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7.2空间几何体的表面积和体积


2013 高考数学一轮强化训练 7.2 空间几何体的表面积和体积 文 新人 教A版
1.已知 A、B 为球面上的两点,O 为球心,且?AB=3? ? ?AOB ? 120 °,则球的体积为(
? A. 92

)

B. 4 3 ?

C.36 ?

D. 32 3 ?


答案:B 解析:△AOB 为等腰三角形,腰长为球的半径 ? ?AOB ? 120 °,AB=3,通过解三角形解出 OA 和 OB,即 OA ? OB ? 3? 从而求出球的体积为 4 3 ? ,故选 B. 2.设计一个杯子,其三视图如图所示,现在向杯中匀速注水,杯中水面的高度 h 随时间 t 变化 的图象是… ( )

答案:B 解析:由三视图可知杯子是圆柱形的,由于圆柱形的杯子上下均匀,所以当向杯中匀速注水 时,其高度随时间的变化是相同的,反映在图象上,只有选项 B 符合题意.故选 B. 3.如图,网格纸的小正方形的边长是 1,在其上用粗线画出了某多面体的三视图,则这个多 面体最长的一条棱的长为 .

答案: 2 3 解析:将几何体补充出来,如图所示.最长棱为 PB= 4 ? 8 ? 2 3 .

4.四边形 ABCD 中,A(0,0),B(1,0),C(2,1),D(0,3),四边形 ABCD 绕 y 轴旋转一周,则所得旋 转体的体积为 . 答案:5 ?
2 2 解析: V圆锥 ? 1 ? R h ? 1 ? ?2 ? 2 ? 8 ? ,

3

3

3

V圆台 ? 1 ? h′ ( R 2 ? r 2 ? Rr ) 3 1 ? ?1? (22 ? 12 ? 2 ?1) ? 7 ? , ? 3 3 ∴ V ? V圆锥 ? V圆台 ? 5 ? .
5.已知正方体 AC1 的棱长为 a,E、F 分别为棱 AA1 与 CC1 的中点,求四棱锥 A1 ? EBFD1 的体 积.

解:因为 EB ? BF ? FD1 ? D1 E ? a 2 ? ( a ) 2 ?

5 a ,所以四棱锥 A ? EBFD 的底面是菱 1 1 2 形,连接 EF,则△EFB≌△ EFD1 ? 由于三棱锥 A1 ? EFB 与三棱锥 A1 ? EFD1 等底同高,所 3 以 VA1 ? EBFD1 ? 2VA1 ? EFB ? 2VF ? EBA1 ? 2 ? 1 ? S? EBA1 ? a ? 1 a . 3 6 2

题组一 多面体的表面积 1.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其侧面积等于 (

)

A. 3 B.2 C. 2 3 D.6 答案: D 解析:由已知,得该几何体为底面是正三角形且边长为 2,高为 1 的正三棱柱,故其侧面积为 (2 ?1) ? 3 ? 6? 故选 D.? 2.已知几何体的三视图如图所示,它的表面积是( )

A. 4 ? 2

B. 2 ? 2

C. 3 ? 2 D.6 答案:C 解析:由三视图可知此几何体为一底面为等腰直角三角形的直三棱 柱. S表 ? S侧 ? 2 S底 ? (1 ? 1 ? 2) ? 1 ? 2 ? 1 ? 1? 1 ? 3 ? 2 .

2

3.已知 OA 为球 O 的半径,过 OA 的中点 M 且垂直于 OA 的平面截球面得到圆 M,若圆 M 的面积 为 3 ? ,则球 O 的表面积等于 . 答案:16 ?

解析:由题意得圆 M 的半径 r ? 3? 设球的半径为 R,又球心到圆 M 的距离为 R ? 由勾股定理

2

2 得 R ? r ? ( R ) ? ∴R=2,则球的表面积为 4 ? ?22 ? 16 ? ,故填 16 ? . 2
2 2

题组二 多面体的体积 4.圆柱形容器内盛有高度为 8 cm 的水,若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相 同)后,水恰好淹没最上面的球(如图所示),则球的半径是 cm.

答案:4 解析:设球的半径为 r,
2 则 6r ? ? r 2 ? 8 ? r ? 3 ? 4 ? r 3 ? r ? 4 .

3

5.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为

.

答案: 3 解析:该三视图对应的几何体是直四棱柱,? 所以 V ? Sh ? 1 (1 ? 2) ? 2 ? ?1=3.?

2

6.若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积是

cm3 .

答案:18 解析:由三视图可知此几何体是由两块长、宽均为 3 cm,高为 1 cm 的长方体构成,故其体积 为 2(3? 3 ? 1 )=18( cm3 ). 题组三 旋转体的表面积、体积 7.圆台上、下底面面积分别是 ? 、4 ? ,侧面积是 6 ? ,则圆台的体积是( ) A.

2 3? 3

B. 2 3 ?

C.

7 3? 6

D.

7 3? 3

答案:D 解析:∵ S上 ? ? ? S下 ? 4 ? ,∴r=1,R=2,

S侧 ? 6 ? = ? (r+R)l,∴l=2,∴ h ? 3 .
∴V= 1 ? (1 ? 4 ? 2) ? 3 ? 7 3 ? .

3

3

8.设长方体的长、宽、高分别为 2a、a、a,其顶点都在一个球面上,则该球的表面积为 ( ) 2 A.3 ? a B.6 ? a 2 C.12 ? a 2 D.24 ? a 2 答案:B 解析:由已知,球 O 的直径 2R 等于长方体的对角线, ∵ 2 R ? (2a ) 2 ? a 2 ? a 2 ? 6a? ∴球的表面积 S=4 ? R 2 ? 6 ? a 2 . 9.体积为 8 的一个正方体,其表面积与球 O 的表面积相等,则球 O 的体积等于 答案: .

8 6?

?

解析:设正方体棱长为 a,球的半径为 R,则 a 3 ? 8? ∴a=2. ∵ S正方体 ? S球 ? ∴ 6 ? 22 ? 4 ? R 2 ? ∴ R ?

?

6.

V球 ? 4 ? R 3 ? 4 ? ( 6 )3 ? 8 6? . 3 3 ? ?
题组四 空间几何体的体积表面积的综合

10.如果三棱锥的三个侧面两两垂直,它们的面积分别为 6、4、3,那么它的外接球体积 是 . 答案:

29 29? 6

解析:依题意,设这个三棱锥的侧棱分别为 a、b、c,则有 ab=12,bc=8,ac=6,解得 a=3,b=4,c=2.这个三棱锥的外接球就是以三棱锥的三条侧棱为长、宽、高的长方体的 外接球,所以外接球的直径为 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 32 ? 42 ? 22 ? 29 ? 所求体积为 11.如图所示,在斜三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中 ? ?A1 AC ? ?ACB ? ? ? ?AA1C ? ? ? 侧棱 BB1 与 底面所成的角为 ? ? AA1 ? 4 3? BC=4.求斜三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的体积 V.

29 29 ? .? 6

2

6

3

解:在 Rt△ AA1C 中,

AC ? AA1 ? tan ?AA1C ? 4 3 ? 3 ? 4 . 3

作 B1 H ? 平面 ABC,垂足为 H,则 ?B1 BH ? ? ? 在 Rt△ B1 BH 中 ? B1 H ? BB1 ? sin ?B1 BH

3

? AA1 ? sin ? ? 4 3 ? 3 ? 6 . 3 2 1 ? 4 ? 4 ? 6 ? 48 . ∴ V ? S? ABC ? B1 H ? 2

12.如图,在三棱锥 P-ABC 中,△PAB 是等边三角形 ? ?PAC ? ?PBC ? 90 °.

(1)证明: AB ? PC ; (2)若 PC=4,且平面 PAC ? 平面 PBC,求三棱锥 P—ABC 的体积. 解:(1)证明:∵△PAB 是等边三角形, ∴PA=PB. ∵ ?PAC ? ?PBC ? 90 °,PC=PC, ∴Rt△PBC≌Rt△PAC,∴AC=BC. 取 AB 的中点 D,连接 PD、CD, 则 PD ? AB? CD ? AB? 又∵PD 与 CD 交于 D 点,∴ AB ? 平面 PDC, ∵ PC ? 平面 PDC,∴ AB ? PC . (2)作 BE ? PC ? 垂足为 E,连接 AE. ∵Rt△PBC≌Rt△PAC, ∴ AE ? PC ? AE ? BE . 由已知,平面 PAC ? 平面 PBC, 故 ?AEB ? 90 °. ∵AB=PB,BE=BE, ∴Rt△AEB≌Rt△PEB.∴PE=AE=BE, 又 PE=CE,∴BE=CE. ∴△AEB,△PEB,△CEB 都是等腰直角三角形. 由已知 PC=4,得 AE=BE=2, ∴△AEB 的面积 S ? 1 BE ? AE

2

? 1 ? 2 ? 2=2?, 2 ∵ PC ? 平面 AEB,∴三棱锥 P-ABC 的体积 V ? 1 ? S ? PC ? 8 .? 3 3

?

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