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立体几何综合练习


常规几何图形的立体几何问题
1.如图,在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,点 E 在棱 CC1 的延长线上,且 CC1 ? C1E ? BC ? (Ⅰ)求证: D1E ∥平面 ACB1 ; E (Ⅱ)求证:平面 D1 B1E ? 平面 DCB1 ; (Ⅲ)求四面体 D1 B1 AC 的体积.

1 AB ? 1 . 2

D1 A1
D

C1 B1
C

A

B

2. 如图, 四棱锥 P ? ABCD 中, 四边形 ABCD 为矩形,?PAD 为等腰三角形,?APD ? 90 , 平面 PAD ?
?

平面 ABCD ,且 AB ? 1, AD ? 2, E . F 分别为 PC 和 BD 的中点. (1)证明: EF / / 平面 PAD ; (2)证明:平面 PDC ? 平面 PAD ; (3)求四棱锥 P ? ABCD 的体积.

P E D F A B C

1

3.在长方体 ABCD ? A 1 ? 2, 1B 1C1D 1 中, AB ? BC ? 1, AA (1) 求证: AD ∥面 D1 BC ;(2) 证明: AC ? BD1 ;
A1

D1 C1

B1

(3) 一 只 蜜 蜂 在 长 方 体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中飞行,求它飞入三棱锥

D1 ? ABC 内的概率.
D C

A

B

? 4. 如图,已知四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是直角梯形, AB // DC , ?ABC ? 45 , DC ? 1 ,

AB ? 2 , PA ? 平面 ABCD , PA ? 1 . (1)求证: AB // 平面 PCD ;[来源:Z.xx.k.Com]
(2)求证: BC ? 平面 PAC ; (3)若 M 是 PC 的中点,求三棱锥 M—ACD 的体积.

P

A

M

B

D

C

2

5.如图: 直三棱柱 ABC-A1B1C1 中, AC=BC=AA1=2, ∠ACB=90?.E 为 BB1 的中点, D 点在 AB 上且 DE= 3 . (Ⅰ)求证:CD⊥平面 A1ABB1; (Ⅱ)求三棱锥 A1-CDE 的体积.

6.如图,四棱锥 S ? ABCD 的底面是正方形, SA ? 底面 ABCD , E 是 SC 上一点 (1)求证:平面 EBD ? 平面 SAC ; (2)设 SA ? 4 , AB ? 2 ,求点 A 到平面 SBD 的距离;
E A D C S

B

3

7.如图所示, 四棱锥 P ? ABCD 底面是直角梯形, BA ? AD, CD ? AD, CD ? 2 AB, PA ? 底面 ABCD, E 为 PC 的中点, PA=AD=AB=1. (1)证明: EB // 平面PAD ; (2)证明: BE ? 平面PDC ; (3)求三棱锥 B ? PDC 的体积 V.

8.已知:正方体 ABCD-A1B1C1D1 , AA1 =2 ,E 为棱 CC1 的中点. (Ⅰ) 求证: B1D1 ? AE ; (Ⅱ) 求证: AC // 平面 B1DE ; (Ⅲ)求三棱锥 A-BDE 的体积.

4

立体几何中的翻折问题
1. 如图1,在直角梯形 ABCD 中, ?ADC ? 90? , CD / / AB , AB ? 4, AD ? CD ? 2 .将 ?ADE 沿 AC 折起, 使平面 ADE ? 平面 ABC ,得到几何体 D ? ABC ,如图2所示. (Ⅰ) 求证: BC ? 平面 ACD ; D (Ⅱ) 求几何体 D ? ABC 的体积. C D C

A 图1

B

A 图2

B

1 AP ? 2 , 2 D 是 AP 的中点,E,F,G 分别为 PC、PD、CB 的中点,将 ?PCD 沿
2. 如图 6,在直角梯形 ABCP 中,AP//BC,AP ? AB,AB=BC= CD 折起,使得 PD ? 平面 ABCD,如图 7. (Ⅰ)求证:AP//平面 EFG; (Ⅲ)求三棱椎 D ? PAB 的体积.

B

G

C

E

A

D

F

P

图6
P E B G F A C

D

图7

5


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