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3.1.1数系的扩充和复数的概念 学案(人教A版选修2-2)


第三章 数系的扩充与复数的引入 §3.1 数系的扩充和复数的概念 3.1.1 数系的扩充和复数的概念
课时目标 1.了解引进虚数单位 i 的必要性, 了解数集的扩充过程.2.理解在数系的扩充 中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.3.掌握复数代数形式的表示方法, 理解复数相 等的充要条件.

1.把集合 C={a+bi|a,b∈R}中的数,即形如

a+bi(a,b∈R)的数叫做________,其 中 i 叫做____________,全体复数所成的集合 C 叫做__________. 2.复数通常用 z 表示,z=________________叫做复数的代数形式,其中__________分 别叫复数 z 的实部与虚部. 3.设 z=a+bi(a,b∈R),则当且仅当________时,z 为实数.当________时,z 为虚 数,当____________时,z 为纯虚数. 4.实数集 R 是复数集 C 的__________,即__________.这样复数包括________和 ________. 5.a+bi=c+di(a,b,c,d∈R)的充要条件是 ________________________________________________________________________.

一、选择题 1. “a=0”是“复数 a+bi (a,b∈R)为纯虚数”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 2.设 a,b∈R,若(a+b)+i=-10+abi (i 为虚数单位),则( a- b)2 等于( A.-12 C.8 B.-8 D.10 ) ) )

3.若 z=(x2-1)+(x-1)i 为纯虚数,则实数 x 的值为( A.-1 B.0 C.1 D.-1 或 1 4.下列命题中:

①两个复数不能比较大小; ②若 z=a+bi,则当且仅当 a=0 且 b≠0 时,z 为纯虚数; ③x+yi=1+i?x=y=1; ④若 a+bi=0,则 a=b=0. 其中正确命题的个数为( A.0 B.1 C.2 D.3 5.下列复数中,满足方程 x2+2=0 的是( A.± 1 B.± i C.± 2i D.± 2i 6.已知复数 z=a2-(2-b)i 的实部和虚部分别是 2 和 3,则实数 a、b 的值分别是( A. 2,1 C.± 2,5 题 号 答 案 二、填空题 7.若(m2-5m+4)+(m2-2m)i>0,则实数 m 的值为________. 8.已知复数 z1=(3m+1)+(2n-1)i,z2=(n+7)-(m-1)i,若 z1=z2,实数 m、n 的值 分别为________、________. 9.给出下列几个命题: ①若 x 是实数,则 x 可能不是复数; ②若 z 是虚数,则 z 不是实数; ③一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零; ④-1 没有平方根; ⑤若 a∈R,则(a+1)i 是纯虚数; ⑥两个虚数不能比较大小. 则其中正确命题的个数为________. 三、解答题 2m2+m-3 10.实数 m 分别为何值时,复数 z= +(m2-3m-18)i 是:(1)实数;(2)虚数; m+3 (3)纯虚数. 1 B. 2,5 D.± 2,1 2 3 4 5 6 ) ) )

11.已知集合 P={5,(m2-2m)+(m2+m-2)i},Q={4i,5},若 P∩Q=P∪Q,求实数 m 的值.

能力提升 a2-7a+6 12.已知复数 z= 2 +(a2-5a-6)i (a∈R),试求实数 a 取什么值时,z 分别为: a -1 (1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数.

1.对于复数 z=x+yi 只有当 x,y∈R 时,才能得出实部为 x,虚部为 y(不是 yi),进而 讨论复数 z 的性质.

2.复数相等的充要条件是复数问题实数化的依据.

答案
知识梳理 1.复数 虚数单位 复数集 2.a+bi(a,b∈R) a 与 b 3.b=0 b≠0 a=0 且 b≠0 实数 虚数

4.真子集 R C 5.a=c 且 b=d 作业设计

1.B [复数 a+bi (a,b∈R)为纯虚数?a=0 且 b≠0.] 2.A
? ?a+b=-10 [由? , ?ab=1 ?

可得( a- b)2=a+b-2 ab=-12.] 3.A 4.A
2 ? ?x -1=0, ? [∵z 为纯虚数,∴ ∴x=-1.] ?x-1≠0, ?

5.C

6.C [由题意得:a2=2,-(2-b)=3, ∴a=± 2,b=5.故选 C.] 7.0 解析
2 ? ?m -5m+4>0; ? 由题意得: 2 ?m -2m=0. ?

解得:m=0. 8.2 0
?3m+1=n+7 ? 解析 两复数相等,即实部与实部相等,虚部与虚部相等.故有? , ?2n-1=-?m-1? ?

解得 m=2,n=0. 9.2 解析 因为实数是复数,故①错;②正确;因为复数为纯虚数要求实部为零,虚部不为 零,故③错;因为-1 的平方根为± i,故④错;当 a=-1 时,(a+1)i 是实数 0,故⑤错; ⑥正确.故答案为 2. 10.解 (1)要使所给复数为实数,必使复数的虚部为 0.
?m2-3m-18=0 ? 故若使 z 为实数,则? , ?m+3≠0 ?

解得 m=6.所以当 m=6 时,z 为实数. (2)要使所给复数为虚数,必使复数的虚部不为 0. 故若使 z 为虚数,则 m2-3m-18≠0,且 m+3≠0, 所以当 m≠6 且 m≠-3 时,z 为虚数. (3)要使所给复数为纯虚数,必使复数的实部为 0,虚部不为 0. 2m +m-3=0 ? ? 故若使 z 为纯虚数,则?m+3≠0 ? ?m2-3m-18≠0 3 解得 m=- 或 m=1. 2 3 所以当 m=- 或 m=1 时,z 为纯虚数. 2 11.解 由题知 P=Q, 所以(m2-2m)+(m2+m-2)i=4i,
2 ? ?m -2m=0 所以? 2 , ?m +m-2=4 ? 2



解得 m=2. a2-7a+6 12.解 (1)当 z 为实数时,则 a2-5a-6=0,且 2 有意义,∴a=-1,或 a=6, a -1 且 a≠± 1, ∴当 a=6 时,z 为实数. a2-7a+6 (2)当 z 为虚数时, 则 a2-5a-6≠0, 且 2 有意义, ∴a≠-1, 且 a≠6, 且 a≠± 1. a -1 ∴当 a≠± 1,且 a≠6 时,z 为虚数, 即当 a∈(-∞,-1)∪(-1,1)∪(1,6)∪(6,+∞)时,z 为虚数. (3)当 z 为纯虚数时,则有 a2-5a-6≠0, 且
?a≠-1, ? a2-7a+6 =0.∴? 且 a=6, 2 a -1 ? ?a≠6.

∴不存在实数 a 使 z 为纯虚数.


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