2,知 =2,得 a+1=2b①, b·1+c a·22+1 4a+1 而由 f(2)<3,知 <3,得 <3②, b·2+c 2b 由①②可解得-1<a<2.又 a∈Z,∴a=0 或 a=1. 1 若 a=0,则 b= ?Z,应舍去; 2 若 a=1,则 b=1∈Z.∴a=b=1,c=0. 课时作业(六)B 【基础热身】 x -x 1.B [解析] 由题中选项可知,y=|x|,y=e +e 为偶函数,排除 A,C;而 y=- x3 在 R 上递减,故选 B. 2 2.B [解析] 因为函数 f(x)=ax +bx 在[a-1,2a]上为偶函数,所以 b=0,且 a-1 1 1 +2a=0,即 b=0,a= .所以 a+b= . 3 3 2 2 3. A [解析] 若 x<0, 则-x>0, 所以 f(-x)=(-x) -(-x)+1=x +x+1=-f(x). 若 2 2 x>0,则-x<0,所以 f(-x)=-(-x) -(-x)-1=-x +x-1=-f(x).所以 f(x)为奇函 数. 3 4. [解析] 函数 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的偶函数,且当 x∈[0,1]时,f(x) 2 ?3? ? 3? ? 3? ?1? 3 =x+1,那么 f? ?=f?- ?=f?2- ?=f? ?= . ?2? ? 2? ? 2? ?2? 2 【能力提升】 -x 5.D [解析] 因为 f(x)为奇函数,所以 x>0 时,f(x)=-f(-x)=-2 ,即 g(x)= 1 -x -3 -2 ,所以 g(3)=-2 =- .故选 D. 8 6.D [解析] 因为 x1<0,x2>0,|x1|<|x2|,所以 0<-x1<x2.又 f(x)是(0,+∞)上的增 函数,所以 f(-x1)<f(x2).又 f(x)为定义在 R 上的偶函数,所以 f(x1)<f(x2),所以 f(x1) -f(x2)<0.选 D. 7. A [解析] 由已知 f(x)是偶函数且是周期为 2 的周期函数, 则 f(-2 012)=f(2 012) =f(0)=log21=0,f(2 011)=f(1)=log22=1,所以 f(-2 012)+f(2 011)=0+1=1, 故选择 A. 8.A [解析] 命题 p 是真命题.对于命题 q,函数 y=f(x-1)为奇函数,将其图象向 左平移 1 个单位,得到函数 y=f(x)的图象,该图象的对称中心为(-1,0),而得不到对称 中心为(1,0),所以命题 q 为假命题,所以 p∨q 是真命题.故选 A. 1 1 9.- [解析] 因为 f(x+2)=- ,所以 f(x+4)=f(x),即函数 f(x)的周期 3 f(x) 1 1 是 4,f(2 013)=f(1)=- =- . f(3) 3 ? 3? ? 3? 10. A [解析] 由 f?x+ ?=-f(x), 得 f(x+3)=-f?x+ ?=f(x), 可得 3 是函数 f(x) 2 ? ? ? 2?

? 3? 的一个周期,故结论①正确;由于函数 y=f?x- ?为奇函数,其图象关于坐标原点对称, ? 4? 3 ? 3 ? 把这个函数图象向左平移 个单位即得函数 y=f(x)的图象,此时坐标原点移到点?- ,0?, 4 ? 4 ? 3 3 ? ? ? ? 故 f(x)的图象关于点?- ,0?对称,结论②正确;由于函数 y=f?x- ?为奇函数,故- ? 4 ? ? 4? 3? 3? 3 ? 3? ? ? ? 3? ? 3? f?x- ?=f?-x- ?, 以 x+ 代换 x 得-f(x)=f?-x- ?, 又 f?x+ ?=-f(x), 所以 f?x+ ? 4? 2? 4 ? 4? ? ? ? 2? ? 2? 3? 3 ? =f?-x- ?,以 x- 代换 x 得 f(x)=f(-x),故 f(x)是偶函数,结论③正确. 2? 2 ? 11.{1} [解析] 因为 f(x)是定义在[-2,2]上的奇函数,且在[0,2]上单调递减, 所以 f(x)在[-2,2]上单调递减, 2 所以 f(3-m)≤f(2m )等价于 1≤m≤5, -2≤3-m≤2, ? ? -1≤m≤1, 2 即 m=1,所以 m 的取值范围是{1}. ?-2≤2m ≤2, ? 3 2 ? - ≤m≤1, ?3-m≥2m 2 12.解:函数的定义域为{x|-1<x<1}=(-1,1). 1+a 1+b (1+a)(1+b) (1)证明:? a,b∈(-1,1),f(a)+f(b)=lg +lg =lg , 1-a 1-b (1-a)(1-b) a+b 1+ 1+ab a+b 1+ab+a+b (1+a)(1+b) f =lg =lg =lg , 1+ab a+b 1+ab-a-b (1-a)(1-b) 1- 1+ab a+b 所以 f(a)+f(b)=f . 1+ab 1-x 1+x (1-x)(1+x) (2)? x∈(-1,1),f(-x)+f(x)=lg +lg =lg =lg1=0, 1+x 1-x (1+x)(1-x) 即 f(-x)=-f(x),所以 f(x)是奇函数. 【难点突破】 13.解:(1)因为对于任意 x1,x2∈D,有 f(x1·x2)=f(x1)+f(x2), 所以令 x1=x2=1,得 f(1)=2f(1),所以 f(1)=0. (2)令 x1=x2=-1,有 f(1)=f(-1)+f(-1), 1 所以 f(-1)= f(1)=0. 2 令 x1=-1,x2=x,有 f(-x)=f(-1)+f(x), 所以 f(-x)=f(x),所以 f(x)为偶函数. (3)依题设有 f(4×4)=f(4)+f(4)=2,f(16×4)=f(16)+f(4)=3, 又 f(3x+1)+f(2x-6)≤3, 即 f((3x+1)(2x-6))≤f(64).(*) 方法一:因为 f(x) 为偶函数, 所以 f(|(3x+1)(2x-6)|)≤f(64). 又 f(x)在(0,+∞)上是增函数, 所以 0<|(3x+1)(2x-6)|≤64. 7 1 1 解上式,得 3<x≤5 或- ≤x <- 或- <x<3. 3 3 3 1 1 ? 7 所以 x 的取值范围为 x?- ≤x<- ,或- <x<3,或 3<x≤5. 3 3 ? 3 方法二:因为 f(x)在 (0,+∞)上是增函数,

? ? ? ? ?

所以(*)等价于不等式组 ? ?(3x+1)(2x-6)>0,

? ?(3x+1)(2x-6)<0, ? 或? ?(3x+1)(2x-6)≤64, ? ?-(3x+1)(2x-6)≤64, ?

1 x>3或x<- , ? 1 ? ? 3 ?- <x<3, 或? 3 ? 7 ? ? ?-3≤x≤5 ?x∈R. 7 1 1 所以 3<x≤5 或- ≤x<- 或- <x<3. 3 3 3 所以 x 的取值范围为 x错误!-错误!≤x<-错误!,或-错误!<x<3,或 3<x≤5.


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