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1.4.2正余弦函数的性质(一)


1.4.2

正弦函数、余弦函数的性质

第一课时

问题提出

1.正弦函数和余弦函数的图象分别是什 么?二者有何相互联系?
1 -6π y

y=sinx
π 3π 2π 4π 5π

-4π
-5π -3π

/>-2π


O

x 6π

-1
? ?? 2

?
?? 2

?? 2

?
?? 2

? 2

1 O

y ?

y=cosx
?? 2
?? 2
?? 2

?? 2

2

x
??? 2

?

??? 2

?

?

-1

2.世界上有许多事物都呈现“周而复始” 的变化规律,如年有四季更替,月有阴 晴圆缺.这种现象在数学上称为周期性, 在函数领域里,周期性是函数的一个重 要性质.

知识探究(一):周期函数的概念

思考1:由正弦函数的图象可知, 正弦曲 线每相隔2π 个单位重复出现, 这一规 律的理论依据是什么?
.

sin( x ? 2k? ) ? sin x (k ? Z )

思考2:设f(x)=sinx,则sin( x ? 2k? ) ? sin x
可以怎样表示?其数学意义如何?

思考3:为了突出函数的这个特性,我们 把函数f(x)=sinx称为周期函数,2kπ 为 这个函数的周期.一般地,如何定义周期 函数? 对于函数f(x),如果存在一个非 零常数T,使得当x取定义域内的每一 个值时,都有f(x+T)=f(x), 那么函数 f(x)就叫做周期函数,非零常数T就叫 做这个函数的周期.

思考4:周期函数的周期是否惟一?正弦 函数的周期有哪些?

思考5:如果在周期函数f(x)的所有周期 中存在一个最小的正数, 则这个最小正 数叫做f(x)的最小正周期.那么, 正弦函 数的最小正周期是多少?为什么?

思考6:就周期性而言,对正弦函数有 什么结论?对余弦函数呢? 正、余弦函数是周期函数,2kπ (k∈Z, k≠0)都是它的周期,最小 正周期是2π .

理论迁移

例1 求下列函数的周期: (1)y=3cosx; x∈R (2)y=sin2x,x∈R x p (3) y = 2 sin( 2 - 6 ) , x∈R ; (4)y=|sinx| x∈R.


例2 已知定义在R上的函数f(x)满足
f(x+2)+f(x)=0,试判断f(x)是否为周 期函数?

知识探究(二):周期概念的拓展

思考1:函数f(x)=sinx,x∈[0,10π ] 是否为周期函数?周期函数的定义域有 什么特点?

思考4:函数y=3sin(2x+4)的最小正 周期是多少?

思考5:一般地,函数 y = A sin( wx + j )
(A ? 0, w 0)

的最小正周期是多少?

思考6:如果函数y=f(x)的周期是T,那 么函数y=f(ω x+φ )的周期是多少?

例3 已知定义在R上的函数f(x)满足 f(x+1)=f(x-1),且当x∈[0,2]时, f(x)=x-4,求f(10)的值.

小结作业

1.函数的周期性是函数的一个基本性质, 判断一个函数是否为周期函数,一般以 定义为依据,即存在非零常数T,使f(x +T)=f(x)恒成立.

2.周期函数的周期与函数的定义域有关, 周期函数不一定存在最小正周期. 3.周期函数的周期有许多个,若T为周期 函数f(x)的周期,则T的整数倍也是f(x) 的周期.

4.函数 y
(A ? 0, w

= A sin( wx + j )



y = A cos( wx + j )
2p

,这 w 是正、余弦函数的周期公式,解题时可 以直接应用.

0)的最小正周期都是

作业:P36练习:1,2,3.


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