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安徽省示范高中2014届高三数学上学期第一次联考试题 文


安徽省示范高中 2014 届高三数学上学期第一次联考试题 文(扫描 版)新人教 A 版

1

2

3

2014 届安徽省示范高中高三第一次联考 文科数学参考答案 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.
2 1.B 【解析】A ? {x | x ? 2 x ? 0} ? {x | 0剟 2} ,B ? {x | lg ? x ? 1? ? 0} ? ? x | 0 ? x ? 1? 1? x

4

= {x |1 ? x? 2} ,所以 A ? B ? {x |1 ? x? 2} ,故选 B. 2.C 【解析】f(0)=1,f(f(0))=f (1)=2-1=1.故选 C. 3.C【解析】若 OA ? OB ,结合图形可知, OA ? OB ? AB ? C. 4.B 【解析】 cos(? ? ? ) ? ? cos ? ?

??? ?

??? ?

??? ??? ? ?

??? ?

12 ?

? 2?

2

? 1 ? 2 .故选

5 5 ?? ? ,∴ cos ? ? ? ,又 α ∈ ? , ? ? , 3 3 ?2 ?
2

? 2 5? 2 ∴sin α = 1 ? cos ? = 1 ? ? ? .∴sin(π +α )=-sin α =- .故选 B. ? 3 ? ?3 ? 3 ? ?
2

5.D 解析】 C 的标准方程为 x 2 ? ? y ? 1? ? 4 , 【 圆 直线 l 过定点 (0,1) 代入 x 2 ? ? y ? 1? ? 4 , ,
2 2

可知直线过圆上的点,所以直线与圆相切或相交.故选 D. 6.D 【解析】 函数 y ? f ( x) ? c 与 x 轴有两个不同交点, 即方程 f ( x) ? c ? 0 有两个不同的解, 由 f ( x) ? c 知 , y ? f ( x) 与 y ? c 有 两 个 不 同 的 交 点 , 结 合 图 形 可 知

c ? ? ?2, ?0.5 ? ? ?1.1,1.8 ? .故选 D.

7.B【解析】 S6- S2= a3+ a4 + a5 +a6=2(a4 +a5)=0,又 a4 =1,∴a5 =-1.∴ b2 ? 2 ,又

b5b1 ? 4b2 2 ,即 b32 ? 4b2 2 ,∴ q 2 ? log 2 b10 ? log 2 29 ? 9 .

b32 ? 4 , q ? 2 .所以 b10 ? b2 q8 ? 2 ? 28 ? 29 ,所以 2 b2

8.A【解析】f(x)的最小正周期 T ? 4 ? ?

2? ? ? ? 5? ? ? ? 2 .由 2 ? ? ? ? 得 ? ? ? ? ,故 ? ? T 6 2 ? 12 6 ?

??

?
6

, 由 图 可 知 A = 2 . 故 函 数 f(x) 的 解 析 式 为 f ( x) ? 2sin ? 2 x ?

? ?

??

? .所以 6?

f (0) ? 2sin

?
6

? 1 .故选 A. 3 ? 18 ,①是假命题;②数据 1,2,3,3,4,5 的平均数为 6

9.B【解析】①样本容量为 9 ?

1 (1 ? 2 ? 3 ? 3 ? 4 ? 5) ? 3 , 中 位 数 为 3 , 众 数 为 3 , 都 相 同 , ② 是 真 命 题 ; 5 5 ? 6 ? 9 ? 10 ? 5 1 ③ x乙 ? ? 7 , s乙2 ? [(5-7)2+(6-7)2+(9-7)2+(10-7)2+(5-7)2] 5 5 1 2 2 = ×(4+1+4+9+4)=4.4,∵s 甲 >s 乙 ,∴乙稳定,③是假命题;④是真命题;⑤数 5
4 据落在[114.5,124.5)内的有:120,122,116,120 共 4 个,故所求频率为 =0.4,⑤是真命 10 题.

5

10.B【解析】由 f(x)是(-∞,+∞)上的减函数,可得 ?

?0 ? a ? 1
0 ? f (0) ? a ? 2? ? 3a

,化简得

0 ? a?

1 .[] 3

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在题中横线上。 11.0【解析】根据程序框图,当 i ? 1 时, S ? ?1 ;当 i ? 2 时, S ? ?1 ? 1 ? 0 ;当 i ? 3 时, S ? 0 ? 1 ? ?1 ;当 i ? 4 时, S ? ?1 ? 1 ? 0 ;?,即当 i 为奇数时 S 为-1,当 i 为偶数时 S 为 0,因为 i ? 2014 所以输出的 S 为 0.

4? 1 【解析】由三视图知,此几何体是一个组合体,上面是 球,其半径为 1,下面是半 3 4 1 4 1 4? 圆柱,底面半圆直径为 1,高为 2.所以组合体的体积为 V ? ? ? ? ? ? ? 12 ? 2 ? . 4 3 2 3
12. 13.4【解析】作出可行域如图,是三条直线围成的三角形区域.又

2x ? 2 x?2 y , 4y

2x x?2 y 作直线 x ? 2 y ? 0 , 向下平移此直线, 当过点 (2, 时, ? 2 y 取得最大值 2, 0) x 所以 y ? 2 4
的最大值为 2 ? 4 .
2

14. 【解析】三棱锥中两条相对的棱所在是直线是异面直线,共有 3 对,从 6 条棱中任取 两条,利用列举法可知有 15 种取法,∴取到两条棱异面的概率是

1 5

3 1 ? . 15 5

15.①②③④【解析】①中由已知可得四边形 ADEF 是菱形,则 DE ? GA?, DE ? GF , 所以 DE ? 平面 A?FG ,所以面 A?FG ? 面 ABC ,①正确;又 BC ∥ DE ,∴ BC ∥平面 ,②正确;当面 A?DE ⊥面 ABC 时,三棱锥 A? ? DEF 的体积达到最大,最大值为 A?DE ;

1 1 3 2 3 1 3 ? ? a ? a? a ,③正确;由面 A?FG ? 面 ABC ,可知点 A? 在面 ABC 上的 3 4 4 4 64
6

射影在线段 AF 上,所以④正确;在旋转过程中 DF 与直线 A?E 始终异面,⑤不正确.[]

7

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.解: (Ⅰ)

f ( x) ?

?? 1 ? 3 1 sin 2 x ? ?1 ? cos 2 x ? ? m ? sin ? 2 x ? ? ? m ? .????????2 分 6? 2 ? 2 2
1 ?? ? ? ? ?? , 0 ? 在函数 f ( x) 的图像上,所以 sin ? 2 ? ? ? ? m ? ? 0 , 2 ? 12 ? ? 12 6 ?

因为点 M ? 解得 m ?

1 . 2
??????

??4 分 ∴ f ( x) ? sin ? 2 x ? 由 2 k? ?

? ?

??

?. 6?
2 k? ?


?
2

剟 x? 2

?
6

?
2

, k ? Z ,得 k? ?

?
6

剟 k? ? x


?
3









f ( x)











? ?? ? ? k? ? 6 , k? ? 3 ? (k ? Z ) ? ?



?????? ??6 分 (Ⅱ) g ( x) ? sin ?

? ?? ?? ?1 ? ? 2 x ? ? ? ? sin ? x ? ? . 3 6? 6? ?2 ?

∵当 x ? B 时, g ( x) 取得最大值, ∴

B?

?
6

? 2 k? ?

?
2

,k ?Z





B?

?
3



?????? ??8 分 由余弦定理可知 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos

?
3

? a 2 ? c 2 ? ac ? ? a ? c ? ? 3ac
2

?a?c? … ? 3? 16 ? ? 16 ? 12 ? 4 . ? 2 ?
2

2 ∴ b… ,又 b ? a ? c ? 4 .


b













? 2, 4 ?



?????? ??12 分 17.解: (Ⅰ)由茎叶图可知分数在[50,70) 范围内的有 2 人,在[110,130)范围内的有 3 人,

8



a?

2 ? 0.1 20



b



3



?????? ??4 分 从茎叶图可知分数在[90,150]范围内的有 13 人, 所 以 估 计 全 校 数 学 成 绩 及 格 率 为

13 ? 65? 20



?????? ??6 分 (Ⅱ)设 A 表示事件“大于等于 110 分的学生中随机选 2 名学生得分,平均得分大于等于 130 分 ” , 由 茎 叶 图 可 知 大 于 等 于 110 分 有 5 人 , 记 这 5 人 分 别 为 a, b, c, d , e , ?????? ??7 分 则选取学生的所有可能结果为:

(a, b), (a, c), (a, d ), (a, e), (b, c), (b, d ), (b, e)

(c, d ), (c, e) , (d , e) , 基 本 事 件 数 为

10,???????9 分 事件“2 名学生的平均得分大于等于 130 分” ,也就是“这两个学生的分数之和大于等于 260” ,所以可能结果为: (118,142)(128,136)(128,142)(136,142) , , , , 共 4 种 情 况 , 基 本 事 件 数 为 4 , ?????? ??11 分 所 以

P( A) ?

4 2 ? 10 5

. ??????

??12 分 18.解: (Ⅰ)如图可知五面体是四棱锥 A ? BCC1 B1 ,∵侧面 BCC1 B1 垂直于底 面 ABC , ∴正三角形 ABC 的高 h ? 3 就是这个四棱锥 A ? BCC1 B1 的高, 又 AB ? 2 , BB1 ? 2 3 . 于是 V四棱锥A ? BCC B
1

B1 A1

C1

1

1 1 ? S矩形 BCC B 1 ? h ? ? 2 3 ? 2 ? 3 ? 4 .???????4 分 3 3
1

B A

C

(Ⅱ)当点 D 为 AC 中点时, AB1 ∥平面 BDC1 . 证明:连结 B1C交BC1于O, 连结 DO ,∵四边形 BCC1 B1 是矩形,
B1 C1 A1 O

∴ O 为 B1C 中点,

B

9

C D

A

∵ AB1 ∥平面 BDC1 ,平面 ACB1 ? 平面 BDC1 =DO, ∴DO∥AB1,∴D 为 AC 的中点. ????????8 分

(Ⅲ)由(Ⅱ)可知当 AB1 ∥平面 BDC1 时,D 为 AC 的中点. ∵△ABC 为正三角形,D 为 AC 的中点,∴BD⊥AC, 由 CC1⊥平面 ABC,∴ BD ? CC1 , 又 AC ? CC1 ? C ,∴ BD ⊥平面 ACC1 A1 , 又

BD ?





BDC1









BDC1







ACC1 A1



?????? ??12 分 19. 解 : ( Ⅰ ) 当

x ? 0 时 , ?x ? 0 , 则

f (? x) ? log1 ? ? x?
2



?????? ??2 分 ∵ 函 数

f ( x)













f (? x) ? f ( x)



?????? ??4 分







f ( x)



















?log 1 x, x ? 0 ? 2 ? f ( x) ? ?0, x ? 0 ?log ? x , x ? 0 ? 1? ? ? 2
??????

??6 分 ( Ⅱ ) ∵

f (4) ? log 1 4 ? ?2
2

, ??????

??7 分 ∵ f ( x) 是 偶 函 数 , ∴ 不 等 式 f ( x ? 1) ? ? 2 可 化 为 f (| x ? 1|) ? f (4) ,
2 2

?????? ??9 分 又∵函数 f ( x) 在 (0, ??) 上是减函数,∴ | x ? 1|? 4 ,解得: ? 5 ? x ? 5 ,
2

















(? 5, 5)
??????

??12 分

10

20 . 解 : ( Ⅰ ) ?

an ?1 ? 2S n S n ?1 ? 0 , ∴ S n ?1 ? S n ? 2S n S n ?1 ? 0 ,
??????

??2 分 即 S n ? S n ?1 ? 2 S n S n ?1 ,

1 1 ? ? 2, S n ?1 S n







?1? ? ? ? Sn ?













?????? ??4 分 由 上 知 数 列 ?

?1? 1 ?1 , ? 是 以 2 为 公 差 的 等 差 数 列 , 首 项 为 S1 ? Sn ?
??????

??5 分 ∴

1 ? 1 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1 Sn





Sn ?

1 2n ? 1



?????? ??7 分 ∴ an ? S n ? S n ?1 ?

1 1 2 ? ?? . 2n ? 1 2n ? 3 ? 2n ? 1?? 2n ? 3? 1 1 2 ? ?? ) 2n ? 1 2n ? 3 ? 2n ? 1?? 2n ? 3?

(或由 an ?1 ? 2 S n S n ?1 ? 0 得 an ? ?2 S n S n ?1 ? ?2 ? 由题知, a1 ? 1







?1(n ? 1) ? an ? ? , (n ? 2, n ? N ) 2 ?? (2n ? 1)(2n ? 3) ?
??????

??9 分 ( Ⅱ ) 由 ( Ⅰ ) 知 bn ?

Sn 1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ? , 2n ? 1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ?
??????

??10 分 ∴

Tn ?

1 ?? 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? ? 1 ?? 1 ? 3 ? ? ? 3 ? 5 ? ? ? 5 ? 7 ? ? ? ? ? 2 n ? 1 ? 2 n ? 1 ? ? 2 ?? ? ? ? ? ? ? ??



11

?????? ??12 分 ∴

1? 1 ? n Tn ? ?1 ? ?? 2 ? 2n ? 1 ? 2n ? 1

. ??????

??13 分

21 . 解 :( Ⅰ ) 设 圆 心 C(a , b) , 则 A , C 中 点 坐 标 为 ?

? a ? 2 b ?1? , ? , 2 ? ? 2
??????

??1 分 ∵圆心 C 与点 A(2,1)关于直线 4x+2y-5=0 对称,



b ?1 ? a?2 ?4 ? 2 ? 2 ? 2 ? 5 ? 0 ? ? ? b ? 1 ? ? ?2 ? ? ?1 ?a ? 2 ?







?a ? 0 ? ?b ? 0



?????? ??3 分 ∴ 圆 心

C(0 , 0) 到 直 线

x + y + 2 = 0

的 距 离 r?

2 2

? 2 ,

?????? ??4 分 ∴ 求 圆

C









x2



y2

= 2 . ??????

??5 分 2 2 设 Q(x,y),则 x +y =2, ∴ PQ · MQ = (x - 1 , y - 1)·(x + 2 , y + 2) = x + y + x + y - 4 = x + y - 2 , ?????? ??6 分 作直线 l:x+y=0,向下平移此直线,当与圆 C 相切时 x+y 取得最小值,这时切点坐标为 (-1,-1) , 所 以

??? ?

???? ?

2

2

??? ? PQ

·

???? ? MQ













4



?????? ??8 分 (Ⅱ)由题意知,直线 PA 和直线 PB 的斜率存在,且互为相反数,故可设 PA:y-1=k(x- 1),

PB:y-1=-k(x-1),由 ?

? y ? 1 ? k ( x ? 1)
2 2 ?x ? y ? 2

,得(1+k )x +2k(1-k)x+(1-k) -2=0.

2

2

2

12

因 为 点 P 的 横 坐 标 x = 1 一 定 是 该 方 程 的 解 , 故 可 得 xA ?

k 2 ? 2k ? 1 ,同理, 1? k 2

xB ?

k 2 ? 2k ? 1 , 1? k 2
yB ? y A ?k ? xB ? 1? ? k ? x A ? 1? 2k ? k ? x A ? xB ? ? ? ? 1 ? kOP . xB ? x A xB ? x A xB ? x A
, 直 线

则 k AB ? 所



AB



OP







行 . ??????

??14 分

13


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