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河南省安阳市2013届高三上学期期中考试理科数学试题


河南省安阳市第二中学2012-2013学年度第一学期期中考试

高三数学(理科)

2012.11

本试卷共4页,分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题目)两部分,共150 分,考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题

共100分)

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的。 1、设集合 A ? {m ? Z | ?3 ? m ? 2}, B ? {n ? N | ?1 ? n ? 3} ,则 A ? B ? ( A A.{0,1} B.{-1,0,1} (C ) B. ?x ? R, lg x ? 1 D. ?x ? R, tan x ? 2
q: 1 ?1 x ,则 p 是 ?q 成立的( B )

)

C.{0,1,2}

D.{-1,0,1,

2} 2、下列命题中的假命题是 A. ?x ? R,2
x ?1

?0

2 C. ?x ? R, x ? 0

3、已知条件 p : x ? 1,条件 A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.既非充分也非必要条件

? 4、将函数 y ? sin 2x 的图象向右平移 4 个单位,再向上平移1个单位,所得函数
图象对应的解析式为 (C ) A.
y ? sin( 2 x ?

?
4

) ?1

2 B. y ? 2 cos x

2 C. y ? 2 sin x

D. y ? ? cos2x
t

(2x ? 2)dx ? 8 5、已知 t ? 0 ,若 ?0 ,则 t =( D) A.1 B.-2 C.-2或4

D.4

6 、 设 等比 数 列 ?an ? 中 ,前 n 项 和为 Sn , 已 知 S3 ? 8,S6 ? 7 , 则 a7 ? a8 ? a9 ? ( A
1 A. 8


1 B. 8 ?
57 C. 8 55 D. 8

7、设

a?

1 0.5 2 , b

?

1 0 .9 4 , c

? log5 0.3

,则 a, b, c 的大小关系是 C. a ? b ? c







A. a ? c ? b
y?

B. c ? a ? b

D. b ? a ? c

8、函数

x ? sin x 3 的图象大致是(





? 9、在 ?ABC中,角A,B,C所对边分别为a,b,c,且 c ? 4 2,B ? 45 ,面积 S ? 2 ,

则 b 等于
113 A. 2







B.5

C. 41

D.25

10、 (

?log2 x, x ? 0 ? f ( x) ? ?log (? x), x ? 0 1 ? 2 ? 若函数 ,若 af (?a) ? 0 ,则实数 a 的取值范围是
A )
( ? )(, B. ? ?,1 ? 1 ? ?)

( ?0) A. ?1,0)( ,1 ( ?1? C. ?1,0)(, ?)

( ? )( ) D. ? ?,1 ? 0,1

11、已知 x0 是

1 1 f ( x) ? ( ) x ? 2 x 的一个零点, x1 ? (??, x0 ), x2 ? ( x0 ,0) ,则 (C



A. f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? 0 C. f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? 0

B. f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? 0 D. f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? 0

1 an ? ( ) n 3 ,把数列 ?an ? 的各项排列成如下的三角形状, 12、已知

(A



10 记 A(m,n) 表示第 m 行的第 n 个数,则 A( ,12) =
1 93 ( ) A. 3 1 92 ( ) B. 3 1 94 ( ) C. 3

1 112 ( ) D. 3

13、复数 z ? A. i

1 i ? ,则 z =D 1? i 1? i

C.1+ i D.1- i ? ? ? ? ? ? ? 14、已知平面向量 a 、 b ,| a |=1,| b |= 3 ,且| 2a ? b |= 7 ,则向量 a 与向量
? ? a ? b 的夹角为 B

B.- i

D. ? 6 3 1 1 1 15、图示是计算 1+ + +…+ 值的程序框图, 3 5 29 则图中(1)处应填写的语句是 B A.
2

?

B.

?

C.

?

A. i ? 15 ? C. i ? 16 ?

B. i ? 15 ? D. i ? 16 ?

2 2 16、已知点 P 在曲线 C1: x ? y ? 1 上,点 Q 在曲线 C2:(x-5)2+y2=1 上,点 R

16
2

9

在曲线 C3:(x+5) +y =1 上,则 | PQ |-| PR | 的最大值是( C) A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 17、已知两平面的法向量分别为 m=(0,1,0),n=(0,1,1),则两平面所成的二 面角为( C A.45° C.45° 135° 或 ) B.135° D.90°

2

18、已知平面 α 内有一个点 A(2,-1,2),α 的一个法向量为 n=(3,1,2),则下

列点 P 中,在平面 α 内的是( B )

A.(1,-1,1) 3? ? C.?1,-3,2? ? ?

3? ? B.?1,3,2? ? ? 3? ? D.?-1,3,-2? ? ?

19、如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠ACB=90° ,2AC=AA1=BC=2.

若二面角 B1-DC-C1 的大小为 60° ,则 AD 的长为( A )

A. 2 C.2

B. 3 2 D. 2

x2 y2 3 20、已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的焦点分别为 F1、F2,b=4,离心率为 .过 a b 5 F1 的直线交椭圆于 A、B 两点,则△ABF2 的周长为( D A.10 C.16
21、已知双曲线 -

)

B.12 D.20 x2 9 y2 16=1,过其右焦点 F 的直线(斜率存在)交双曲线于 P、

|MF| Q 两点,PQ 的垂直平分线交 x 轴于点 M,则 |PQ| 的值为( B ) 5 A.3 5 C.4 x2 4 y2 3 5 B.6 5 D.8
2 2

22、椭圆 + =1 的离心率为 e,点(1,e)是圆 x +y -4x-4y+4=0 的一条

弦的中点,则此弦所在直线的方程是( B ) A.3x+2y-4=0 C.3x-2y-2=0 B.4x+6y-7=0 D.4x-6y-1=0

23、 已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S2=10,S5=55,则过点 P(n,an)和

Q(n+2,an+2)(n∈N*)的直线的一个方向向量的坐标可以是( B ) A.(2,4) ? 1 ? C.?-2,-1? ? ? 4? ? 1 B.?-3,-3? ? ? D.(-1,-1)

24、已知数列{an},{bn}满足 a1=1 且 an,an+1 是函数 f(x)=x2-bnx+2n 的两个零 点,则 b10 等于( D ) A.24 B.32 C.48 D.64

x2 y2 25、 过椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左顶点 A 且斜率为 k 的直线交椭圆 C 于另 a b 1 1 一个点 B,且点 B 在 x 轴上的射影恰好为右焦点 F,若3<k<2,则椭圆离心率的 取值范围是( C 1 9 A.(4,4) 2 B.(3,1) 1 2 C.(2,3) 1 D.(0,2) 二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题4分,共 20 分. 26、 已知一个空间几何体的三视图如图所示, 根据图中标出的尺寸 (单位: ) cm , 3 可得这个几何体的体积是____4_______ cm . )

27、 已知抛物线 y 2 ? ax(a ? 0) 与直线 x=1 围成的封闭图形的 4 面积为 ,若直线 l 与该抛物线相切,且平行于直线 2 x ? y ? 6 ? 0 ,则直线 l 的 3 方程为____ 16x ? 8 y ? 1 ? 0 ____. 28、设实数 x, y 满足条件
?1 ? lg( xy 2 ) ? 2, ? 则 lg ? x2 ? ?1 ? lg y ? 2, ?

x3 的取值范围为_ ? ?4,3? y4

_______.

29、 已知三棱锥 S ? ABC 的所有顶点都在球 O 的求面上, ?ABC 是边长为 1 的正 三角形,
SC 为球 O 的直径,且 SC ? 2 ;则此棱锥的体积为

2 6

.

三、解答题:共 34 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 30、(本小题满分 10 分) 如图,正方形 ABCD 所在平面与等腰三角形 EAD 所在平面相交于 AD, AE ? 平面 CDE. (Ⅰ) 求证:AB⊥平面 ADE; (Ⅱ)设 M 是线段 BE 上一点,当直线 AM 与平面 EAD 所成角的 正弦值为 6 时,试确定点 M 的位置.
3

解:(Ⅰ)证明:? AE ? 平面CDE,CD ? 平面CDE,
? AE ? CD.

在正方形ABCD中,CD ? AD, ? AD ? AE ? A,?CD ? 平面ADE.
? AB // CD, ? AB ? 平面ADE.

(Ⅱ)由(Ⅰ) 平面EAD ? 平面ABCD, 取 AD 中点 O,连结 EO.
? EA ? ED, ? EO ? AD,

? EO ? 平面ABCD.
建立如图所示的空间直角坐标系, 设 AB=2,则 A(1,0,0),B(1,2,0),E(0,0,1). 设 M(x,y,z). ???? ? ??? ? ? BM ? ? x ? 1, y ? 2, z ? , BE ? ? ?1, ?2,1, ? ,

???? ? ??? ? ? B, M , E 三点共线,设 BM ? ? BE,? M ?1 ? ? , 2 ? 2? , ? ? , ???? ? ? AM ? ? ?? , 2 ? 2? , ? ? . ? 设 AM 与平面 AED 所成角为?,?平面AED的一法向量n ? ? 0,1,0? ,
????? ? ?sin ? ? cos ? AM , n ? ? 2 ? 2? 6? 2 ? 8? ? 4 ? 6 , 3

解得 ? ?

1 , 2

31、(本小题满分12分)

1 , an , S n 已知各项均为正数的数列 ?an ? 前n项和为 Sn , 首项为 a1 , 2 且 等差数列。

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式;
b 1 2 cn ? n a n ? ( ) bn an ,求数列 ?cn ? 的前n项和 Tn . 2 ,设 (Ⅱ)若
1 2 an ? S n ? , an ? 0 2 (1)由题意知 2a1 ? a1 ? 1 2 ? a1 ? 1 2

………………1分

当 n ? 1 时,

1 1 S n ? 2an ? , S n ?1 ? 2an ?1 ? 2 2 当 n ? 2 时,

两式相减得 an ? Sn ? Sn?1 ? 2an ? 2an?1 ………………3分

an ?2 an?1 整理得:

……………………4分

1 ∴数列 ?an ? 是以 2 为首项,2为公比的等比数列。
an ? a1 ? 2 n ?1 ? 1 n ?1 ? 2 ? 2 n?2 2 ……………………5分

?bn 2 2 n ?4 2) an ? 2 ? 2

∴ bn ? 4? 2n ,……………………6分
Cn ?
Tn ?

bn 4 ? 2n 16 ? 8n ? n ?2 ? an 2 2n
8 0 ?8 24 ? 8n 16 ? 8n ? 2 ? 3 ? ? n ?1 ? 2 2 2 2 2n ①

1 8 0 24 ? 8n 16 ? 8n Tn ? 2 ? 3 ? ? ? ? n ?1 2 2 2 2n 2 ②

1 1 1 1 16 ? 8n Tn ? 4 ? 8( 2 ? 3 ? ? ? n ) ? n ?1 2 2 2 2 ①-②得 2

………………9分

1 1 ( ? n?1 ) 1 2 16 ? 8n 2 ? 4 ? 8? 2 ? n?1 1 2 1? 2 1 16 ? 8n ? 4 ? ( ? n?1 ) ? n?1 41 2 2
? 4n 2 n .………………………………………………………11分

?Tn ?

8n . 2 n …………………………………………………………………12分

32、(本题满分 12 分) 点 P 为圆 O : x2 ? y 2 ? 4 上一动点,PD ? x 轴于 D 点,记线段 PD 的中点 M 的运动轨迹为曲线 C. (I)求曲线 C 的方程; (II)直线 l 经过定点(0,2)与曲线 C 交于 A、B 两点,求△ OAB 面积的最大值.
? x ? x0 ? x0 ? x ? 解:(Ⅰ )设 P ? x0 , y0 ? , M ? x, y ? ,由 ? ,………2 分 1 ,得 ? ? y0 ? 2 y ? y ? 2 y0 ?

代入 x2 ? y 2 ? 4 ,得

x2 ? y 2 ? 1,轨迹为焦点在 x 轴上的椭圆.……………4 分 4

(Ⅱ )依题意 l 斜率存在, 其方程为 y ? kx ? 2 ,

? x2 ? 4 y 2 ? 4 由? ,消去 y 整理得 ? 4k 2 ? 1? x 2 ? 16kx ? 12 ? 0 , y ? kx ? 2 ?
? ? ?16k ? ? 4 ? 4k 2 ? 1? ?12 ? 4(4k 2 ? 3)
2

由 ? ? 0 ,得 4k 2 ? 3 ? 0 设 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,则


x1 ? x 2 ? ?16k 12 ,x x ? 2 1 2 2 4k ? 1 4k ? 1

② ………6 分 ③

AB ?

?1 ? k 2 ? ?? x1 ? x2 ?2 ? 4x1x2 ? ? ? ?

?? ?16k ?2 12 ? 1 ? k 2 ? ?? 2 ? ? 4 ? 2 ? ? 4k ? 1 ? ?? 4k ? 1 ? ? ?

原点到直线 l 距离为 d ? 由面积公式及③得 ④

2 1? k 2

④ …………8 分

S?OAB ?

1 4k 2 ? 3 ? AB d ? 4 2 (1 ? 4k 2 ) 2

4k 2 ? 3 ?4 (4k 2 ? 3) 2 ? 8(4k 2 ? 3) ? 16
?4 1 16 4k 2 ? 3 ? 8 ? 2 4k ? 3 ?4

,

1 ? 1 ,……………10 分 16

当且仅当 4k 2 ? 3 ?

16 ,即 4k 2 ? 3 ? 4 时,等号成立. 4k 2 ? 3

此时 S?OAB 最大值为 1.…………12 分


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