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《几类不同增长的函数模型》第一课时参考课件


函数是描述客观世界变化规律的基本

数学模型,不同的变化规律需要用不同的
函数模型来描述。 思考:在实际问题中,我们应如何来 选用适当的数学模型呢?

假设你有一笔资金用于投资,现有三种 投资方案供你选择,这三种方案的回报如下: 方案一:每天回报40元 方案二:第一天回报10元,以后每一天比前 一天多回报10元 方案三:第一天回报0.4元,以后每天的回报 比前一天翻一番 你会选择那种投资?

建立函数模型 解:设第x天回报是y元

则方案一的函数模型可以用______________描 y=40(x∈N*) 述
方案二的函数模型可以用_______________描述 y=10x(x∈N*) 方案三的函数模型可以用___________________ y=0.4×2x-1(x∈N*) 描述

要对三个方案作出选择,先计算一下三种 方案所得回报的增长情况:
x/ 天 1 2 3 4 … 10 方案一 40 40 40 40 … 40 … 40 0 0 0 … 0 … 0 10 20 方案二 方案三

y/元 增加量/元 y/元 增加量/元
10 10

y/元
0.4 0.8 1.6 3.2 …

增加量/元
0.4 0.8

30
40 …

10
… 10 …

1.6


100
… 300

204.8


102.4



30

10

214748364.8 107374182.4

作出三个函数的图象: 方案三 底为2的指数函数模 型比线形函数模型增长 速度要快得多,从中你 对“指数爆炸”的含义 有什么新的理解?
0

方案二

方案一

天数 方案一 方案二 方案三 1 2 3 4 5 6 7 40 80 120 160 200 240 280 10 30 60 100 150 210 280 0.4 1.2 2.8 6 12.4 25.2 50.8
0

方案三

方案二
方案一
因此,投资1~6天,应选择方案
一投资7天,应选择方案一或方 案二投资8~10天,应选择方案二

8
9 10 11

320
360 400 440

360
450 550 660

102
204.4 409.2 818.8

投资11天(含11天)以上,应选
择方案三

某公司为了实现1000万元利润的目标,准备制定 一个激励销售人员的奖励方案:在销售利润达到10万 元时,按销售利润进行奖励,且奖金y(单位:万元)

随销售利润(单位:万元)的增加而增加,但奖金总
数不超过5万元,同时奖金不超过利润的25%。现有 三个奖励模型:y=0.25x, y=log7x+1,y=1.002x其中 哪个模型能符合公司的要求?

画出y=5,y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x的函数图象 y=0.25x y=1.002x y=5 y=log7x+1

对于模型y=0.25x, 它在区间[10,1000]上 递增 当x=20时, y=5 当x>20时, y>5 所以该模型不符合要求

画出y=5,y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x的函数图象 y=0.25x y=1.002x y=5 y=log7x+1 对于模型y=1.002x, 由图象可知在区间(805, 806)内有一个点,满足, 由于它在区间[10,1000] y>5 上递增, 因此当x>x0时, 所以该模型也不符合要求

画出y=5,y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x的函数图象 y=0.25x y=1.002x y=5 y=log7x+1 对于模型y=log7x+1, 它在区间[10,1000]上递 增,当x=1000时, y=+1≈4.55<5, 所以它符 合奖金总数不超过5万元 的要求

奖金是否不超过利润的25%,即当x∈[10, 1000]时,是否有 y = log7x+1 ≤0.25 成立 x x 令f(x)=log7x+1-0.25x,x∈[10,1000], 作出函数图象: 由图象可知f(x)=+1-0.25x 在x∈[10,1000]上是递减的, 因此有f(x)<f(10)≈ -0.3167<0 即log7x+1<0.25x y log7x+1 所以, 当x∈[10,1000]时, = < 0.25 x x 说明按模型y=log7x+1奖励, 奖金不会超过利润的25%。 综上所述,模型y=log7x+1能符合公司要求。

四个变量y1,y2,y3,y4随变量x变化的 数据如下表:
x 0 5 10 15 20 25 30

y1 5 130 505 1130 y2 5 94.478 1785.2 33733 y3 y4

2005 3130 4505 6.37 1.2 2.28 ×105 ×107 ×108 5 30 55 80 105 130 155 5 2.3107 1.4295 1.1407 1.0461 1.0151 1.005

关于x成指数型变化的变量是( y2 )

某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的,如 果某台计算机感染上这种病毒,那么它就会在下一轮 病毒发作时传播一次病毒,并感染其他20台为感染病 毒的计算机。现有10台计算机被第1轮病毒感染,问 被第5轮病毒感染的计算机有多少台? 解:设第1轮病毒发作时有a1=10台电脑被感染, 第2轮,第3轮...依次有a2台,a3台...被感染, 那么依题意有: a5=10×204=1600000 答:第5轮有160万台计算机被感染。

数学模型 数学模型是近些年发展起来的新学 科,是数学理论与实际问题相结合的一 门科学。它将现实问题归结为相应的数 学问题,并在此基础上利用数学的概念、 方法和理论进行深入的分析和研究,从 而从定性或定量的角度来刻画实际问题, 并为解决现实问题提供精确的数据或可 靠的指导。

数学模型 数学模型是数学抽象的概括的产物, 它根据研究目的,对所研究的过程和现 象(称为现实原型或原型)的主要特征、主 要关系、采用形式化的数学语言,概括 地、近似地表达出来的一种结构.所谓 “数学化”,指的就是构造数学模 型.通过研究事物的数学模型来认识事 物的方法,称为数学模型方法.


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