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直线与圆相交弦长问题


二、直线与圆相交弦长问题 一、知识储备 性质 1:直线与圆相交,则圆心到直线的距离 d |Aa+Bb+C| = <r; A2+B2
? ?Ax+By+C=0 性质 2: 由? 2 2 2 消元得到一元二 ??x-a? +?y-b? =r ?

3y=0 上,且被直线 y=x 截得的弦长为 2 7,求 圆 C 的方程. 解析:

方程的判别式 Δ>0; 性质 3:若直线 l 与圆 C 交于 A,B 两点,设弦心 |AB|?2 2 距为 d,半径为 r,弦长为|AB|,则有? ? 2 ? +d =r2, 二、典例练习 [ 例 ] 已知圆的方程为 x2 + y2 = 8 ,圆内有一点 P(-1,2),AB 为过点 P 且倾斜角为 α 的弦. (1)当 α=135° 时,求 AB 的长; (2)当弦 AB 被点 P 平分时,写出直线 AB 的方程. 解析:法一:

[练习已知某圆圆心在 x 轴上,半径长为 5,且截 y 轴所得线段长为 8,求该圆的标准方程. 解析:

三、类题通法 求直线与圆相交时弦长的两种方法 (1)几何法:如图 1,直线 l 与圆 C 交于 A,B 两 点, 设弦心距为 d, 圆的半径为 r, 法二: |AB|?2 2 2 弦长为|AB|, 则有? ? 2 ? +d =r , 即|AB|=2 r2-d2. (2)代数法: 如图 2 所示, 将直 线方程与圆的方程联立, 设直 线与圆的两交点分别是 A(x1, y1),B(x2,y2),则|AB|= ?x1-x2?2+?y1-y2?2= 1+k2|x1-x2|= |y1-y2|(直线 l 的斜率 k 存在). [练习]已知圆 C 和 y 轴相切,圆心 C 在直线 x- 1+ 1 k2

二、直线与圆相交弦长问题 一、知识储备 性质 1:直线与圆相交,则圆心到直线的距离 d |Aa+Bb+C| = <r; A2+B2
? ?Ax+By+C=0 性质 2: 由? 2 2 2 消元得到一元二 ??x-a? +?y-b? =r ?

[练习已知圆 C 和 y 轴相切, 圆心 C 在直线 x-3y =0 上,且被直线 y=x 截得的弦长为 2 7,求圆 C 的方程. 解: 设圆心坐标为(3m, m). ∵圆 C 和 y 轴相切, 得圆的半径为 3|m|, ∴圆心到直线 y=x 的距离为 |2m| = 2|m|.由半径、 弦心距、 半弦长的关系得 9m2 2 =7+2m2,∴m=± 1,∴所求圆 C 的方程为(x- 3)2+(y-1)2=9 或(x+3)2+(y+1)2=9. [练习已知某圆圆心在 x 轴上,半径长为 5,且截 y 轴所得线段长为 8,求该圆的标准方程. [解] 法一:如图所示,由题设|AC|=r=5,|AB| = 8 , ∴ |AO| = 4. 在 Rt △ AOC 中 , |OC| = |AC|2-|AO|2 = 52-42=3.设点 C 坐标

次方程的判别式 Δ>0; 性质 3:若直线 l 与圆 C 交于 A,B 两点,设弦心 |AB|?2 2 距为 d,半径为 r,弦长为|AB|,则有? ? 2 ? +d =r2, 二、典例与练习 [ 例 ] 已知圆的方程为 x2 + y2 = 8 ,圆内有一点 P(-1,2),AB 为过点 P 且倾斜角为 α 的弦. (1)当 α=135° 时,求 AB 的长; (2)当弦 AB 被点 P 平分时,写出直线 AB 的方程. [解] (1)法一:(几何法)如图所示,过点 O 作 OC ⊥AB.由已知条件得直线的斜率为 k=tan 135° = -1, ∴直线 AB 的方程为 y-2=-(x+1), 即 x+y-1=0. ∵圆心为(0,0), ∴|OC|= |-1| 2 = .∵r=2 2, 2 2 8-? 30 2?2 = ,∴ 2 ?2?

为(a,0),则|OC|=|a|=3, ∴a=± 3. ∴所求圆的方程为 (x + 3)2+y2=25,或(x-3)2+y2=25. 法二:由题意设所求圆的方程为(x-a)2+y2=25. ∵圆截 y 轴线段长为 8, ∴圆过点 A(0,4). 代入方 程得 a2+16=25,∴a=± 3.∴所求圆的方程为(x +3)2+y2=25,或(x-3)2+y2=25. 三、类题通法 求直线与圆相交时弦长的两种方法 (1)几何法: 如图 1, 直线 l 与圆 C 交 于 A,B 两点,设弦心距为 d,圆的 |AB|?2 半径为 r,弦长为|AB|,则有? ? 2 ? +d2=r2,即|AB|=2 r2-d2. (2)代数法: 如图 2 所示, 将直线方 程与圆的方程联立, 设直线与圆的 两交点分别是 A(x1, y1), B(x2, y2), 则|AB|= ?x1-x2?2+?y1-y2?2= 1+k2|x1-x2|= 存在). 1 1+ 2|y1-y2|(直线 l 的斜率 k k

∴ |BC| =

|AB|=2|BC|= 30. 法二:(代数法)当 α=135° 时,直线 AB 的方程为 y-2=-(x+1),即 y=-x+1,代入 x2+y2=8, 7 得 2x2-2x-7=0.∴x1+x2=1,x1x2=- , 2 ∴|AB|= 1+k2|x1-x2| = ?1+1?[?x1+x2?2-4x1x2]= 30. (2)如图,当弦 AB 被点 P 平分时,OP⊥AB, 1 ∵kOP=-2,∴kAB= , 2 1 ∴直线 AB 的方程为 y-2= (x+ 2 1),即 x-2y+5=0.


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