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上海市各区2014届高三数学一模试题分类汇编 数列(理)


上海市各区 2014 届高三数学(理科)一模试题分类汇编 数列
2014.01.26 (长宁区2014届高三1月一模,理)5、数列 ?a n ?满足

1 1 1 a1 ? 2 a 2 ? ... ? n a n ? 2n ? 5, n ? N * ,则 a n ? 2 2 2
5、 ?

.

? 14, n ? 1 n ?1 ? 2 , n ? 2.
2

* (嘉定区 2014 届高三 1 月一模,理)4.已知数列 {a n } 的前 n 项和 S n ? n ( n ? N ) ,则

a 8 的值是__________. 4. 15
(普陀区 2014 届高三 1 月一模, 理) 8. 数列 {an } 中, 若 a1 ? 1 ,an ? an ?1 ? 则 lim (a1 ? a 2 ? ? ? a 2 n ) ?
n ??

1 * ( n? N ) , n 2

.

8.

2 ; 3

(长宁区 2014 届高三 1 月一模,理)11、已知数列 ?a n ?, ?bn ?都是公差为 1 的等差数列,其 首项分别为 a1 , b1 ,且 a1 ? b1 ? 5, 项和等于______. 11、 85 ( 浦 东 新 区 2014 届 高 三 1 月 一 模 , 理 ) 3. 已 知 数 列 ? an ? 中 , a1 ? 1 ,

a1 , b1 ? N , 设 cn ? abn (n ? N ), 则数列 ?cn ? 的前 10

an ? an?1 ? 3,(n ? 2, n ? N * ) ,则 an =___________.
3. 3n ? 2 (普陀区 2014 届高三 1 月一模,理)22. (本题满分 16 分) 本大题共有 3 小题,第 1 小 题满分 5 分,第 2 小题满分 5 分 ,第 3 小题满分 6 分.
* 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 3 , an ?1 ? an ? 3 ? 2 , n ? N .
n
n (1)证明数列 an ? 2 是等比数列,并求数列 ?an ? 的通项公式;

?

?

(2)在数列 ?an ? 中,是否存在连续三项成等差数列?若存在,求出所有符合条件的项;若

1

不存在,请说明理由; (3)若 1 ? r ? s 且 r , s ? N ,求证:使得 a1 , ar , a s 成等差数列的点列 ? r , s ? 在某一直
*

线上. 22. (本题满分 16 分) 本大题共有 3 小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 5 分 ,第 3 小题满分 6 分. 解: (1)将已知条件 an ?1 ? an ? 3 ? 2 变形为 an ?1 ? 2
n
n ?1

? ? ? an ? 2n ? ??1 分

由于 a1 ? 2 ? 3 ? 2 ? 1 ? 0 ,则 即数列 an ? 2
n

a n ?1 ? 2 n ?1 ? ?1 (常数)??3 分 an ? 2 n

?

n

? 是以1为首项,公比为 ?1的等比数列??4 分
n ?1

所以 a n ? 2 ? 1 ? (?1)

。??5 分 ? (?1) n ?1 ,即 a n ? 2 n ? (?1) n ?1 ( n ? N * )

ak , ak ?1 (2) 假设在数列 ?an ? 中存在连续三项成等差数列, 不妨设连续的三项依次为 ak ?1 ,
(k ? 2,k?N ) ,由题意得, 2ak ? ak ?1 ? ak ?1 ,
*

将 a k ? 2 ? (?1)
k

k ?1

, a k ?1 ? 2

k ?1

? (?1) k ? 2 , a k ?1 ? 2 k ?1 ? (?1) k 代入上式得??7 分

2[2 k ? (?1) k ?1 ] ? [2 k ?1 ? (?1) k ?2 ] ? [2 k ?1 ? (?1) k ] ??????8 分
化简得, ? 2
k ?1

? 4 ? (?1) k ?2 ,即 2 k ?1 ? 4 ? (?1) k ?1 ,得 (?2) k ?1 ? 4 ,解得 k ? 3

所以,存在满足条件的连续三项为 a 2 , a 3 , a 4 成等比数列。??10 分 (3)若 a1 , a r , a s 成等差数列,则 2ar ? a1 ? as 即 2[2 ? (?1)
r r ?1 s r ?1 r ?1 s ?1 ] ? 3 ? 2 s ? (?1) s ?1 , 变形得 2 ? 2 ? 2 ? (?1) ? (?1) ? 3 ??11 分

由于若 r , s ? N 且 1 ? r ? s ,下面对 r 、 s 进行讨论:
*

① 若 r , s 均为偶数,则 2 ? 2
s

r ?1

? 0 ,解得 s ? r ? 1,与 1 ? r ? s 矛盾,舍去;
r ?1

② 若 r 为奇数, s 为偶数,则 2 ? 2
s

? 0 ,解得 s ? r ? 1; ? 0 ,解得 s ? r ? 1,与 1 ? r ? s 矛盾,舍去;

③ 若 r 为偶数, s 为奇数,则 2 ? 2
s

r ?1

④ 若 r , s 均为奇数,则 2 ? 2
s

r ?1

? 0 ,解得 s ? r ? 1,与 1 ? r ? s 矛盾,舍去;??15

2

分 综上①②③④可知,只有当 r 为奇数, s 为偶数时, a1 , a r , a s 成等差数列,此时满足条 件点列 ? r , s ? 落在直线 y ? x ? 1 (其中 x 为正奇数)上。??16 分(不写出直线方程 扣 1 分) (长宁区 2014 届高三 1 月一模,理)23、 (本题满分 18 分,其中(1)小题满分 4 分, ( 2) 小题满分 6 分, (3)小题满分 8 分) 由 函 数 y ? f ( x) 确 定 数 列 ?a n ? , a n ? f (n) . 若 函 数 y ? f
?1

(1)若函数 f ( x) ? 2 x 确定数列 ?a n ?的反数列为 ?bn ? ,求 bn . ; (2)对(1)中的 ?bn ? ,不等式

bn ? f

?1

(n) ,则称数列 ?bn ? 是数列 ?a n ?的“反数列”.

( x) 能 确 定 数 列 ?bn ? ,

1 bn ?1

?

1 bn ? 2

?? ?

1 1 ? log a (1 ? 2a ) 对任意的正 b2 n 2

整数 n 恒成立,求实数 a 的取值范围; (3)设 c n ?

数列 ?t n ? 的前 n 项和 S n .

1 ? (?1) ? n 1 ? (?1) ? ?3 ? ? (2n ? 1) ( ? 为正整数) ,若数列 ?cn ? 的反数列为 2 2 ?d n ?,?cn ? 与 ?d n ?的公共项组成的数列为 ?t n ?(公共项 t k ? c p ? d q , k , p, q 为正整数) ,求

23、解: (1)

f ?1 ( x) ?

,则 ;????4分 x2 n2 bn ? (n ? N ? ) ( x ? 0) 4 4

(2)不等式化为: 2

n ?1
设 Tn ?

?

,????5分 2 2 1 ??? ? log a (1 ? 2a) n?2 2n 2

2 2 2 2 2 ,因为 Tn ?1 ? Tn ? ? ??? ? ? 0, n ?1 n ? 2 2n 2n ? 1 2n ? 2
????7 分

Tn ? 单调递增, 所以 ?
则 (Tn ) min ? T1 ? 1 。因此 所以

1 log a (1 ? 2a) ? 1 ,即 log a (1 ? 2a) ? 2 .因为 1 ? 2a ? 0 , 2
????10分

a?

1 ,? 1 得 0 ? a ? 2 ? 1. ?0?a? , 2 ? 2 2 ? 1 ? 2 a ? a , ? dn ?
. 1 (n ? 1) 2

(3)当 ? 为奇数时, c ? 2n ? 1 , n

????11分

3

由 2 p ?1 ? 即 ?c 所以

1 (q ? 1) ,则 q ? 4 p ? 3 , 2
? 2n ? 1 ,
????13分 ????14分

n

? ? ?d n ?,因此 t n

Sn ? n2. cn ? 3n , d n ? log 3 n .
3p

当 ? 为偶数时,
p

????15分
n

由 3 ? log 3 q 得 q ? 3 所以

,即 ?c n ? ? ?d n ?,因此 t n ? 3 ,

????17 分 ????18分

Sn ?

3 n (3 ? 1). 2

(浦东新区 2014 届高三 1 月一模,理)23、 (本题满分 18 分,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 8 分) 设项数均为 k ( k ? 2, k ? N )的数列 {an } 、{bn } 、{cn } 前 n 项的和分别为 S n 、 Tn 、U n .
*

已知集合 {a1 , a2 , ?, ak , b1 , b2 , ?, bk } = {2, 4, 6, ?, 4k ? 2, 4k} . (1)已知 U n ? 2n ? 2 ,求数列 {cn } 的通项公式;
n

(2)若 Sn ? Tn ? 2n ? 2

n

(1 ? n ? k, n ? N *) ,试研究 k ? 4 和 k ? 6 时是否存在符合

条件的数列对( {an } , {bn } ) ,并说明理由; ( 3)若 an ? bn ? 2n (1 ? n ? k , n ? N ) ,对于固定的 k ,求证:符合条件的数列对
*

( {an } , {bn } )有偶数对.

23、解: (1) n ? 1 时, c1 ? U1 ? 4

n ? 2 时, cn ? U n ? U n ?1 ? 2n ? 2n ? 2(n ? 1) ? 2n ?1 ? 2 ? 2n ?1 , c1 ? 4 不适合该式
故, cn ? ?

?4, n ? 1
n ?1 ?2 ? 2 , 2 ? n ? k

??????????????????????4 分

(2) a1 ? b1 ? S1 ? T1 ? 4 ,

n ? 2 时, an ? bn ? (Sn ? Sn?1 ) ? (Tn ? Tn?1 ) ? ( Sn ? Tn ) ? ( Sn?1 ? Tn?1 )
? 2n ? 2n ? 2(n ? 1) ? 2n?1 ? 2 ? 2n?1
????????6 分 当 k ? 4 时, a1 ? b1 ? 4 , a2 ? b2 ? 4 , a3 ? b3 ? 6 , a4 ? b4 ? 10

{a1 , a2 , a3 , a4 , b1 , b2 , b3 , b4 } = {2, 4, 6, 8,10,12,14,16}
数列 {an } 、 {bn } 可以为(不唯一) :

4



6,12,16,14;2,8,10,4
k ?1



16,10,8,14;12,6,2,4

???????8 分

当 k ? 6 时, ak ? bk ? 2 ? 2

? 2 ? 2k ?1 ? 2 ? (1 ? 1) k ?1

1 2 k ?2 k ?1 ? 2 ? Ck0?1 ? Ck ?1 ? Ck ?1 ? ? ? Ck ?1 ? Ck ?1
1 2 2 ? 2 ? 2(Ck0?1 ? Ck ?1 ? Ck ?1 ) ? k ? k ? 4 ? (k ? 1)(k ? 4) ? 4k ? 4k

此时 ak 不存在. 故数列对( {an } , {bn } )不存在. 另证: ak ? bk ? 2 ? 2
k 0

????????????10 分

k ?1

? 2 ? 2k ?1 ? 4k ? 2k ? 8k ? 4
1 2 k ?1 1 ? Ckk ? 2(Ck0 ? Ck ? Ck2 ) ? k 2 ? k ? 2 ? 8k ? 4

当 k ? 6 时, 2 ? Ck ? Ck ? Ck ? ? ? Ck

(3)令 d n ? 4k ? 2 ? bn , en ? 4k ? 2 ? an ( 1 ? n ? k , n ? N )
*

???????12 分

dn ? en ? (4k ? 2 ? bn ) ? (4k ? 2 ? an ) ? an ? bn ? 2n
又 {a1 , a2 , ?, ak , b1 , b2 , ?, bk } = {2, 4, 6, ?, 4k} ,得

{4k ? 2 ? a1 , 4k ? 2 ? a2 , ?, 4k ? 2 ? ak , 4k ? 2 ? b1, 4k ? 2 ? b2 , ?, 4k ? 2 ? bk }
= {2, 4, 6, ?, 4k} 所以,数列对( {an } , {bn } )与( {d n } , {en } )成对出现。 ????????16 分 假设数列 {an } 与 {d n } 相同,则由 d 2 ? 4k ? 2 ? b2 ? a2 及 a2 ? b2 ? 4 ,得 a2 ? 2k ? 3 ,

b2 ? 2k ? 1 ,均为奇数,矛盾!
故,符合条件的数列对( {an } , {bn } )有偶数对。 ????????18 分

(嘉定区 2014 届高三 1 月一模,理)23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题 满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分. 数列 {a n } 的首项为 a ( a ? 0 ) ,前 n 项和为 S n ,且 S n ?1 ? t ? S n ? a ( t ? 0 ) .设

bn ? S n ? 1 , cn ? k ? b1 ? b2 ? ? ? bn ( k ? R ? ) .
(1)求数列 {a n } 的通项公式; (2)当 t ? 1 时,若对任意 n ? N , | bn |?| b3 | 恒成立,求 a 的取值范围;
*

(3)当 t ? 1 时,试求三个正数 a , t , k 的一组值,使得 {c n } 为等比数列,且 a , t ,

k 成等差数列.

23. (本题满分 18 分,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分) (1)因为 S n ?1 ? t ? S n ? a 当 n ? 2 时, S n ? t ? S n ?1 ? a ① ②,

5

①—②得, a n ?1 ? t ? a n ( n ? 2 ) , 又由 S 2 ? t ? S1 ? a ,得 a 2 ? t ? a1 ,

??????????????????(2 分) ??????????????????(1 分)
n ?1

所以, {a n } 是首项为 a ,公比为 t 的等比数列,所以 a n ? a ? t (2)当 t ? 1 时, a n ? a , S n ? na , bn ? na ? 1 , 当 a ? 0 时, n ? 3 时, (*)不成立; 当 a ? 0 时, (*)等价于 (n ? 3)[( n ? 3)a ? 2] ? 0 (**)成立. n ? 3 时,

(n?N ) .??(1 分)
*

???????????(1 分) (*) ????(1 分)

由 | bn |?| b3 | ,得 | na ? 1 |?| 3a ? 1 | , (n ? 3)a[(n ? 3)a ? 2] ? 0 (**)

2 2 恒成立,所以 a ? ? . n?3 7 1 2 n ? 1时,有 4a ? 2 ? 0 , a ? ? . n ? 2 时,有 5a ? 2 ? 0 , a ? ? . ???(3 分) 2 5 2? ? 2 综上, a 的取值范围是 ?? , ? ? . ??????????????????(1 分) 7? ? 5

n ? 4 时,有 (n ? 3)a ? 2 ? 0 ,即 a ? ?

(3)当 t ? 1 时, S n ?

a(1 ? t n ) a(1 ? t n ) a at n ?1 ? 1? ? , bn ? , ???(1 分) 1? t 1? t 1? t 1? t

cn ? k ? n ?

an at(1 ? t n ) at n ?1 1? a ? t k (1 ? t ) 2 ? at ? ? ? ? n ? , ???(2 分) 1? t 1? t (1 ? t ) 2 (1 ? t ) 2 (1 ? t ) 2

?1 ? a ? t ?0, ?a ? t ? 1 , ? ? 1? t ? 所以,当 ? 时,数列 {c n } 是等比数列,所以 ? ???(2 分) t 2 k? , ? k (1 ? t ) ? at ? 0 ? t ?1 ? 2 ? ? (1 ? t )
又因为 a , t , k 成等差数列,所以 2t ? a ? k ,即 2t ? t ? 1 ? 解得 t ?

t , t ?1

5 ?1 . 2

?????????????????????????(1 分)

从而, a ?

5 ?1 ,k ? 2

5 ?3 . 2

??????????????????(1 分)

所以,当 a ?

5 ?1 5 ?1 ,t ? ,k ? 2 2

5 ?3 时,数列 {c n } 为等比数列.??(1 分) 2

(徐汇区 2014 届高三 1 月一模,理)23. (本题满分 18 分,第(1)小题 4 分,第(2) 小题 5 分,第(3)小题 9 分)

6

称满足以下两个条件的有穷数列 a1 , a2 ,? , an 为 n ? n ? 2,3, 4,?? 阶“期待数列” : ① a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? 0 ;② a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? 1. (1)若等比数列 ?an ? 为 2k ? k ? N *? 阶“期待数列” ,求公比 q 及 ?an ? 的通项公式; (2)若一个等差数列 ?an ? 既是 2k ? k ? N *? 阶“期待数列”又是递增数列,求该数列的通 项公式; (3)记 n 阶“期待数列” ? ai ? 的前 k 项和为 Sk ? k ? 1, 2,3,?, n ? : (i)求证: S k ?

1 ; 2 1 ,试问数列 ? S k ? 能否为 n 阶“期待数列”? 2

(ii)若存在 m ? ?1, 2,3,? , n? 使 S m ?

若能,求出所有这样的数列;若不能,请说明理由.

7

8

9


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